№18. Задачи с параметром

Графика. Объединение двух кусков парабол

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#563

Общая теория

Рассмотрим функцию $f(x)= 3x2+ (4+ 2a)x − 8|x|− (a2+ 4a)$ .

Раскроем $|x|.$ Получим

{ f1 = 3x2+ (2a+ 12)x− (a2 +4a), x< 0 f(x)= f2 = 3x2+ (2a− 4)x− (a2+ 4a), x≥ 0

Таким образом, графиком функции $y = f(x)$ является объединение части параболы $y = f1(x)$ при $x <0$ (то есть левой части) и части параболы $y = f2(x)$ при $x≥ 0$ (то есть правой части). Причем заметим, что параболы $y = f1$ и $y = f2$ пересекаются при $x= 0,$ то есть эти части парабол «сходятся» в одной точке.

Рассмотрим произвольную параболу:

$xувбо=ызрxвааюстащюийщий 0$

Вертикальная прямая $x = x0,$ проходящая через вершину параболы, делит ее на два куска: убывающий и возрастающий.

Следовательно, мы можем взять две различные левые части:

Кроме того, можем взять две различные правые части:

Обозначим за $x 1$ абсциссу вершины параболы $y = f , 1$ за $x 2$ — абсциссу вершины параболы $y = f2.$

Комбинируя какую-то левую часть с какой-то правой частью, мы получим, что график функции $y = f(x)$ может принимать один из четырех видов ниже.

Взяли убывающий кусок левой части и убывающе-возрастающий кусок правой части:

$x = 0$

В этом случае $x= 0 < x1$ и $x= 0< x2.$

Взяли убывающий кусок левой части и возрастающий кусок правой части:

$x = 0$

В этом случае $x= 0 < x1$ и $x= 0> x2.$

Взяли убывающе-возрастающий кусок левой части и убывающе-возрастающий кусок правой части:

$x= 0$

В этом случае $x= 0 > x1$ и $x= 0< x2.$

Взяли убывающе-возрастающий кусок левой части и возрастающий кусок правой части:

$x = 0$

В этом случае $x= 0 > x1$ и $x= 0> x2.$

Задача из сборника Ященко 2023, вариант 1

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 2 (a− x) + 4a+ 1= (2x + 1)− 8|x|

имеет ровно четыре различных решения.

Решение. Перепишем уравнение в виде

3x2+ (4+ 2a)x− 8|x|− (a2+4a)= 0 ⌊f1 =3x2 +(2a+ 12)x − (a2+ 4a)= 0,x< 0 ⌈ f2 =3x2 +(2a− 4)x − (a2+ 4a)= 0, x≥ 0

График полученной совокупности представляет собой объединение части параболы $y = f1,$ соответствующей $x < 0,$ и части параболы $y = f2,$ соответствующей $x≥ 0.$ Следовательно, может получиться одна из четырех картинок:

$рис. 1$ $рис. 2$ $рис. 3$ $рис. 4$

Где бы ни находилась ось абсцисс на рис. 1, рис. 2 и рис. 4, график будет иметь максимум две точки пересечения с этой осью. Следовательно, исходное уравнение будет иметь максимум два корня. Нам подходит только рис. 3.

$xxl1l2= 0$

Этот рисунок задается следующим условием: $x1 < 0< x2.$

Ось абсцисс должна находиться в промежутке между прямой $l1$ и прямой $l2.$ Это значит, что обе параболы должны пересекать ось абсцисс (тогда ось абсцисс будет находиться выше $l1$ ) и значение $f1(0)= f2(0)$ должно быть положительно (тогда ось абсцисс будет ниже прямой $l2$ ). Следовательно, дискриминанты $D1 > 0$ и $D2 > 0$ и $f1(0)= f2(0)> 0.$

В итоге получаем следующую систему:

( ( || x1 < 0< x2 ||−6 − a< 0< 2− a |{ D1 > 0 |{16(a+ 3)2 > 0 || D2 > 0 ⇔ ||16(a+ 1)2 > 0 |( f1(0)= f2(0) >0 |(−(a2+ 4a)> 0

Решим систему и получим ответ: $a ∈(− 4;0)∖{−3;−1}.$

Предыдущая справка

Следующая справка