№6. Простейшие уравнения

Иррациональные уравнения

Запоминайте формулы по каждой теме

Осваивайте новые концепции ежедневно

Вдумывайтесь в теоретические материалы

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела: №6. Простейшие уравнения

Теоретическая справка

#915

Иррациональное уравнение — уравнение, содержащее переменную $x$ под знаком корня любой степени.

Рассмотрим некоторые типы иррациональных уравнений.

Уравнение вида $∘ ---- f(x) = a$

Определение

Квадратный корень из неотрицательного числа $b$ — это такое неотрицательное число $a,$ квадрат которого равен $b,$ то есть $2 b = a.$

ВАЖНО!

1.: $∘ ---- f(x)$ имеет смысл, только если $f(x) ≥ 0.$
2.: $∘ ---- f(x) ≥ 0$ при любом $x$ из области определения.

Рассмотрим уравнение вида

∘ ---- f(x) = a

Возможны всего 2 случая:

1.: Eсли $a < 0,$ то у уравнения нет корней, так как $∘f-(x)$ не может равняться отрицательному числу ни при каком $x.$
2.: Если $a ≥ 0,$ то можем обе части уравнения возвести в квадрат и получить уравнение $f(x ) = a2$

Замечание

Ограничение $f(x) ≥ 0$ в таком уравнении учитывать не нужно, так как $f(x) = a2 ≥ 0.$

Пример 1

Решите уравнение $∘ ------- 13−-2x- 3- 10 = − 10.$

Решение:

Так как $− -3 < 0, 10$ то у данного уравнения нет корней.

Пример 2

Решите уравнение $∘ ------ x+ 23 5 --6---= √3-.$

Решение:

Так как $√5-> 0, 3$ то возведем обе части уравнения в квадрат:

$( ) x-+-23 -5- 2 6 = √3- x+-23-= 25 6 3 x+-23- 50 6 = 6 x+ 23 = 50 x = 27$

Уравнение вида $∘ ---- f(x) = g(x)$

Рассмотрим уравнение вида

∘f-(x) = g(x)

Вспомним, что значение квадратного корня неотрицательно, тогда если $g(x) < 0,$ то уравнение не будет иметь корней. Значит только при условии $g(x) ≥ 0$ уравнение может иметь решения.

При условии $g(x) ≥ 0$ получаем, что и левая и правая части уравнения неотрицательны, тогда возведение обеих частей в квадрат будет равносильным переходом.

Утверждение

Уравнение вида $∘ ---- f(x ) = g(x)$ равносильно системе:

|-----------------------------------| | ∘ ---- {g(x) ≥ 0 | | f(x) = g(x) ⇔ 2 | ----------------------f(x) =-g-(x)--|

ВАЖНО! Ограничение $f(x) ≥ 0$ учитывать не нужно, потому что оно автоматически выполняется в данной системе, так как $f(x) = g2(x),$ а $g2(x) ≥ 0$ при любом $x.$ А вот условие $g(x) ≥ 0$ является необходимым.

Пример 3

Решите уравнение $√------- x + 3,25 = − 1,5x.$

Решение:

Воспользовавшись утверждением, получаем систему

$pict$

Уравнение вида $∘ ---- 3f(x) = g(x)$

Определение

Кубический корень из числа $a$ — это такое число $b,$ куб которого равен $a,$ то есть $a = b3.$

ВАЖНО! Обратите внимание, что здесь, в отличие от квадратного корня, нет ограничений на $a$ и $b$ и они могут быть отрицательными.

Рассмотрим уравнение $∘ ---- 3 f(x) = g(x).$

Из того, что функция $y = x3$ строго монотонна, следует, что обе части уравнения можно возводить в третью степень, то есть

f(x) = g(x) ⇔ f3(x) = g3(x).

Тогда

|∘-----------------------------| --3f(x) =-g(x)-⇔----f(x-) =-g3(x-)

Пример 4

Решите уравнение $√------ 3x2 + 3 = 2.$

Решение:

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$x2 + 3 = 23 x2 = 5 √ - x = ± 5$

Замечание

Алгоритм решения иррациональных уравнений четных степеней такой же, как и для уравнений второй степени, а для уравнений нечетных степеней — такой же, как и для уравнений третьей степени. Например, уравнение $√ ------ 4x4 + x = x$ решается так:

$∘ ------ { 4 4 { 4 x4 + x = x ⇔ x + x = x ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 x ≥ 0 x ≥ 0$

При этом уравнение $7√x3-+3-= 2$ решается так:

∘ ------ 7 x3 + 3 = 2 ⇔ x3 + 3 = 27 ⇔ x3 = 128− 3 = 125 ⇔ x = 5.

Предыдущая справка

Следующая справка