Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.15 Среднее арифметическое и минимальная сумма

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#10817Максимум баллов за задание: 4

Даны две группы натуральных чисел: в первой группе шесть чисел, во второй — четыре числа. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 7, а во второй — 9. Пусть $M1$ — наибольшее число из первой группы, $M2$ — наибольшее число из второй группы. Какое наибольшее значение может принимать сумма $M1 + M2?$

Показать ответ и решение

Обозначим числа в первой группе через

a1 ≥a2 ≥ ...≥ a6

Обозначим числа во второй группе через

b1 ≥ b2 ≥...≥ b4

Нам нужно максимизировать выражение

M1 + M2 = a1 +b1

Запишем условие на числа первой группы и выразим $a1 :$

a1+-...+-a6= 7 ⇔ a1 +...+ a6 = 42 6 a1 = 42− (a2+...+ a6)

Запишем условие на числа второй группы и выразим $b1 :$

b1+ ...+ b4 -----4----= 9 ⇔ b1+ ...+b4 = 36 b = 36− (b + b +b ) 1 2 3 4

Тогда сумма равна

a1 +b1 = 78− a2− a3− a4− a5− a6− b2 − b3− b4

Каждое из восьми чисел, которые мы вычитаем из 78, не меньше 1, так как все числа натуральные, следовательно,

a1+ b1 ≤ 78− 8⋅1= 70

Сумма, равная 70, очевидно достигается:

$pict$

Ответ: 70

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#10818Максимум баллов за задание: 4

Даны две группы натуральных чисел: в первой группе шесть чисел, во второй — четыре числа. Числа внутри каждой группы различны. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно 7, а во второй группе равно 9. Пусть $m1$ — наименьшее число из первой группы, $m2$ — наименьшее число из второй группы. Какое наибольшее значение может принимать сумма $m1 + m2?$

Показать ответ и решение

Обозначим числа в первой группе через

a1 >a2 > ...> a6

Обозначим числа во второй группе через

b1 > b2 >...> b4

Нам нужно максимизировать выражение

m1 + m2 =a6 +b4

Запишем условие на числа первой группы:

a1+-...+-a6= 7 ⇔ a +...+ a = 42 6 1 6

Числа внутри первой группы различны, значит, верны следующие оценки:

$pict$

Подставив их в условие на то, что сумма равна 42, получим:

(a6+ 5)+(a6+ 4)+ ...+ (a6 +1)+ a6 ≤ 42 6a6+ 15 ≤ 42 ⇔ a6 ≤ 4,5

Запишем условие на числа второй группы:

b1+-...+-b4= 9 ⇔ b1+ ...+b4 = 36 4

Числа внутри второй группы различны, значит, верны следующие оценки:

$pict$

Подставив их в условие на то, что сумма равна 36, получим:

(b4+ 3)+ (b4+ 2)+ (b4+ 1)+ b4 ≤ 36 4b4+ 6≤ 36 ⇔ b4 ≤ 30= 7,5 4

Мы получили, что максимально возможное натуральное $a6 =4,$ максимально возможное натуральное $b4 =7,$ а их сумма равна 11. Приведем пример:

$pict$

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#10819Максимум баллов за задание: 4

Дано $n$ различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое пяти наибольших из них равно 20. Найдите максимальное возможное значение $n.$

Показать ответ и решение

Обозначим числа через

a1 > a2 > ...> an.

Запишем условие на среднее арифметическое:

a1-+a2+-a3+-a4+-a5 5 = 20 a1+ a2+ a3+ a4+ a5 = 100

Все числа различны, значит, верны следующие оценки:

a4 ≥ a5+ 1 a3 ≥ a4+ 1 ≥a5+ 2 a2 ≥ a3+ 1 ≥a5+ 3 a1 ≥ a2+ 1 ≥a5+ 4

Подставив их в условие на то, что сумма равна 100, получим:

(a5+ 4)+ (a5+ 3)+ (a5 +2)+ (a5+ 1)+a5 ≤100 5a5+ 10≤ 100 ⇔ a5 ≤ 18

Все $n − 5$ чисел $a6,...,an$ по условию различны и все они меньше чем $a5.$ Очевидно, что количество различных натуральных чисел, меньших $a , 5$ равно $a5− 1.$ Тогда имеем неравенство

n− 5≤ a5− 1≤ 17 ⇔ n ≤22.

