№10. Текстовые задачи

Задачи на движение по окружности

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №10. Текстовые задачи

Теоретическая справка

#898

Основные принципы

1.

Верна та же формула: $S = v ⋅t.$

2.

Направление движения по окружности может быть по часовой стрелке и против часовой стрелки.

3.

Самое основное в задачах на движение по окружности — это рассмотреть момент, когда тела находятся в одной точке, встретились, одно тело догнало другое тело, поравнялись. Все эти формулировки говорят об одной и той же ситуации: тела находятся в одной точке на окружности.

4.

Пусть два тела со скоростями $v1 > v2$ начали движение из одной точки в одном направлении.

Этот момент будем считать нулевым разом, когда они находятся в одной точке.

Если $l$ — длина круга, $t1$ — время, через которое они окажутся в одной точке в первый раз, то справедливо равенство (см.рис).

$vv12l = (v1 − v2)⋅t1$

То есть за время $t1$ первое тело пройдет расстояние, на $l$ (ед.) большее (то есть на один круг), чем второе тело. Если $tn$ — время, через которое они в $n$ -ый раз окажутся в одной точке, то $tn = n ⋅t1.$ Значит, через время $tn$ после начала движения первый пройдет на $n$ кругов больше, чем второй, то есть пройденное им расстояние на $n⋅l$ (ед.) больше.

5.

Пусть два тела начали движение со скоростями $v1 > v2$ из разных точек в одном направлении. Чтобы свести задачу к предыдущему виду, нужно найти сначала время $t0,$ через которое первый догонит второго (это будет тот самый нулевой раз, когда они оказались в одной точке), после чего можно рассуждать, как в предыдущем пункте.

Если на момент начала движения расстояние между ними равно длине дуги $⌣ A1A2= s,$ то верно равенство (см.рис).

$sAvvA2211s = (v1 − v2)⋅t0$

Примеры решения задач

Пример 1

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Заполним следующую таблицу:

|------------------|---------------|--------|---------------| |------------------|Скорость, км/-ч|Время, ч|Р-асстояние, км-| |Первый-автомобиль-|---------------|--------|---------------| -Второй-автом-обиль-------------------------------------------

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Заметим, что второй столбец таблицы заполняется в часах, поэтому 40 минут нужно перевести в часы, получим $2 3$ часа. Расстояние найдем по формуле $S = v⋅t.$

|------------------|---------------|--------|---------------| |------------------|Скорость, км/-ч|Время, ч|Р-асстояние, км-| |Первый автомобиль | 80 | 2 | 80⋅ 2 | |------------------|---------------|---3----|--------3------| | | | 2 | 2 | |Второй автом обиль | x | 3 | x ⋅3 | -------------------------------------------------------------

Теперь осталось заметить, что фраза «первый автомобиль опережал второй автомобиль на один круг» означает, что расстояние, пройденное первым автомобилем, больше расстояния, пройденного вторым автомобилем, ровно на один круг, то есть на 14 км. Получаем уравнение:

2 2 80⋅3 − x⋅ 3 = 14 2 (80 − x)⋅3 = 14 80− x = 21 x = 59

Тогда скорость второго автомобиля равна 59 км/ч.

Пример 2

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он ещё не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

К моменту, когда мотоциклист первый раз догнал велосипедиста он проехал за 10 минут расстояние, на которое велосипедист потратил 40 минут. Следовательно, скорость велосипедиста в 4 раза меньше скорости мотоциклиста. Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч, тогда скорость мотоциклиста будет равна $4x$ км/ч. Теперь будем рассматривать задачу начиная с момента их первой встречи. Заполним таблицу, учитывая, что $30мин = 1ч аса. 2$

|-------------|---------------|---------|--------------| |-------------|С-корость,-км/ч-|Время,-ч-|Расстояни-е,-км-| | | | 1 | 1 | |В елоси педи ст | x | 2 | 2 ⋅x | |-------------|---------------|---------|--------------| |М отоциклист | 4x | 1 | 1 ⋅4x | ----------------------------------2----------2---------|

Так как за 30 минут мотоциклист обогнал велосипедиста на один круг, расстояние, пройденное мотоциклистом за 30 минут, больше расстояния, пройденного велосипедистом за 30 минут, на один круг, то есть на 30 км. Получаем уравнение:

1 1 - ⋅4x− - ⋅x = 30 2 2 3⋅x = 30 2 x = 20

Следовательно, скорость велосипедиста равна 20 км/ч, тогда скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Предыдущая справка

Следующая справка