Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Логарифмические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Тема 13. Решение уравнений

13.10 Логарифмические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#18462

a) Решите уравнение $2 36log18 x + 4log14 x − 5 = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,5;5].$

Показать ответ и решение

( ) ( ) 2 2 1 2 1 36log18 x + 4log14 x − 5 = 0 ⇔ 36log2−3 x + 4log2−2 x − 5 = 0 ⇔ 36 −3 log2x + 4 − 2 log2x − 5 = 0

Пусть $t = log2x$ , тогда, сделав замену, получим

⌊ √-- ( 1 )2 ( 1 ) t2 2 t = 1+-421 36 − 3 log2x + 4 − 2 log2x − 5 = 0 ⇔ 36⋅ 9-− 2t− 5 = 0 ⇔ 4t − 2t− 5 = 0 ⇔ ⌈ 1−-√21 t = 4

Сделаем обратую замену:

⌊ √ -- ⌊ √-- ⌊ √-- t = 1+4-21 log2x = 1+421 x = 21+421 ⌈ 1−√21- ⇔ ⌈ 1−√21 ⇔ ⌈ 1−√21- t = 4 log2x = 4 x = 2 4

б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку $[0,5;5]$ . Заметим, что $0,5 = 2− 1$ , а $5 > 4 = 22$ . Тогда если $√-- − 1 ≤ 1+--21≤ 2 4$ , то корень $√-- x = 21+421$ принадлежит отрезку $[0,5;5]$ . Неравенство $√-- − 1 ≤ 1+-21 4$ выполнено, так как $1+√21 0 ≤ 4$ . Проверим неравенство $1+√21 4 ≤ 2$ :

√ -- √-- √ -- √ -- √ -- 1+---21 6 1+--21- 21 < 25 = 5 ⇒ 1+ 21 < 1 +5 = 6 ⇒ 4 < 4 = 1,5 < 2 ⇒ 4 ≤ 2

Следовательно, $√-- 21+421∈ [0,5;5]$ .

Если $− 1 ≤ 1−√21≤ 2 4$ , то корень $-- x = 21−√421-$ принадлежит отрезку $[0,5;5]$ . Неравенство $1−√21-≤ 2 4$ выполнено, так как $1−√21 4 ≤ 0$ . Проверим неравенство $1−√21 − 1 ≤ 4$ :

√ -- √ -- √21-< √25-= 5 ⇒ − 5 < − √21 ⇒ 1− 5 < 1− √21- ⇒ − 4 < 1−---21= − 1 < 1−---21- 4 4 4

Следовательно, $√-- 21−421∈ [0,5;5]$ .

Ответ:

a) $1+√21 1−√21- 2 4 ; 2 4$

б) $√-- √-- 2 1+421; 2 1−421$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#18553

а) Решите уравнение $16log29x +4 log1x − 3 = 0. 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,5;5].$

Показать ответ и решение

a) Найдем ОДЗ: $x >0.$

$pict$

Пусть $t= log3x,$ тогда, сделав замену, получим

$pict$

Сделаем обратую замену:

$pict$

б) Проверим принадлежит ли каждый из корней отрезку $[0,5;5].$ Сравним $√ - 3 3$ и 5:

$pict$

Получаем $√ - 3 3> 5,$ следовательно, корень $√- 3 3$ вне указанного промежутка. Далее сравним $√3 3-$ и $1 2 :$

$pict$

Далее, если $√- -33 <5,$ то это число будет в промежутке. Заметим, что $√- 3 <2,$ тогда $√- 33< 23 < 5.$ Тогда корень $√ - -33$ входит в указанный промежуток.

Ответ:

а) $√- 33;$ $√- 3 3$

б) $√- -33$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2437

а) Решите уравнение $log2x2 − 16log (2x)+ 31= 0. 2 2$

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[3;6].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ уравнения: $x2 > 0$ и $2x > 0,$ то есть $x> 0.$

По свойствам логарифма имеем:

log2(2x) = 1+ log2x log22(x2)= (log2x2)2 = (2log2|x|)2

Последнее выражение равно $4(log2x)2,$ так как $x> 0.$ Следовательно, после замены $log2x = t$ уравнение примет вид

4t2− 16(1 +t)+ 31= 0 ⇔ 4t2− 16t+ 15= 0 2 2 4t− 16t+ 16= 1 ⇔ 4(t− 2) = 1

Отсюда получаем

⌊ t= 5 t− 2 = ±1 ⇒ ||⌈ 2 2 t= 3 2

Сделаем обратную замену:

⌊ 5 ⌊ 5 1 √- |log2x = 2 x= 22 = 22+2 = 4 2 |⌈ 3 ⇔ ⌈ 3 √ - log2x = 2 x= 22 = 2 2

Заметим, что оба корня подходят по ОДЗ.