Пример: все натуральные числа от 1 до 22.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#14757Максимум баллов за задание: 4

Таблица умножения на обороте школьной тетради содержит все произведения однозначных чисел от 1 до 9. Всего выписано 81 произведение: сначала 1 умножается на все числа от 1 до 9, потом 2 умножается на все числа от 1 до 9 и так далее. Найдите среднее арифметическое всех произведений в таблице.

Показать ответ и решение

Рассмотрим произведение

(1+ 2+ ...+ 8+ 9)⋅(1 + 2+ ...+ 8+ 9)

Если раскрыть скобки, то получится как раз сумма всех чисел таблицы умножения. Поэтому эта сумма равна $452,$ а среднее арифметическое равно

452∕92 = 52 = 25

Можно пытаться объяснить этот ответ по-простому: средний сомножитель, то есть среднее арифметическое чисел от 1 до 9, равен 5, и потому среднее произведение равно 25. Но это опасная логика: так можно решить, что среднее арифметическое чисел $2 2 2 1 ,2 ,...,9$ равно $2 5,$ а это совсем не так.

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#72215Максимум баллов за задание: 4

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо оканчивается цифрой 1, либо четное. Сумма всех чисел равна 771.

а) Может ли на доске быть выписано ровно четыре числа, оканчивающихся цифрой 1?

б) Может ли на доске быть выписано ровно 13 чисел, оканчивающихся цифрой 1?

в) Найдите наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся единицей, среди выписанных на доске.

Показать ответ и решение

а) Если на доске записано 4 числа, оканчивающихся на 1, то их сумма чётна, так как сумма чётного количества нечётных чисел чётна.

Если на доске записано 26 чётных чисел, то их сумма чётна, так как сумма любого количества чётных чисел чётна.

Таким образом, сумма всех 30 чисел также будет чётной. Но число 771 нечётно, значит, ответ на пункт отрицательный.

б) Рассмотрим сумму 30 наименьших натуральных чисел таких, что 13 из них оканчиваются на 1, а остальные 17 — чётные.

По формуле суммы арифметической прогрессии 17 последовательных чётных чисел $S1$ имеем:

2+ 34 S1 = --2--⋅17= 306.

Запишем сумму 13 наименьших оканчивающихся на 1 чисел $S2$ :

S2 = 1 +11+ 21+ 31+ 41+ 51+ 61+ 71+ 81+ 91+ 101 +111+ 121= 793.

То есть $S1+ S2 > 771,$ при этом мы рассматривали наименьший возможный пример чисел, значит, для всех остальных наборов сумма будет еще больше, поэтому ответ на этот пункт также отрицательный.

в) Пусть на доске записано $n$ чисел, оканчивающихся на 1. Тогда на этой же доске записано $30− n$ чётных чисел.

Запишем сумму $S1$ первых $n$ чисел как сумму суммы $n$ единиц и $n$ наименьших натуральных последовательных чисел, кратных 10:

S1 = 1 ⋅n + 0+-10(n-−-1)-⋅n= 5n2− 4n. 2

Запишем сумму $S2$ первых $30 − n$ наименьших натуральных чётных чисел:

S2 = 2+-2-+2((30-− n-)− 1) ⋅(30− n)= (31− n)⋅(30 − n) =n2 − 61n +930. 2

Сумма $S1+ S2 ≤ 771$ по условию:

2 2 5n − 4n+ n − 61n+ 930≤ 771,

2 6n − 65n+ 159≤ 0.

Найдём нули левой части через формулу дискриминанта:

D = 652− 4 ⋅6⋅159= 4225 − 3816= 409.

