Рациональные уравнения

 

Определение

Рациональное уравнение — это уравнение, представимое в виде

где — многочлены. Выражение в левой части уравнения называется рациональным выражением.

ОДЗ (область допустимых значений) рационального уравнения — все значения при которых знаменатель НЕ обращается в ноль, то есть при которых

Например, уравнения

являются рациональными уравнениями.

ОДЗ первого уравнения — все такие что то есть

ОДЗ второго уравнения — все такие что то есть

В третьем уравнении никаких ограничений на нет, то есть ОДЗ это

 

Утверждение 1

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Следовательно, уравнение равносильно системе

 

Утверждение 2

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе

Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1

Решите уравнение

Решение:

Приведем уравнение к виду для этого перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем их к общему знаменателю:

По утверждению 2 получаем систему:

 

Пример 2

Решите уравнение

Решение:

Приведем уравнение к виду для этого перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем их к общему знаменателю:

По утверждению 2 получаем систему:

 

Пример 3

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ данного уравнения. Видим, что единственное значение при котором уравнение не имеет смысла — это Значит, ОДЗ можно записать так: Тогда по утверждению 1 уравнение равносильно системе:

Действительно, несмотря на то, что — корень второго множителя, если подставить в изначальное уравнение, то оно не будет иметь смысла, так как не определено выражение Таким образом, решением данного уравнения являются

 

Пример 4

Решите уравнение

Решение:

Приведем уравнение к виду для этого перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем их к общему знаменателю:

По утверждению 2 получаем систему:

Тогда решением системы является