№18. Задачи с параметром

Графика. Касание прямой и окружности

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №18. Задачи с параметром

Теоретическая справка

#567

Касание в общем виде

Пусть дана система $(R > 0)$

{ (x − x )2+ (y− y)2 = R2 0 0 ax + by +c = 0

и требуется записать условия, при которых система имеет единственное решение.

Это равносильно тому, что требуется записать условия, при которых прямая $l :$ $ax + by +c = 0$ касается окружности $C :$ $(x− x0)2+(y− y0)2 = R2$ с центром в точке $O(x0;y0)$ радиуса $R.$

Существует четыре способа.

$∙$ С помощью формулы расстояния от точки $O(x0;y0)$ до прямой $l :$ $ax +by+ c= 0 :$

ρ(O,l)= |ax√0+-by0+-c| a2+ b2

Этот способ основывается на определении касательной к окружности: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности.

$∙$ Геометрический способ, в котором нам понадобится тригонометрия, угловой коэффициент прямой (и знание о том, что он равен тангенсу угла наклона прямой), свойства прямоугольного треугольника и его высоты, проведенной к гипотенузе.

Этот способ основывается на том, что радиус, проведенный в точку касания окружности и касательной, перпендикулярен касательной.

$∙$ Через уравнение. Выразив $x$ или $y$ из уравнения прямой $ax +by+ c= 0$ и подставив в уравнение окружности $2 2 2 (x− x0) +(y− y0) = R ,$ мы получим уравнение, от которого требуется единственность решения.

$∙$ Через производную. Пусть мы знаем две вещи:

1) прямая касается верхней или нижней полуокружности;

2) прямая не является вертикальной, то есть можно выразить $y$ через $x.$

Тогда можно записать уравнение, задающее нужную полуокружность:

$pict$

Далее можно задать условия касания графика функции $y =f(x)$ и прямой $l,$ записанной в виде $yl =− 1(ax+ c), b$ в точке $K (x;y):$

{ f(′x)= yl(′x) f(x)= yl(x)

Задача на касание прямой и окружности, решаемая через формулы расстояния

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ 2 2 (x− 4) +(y− 4) = 9 y = |x− a|+ 1

имеет три различных решения.

Решение. Первое уравнение задает окружность с центром $O (4;4)$ и радиусом $R = 3.$ Второе уравнение задает уголок, вершина которого движется по прямой $y = 1$ (заметим, что эта прямая касается окружности). Причем при изменении $a$ от $− ∞$ до $+ ∞$ уголок движется слева направо. Три общие точки будут в следующих положениях:

касание в точке $K$ левой ветви уголка и окружности;
вершина уголка находится в точке $Q$ касания окружности и прямой $y = 1;$
касание в точке $P$ правой ветви уголка и окружности.

$110xyOKPQ$

Если прямая касается окружности, то условие на это можно задать с помощью формулы расстояния от точки до прямой: в случае окружности это расстояние должно быть равно радиусу окружности. Для центра окружности $(x0;y0)$ радиусом $R$ и прямой $l,$ задаваемой уравнением $Ax + By +C = 0,$ получим

ρ(O,l)= |Ax0√-+B2y0-+2-C|= R A + B

Следовательно, так как левая ветвь уголка задается уравнением $yleft = −x + a+ 1,$ то есть $yleft+ x− a− 1= 0,$ правая ветвь уголка задается уравнением $yright =x − a+ 1,$ то есть $yright− x+ a− 1= 0,$ то получаем

$pict$

Для точки $K$ нужно выбрать меньшее значение параметра (так как существует еще одно положение, когда левая ветвь касается окружности, и оно правее нужного нам положения), для точки $P$ — большее значение параметра (по аналогичным причинам). Вершина уголка находится в точке $Q(4;1),$ если $a = 4.$

Ответ: $a∈ {7− 3√2; 4; 1+ 3√2}$

Задача на касание прямой и окружности, решаемая через геометрию

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{x4 + y2 = a2 x2+ y = |a+ 1|

имеет ровно четыре решения.