$⌊ √ --- n = 65−---409, || 1 12√ --- ⌈n = 65+---409. 2 12$

По методу интервалов получаем $n∈ [65−√409; 65+√409] 12 12$ .

Определим положение левой границы отрезка.

Раз $400< 409< 441$ , то $20 < √409< 21.$ Тогда:

√--- 65-− 21 < 65−-409-< 65−-20, 12 12 12

2 65− √409 3 33 < ---12----< 34.

Так как $n ∈ℕ$ , то $n ≥4.$ Однако если $n$ чётно, то (как показано в пункте а)) мы встречаем противоречие, поэтому на самом деле $n ≥ 5.$

Пример для $n = 5:$

1 +11 +21 +31+ 41+ 2+ 4+ ...+ 46+ 48+ 66= 771.

Ответ:

а) Нет.

б) Нет.

в) 5. Пример: $1,11,21,31,41,2,4,...,46,48,66.$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75437Максимум баллов за задание: 4

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, с нечётным количеством членов, если сумма наибольшего и наименьшего членов в этой прогресии равна 987654321?

б) Конечная непостоянная арифметическая прогрессия состоит из восьми натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего из них равна 11. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.

в) Среднее арифметическое членов конечной возрастающей арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно $9,5.$ Какое наибольшее количество членов может включать в себя такая прогрессия?

Показать ответ и решение

а) Пусть первый член данной прогрессии — $a1,$ а последний — $an$ . Тогда $n$ — количество членов данной прогрессии ( $n$ — нечётное число).

Найд̈eм величину $an$ по формуле $n −$ го члена арифметической прогрессии:

an = a1+ d(n − 1).

В таком случае сумма наибольшего и наименьшего члена прогрессии (то есть сумма крайних членов прогрессии) равна:

a1+ an = a1+ a1+ d(n− 1)= 2a1 +d(n− 1).

Это число является четным, так как слагаемое $2a1$ чётно из-за множителя 2, а число $d(n− 1)$ чётно, так как число $n − 1$ ӵeтно.
Сумма двух ӵeтных чисел не может быть равна нечётному числу 987654321, следовательно, ответ отрицательный.

б) Найд̈eм сумму наибольшего и наименьшего члена данной прогрессии:

a1 +an = 2a1 +7d = 11.

Запишем формулу суммы арифметической прогрессии:

S8 = 2a1+-7d⋅8 = 11⋅8= 44. 2 2

в) Докажем, что среднее арифметическое всех членов конечной арифметической прогрессии и среднее арифметическое двух крайних членов конечной арифметической прогрессии равны.

Пусть первый член данной прогрессии — $a1$ , а последний — $an$ . Тогда $n$ — количество членов данной прогрессии.

Среднее арифметическое нескольких чисел равно отношению суммы данных чисел к их количеству.
Среднее арифметическое нескольких чисел:

a1+2an⋅n- a1+-an A = n = 2 ,

Среднее арифметическое крайних членов

B = a1+-an. 2

Равенство очевидно.

Таким образом, $a1+2an-=9,5.$ Преобразуем это равенство:

a1+-an = a1+-a1+-d(n-− 1)-= 9,5, 2 2

2a1+ d(n− 1)= 19.

В левой части мы имеем три неизвестных: $a ,d,n. 1$ Все три переменные входят в это равенство со знаком «+», следовательно, при увеличении значения любой переменной, значения двух других переменных уменьшаются, так как в правой части фиксированное число.

Таким образом, чтобы $n$ было максимальным, $a1$ и $d$ должны быть минимально возможными натуральными числами. Разность $d$ не может быть равной 0 или отрицательной, так как по условию прогрессия возрастающая.

Возьмем $a1 = d= 1.$ Тогда

2 ⋅1+ 1⋅(n − 1)= 19.

n = 18.

Пример такой прогрессии для $a1 = 1,d= 1,n= 18:$

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18.

Ответ:

а) Нет;

б) 44;

в) 18. Пример: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#141270Максимум баллов за задание: 4

Известно, что среднее арифметическое четырех натуральных чисел, среди которых есть различные, является натуральным числом. Кроме того, среднее арифметическое любых трех из них — тоже натуральное число. Приведите пример четырех таких чисел.