б) Оценим число $√2-$ и получившиеся корни:

√ - √- √- 1,4 < 2< 1,5 ⇒ 5,6< 4 2 <6, 2 2 <3

Следовательно, в отрезок $[3;6]$ входит только корень $x= 4√2.$

Ответ:

а) $2√2;4√2$

б) $4√2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#21451

a) Решите уравнение $3 2 logx 10 − logx10− 6logx10 = 0.$

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $[0;2].$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $t= logx10.$ Тогда получим

⌊ |t= 0 t3 − t2− 6t= 0 ⇔ t(t− 3)(t+ 2)= 0 ⇔ ||t= 3 ⌈ t= −2

Вернемся к исходной переменной, учитывая ОДЗ логарифма:

( ⌊ 0 ⌊ ||||| |x = 10 logx 10= 0 |||| ||⌈x3 = 10 |||log 10= 3 ⇔ { x−2 = 10 ⌈ x ||| logx 10= −2 ||||| x> 0 |( x⁄= 1 (⌊ √-- ||| x = 310 |||{⌈ √ --- ⌊ 3√-- x = ± 0,1 ⇒ ⌈x = √10- ||||x > 0 x = 0,1 ||(x ⁄= 1

б) Проверим, принадлежат ли полученные корни отрезку $[0;2].$ Заметим, что

13 3√-- 13 2= 8 , 10= 10

Тогда имеем:

1 1 √ -- 83 < 103 ⇒ 2< 310

Значит, $3√-- 10∈∕[0;2].$

Рассмотрим второй корень. Тогда имеем:

∘ --- 0< 0,1< 1 <2

Значит, $√--- 0,1 ∈[0;2].$

Ответ:

а) ${3√-- √---} 10; 0,1$

б) $√ --- 0,1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40111

а) Решите уравнение $(lgx)2− 6lgx= lgx2+ 9.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения:

( {x > 0 ( 2 ⇔ x > 0 x > 0

Нв ОДЗ с помощью замены $lgx =t$ уравнение принимает вид

2 2 t − 8t= 9 ⇔ (t− 4) = 25 ⇔ t= 4± 5 ⇔ t= −1;9

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌈ lgx = −1 ⇔ x = 1-;109 lgx = 9 10

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) Отрезку $[0;1]$ принадлежит корень $1- x = 10.$

Ответ:

а) $x ∈ {0,1;109}$

б) $x ∈{0,1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40112

а) Решите уравнение

lg−1x+ 4lgx2+ 9= 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[10√0,1;√0,1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения

( {x > 0 ( 2 ⇔ x > 0 x > 0

Сделаем замену $t =lgx$ и на ОДЗ уравнение примет вид

2 1+ 8t+ 9= 0 ⇔ 8t-+-9t+1-= 0 ⇔ t= −1;− 1 t t 8

Сделаем обратную замену:

⌊ lgx = −1 |⌈ ⇔ x= -1;-8√1- lgx = − 18 10 10

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) Отрезку $[1√00,1;√0,1]$ удовлетворяет только корень $x= √80,-1.$

Ответ:

а) $x ∈ {8√0,1;0,1}$

б) $√8--- x ∈{ 0,1}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40114

а) Решите уравнение

log x = ---15---- 28 log21x6 − 1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log6 5;log5 6].$

Показать ответ и решение

а) Ограничение $x > 0$ (аргументы логарифмов положительны).

Преобразуем, сделав замену $t =log2x$ :

-------15------ log2x − log28= log2x− log216− 1 ⇒ -15- t2−-8t t− 3 = t− 5 ⇔ t− 5 = 0 ⇔ t= 0;8

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌈log2x = 0 log x = 8 ⇔ x =1;256 2

Оба корня удовлетворяют ограничению.

б) Отрезку $[log65;log56]$ удовлетворяет корень $x= 1$ , так как $log65< 1$ , а $1 <log56< 2.$

Ответ:

а) $x ∈ {1;256}$

б) $x ∈{1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40115

а) Решите уравнение

log√-2 +8 log x2+ 9= 0 x 16

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[e−2;e−1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ||√x > 0 ( |{√ - { x> 0 || x⁄= 1 ⇔ ( x⁄= 1 |(x2 > 0

Преобразуем на ОДЗ:

2log 2 +8 ⋅ 2log x + 9= 0 ⇔ --2--+ 4log x + 9= 0 x 4 2 log2 x 2

Сделаем замену $t =log2x$ :

