№6. Простейшие уравнения

Квадратные уравнения

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №6. Простейшие уравнения

Теоретическая справка

#753

Квадратное уравнение — это уравнение, представимое в виде

ax2 + bx+ c = 0,

(1)

где $a,b,c ∈ ℝ,$ причем $a ⁄= 0.$ Число $a$ называется старшим (первым) коэффициентом, число $b$ — вторым коэффициентом, число $c$ — свободным членом.

Выражение $ax2 + bx+ c$ называется квадратным трехчленом.

Замечание

Если $a = 0,$ то уравнение (1) становится линейным, именно поэтому в определении $a ⁄= 0.$

ВАЖНО! Обращаем ваше внимание на то, что, например, в квадратном трехчлене $7− x2 + 2x$ коэффициенты равны $a = − 1,b = 2$ и $c = 7$ ! Это так, поскольку по определению $a$ — коэффициент перед $x2,b$ — коэффициент перед $x,c$ — свободный член.

Определение

Дискриминантом квадратного уравнения (1) называется выражение $D = b2 − 4ac.$

Корни квадратного уравнения

1.: Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля ( $D > 0$ ), то оно имеет два различных корня $− b− √D- − b +√D- x1 = ---2a--- и x2 = ---2a---$
2.: Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю ( $D = 0$ ), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) $b x = −2a$
3.: Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля ( $D < 0$ ), то оно не имеет корней.

Пример 1

Решите уравнение $6x2 − 21x+ 9 = 0.$

Решение:

Если вы заметили, что все три коэффициента $a,b$ и $c$ квадратного уравнения делятся на некоторое число, то первым действием лучше разделить обе части уравнения на это число. Это позволит упростить дальнейшие вычисления.

$6x2 − 21x + 9 = 0 | : 3 2 2x − 7x+ 3 = 0$

Теперь найдём дискриминант данного уравнения:

2 D = 7 − 4⋅2⋅3 = 49− 24 = 25 > 0

Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных

√-- √-- x1 = 7-+-25 = 12 = 3 и x2 = 7-−-25 = 2 = 0,5. 2⋅2 4 2⋅2 4

Пример 2

Решите уравнение $2x2 + 1 = (x + 1)2.$

Решение:

Сначала раскроем скобки и приведем уравнение к виду (??):

$2x2 + 1 = x2 +2x + 1 2 x − 2x = 0$

Такое квадратное уравнение можно решать без формулы корней:

$[ [ x ⋅(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 x− 2 = 0 x = 2$

Определение

Если в квадратном уравнении $ax2 + bx + c = 0$ хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.