Показать ответ и решение

Пусть даны числа $a,$ $b,$ $c$ и $d.$ Их среднее арифметическое равняется:

a+ b+ c+ d S = ----4-----

По условию задачи $S$ — натуральное число. Это значит, что сумма четырех чисел нацело делится на 4. Также известно, что среднее арифметическое любых трех чисел из набора $a,$ $b,$ $c$ и $d$ — тоже натуральное число. Следовательно, сумма любых трех чисел делится нацело на 3.

Попробуем подобрать такие $a,$ $b,$ $c$ и $d.$ Пусть $a + b+c +d = 16.$

Положим $a = b= c= 1.$ Так как сумма всех четырех чисел равна $16,$ то

d =(a+ b+ c+ d)− (a + b+c)= 16− 3 =13

Проверим, удовлетворяет ли полученный набор чисел условиям задачи:

a+ b+ c+d 1+ 1 +1 +13 S = ----4-----= -----4----- = 4 a+ b+ c= 1+ 1+ 1= 3 a+ b+ d= 1+ 1+ 13= 15 a+ c+ d= 1+ 1+ 13= 15 b+ c+d = 1+ 1+ 13= 15

Таким образом, примером таких чисел является набор:

a= 1, b= 1, c= 1, d= 13.

Ответ:

1, 1, 1, 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#141271Максимум баллов за задание: 4

Известно, что среднее арифметическое пяти натуральных чисел, среди которых есть различные, является натуральным числом. Кроме того, среднее арифметическое любых четырех из них — тоже натуральное число. Приведите пример пяти таких чисел.

Показать ответ и решение

Пусть даны числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ и $e.$ Их среднее арифметическое равняется:

a+-b+-c+d-+-e S = 5

По условию задачи $S$ — натуральное число. Это значит, что сумма пяти чисел нацело делится на 5. Также известно, что среднее арифметическое любых четырех чисел из набора $a,$ $b,$ $c,$ $d$ и $e$ — тоже натуральное число. Следовательно, сумма любых четырех чисел делится нацело на 4.

Попробуем подобрать такие $a,$ $b,$ $c,$ $d$ и $e.$ Пусть $a+ b+ c+ d+ e= 25.$

Положим $a = b= c= d= 1.$ Так как сумма всех пяти чисел равна $25,$ то

e =(a+ b+ c+ d+ e)− (a +b +c +d)= 25− 4 =21

Проверим, удовлетворяет ли полученный набор чисел условиям задачи:

S = a+-b+-c+d-+-e= 1+-1+-1-+1-+21 = 5 5 5 a + b+c +d = 1+ 1+ 1+ 1= 4 a+ b+ c+ e= 1+ 1+ 1+ 21= 24 a+ b+ d+ e= 1+ 1+ 1+ 21= 24 a+ c+ d+ e= 1+ 1+ 1+ 21= 24 b+ c+d + e= 1+ 1+ 1+ 21= 24

Таким образом, примером таких чисел является набор:

a =1, b = 1, c = 1, d= 1, e= 21.

Ответ:

1, 1, 1, 1, 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#141272Максимум баллов за задание: 4

Найдите среднее арифметическое первых 10 натуральных чисел, кратных 3.

Показать ответ и решение

Перечислим первые 10 натуральных чисел, кратных 3:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

Тогда среднее арифметическое равняется:

3 +6 +9 +12 +15+ 18+ 21+ 24+ 27+ 30 165 S =-----------------10-----------------= -10 = 16,5

Ответ: 16,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#141273Максимум баллов за задание: 4

Найдите среднее арифметическое первых 8 натуральных чисел, кратных 5.

