Тема 14. Задачи по стереометрии

14.18 Угол между скрещивающимися прямыми

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#811

Дан куб $ABCDA1B1C1D1.$ Найдите угол между прямыми $A1B$ и $AC1.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Заметим, что данные прямые являются скрещивающимися. Так как $B1C1 ⊥ (AA1B1),$ то проекция наклонной $AC1$ на эту плоскость — это прямая $AB1.$ Так как каждая грань куба — квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны, то $AB1 ⊥ A1B.$

$PIC$

Так как проекция $AB1 ⊥ A1B,$ то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $AC1 ⊥ A1B.$ Следовательно, угол между этими прямыми равен $∘ 90.$

Ответ: 90

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36212

Пусть $p$ и $q$ — скрещивающиеся прямые, $p⊥ α$ , $q∩ α= B$ , $p∩ α= A$ , $q 1$ — проекция прямой $q$ на $α$ . На прямой $q$ лежит отрезок длиной $d$ , а его проекция на плоскость $α$ имеет длину $d1$ . Докажите, что верна формула

d1 = dsinϕ,

где $ϕ$ — угол между прямыми $p$ и $q.$

Показать ответ и решение

Так как $d 1$ — проекция $d$ , то $l⊥ α$ . Проведем через точку $B$ прямую $p ⊥α 1$ .

$PIC$

Следовательно, $p1 ∥l$ , следовательно, эти прямые лежат в одной плоскости. Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых $p1$ и $l$ и секущей $q$ равны, то $∠CBD =ϕ$ . Следовательно, из прямоугольного треугольника $BCD$ :

d1 = dsin ϕ

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#36213

Пусть $p$ и $q$ — скрещивающиеся прямые. На прямой $p$ находится отрезок длины $a$ ,его ортогональной проекцией на прямую $q$ является отрезок длиной $b$ . Тогда для угла $ϕ$ между $p$ и $q$ верна формула

b= acosϕ

Показать ответ и решение

Проведем плоскость $α$ , содержащую прямую $q$ и пересекающую прямую $p$ . Спроектируем прямую $p$ на эту плоскость — получим ее проекцию проямую $p1$ . Пусть $a1$ — проекция отрезка $a$ на $p1$ . Тогда $cos(p,p1)= a1 :a$ . П теореме о трех перпендикулярах $b$ — сроекция $a1$ на $q$ , следовательно, $cos(p1,q)=b :a1$ .

$PIC$

Тогда по теореме о трех косинусах

cos(p,q)= cos(p,p1)⋅cos(p1,q)= a1⋅ b-= b ⇔ b= acos(p,q) a a1 a

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#36221

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA B C D 1 1 1 1$ известны углы $α$ и $β$ , которые составляют с плоскостью основания $ABCD$ скрещивающиеся диагонали $DA1$ и $CD1$ смежных боковых граней. Вычислите угол между этими диагоналями.

Показать ответ и решение

Спроектируем диагональ $DA 1$ на прямую $CD 1$ . В результате на грани $CDD C 1 1$ получится отрезок $KD 1$ , причем $K ∈CD 1$ . Тогда $KD1 = DA1 cosϕ$ , $ϕ =∠(DA1,CD1)$ .

$PIC$

Пусть $DD1 = x$ , тогда $A1D =x :sinα$ , $KD1 = xsinβ$ . Следовательно,

cosϕ= KD1-= sinα sinβ A1D

Ответ:

$arccos(sinαsinβ)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#36223

В правильной треугльной пирамиде $ABCD$ все углы при вершине $D$ прямые. Вычислите угол между прямыми $AN$ и $DM$ , где $M$ — середина $AB$ , а $N$ — середина $CD$ .

Показать ответ и решение

Спроектируем прямую $AN$ на плоскость $ADB$ . Тогда $AD$ — проекция $AN$ на эту плоскость. По теореме о трех косинусах $cos(AN, DM )=cos(AN, AD)⋅cos(AD,DM )$ .

$PIC$

Так как $△ADB$ равнобедренный и прямоугольный, то $∠ADM =45∘$ .

Пусть $AD =a$ . Тогда $∘ ------ √- AN = a2 + a24 = 25a$ . Тогда $cosNAD =AD :AN = √25-$ . Следовательно,

√- ∘ -- cos(AN,DM )= √2-⋅-2-= 2 5 2 5

Ответ:

$∘ 2- arccos 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#36224

В тетраэдре $ABCD$ ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABC$ , $AD = AB = AC$ , $∠BAC =ϕ$ . Найдите угол между прямыми $AC$ и $BD.$

Показать ответ и решение

Спроектируем $BD$ на плоскость $ABC$ , получим проекцию — прямую $BA$ . Тогда по теореме о трех косинусах $cos(BD, AC)= cos(BD,BA )⋅cos(BA,AC ).$

$PIC$

Так как $△ABD$ равнобедренный и прямоугольный, то $∠DBA = 45∘$ , следовательно,

(√ - ) cos(BD,AC )= cos45∘⋅cosϕ ⇒ ∠(BD,AC) =arccos --2cosϕ 2

Ответ:

$( √2 ) arccos 2-cosϕ$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#36237

В правильной пирамиде $PABCD$ высота $P Q$ равна стороне основания. Точки $K$ , $L$ и $M$ — середины отрезков $P C$ , $AB$ и $P Q$ соответственно. Найдите углы между прямыми:

а) $KQ$ и $P D$ ;

б) $KQ$ и $BM$ ;

в) $KQ$ и $DL$ .

Показать ответ и решение

Обозначим $α i$ — искомый угол, $β = ∠PQK$ , $ϕ= ∠QPD$ , $γ = ∠BMQ$ , $ψ = ∠DOQ$ .

$PIC$

а) $P Q$ — проекция $PD$ на плоскость $PQC$ , следовательно, по теореме о трех косинусах $cosα1 = cos(P D,PQ)⋅cos(PQ,KQ )= cosϕ⋅cosβ$ .

б) $MQ$ — проекция $BM$ на плсокость $PQC$ , следовательно, по теореме о трех косинусах $cosα2 =cos(MB, MQ )⋅cos(PQ,KQ )=cosγ⋅cosβ$ .

в) $CO$ — проекция $DO$ на плоскость $PQC$ , следовательно, по теореме о трех косинусах $cosα3 = cos(DO, CO)⋅cos(CO,KQ )= cosψ ⋅sinβ$ .

Перейдем к вычислениям. Пусть $PQ= a$ . Рассмотрим треугольник $P QC$ и в нем отметим углы $β,γ,ϕ$ . Так как $QC =√a2-$ , то $P C = a∘-3 2$ , следовательно, $cosϕ= ∘ 2- 3$ .

$△PKQ$ равнобедренный, следовательно, $∘-2 cosβ = cosϕ= 3$ . Тогда $1 sinβ = √3$ .

$MQ = a2$ , следовательно, $√- MC = a23$ , откуда $cosγ =√13-$

$△AOL ∼ △DOC$ , причем $AL =CD =1 :2$ , следовательно, $OL :DO =1 :2$ , следовательно, $∘------ DO = 2DL = 1 a2+ a2= a√5 3 2 4 3$ . Тогда $-a- QO = 3√2$ , откуда $∘-1 cosψ = 10$ .

Таким образом, ответы:

а) $2 arccos 3$ ;

б) $√- arccos -2- 3$ ;

в) $∘ -1- arccos 30$ .

Ответ:

а) $arccos2 3$

б) $√- arccos -2- 3$

в) $∘ -1- arccos 30$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#36349

Высота правильной четырехугольной призмы вдвое больше ребра основания. Вычислите угол между диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

Показать ответ и решение

Способ 1

$PIC$

Назовём призму $ABCDA1B1C1D1$ и найдём угол между диагоналями $B1D$ и $CD1.$ Проведём из точки $D$ отрезок $DK,$ равный и параллельный $CD1.$ Тогда нужно найти угол $B1DK.$ Отметим, что $CD1KD$ — параллелограмм, так как противоположные стороны $CD1$ и $DK$ равны и параллельны. Тогда $CD ∥ D1K ∥C1D1,$ то есть точка $K$ лежит на продолжении ребра $C1D1.$ Пусть сторона основания призмы равна $x$ , тогда боковые рёбра равны $2x.$ Вычислим $C1D$ из теоремы Пифагора для треугольника $CDD1 :$ $CD1 = ∘x2+-(2x)2 = √5x.$ Для $B1D$ верно равенство:

$B1D2 = BB21 +AB2 + AD2 = (2x)2+ x2+x2 =6x2 ⇔ B1D = √5x.$

$B1K$ вычислим по теореме Пифагора для треугольника $B1C1K :$ $B1K =∘x2-+-(2x2)= √5x.$

Найдём косинус угла $B1DK$ по теореме косинусов для треугольника $B1DK$ :

$pict$

Тогда угол равен $√--- arccos 0,3$

Способ 2. Используем теорему косинусов трёхгранного угла

Найдем угол между $B1D$ и $CD1$ . Проведем проекцию прямой $B1D$ на плоскость $CDD1D$ , в которой лежит $CD1$ — получим прямую $C1D$ . Тогда $cos∠(B1D,CD1 )= cos∠(B1D,C1D)⋅cos∠ (C1D,CD1 )$ .

$△B1C1D$ прямоугольный, следовательно, $√- √- ∘ -- cos∠B1DC1 =C1D :B1D = 5x: 6x = 56$ .

$PIC$

По теореме косинусов из $△COD$ :

DO2 + CO2 − CD2 3 cos∠COD =----2DO-⋅CO----= 5

Следовательно, $∘ 5-3 √--- cos∠(B1D,CD1 )= 6 ⋅5 = 0,3$

Ответ:

$arccos√0,3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#41973

Дана правильная треугольная призма $ABCA1B1C1$ с боковым ребром $AA1 = 2$ . Угол между скрещивающимися прямыми $AC1$ и $A1B$ равен $∘ α < 60.$

а) Докажите, что треугольник, вершины которого — середины ребер $AB, AA1,A1C1$ — тупоугольный.

б) Найдите площадь этого треугольника, если $α =arccos 1. 3$

Показать ответ и решение

а) Пусть $P,K,N$ — середины ребер $A1C1,$ $AA1,$ $AB$ соответственно. Тогда $P K ∥AC1,$ $KN ∥ A1B,$ следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $AC1$ и $A1B$ равен углу между прямыми $PK$ и $KN$ .

$PIC$

Введем $AB =2a$ , проведем $PM ⊥ AC$ , тогда $M$ — середина $AC,$ следовательно, $MN$ — средняя линия $△ABC,$ $MN = a$ .

Заметим, что $△AKN = △A1KP$ как прямоугольные по двум катетам, следовательно, $√----- PK = KN = a2+ 1$ по теореме Пифагора. По этой же теореме из $△P MN$ имеем $√ ----- PN = a2+ 4$ . Запишем теорему косинусов для $△P KN :$

PN2 = PK2 + KN2 − 2⋅PK ⋅KN ⋅cos∠P KN ⇔ a2 +4 = 2a2 +2 − 2(a2+ 1)cos∠P KN ⇔ 2 1+ cos∠P KN a = 2⋅1−-2cos∠PKN--

Так как $a2 ≥ 0$ , то

1− 2cos∠P KN ≥ 0 ⇔ cos∠PKN ≤ 1 2

Следовательно, $∠P KN ⁄= α < 60∘$ , так как $cos60∘ = 12$ . Значит, $∠P KN =180∘− α > 120∘$ . Таким образом, $△P KN$ тупоугольный. Чтд.

б) Из пункта а) следует, что

2 1+-cos(180∘−-α)- -1−-cosα 4 a = 2 ⋅1− 2cos(180∘− α ) = 2⋅1 +2cosα = 5

Также $KP 2 = 95,$ $∘ ----- √- sin∠P KN =sin(180∘− α)= sinα = 1− 19 = 232$ . Тогда

S△PKN = 1P K2 ⋅sin∠P KN = 0,6√2. 2

Ответ:

б) $0,6√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#41975

Дан тетраэдр $ABCD$ с углом $∠ABC = β ≤ 90∘.$ Найдите угол между двумя прямыми, проходящими через две пары точек: середины ребер $AC, BC$ и середины ребер $BD, CD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

$MN$ — средняя линия в $△ADC$ , следовательно, $MN ∥AC$ . $PK$ — средняя линия в $△ABC$ , следовательно, $P K ∥AB$ . Тогда $∘ ∠ (MN, P K) =∠ (AC, AB) = β ≤ 90 .$

Ответ:

$β$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#96806

В кубе $ABCDA1B1C1D1$ найдите угол между диагоналями $AB1$ и $BD.$

Показать ответ и решение

Проведем $DC1 ∥AB1.$ Тогда угол между прямыми $AB1$ и $BD$ равен углу между $DC1$ и $BD.$

$PIC$

Рассмотрим $△BC1D.$ Каждая его сторона является диагональю некоторой грани куба, следовательно, этот треугольник правильный. Значит, все его углы равны $60∘,$ в частности, и нужный нам угол $BDC1.$

Ответ:

$60∘$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#36201

Пусть $p$ и $q$ — данные скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую $q$ плоскость $π,$ пересекающую прямую $p.$ Спроецируем прямую $p$ на плоскость $π$ и назовем $p1$ ее проекцию. Докажите, что верна следующая формула

cos∠(p,q)= cos∠(p,p1)⋅cos∠(p1,q)

(Теорема о трех косинусах)

Показать ответ и решение

Пусть $p∩ p1 = O.$ Параллельно перенесем прямую $p$ в точку $O$ и получим трехгранный угол. Пусть $AC ⊥ (q,p1),$ следовательно, $AC ⊥ OC.$ Проведем $BC ⊥OC,$ $B ∈ q.$ Тогда $△ACB$ прямоугольный. Обозначим