2 4t2+ 9t+2 1 t + 4t+ 9= 0 ⇔ -----t----= 0 ⇔ t= −2;− 4

Сделаем обратную замену:

⌊ log x = −2 |⌈ 2 ⇔ x= 1;√1- log2x = − 14 4 42

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) На отрезке $[−2 −1] e ;e$ лежит $1 x= 4$ , так как $−2 −2 −2 1 −1 e < 2,5 < 2 = 4 < e$ , а $1 1 −1 4√2-> e = e .$

Ответ:

а) ${ } x ∈ 1;√1- 4 42$

б) ${ } x ∈ 1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#40116

а) Решите уравнение

3+ 2log 3 = 2log (x− 1) x−1 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[√- ] -3;√4- . 4 3$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( ( {x − 1 > 0 {x > 1 ( ⇔ ( x − 1 ⁄= 1 x ⁄= 2

Сделаем замену $t =log3(x − 1)$ , тогда уравнение примет вид

2 3+ 2 =2t ⇔ 2t-−-3t−-2= 0 ⇔ t= − 1;2 t t 2

Сделаем обратную замену:

⌊ log3(x− 1)= − 12 |⌈ ⇔ x= 1 + 1√-;10 log3(x− 1)= 2 3

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) На отрезок $[√ - ] --3; 4√- 4 3$ попадает корень $x= 1+ √1- 3$ , так как

√- -3- -1- √ - -1- -4- 4 < 1< 1+ √3 < 3+ √3 = √3-

Ответ:

а) ${ } x ∈ 1+ √1-;10 3$

б) ${ } x ∈ 1+ √1- 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40117

а) Решите уравнение

log2x − 5 log x+ 87= (∘81-−-x2)2+ x2 3 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[10;30].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( { x> 0 ( 2 ⇔ 0< x ≤9 81− x ≥ 0

На ОДЗ уравнение преобразуется в

2 2 2 2 log3x − 5 log3x+ 87= 81− x + x ⇔ log3x − 5log3x +6 = 0

Сделаем замену: $t= log3x$

t2− 5t+ 6= 0 ⇔ t= 2;3

Сделаем обратную замену:

⌊log x= 2 ⌈ 3 ⇔ x= 9;27 log3x= 3

Корень $x = 27$ не подходит под ОДЗ.

б) Корень $x= 9$ не лежит в отрезке $[10;30].$

Ответ:

а) $x ∈ {9}$

б) $x ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40118

а) Решите уравнение

log2x − 5 log x+ 31= (∘25-−-x2)2+ x2 2 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0;4tg1].$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( { x> 0 ( 2 ⇔ 0< x ≤5 25− x ≥ 0

На ОДЗ уравнение преобразуется в

2 2 2 2 log2x − 5 log2x+ 31= 25− x + x ⇔ log2x − 5log2x +6 = 0

Сделаем замену: $t= log2x$

t2− 5t+ 6= 0 ⇔ t= 2;3

Сделаем обратную замену:

⌊ log x = 2 ⌈ 2 ⇔ x= 4;8 log2x = 3

Корень $x = 8$ не подходит под ОДЗ.

б) Корень $x= 4$ лежит в отрезке $[0;4tg1],$ так как $tg 1> tg π-= 1. 4$

Ответ:

а) $x ∈ {4}$

б) $x ∈{4}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40221

а) Решите уравнение

log2 4x+ log x2= 8 0,5 2 8

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1- 1-] 256;64 .$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ:

( |{ 4x> 0 2 ⇔ x> 0 |( x- > 0 8

Преобразуем уравнение на ОДЗ:

(− (log24+ log2 x))2+ 2log2x − log28= 8 ⇔ 2 (log2x+ 2) + 2log2x− 11= 0

Сделаем замену $t =log2x$ :

t2+6t− 7 =0 ⇔ t= −7;1

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊x = 1-- ⌈log2x = −7 ⇔ |⌈ 128 log2x = 1 x =2

Оба корня подходят под ОДЗ.

б) На отрезке $[-1- 1-] 256;64$ лежит корень $-1- x = 128.$

Ответ:

а) ${ } x ∈ -1-;2 128$

б) ${ } x ∈ -1- 128$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#40223

а) Решите уравнение $∘log-x+ 1= log x− ∘log--x. 2 2 16$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 1 ] 16;16 .$

Показать ответ и решение

а) Выпишем ограничения логарифмов: $x > 0.$

Так как $1 log16x = 4 log2x,$ то после замены $∘ ----- t= log2x$ имеем:

2 1 2 1 t+ 1= t − 2t ⇔ 2t − 3t− 2 = 0 ⇔ t= −2;2

Сделаем обратную замену:

⌊ ∘----- 1 ⌈ log2x= − 2 ∘log-x= 2 ⇔ log2x= 4 ⇔ x =16 2

Полученное значение переменной удовлетворяет ограничениям.