Показать ответ и решение

Перечислим первые 8 натуральных чисел, кратных 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40

Тогда среднее арифметическое равняется:

5 +10 +15+ 20+ 25+ 30+ 35+ 40 180 S =--------------8--------------= -8- = 22,5

Ответ: 22,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#141274Максимум баллов за задание: 4

Найдите среднее арифметическое 13 различных чисел, если известно, что среднее арифметическое пяти наименьших из этих чисел равно 4, а среднее арифметическое восьми наибольших из этих чисел равно 30.

Показать ответ и решение

Положим, что набор чисел $x1,$ $x2,$ $...,$ $x13$ упорядочен следующим образом:

x < x < ...< x 1 2 13

Следовательно, среднее арифметическое пяти наименьших чисел равняется:

x1+ x2+ x3+ x4+ x5 S1 = --------5---------= 4

Отсюда получаем:

x + x + x +x +x = 4⋅5= 20 1 2 3 4 5

Среднее арифметическое восьми наибольших чисел:

S2 = x6+-x7+-x8+-x9+-x10+-x11+-x12+-x13= 30 8

Отсюда получаем:

x6 +x7 +x8 +x9+ x10+ x11+ x12+ x13 = 30⋅8= 240

Таким образом, среднее арифметическое всех 13 чисел равно:

20+ 240 260 S = --13---= -13 =20

Ответ: 20

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#141275Максимум баллов за задание: 4

Найдите среднее арифметическое 11 различных чисел, если известно, что среднее арифметическое четырех наименьших из этих чисел равно 3, а среднее арифметическое семи наибольших из этих чисел равно 14.

Показать ответ и решение

Положим, что набор чисел $x1,$ $x2,$ $...,$ $x11$ упорядочен следующим образом:

x < x < ...< x 1 2 11

Следовательно, среднее арифметическое четырех наименьших чисел равняется:

x1+-x2+-x3+-x4 S1 = 4 = 3

Отсюда получаем:

x1+ x2+x3 +x4 = 3⋅4= 12

Среднее арифметическое семи наибольших чисел:

S2 = x5+-x6+-x7+-x8+-x9+-x10+-x11= 14 7

Отсюда получаем:

x5+x6 +x7 +x8 +x9 +x10+ x11 = 14⋅7= 98

Таким образом, среднее арифметическое всех 11 чисел равно:

12+ 98 110 S =--11-- = 11-= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#141276Максимум баллов за задание: 4

В первой четверти на уроках по математике Никита уже получил пять оценок: 3, 3, 4, 5, 5. Он хочет получить 5 в четверти, которую учитель поставит ему, если средний балл Никиты будет не менее 4,5. Какое наименьшее число пятерок нужно получить для этого Никите, если он планирует получать только их?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество пятерок. Чтобы ученик получил 5 в четверти, среднее арифметическое всех оценок должно быть не менее 4,5:

3-+-3+-4+-5+-5+-5⋅x S = 5+ x ≥4,5 20+ 5x ≥4,5(5 +x) 20+ 5x≥ 4,5x +22,5 0,5x≥ 2,5 x ≥5

Таким образом, Никите нужно получить минимум еще 5 пятерок.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#141277Максимум баллов за задание: 4

В первой четверти на уроках по математике Дима уже получил четыре оценки: 2, 3, 3, 4. Он хочет получить 4 в четверти, которую учитель поставит ему, если средний балл Димы будет не менее 3,5. Какое наименьшее число четверок нужно получить для этого Диме, если он планирует получать только их?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество четверок. Чтобы ученик получил 4 в четверти, среднее арифметическое всех оценок должно быть не менее 3,5:

2+-3+-3+-4+-4⋅x- S = 4+ x ≥ 3,5 12+ 4x ≥3,5(4 +x) 12 +4x ≥ 3,5x+ 14 0,5x ≥ 2 x ≥4

Таким образом, Диме нужно получить минимум еще 4 четверки.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#141279Максимум баллов за задание: 4

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?

Показать ответ и решение

а) Когда в задаче дается набор различных натуральных чисел, а также дается либо сумма чисел, либо их среднее арифметическое (зная среднее арифметическое чисел и их количество, можно легко посчитать их сумму), то, как правило, работает классическая идея минимальной суммы.

