№4,5. Теория вероятностей

Цепочки событий

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №4,5. Теория вероятностей

Теоретическая справка

#587

1. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Ответ. 0,55

Решение 1.

Изобразим все возможные последовательности событий с помощью дерева.

$пн++−−0000001234ре,3,7,8,2,3,7ипсртирселтряенлняыннйый$

Всего возможны четыре элементарных исхода:

1.: Джон схватил пристрелянный револьвер и попал;
2.: Джон схватил пристрелянный револьвер и не попал;
3.: Джон схватил непристрелянный револьвер и попал;
4.: Джон схватил непристрелянный револьвер и не попал.

Нам нужно найти вероятность события, что Джон промахнется, оно содержит элементарные исходы 2 и 4. Из 10 револьверов 3 пристрелянные, значит, Джон схватит пристрелянный с вероятностью 0,3, а непристрелянный с вероятностью 0,7.

Найдем вероятность исхода 2. Она равна произведению вероятностей на всех стрелках на пути к исходу 2, то есть

P (2)= 0,3⋅0,2 =0,06.

По аналогичным соображениям вероятность исхода 4 равна

P (4)= 0,7⋅0,7 =0,49.

Тогда вероятность события, что Джон промахнется, равна сумме вероятностей элементарных исходов, составляющих это событие:

P(−)= P (2)+ P(4)= 0,06 +0,49= 0,55.

Решение 2 через теорему об умножении вероятностей.

Теорема об умножении вероятностей

Преобразовав формулу условной вероятности для событий $A$ и $B,$ где $P (B )⁄= 0,$ получим

P (A ∩ B)= P(B )⋅P(A|B ).

Обозначим через $A$ событие «Джон схватил пристрелянный пистолет», через $-- A$ — «Джон схватил непристрелянный пистолет», через $B$ — «Джон попал», через $-- B$ — Джон не попал.

В первом решении мы объяснили, что $P (A )= 0,3,$ $(-) P A = 0,7.$ Нам нужно найти вероятность события $-- B,$ его можно представить как объединение несовместных событий $(-- ) (-- -) B ∩ A ∪ B∩ A ,$ ведь когда Джон промахнулся, он стрелял либо из пристрелянного, либо из непристрелянного револьвера, других вариантов нет.

Найдем вероятность события $-- B ∩ A,$ учитывая, что по условию вероятность $P (B|A),$ то есть промаха из пристрелянного, равна $1 − 0,8= 0,2.$

(-- ) (-- ) P B∩ A =P (A )⋅P B |A = 0,3⋅0,2 = 0,06.

Найдем вероятность события $-- -- B ∩ A,$ учитывая, что по условию вероятность $(---) P B|A ,$ то есть промаха из непристрелянного, равна $1− 0,3 = 0,7.$

(-- -) (-) (---) P B ∩ A = P A ⋅P B |A = 0,7⋅0,7= 0,49.

Суммируя полученные вероятности, получаем, что Джон промахнется с вероятностью

(-) P B =0,06+ 0,49= 0,55.

2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Ответ. 0,019

Решение. Нарисуем дерево, как в предыдущей задаче.

$фф++−−0000001234аа,4,5,9,0,9,0бб557391ррииккаа 12$

Нас интересуют исходы 2 и 4, когда стекло бракованное. Мы уже знаем, что вдоль цепочки событий вероятности можно умножать.

Вероятность исхода 2 равна

P(2) = 0,45⋅0,03 =0,0135.

Вероятность исхода 4 равна

P(4) = 0,55⋅0,01 =0,0055.

Тогда вероятность того, что случайно купленное стекло — бракованное, равна сумме вероятностей исходов 2 и 4:

P (2∪4)= P (2)+ P(4)= 0,0135+ 0,0055= 0,019.

3. В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры?

Ответ. 0,22

Решение. Из всех возможных элементарных исходов нам подходят два:

сначала взяли красный $(r)$ , затем синий $(b) :$ $(r;b);$
сначала взяли синий $(b),$ затем красный $(r) :$ $(b;r).$

Всего фломастеров 25. Вероятность первым взять красный равна $6- 25,$ так как мы выбираем фломастеры равновероятно. Вероятность взять синий при условии, что один красный уже взят, равна $11 24,$ потому что из оставшихся 24 фломастеров ровно 11 синих. Тогда вероятность цепочки равна

-6 11 P(r;b)= 25 ⋅24 = 0,11.

Вероятность первым взять синий равна $11 25.$ Вероятность взять красный при условии, что один синий уже взят, равна $-6, 24$ потому что из оставшихся 24 фломастеров 6 красных. Тогда вероятность цепочки

P(b;r)= 11 ⋅ 6-= 0,11. 25 24

Складывая вероятности этих элементарных исходов, получаем вероятность 0,22 того, что синий и красный фломастеры взяты в произвольном порядке.

Предыдущая справка

Следующая справка