Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Производная в точке касания как тангенс угла наклона касательной

Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.03 Производная в точке касания как тангенс угла наклона касательной

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1965

На рисунке изображён график $y = f(x)$ функции и касательная к нему в точке с абсциссой $x0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x0.$

$xy21x00$

Показать ответ и решение

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона касательной. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1, который касательная образует с прямыми $y = −1$ и $x = 1.$ Тогда

f′(x )= tg α= 2 = 2 0 1

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1966

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x0.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная функции $f(x)$ в точке $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$

По рисунку видно, что касательная проходит через точки $(0,5;− 0,5)$ и $(1;1),$ тогда тангенс угла наклона касательной составляет $1,5 :0,5= 3,$ следовательно, $′ f (x0)= 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#11715

$011xyx0$

Показать ответ и решение

Производная функции в точке с абциссой $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2),$ то тангенс угла наклона этой прямой равен

y1−-y2- x1− x2

По картинке видно, что касательная проходит через точки $(− 2;− 1)$ и $(6;−3).$

Тогда имеем:

′ (−1)− (− 3) 2 1 f(x0)= -(−2)−-6--= −8-= −4 = −0,25

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#17238

$PIC$

Показать ответ и решение

Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной в этой точке. Касательная проходит через точки $A = (1;− 2)$ и $B = (4;4),$ тогда тангенс угла наклона равен

BC 6 tg α= AC- = 3 =2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#19488

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x0.$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x0.$

$011xyx0$

Показать ответ и решение

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона данной прямой.

По условию касательная проходит через точки $(2;4)$ и $(−6;2).$ Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2),$ то тангенс угла её наклона равен

tg α= y1-− y2 x1 − x2

Тогда мы можем вычислить производную функции $f(x)$ в точке $x0 :$

′ y1−-y2 f (x0)= tgα = x1− x2 = 4− 2 2 = 2−-(−-6) = 8 =0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#262

Производная $f ′(x)$ функции $f (x )$ в точке $x0$ равна $10$ . Найдите котангенс угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x0; f(x0))$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Ответ: 0,1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#263

Производная $f′(x)$ функции $f(x)$ в точке $x0$ равна 0. Найдите косинус угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$

Показать ответ и решение

Производная функции $f(x)$ в точке $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$

Обозначим угол наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ через $α.$ Так как $tgα = sin-α, cosα$ то $sinα = 0.$ Отсюда при помощи основного тригонометрического тождества находим, что $cosα= ±1.$

Так как $α$ — угол наклона касательной, то $0∘ ≤ α < 180∘.$ Тогда $cosα$ не может быть равен $− 1,$ следовательно, $cosα = 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#674

На рисунке изображены график функции $y = f (x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x0$ . Найдите значение производной функции $f(x )$ в точке $x0$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ .

По рисунку видно, что касательная проходит через точки $(0,5;1)$ и $(1,5;1,5)$ , тогда тангенс угла наклона касательной составляет $0, 5 : 1 = 0,5$ , следовательно, $′ f (x0) = 0,5$ .

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#675

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ .

По рисунку видно, что касательная проходит через точки $(1; 1)$ и $(5;2)$ , тогда тангенс угла наклона касательной составляет $(2 − 1) : (5 − 1) = 0,25$ , следовательно, $′ f(x0) = 0,25$ .

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#891

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = 2(ln 2)−0,5 ⋅ex2$ в точке с абсциссой $x =√ln-2.$

Показать ответ и решение

Тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x$ равен $f′(x).$

′ −0,5 x2 y =2(ln 2) ⋅2x ⋅e

Тогда при $x= √ln2-$ имеем:

√--- √--- y′( ln 2)= 2(ln2)−0,5⋅2 ln2⋅eln2 =8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1269

$PIC$

Показать ответ и решение

Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox.$ Рассмотрим $△ABC :$

$PIC$

Угол наклона касательной равен $180∘− ∠ABC.$ Из $△ABC$ видно, что

tg∠ABC = 10:8= 1,25

Тогда окончательно имеем:

∘ tg (180 − ∠ABC )= − tg ∠ABC = − 1,25

Ответ: -1,25

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1279

$011xyx0$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный $△ABC :$

$011xyABCx0$

Так как $′ f (x0)$ равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс, то имеем:

f′(x0)= tg∠BAC = 3- = 1= 0,25 12 4

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1582

Производная $f ′(x)$ функции $f (x)$ в точке $x0$ равна $5$ . Найдите сумму тангенса и котангенса угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ .

При всех $α$ , при которых $tg α$ и $ctgα$ имеют смысл, выполнено $tgα ⋅ ctg α = 1$ , откуда котангенс угла наклона касательной к графику функции $f (x )$ в точке $(x0;f (x0 ))$ равен $0,2$ , тогда сумма тангенса и котангенса угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x0;f (x0))$ равна $5,2$ .

Ответ: 5,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1583

Производная $f ′(x)$ функции $f (x )$ в точке $x0$ равна $1 √---- 15$ . Найдите синус угла наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x0; f(x0))$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Обозначим угол наклона касательной к графику функции $f (x)$ в точке $(x0;f (x0))$ через $α$ , тогда $1 tgα = √---- 15$ , причём $0 ∘ ≤ α < 180∘$ .