б) Корень $x= 16$ лежит в отрезке $[ 1 ] 16;16 .$

Ответ:

а) $x ∈ {16}$

б) $x ∈{16}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#42156

а) Решите уравнение $log2(4x2)+3 log (8x)= 1. 2 0,5$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,15;1,5].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: $x >0.$ Решим на ОДЗ.

(log 4+ 2log x)2− 3(log 8+ log x) = 1 2 2 2 2

Сделаем замену $t =log x. 2$ Тогда

(2t+ 2)2− 3(t+ 3)− 1= 0 ⇔ 2 4t+ 5t− 6= 0 ⇔ 3 t= −2;4 ⇒ ⌊ log x= − 2 || 2 ⇔ ⌈ log x= 3 2 4 ⌊ x= 1 |⌈ 4 x= 4√8

Оба корня принадлежат ОДЗ.

б) Поскольку $1 0,15< 4 < 1,5,$ то первый корень принадлежит отрезку $[0,15;1,5].$ Сравним второй корень с правым концом этого отрезка:

4√8∨ 3 2 8∨ 81 16 8⋅16> 81

Тогда второй корень не принадлежит отрезку $[0,15;1,5].$

Ответ:

а) $0,25; 4√8$

б) $0,25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#72968

Решите уравнение

log9(x +1)− log9(1− x)= log9(2x+ 3).

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| x+ 1> 0 { 1− x> 0 |( 2x+ 3> 0

( |{x > −1 |(x < 1 x > −1,5

Итоговая ОДЗ: $x∈ (−1;1)$

Так как в ОДЗ мы определили, что $x= 1$ не входит в область допустимых значений, т.к $x$ строго меньше 1, то мы можем преобразовать левую часть уравнения, не боясь потерять корни:

log9 x+-1= log9(2x+ 3), 1− x

x-+1- 1 − x = 2x+ 3,

x-+-1+-(2x-+3)(x−-1)= 0, 1 − x

2 x-+1-+-2x--+3x-− 2x-− 3 = 0. 1 − x

С учетом, что $x⁄= 1,$ знаменатель можно отбросить:

2x2 +2x − 2 = 0,

x2 +x − 1 = 0.

Посчитаем дискриминант: $D = 1+ 4= 5,$ $√ -- √ - D = 5,$
$√- x1 = −1+--5-, 2$
$−1− √5 x2 = ---2---.$

Для определения принадлежности корней к ОДЗ сравним:

1.

$x1$ и $1:$

−1 + √5 ---2--- ∨1,

√- −1 + 5∨ 2,

√ - 5∨ 3,

$5< 9,$ откуда $0< −1+√5 < 1, 2$ следовательно, $x 1$ входит в ОДЗ и является корнем нашего уравнения.

2.

$x2$ и $− 1:$

√- −-1−--5 ∨− 1, 2

− 1− √5 ∨− 2,

√ - − 5∨ −1,

$− √5 < −√1,$ откуда $−1−√5 < −1, 2$ следовательно, $x 2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

Ответ:

$√- -5-− 1 x = 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#72969

Решите уравнение

1 3 lg(5− x)− 3 lg(35− x) =0.

Показать ответ и решение

Внесем $13$ внутрь логарифма и перенесем второй логарифм в правую часть:

lg(5− x)= lg(35− x3)13,

3∘ -----3-- lg(5− x)= lg (35 − x ),

3∘ -----3-- 5 − x = (35− x ),

3 3 (5 − x)= 35− x ,

2 3 3 125− 75x+ 15x − x = 35− x ,

2 15x − 75x+ 90= 0,

2 x − 5x+ 6= 0.

По теореме Виета корнями являются: $x1 =2$ и $x2 = 3.$

Так изначально мы не накладывали никаких условий, то необходимо провести проверку полученных корней:

1.

Подставим $x1 = 2$ в исходное уравнение:

lg(5− 2)− 1lg(35− 23) =0, 3

lg3− lg(35 − 8)13 = 0,

lg3 − lg3= 0.

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 2 1$ является корнем нашего уравнения.

2.

Подставим $x2 = 3$ в исходное уравнение:

1 3 lg(5− 3)− 3 lg(35− 3) =0,

13 lg 2− lg(35− 27) = 0,

lg2 − lg2= 0,

0= 0.

Получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 3 2$ является корнем нашего уравнения

Ответ:

$x = 2;x = 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72970

а) Решите уравнение

2 2 log3(x− 2)+ log3(x− 4) =0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[π;4,5].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

{x − 2 > 0 2 (x− 4) > 0

{ x> 2 x⁄= 4

Итоговая ОДЗ: $x∈ (2;4)∪ (4;+ ∞).$

Внесем 2 в степень логарифма и запишем сумму логарифмов, как логарифм от произведения подлогарифмических выражений:

2 2 log3(x− 2) +log3(x − 4) = 0,

log3((x− 2)2(x− 4)2)= log31,

(x− 2)2(x− 4)2 = 1,

(x − 2)2(x − 4)2− 1 =0.

Применим формулу разности квадратов:

((x − 2)(x− 4)− 1)((x− 2)(x− 4)+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 8− 1)(x2− 6x+ 8+ 1)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x2− 6x+ 9)= 0,

(x2− 6x+ 7)(x− 3)2 = 0.

Получаем два случая:
1) $x2 − 6x +7 = 0$ и 2) $(x− 3)2 = 0.$

Корнями первого уравнения являются числа $√ - x1 = 3+ 2$ и
$√ - x2 =3 − 2.$ Корнем второго уравнения является число $x3 = 3.$

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ.

$√ - x1 = 3+ 2> 4,$ так как $√- 2 >1,$ следовательно, $x1 ∈$ ОДЗ.

$x = 3− √2. 2$ Сравним $3 − √2$ и $2 :$

√- 3− 2 ∨2,

√ - − 2∨ −1,

√ - √ - − 2< − 1,

√- 3− 2< 2,

поэтому $x2$ не входит в ОДЗ и является посторонним корнем.

$x = 3 3$ очевидно входит в первый интервал, определяющий ОДЗ.

б) Отберем корни на промежутке $[π;4,5].$

Мы знаем, что $3 < π < 4,$ тогда $x3 = 3 < π,$ поэтому $x3 ∕∈ [π;4,5].$

Корень $x1 = 3+ √2> 4 >π$ , так как $√2> 1.$

Тогда сравним $x2$ и $4,5:$

3+ √2-∨4,5,

√2∨ 1,5,

2< 2,25,

поэтому $√ - 3+ 2< 4,5,$ следовательно, $√- 3+ 2 ∈[π;4,5].$

Ответ:

а) $√- x = 3;x = 3+ 2;$

б) $√ - x =3 + 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#72971

а) Решите уравнение

x x log3(9 + 9)= x+ log3 (28− 2⋅3 ).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− √2;√2].$

Показать ответ и решение

а) Воспоьзуемся формулами для логарифмов:

x x x log3(9 + 9)= log33 + log3(28− 2⋅3 ),

x x x log3(9 + 9)= log3(3 (28 − 2 ⋅3)),

2x x 2x 3 + 9= 28⋅3 − 2⋅3 ,

2x x 3⋅3 − 28⋅3 + 9= 0.

Замена $t= 3x :$

3t2− 28t+9 = 0,

3t2− 28t+9 = 0,

решая квадратное уравнение, находим его корни: $t1 = 13$ и $t2 = 9.$

Обратная замена:

1) $1 t1 = 3,$ $x −1 3 =3 ,$ $x = −1;$

2) $t2 = 9,$ $x 2 3 = 3 ,$ $x =2.$

Проверим полученные корни, подставив их в начальное уравнение:

При $x= − 1:$

− 1 −1 log3(9 +9) =− 1+ log3(28− 2⋅3 ),

( ) log3 1 + 9 = log3 1+ log3(28− 2⋅3−1), 9 3

82 1 ( 2) log3 9-= log33 + log3 28 − 3 ,

82 1 82 log3 9 = log33 + log3 3 ,

( ) log3 82 =log3 1 ⋅ 82 , 9 3 3

log3 82= log3 82, 9 9

получили верное числовое равенство, следовательно, $x = −1$ является корнем уравнения.

При $x= 2 :$

log3(92+ 9)= 2+ log3(28− 2⋅32),

log (81+ 9) =log 9+ log (28− 18), 3 3 3

log 90= log 9 +log 10, 3 3 3

log390= log3(9 ⋅10),

log390= log390,

получили верное числовое равенство, следовательно, $x = 2$ является корнем уравнения.

б) Отберем корни на промежутке $√- √- [− 2; 2]:$

$√- √- x= − 1∈ [− 2; 2],$ так как $√- √- √- − 2< − 1 <0 < 2.$

$√ -√ - x= 2 ∕∈[− 2; 2],$ так как $√ - 2 > 2.$

Ответ:

а) $x = −1;x= 2;$

б) $x =− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел