Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.02 Треугольник: высота, биссектриса, медиана

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51

В треугольнике $ABC :$ $∠A = 35∘,$ $BD$ — высота, $∠CBD = 26∘.$ Найдите $∠ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BD$ — высота, то $∠ADB = 90∘.$ Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ ∠A + ∠ABD = 180 − 90 = 90

Так как $∠ABD = ∠ABC +∠CBD,$ то

∘ ∠ABD = ∠ABC + 26

При этом $∠A = 35∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ ∘ 35 +∠ABC + 26 = 90 ⇒ ∠ABC =29

Ответ: 29

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#52

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A = 39∘,$ $BD$ — биссектриса, $∠ABD = 30∘.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BD$ — биссектриса, то $∠ABD = ∠DBC,$ тогда имеем:

∘ ∘ ∠ABC = 2⋅30 = 60

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда получаем

∠C = 180∘− ∠A − ∠ABC = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 39 − 60 =81

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#53

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 27∘,$ $CD$ — биссектриса, $∠ACD = 35∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CD$ — биссектриса, то

∠ACD = ∠DCB

Тогда имеем:

∘ ∘ ∠ACB = 2⋅35 = 70

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда получаем

∠A = 180∘− ∠B − ∠ACB = = 180∘− 27∘− 70∘ = 83∘

Ответ: 83

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#54

В треугольнике $ABC :$ $AD$ — биссектриса, $∠B = 27∘,$ $∠CAD = 18∘.$ Найдите $∠ADC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AD$ — биссектриса, то $∠BAD = ∠CAD.$

Тогда

∘ ∘ ∠BAC = 2⋅18 = 36

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠C = 180 − ∠B − ∠BAC = 180 − 27 − 36 = 117

В треугольнике $CAD :$

∠CAD + ∠ADC + ∠C = 180∘ 18∘+ ∠ADC +117∘ = 180∘ ∠ADC =45∘

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#55

В треугольнике $ABC$ известно, что $AD$ — биссектриса, $AC =AD = BD.$ Найдите наименьший угол в треугольнике $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как $AC = AD = BD,$ то

∠ADC =∠C ∠B = ∠BAD

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠ADC = ∠B + ∠BAD = 2⋅∠B

Тогда

∠C =2 ⋅∠B > ∠B ∠BAC =∠BAD + ∠DAC = ∠B + ∠DAC >∠B

Таким образом, $∠B$ — наименьший.

Так как $AD$ — биссектриса, то

∠BAC = 2 ⋅∠BAD = 2 ⋅∠B

По теореме о сумме углов треугольника

∠BAC + ∠B + ∠C = 180∘ ∘ 2⋅∠B + ∠B +2 ⋅∠B = 180 5∠B = 180∘

Найдем угол $B :$

180∘ ∘ ∠B = 5 = 36

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#56

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A = 51∘,$ $∠C = 77∘,$ $BD$ — биссектриса, $P$ — такая точка на $AB,$ что $PB = BC.$ Найдите $∠ADP.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC =180 − ∠A − ∠C = 180 − 51 − 77 = 52

Так как $BD$ — биссектриса, то

∘ ∠CBD = 0,5⋅∠ABC = 26

Треугольники $PBD$ и $CBD$ равны по двум сторонам и углу между ними, тогда $∠P DB = ∠CDB.$

∠CDB = 180∘− ∠CBD − ∠C = 180∘− 26∘− 77∘ = 77∘

Тогда

∠P DC = 2 ⋅∠CDB =154∘

Значит,

∘ ∘ ∘ ∠ADP = 180 − 154 =26

Ответ: 26

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#57

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A = 22∘,$ $∠C = 40∘,$ $BE$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B.$ При этом точка $E$ лежит на продолжении стороны $AC.$ На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ выбрана точка $D$ таким образом, что $BC = BD.$ Найдите $∠CED.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∘ ∘ ∘ ∠CBD = ∠A +∠ACB = 22 + 40 = 62

Так как $BE$ — биссектриса $∠CBD,$ то имеем:

∠CBE = 0,5⋅∠CBD = 31∘ ∘ ∘ ∠BCE = 180 − ∠ACB = 140

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ то имеем:

∠BEC = 180∘ − ∠CBE − ∠BCE = 9∘

Треугольники $BCE$ и $BDE$ равны по двум сторонам и углу между ними, тогда получаем

∠CED = 2⋅∠BEC = 18∘

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#58

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ $BM$ — биссектриса, $AC = 5.$ Найдите $AM.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда $BM$ — медиана и $AM = MC.$ Таким образом,

5 = AC = AM + MC = 2⋅AM ⇒ AM = 2,5

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#59

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 90∘,$ $BE$ — медиана, $∠CBE = 25∘.$ Найдите $∠AEB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда имеем:

CE = BE

Значит, треугольник $CEB$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда имеем:

∘ ∠C = ∠CBE = 25

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то получаем

∘ ∠AEB = ∠C + ∠CBE = 50

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#60

В треугольнике $ABC :$ $CE$ и $BF$ — высоты, пересекающиеся в точке $T,$ $∠CT B = 152∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $∠F TC$ и $∠CT B$ — смежные, то