Из основного тригонометрического тождества с учётом $∘ ∘ 0 ≤ α < 180$ получим: $√-1--= tgα = sin-α-= ∘--sin-α---- 15 cosα 1 − sin2α$

(тут $cosα > 0$ так как при $0∘ ≤ α < 180∘$ $sinα ≥ 0$ и получается, что левая часть равенства положительна, числитель правой части неотрицателен, тогда знаменатель правой части положителен).

Решая уравнение $sin α 1 ∘------------= √---- 1 − sin2 α 15$ , находим $sin α = ±0, 25$ , но так как $0∘ ≤ α < 180 ∘$ , то $sin α = 0,25$ .

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2673

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ и отмечены точки $− 2; 0; 2; 8.$ В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем касательные к графику функции в этих точках. Так как тангенс угла $α$ наклона касательной равен значению производной $f′(x)$ в точке касания $x0,$ то есть $f′(x0)= tgα,$ то нужно сравнить тангенсы углов, отмеченных на рисунке.

$PIC$

Вспомним, что если угол тупой, то его тангенс отрицательный, если острый — положительный. Следовательно, так как мы ищем наибольший тангенс, то имеет смысл рассматривать только острые углы. Это углы, образованные касательными в точках 0 и 2.

Заметим, что угол в точке 0 больше, следовательно, его тангенс также больше, чем тангенс угла в точке 2. Таким образом, ответ: 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#38168

$xy110x 0$

Показать ответ и решение

По рисунку видно, что касательная к графику функции $f(x)$ проходит через точки $(1;2)$ и $(− 2;− 4).$

Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2),$ то тангенс угла её наклона равен

tgα = y1−-y2 x1− x2

Тогда мы можем вычислить производную функции $f(x)$ в точке $x0 :$

′ y1 − y2 2− (−4) 6 f(x0)= tg α= x1-− x2 = 1−-(−2) = 3 = 2

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#38238

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$ и отмечены точки $− 4; − 2; 2; 5.$ В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

$xy−−2542$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках $x = −4$ и $x = 5.$

Значение производной в $x = x0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке $x0,$ следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках $x = −4$ и $x = 5,$ то угол наклона касательной в точке $x= 5$ будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#74189

Прямая $y =7x − 16$ является касательной к графику функции $y = x2− bx+ 9.$ Найдите $b,$ учитывая, что абсцисса точки касания меньше $0.$

Показать ответ и решение

В точке касания графика функции и касательной к нему производные обеих функций равны. То есть:

(x2− bx+ 9)′ = (7x − 16)′,

2x− b= 7,

7+ b x = -2--.

Также равны значения функций в этой точке, то есть:

x2 − bx +9 = 7x − 16,

x2− (b+ 7)x + 25 = 0.

Подставим сюда $7 +b x= --2-$ и получим:

(7+-b)2 − (7-+b)2= 25= 0, 4 2

2 − (b+-7) +25 = 0, 4

(b+ 7)2 = 100,

$[ b+7 = 10 b+7 = −10$

$[ b= 3 b= −17$

Теперь проверим, при каком $b$ выполняется условие на абсциссу, то есть на $:$
при $b= 3$ вычисляем $3 + 7 x= --2- = 5> 0$ — не подходит;
при $b= −17$ вычисляем $x = −17+-7-=− 5< 0 2$ — подходит.

Ответ: -17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#76265

На рисунке изображен график функции $y = f′(x)$ — производной функции $y = f(x),$ определенной на промежутке $(− 1;5).$ Найдите угол наклона касательной к графику функции $y = f(x),$ проведенной в точке $x0 = 2.$ Ответ дайте в градусах.

$110xy$

Показать ответ и решение

Значение $f′(x0)$ производной в точке касания $x0$ равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке $x0.$ Из графика видно, что $′ ′ f (x0)= f (2) =1.$ Следовательно, $tgα =1.$ Тогда $∘ α =45 .$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2221

Какой наибольший угол может составлять касательная к графику функции $( √ --) --3- y = 2 sin 2 x$ с графиком функции $y = 0$ ? Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Обозначим угол между касательной к графику функции $( √-- ) -3-- y = 2sin 2 x$ в точке с абсциссой $x0$ и прямой $y = 0$ через $α(x0)$ , а угол наклона касательной к графику этой же функции в той же точке через $β(x0)$ . Тогда $α(x0 ) =$ меньшему из углов $β(x0)$ и $∘ 180 − β (x0)$ , следовательно,

[ tg (α (x )) = tg (β(x )) 0 0∘ tg (α (x0)) = tg (180 − β(x0)) = − tg (β (x0))

Но $α (x0) ∈ [0;90∘]$ , тогда $tg(α(x0)) ≥ 0$ и чем больше $tg(α (x0 ))$ , тем больше $α(x0)$ .

Так как $f′(x ) 0$ – тангенс угла наклона касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке $(x0;f (x0))$ , то

( √ -- ) ′ √ -- --3- tg(β(x0)) = y (x0) = 3 ⋅ cos 2 x0

Если $tg(α (x0)) = tg (β (x0))$ , то наибольшее значение $tg(α (x0))$ равно $√-- 3$ . Если $tg(α (x0 )) = − tg(β(x0))$ , то наибольшее значение $tg(α(x0))$ тоже равно $√ -- 3$ . Тогда наибольшее значение $α$ равно $√ -- arctg 3$ .

Таким образом, искомый ответ: $60∘$ .

Ответ: 60