№18. Задачи с параметром

Графика. Отрезок

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#564

Уравнение отрезка

Рассмотрим уравнение

∘x2-+-(y−-12)2 +∘ (x−-a)2+-y2-= ∘a2+-144

Выясним, какой график на плоскости $xOy$ оно задает. Вспомним, каким выражением задается расстояние между двумя точками на плоскости. Если у нас имеются две точки $A (x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то расстояние между ними равно

AB = ∘ (x1-− x2)2+-(y1-− y2)2

Вернемся к нашему уравнению. Рассмотрим точки $A(0;12),$ $B (a;0)$ и $M (x;y).$ Тогда имеем:

----------- MA = ∘x2 +(y− 12)2 ∘------2---2 MB =∘ (x-− a)-+ y AB = a2+ 144

Следовательно, исходное уравнение имеет вид

MA + MB = AB

Это равенство говорит нам о том, что сумма длин отрезков $MA$ и $MB$ равна длине отрезка $AB.$ Из точек $A,$ $B$ и $M$ точки $A$ и $B$ фиксированы (да, одна координата точки $B$ зависит от параметра, но при зафиксированном значении параметра точка $B$ имеет конкретное фиксированное положение на плоскости $xOy$ ), а вот координаты точки $M$ не определены на плоскости. Следовательно, нам нужно понять, где может находиться на плоскости точка $M,$ чтобы сумма расстояний от нее до точек $A$ и $B$ была равна длине отрезка $AB.$ Множество положений точки $M$ как раз и задаст тот график, который описывается нашим уравнением.

Есть три принципиально различных положения точки $M$ относительно двух точек $A$ и $B :$

— точка $M$ может находиться вне прямой $AB;$

— точка $M$ может находиться на прямой $AB,$ но вне отрезка $AB;$

— точка $M$ может находиться на отрезке $AB.$

Эти три ситуации мы и рассмотрим по отдельности и определим, может ли точка $M$ находиться в каждом из таких положений или нет.

$∙$ Пусть $M$ не лежит на прямой $AB.$

$ABM$

Тогда точки $A,$ $B$ и $M$ образуют треугольник $AMB.$ Мы знаем, что в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. Следовательно, для $△AMB$ верно неравенство

MA + MB > AB

Это неравенство противоречит нашему равенству $MA +MB = AB.$ Следовательно, точка $M$ не может лежать вне прямой $AB.$

$∙$ Пусть $M$ лежит на прямой $AB,$ но вне отрезка $AB.$

$ABM$

Без ограничения общности можно считать, что точка $M$ лежит на продолжении отрезка $AB$ за точку $A.$ Тогда по свойству длин отрезков мы получаем

MB − MA = AB

Это равенство также не соответствует нашему равенству $MA + MB = AB.$ Следовательно, точка $M$ не может лежать на прямой $AB$ вне отрезка $AB.$

$∙$ Пусть точка $M$ лежит на отрезке $AB.$

$ABM$

Тогда по свойству длин отрезков мы получаем, что

MA + MB = AB

Мы получили в точности то равенство, которое и имели. Учитывая, что мы взяли точку $M$ в произвольном месте на отрезке $AB,$ получаем, что наше равенство задает множество точек $M,$ «путешествующих» по отрезку $AB$ (естественно, точка $M$ может совпасть с любой из точек $A$ или $B$ ).

Иными словами, это значит, что уравнение

∘x2-+-(y−-12)2 +∘ (x−-a)2+-y2-= ∘a2+-144

задает множество точек $M (x;y)$ отрезка $AB,$ где $A(0;12),$ $B(a;0).$

Задача из сборника Шестакова по параметрам

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{x2 +(y− 4)2 = 16 ∘x2-+-(y−-12)2+ ∘ (x−-a)2-+y2-=√a2-+-144

имеет единственное решение.

Решение. Первое равенство задает окружность с центром в точке $O(0;4)$ и радиусом $R = 4$ .

Рассмотрим второе уравнение. Пусть имеются точки $A(0;12)$ , $B(a;0)$ , $M (x;y)$ . Тогда второе уравнение имеет вид $AM +MB = AB$ , следовательно, оно задает множество точек $M$ , находящихся на отрезке $AB$ . Заметим, что конец $B$ отрезка движется по оси абсцисс при изменении значений параметра $a$ .

Следовательно, необходимо, чтобы отрезок имел одну точку пересечения с окружностью. Так как окружность симметрична относительно оси ординат, а точка $A$ лежит на оси ординат, то положения $AB1$ и $AB2$ отрезка, когда он касается окружности, симметричны относительно оси ординат. Тогда если положению $AB1$ соответствует $a= a1$ , то положению $AB2$ соответствует $a = −a1$ . Рассмотрим только случай $a > 0$ .