Определение уравнения и его свойства

Определение

Уравнение (с одной переменной) — это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную).

Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой При этом — просто некоторое число, значение которого неизвестно.

Определение

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида (1) будем называть множество значений переменной при которых определены (то есть не теряют смысла) функции и

Пример

Уравнение определено при всех значениях переменной кроме потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения

Определение

Корнем уравнения называется то числовое значение при котором уравнение обращается в верное равенство. Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения, а фраза «решить уравнение» означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число потому как тогда уравнение принимает вид или, что то же самое, что является верным равенством.

Замечание

Отметим, что уравнение может как иметь корни, так и не иметь корней. Например, равенство ни при каких значениях не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла и не обращается в ноль. А у нашей дроби числитель

Определение

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения. Например, уравнения и эквивалентны, так как оба имеют единственное решение Эквивалентность уравнений обозначается так:

Свойства уравнений

1.

В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному. Например, уравнение можно переписать в виде

2.

В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному. Например, уравнение равносильно уравнению которое получено из исходного путем умножения обеих частей на 2.

3.

В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному. Например, уравнение после прибавления к обеим частям 2 примет вид