∘ ∘ ∠F TC = 180 − ∠CT B = 28

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $∠90∘,$ поэтому

∘ ∘ ∠TCF = 90 − ∠F TC = 62

Треугольник $AEC$ — прямоугольный, поэтому

∘ ∘ ∠A = 90 − ∠TCF = 28

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#61

В треугольнике $ABC$ известно, что $BM$ и $CN$ — медианы, $BM = CN,$ $O$ — точка пересечения $BM$ и $CN,$ $∠OBC = 36∘.$ Найдите $∠BOC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины. Так как $BM = CN,$ то

2 2 BO = 3 BM = 3 CN = CO

Тогда треугольник $BOC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠OCB = ∠OBC = 36∘

Так как сумма углов в треугольнике равна $∘ 180 ,$ то

∠BOC = 180∘− ∠OBC − ∠OCB = 180∘− 36∘− 36∘ = 108∘

Ответ: 108

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#62

В треугольнике $ABC$ $BN$ и $CM$ — медианы, $P$ — точка пересечения $BN$ и $CM,$ $∠P BC = 35∘,$ $∠BP C = 110∘,$ $AB = 4.$ Найдите $NC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠PCB =180 − 110 − 35 = 35 = ∠PBC

Значит, треугольник $P BC$ — равнобедренный и $PB = PC.$

В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 :1,$ считая от вершины. Так как $PB = PC,$ то

MP = 0,5⋅PC = 0,5⋅PB = PN

$∠MP B$ и $∠NP C$ — вертикальные, а значит, равные.

Таким образом, треугольники $MP B$ и $PNC$ равны по двум сторонам и углу между ними, тогда

NC = MB =0,5⋅AB =2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#63

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $M$ — середина $AN,$ а $BN$ — медиана в треугольнике $BMC.$ Во сколько раз $AC$ длиннее, чем $MN?$

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию имеем $AM =MN,$ $MN = NC.$ Тогда

AC = AM + MN + NC = 3⋅MN ⇒ AC :MN = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#64

В треугольнике $ABC$ известно, что $BM$ — биссектриса, причем $AM = 3,$ $MC = 5,$ $BC = 10.$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме о биссектрисе (биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам) имеем:

AB BC AM--= MC--

Тогда

AB- 10 3 = 5 =2 ⇒ AB = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#549

В треугольнике $ABC :$ $∠C = 90∘,$ $CD$ — высота, $AC = BC,$ $AB = 33.$ Найдите $CD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой, тогда

BD = 0,5⋅AB = 16,5

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠DBC = ∠BAC = 90∘ :2= 45∘

Так как $CD$ — биссектриса, $∠DCB = 45∘,$ то есть в треугольнике $DCB$ углы при основании $BC$ равны, тогда треугольник $DCB$ — равнобедренный, то есть

CD = BD =16,5

Ответ: 16,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#550

В треугольнике $ABC$ $AB =BC,$ $AD$ — высота, $∠CAD = 19∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AD$ — высота, $∠CDA =90∘,$ тогда

∠CAD + ∠C = 90∘ ⇒ ∘ ∘ ∘ ∘ ⇒ ∠C = 90 − ∠CAD = 90 − 19 =71

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠CAB = ∠C = 71∘

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда

∠B = 180∘ − ∠C − ∠CAB = 180∘ − 71∘− 71∘ = 38∘

Ответ: 38

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#551

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 40∘,$ $∠B = 110∘,$ $AM$ — биссектриса, $N$ — такая точка на $AC,$ что $AB = AN.$ Найдите $∠CMN.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда имеем:

∠BAC = 180∘− ∠B − ∠C = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 110 − 40 = 30

Так как $AM$ — биссектриса, то

∠MAN = ∠BAM = 15∘

Треугольники $ABM$ и $ANM$ равны по двум сторонам и углу между ними, тогда $∠BMA =∠AMN.$ Из треугольника $ABM$ имеем:

∘ ∠BMA = 180 − ∠BAM − ∠B = = 180∘ − 15∘− 110∘ = 55∘

Тогда получаем

∠BMN =2 ⋅∠BMA = 110∘

Значит, искомый угол равен

∘ ∘ ∘ ∠CMN =180 − 110 = 70

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#552

В треугольнике $ABC$ $CE$ и $BF$ — высоты, пересекающиеся в точке $T,$ $∠ETB = 31∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Углы $ET B$ и $FTE$ смежны, поэтому

∘ ∘ ∠F TE = 180 − ∠ET B = 149

По сумме углов четырехугольника $AFT E$

∘ ∠A + ∠AET + ∠AF T +∠F TE = 360

Таким образом,

∠A+ 90∘+ 90∘+ 149∘ = 360∘ ⇒ ∠A = 31∘

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1272

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $55∘.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CM,$ проведенными из вершины прямого угла $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как медиана, опущенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы, то треугольник $BMC$ — равнобедренный, то есть $BM =CM.$ Следовательно,