Решение. Пусть $x2 =t,$ тогда $t< 0$ не дает решений $x,$ $t= 0$ дает одно решение $x= 0,$ $t> 0$ дает два различных решения $x.$ Система примет вид

{t2+ y2 = a2 t+ y =|a+ 1|

Первое уравнение задает либо точку, либо окружность. Случай с точкой не подходит, потому как тогда система максимум может иметь одно решение (одно решение, если точка удовлетворяет второму уравнению, и не имеет решений в противном случае).

Тогда нужно рассмотреть только случай, когда первое уравнение задает окружность с радиусом $R = |a|,$ $a⁄= 0,$ а второе — прямую, задаваемую уравнением $y =− t+ |a+ 1|.$ Окружность и прямая могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения. Следовательно, чтобы после обратной замены мы получили четыре решения, необходимо, чтобы прямая имела с окружностью две точки пересечения, абсциссы $t$ которых положительны.

Нам подходят все прямые между $AB$ и $CD.$ Обозначим такие прямые как $MN.$

$tyABCDMNEF$

Выше прямой $AB :$ $|a+ 1|= EM > EA = R = |a|.$

Действительно, прямая $l :$ $y = −t+ |a+ 1|$ пересекает ось ординат в точке $(0;|a+ 1|),$ то есть для произвольной прямой $MN$ отрезок $EM = |a+ 1|.$ Заметим также, что прямая $AB$ проходит через точки пересечения окружности с положительными полуосями координат, то есть $EA = R = |a|.$ Так как прямая $MN$ находится выше прямой $AB,$ то $EM > EA.$ Отсюда $|a+ 1|> |a|.$

Ниже прямой $CD :$ $√- √ - √ - √- |a+ 1|=EM < EC = CD : 2= 2EF : 2= R 2= |a|2.$

Действительно, как мы уже сказали выше, $EM = |a+ 1|.$ Рассмотрим $△ ECD.$ Он прямоугольный и равнобедренный, следовательно, $√- CD = EC 2.$ Отрезок $EF$ — радиус окружности, проведенный в точку касания $F,$ то есть высота треугольника $ECD,$ проведенная к гипотенузе. Следовательно, она является и медианой. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, отсюда $CD = 2EF.$ Но $EF$ — радиус, следовательно, $EF = R = |a|.$ Так как прямая $MN$ находится ниже прямой $CD,$ то $EM <EC.$ Отсюда $√ - |a+ 1|<|a| 2.$

Следовательно,

$pict$

Ответ: $( √ ) ( √ - ) a∈ −0,5;1− 2 ∪ 1+ 2;+ ∞ .$

Задача на касание прямой и окружности, решаемая через уравнение

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( { x2+ y2− 2a(x +2y)= 5 − 5a2 ( y+ 1x = 0 2

имеет единственное решение.

Решение. Преобразуем первое уравнение:

2 2 2 2x +2y − 2a(x+ 2y) =2 5− 5a2 x +y − 2ax− 4ay+ a + 4a = 5 (x− a)2+ (y− 2a)2 = 5

Оно задает окружность с центром в точке $O(a;2a)$ и радиусом $√- 5.$ Второе уравнение системы задает прямую $y = −0,5x.$ Система будет иметь единственное решение в том случае, если прямая и окружность касаются друг друга. Выразим $x$ из уравнения прямой, получим $x= −2y,$ и подставим в исходное уравнение окружности. Получим уравнение

(−2y)2+ y2− 2a(− 2y + 2y) =5 − 5a2 2 2 y = 1− a

Это уравнение должно иметь единственное решение, что выполняется, если правая часть равна нулю:

2 1 − a =0 ⇔ a= ±1

Ответ: $a∈ {−1;1}$

Замечание: для этого способа рисунок не обязателен.

Задача на касание прямой и окружности, решаемая через производную

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{x2+ (y− a)2 = 4 y =ax − 2a

имеет единственное решение.

Решение. Первое уравнение системы задает окружность с центром в точке $(0;a)$ радиуса $R = 2.$ Второе уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(2;0).$

Прямая может касаться как верхней, так и нижней полуокружностей. Определим те $a,$ при которых прямая $y = ax− 2a$ касается каждой из этих частей, через производную.