Предположим, что наименьшее число равно 3. Тогда наименьшая возможная сумма шести наименьших чисел равна

3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8 =33

Тогда наименьшее среднее арифметическое шести наименьших чисел равно $33 -6 > 5.$

Мы взяли шесть самых маленьких различных натуральных чисел при условии, что наименьшее из них равно 3. И если их среднее арифметическое оказалось больше 5, то и среднее арифметическое шести любых различных натуральных чисел, наименьшее из которых равно 3, будет больше 5.

Следовательно, мы получили противоречие, значит, наименьшее число в наборе не может быть равно 3.

б) Пусть мы имеем набор упорядоченных по возрастанию чисел

a1, a2, ..., a10

Тогда по условию имеем:

(a1 +a2+ ⋅⋅⋅+a6):6 = 5 ⇒ a1+ ⋅⋅⋅+ a6 = 30 (a5+ a6+ ...a10):6= 15 ⇒ a5+ a6+ ...a10 = 90

Отсюда получаем

a1+ a2+ ⋅⋅⋅+ a10 +(a5+ a6)= 30+ 90= 120

Наименьшее возможное значение $a5$ — это 5, так как числа натуральные и различные и они упорядочены по возрастанию. Тогда самое маленькое возможное значение $a6$ — это 6. Но тогда наибольшая возможная сумма всех чисел равна

a1+ ⋅⋅⋅+a10 = 120− (5+ 6) =109

Значит, наибольшее возможное среднее арифметическое всех десяти чисел равно

109 :10 = 10,9< 11

Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может быть равно 11.

Ответ:

а) Нет
б) Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#141280Максимум баллов за задание: 4

На доске в порядке возрастания написано 11 различных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно 7. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 4, а среднее арифметическое шести наибольших из них равно 10. Найдите шестое по величине число.

Показать ответ и решение

Положим, что набор чисел $x1,$ $x2,$ $...,$ $x11$ упорядочен следующим образом:

x < x < ...< x 1 2 11

Выпишем среднее арифметическое и найдем сумму шести наименьших чисел:

x1+-x2+-x3+-x4+-x5+-x6 S1 = 6 = 4 x + x + x +x +x +x = 4⋅6= 24 1 2 3 4 5 6

Выпишем среднее арифметическое и найдем сумму шести наибольших чисел:

x6+-x7+-x8+-x9+-x10+-x11 S2 = 6 = 10 x +x +x +x +x + x = 10⋅6= 60 6 7 8 9 10 11

Выпишем среднее арифметическое и найдем сумму всех 11 чисел:

S = x1+-x2+-...+-x11= 7 11 x1+ x2+ ...+ x11 = 7⋅11= 77

Тогда можем найти шестое по величине число:

x6 = (x1+ x2+ ...+x6)+ (x6+ x7+ ...+ x11)− (x1+ x2+ ...+ x11) = = 24+ 60 − 77 = 7

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#141284Максимум баллов за задание: 4

На доске в порядке возрастания написано 7 различных натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно 5. Среднее арифметическое четырех наименьших из них равно 3, а среднее арифметическое четырех наибольших из них равно 7. Найдите четвертое по величине число.

Показать ответ и решение

Положим, что набор чисел $x1,$ $x2,$ $...,$ $x7$ упорядочен следующим образом:

x < x < ...< x 1 2 7

Выпишем среднее арифметическое и найдем сумму четырех наименьших чисел:

x1+-x2+-x3+-x4 S1 = 4 = 3 x + x +x +x = 3⋅4= 12 1 2 3 4

Выпишем среднее арифметическое и найдем сумму четырех наибольших чисел:

x4+-x5+-x6+-x7 S2 = 4 = 7 x + x +x +x = 7⋅4= 28 4 5 6 7

Выпишем среднее арифметическое и найдем сумму всех 7 чисел:

S = x1-+x2+-...+x7 = 5 7 x1 +x2 +...+ x7 = 5⋅7= 35

Тогда можем найти четвертое по величине число:

x4 = (x1+ x2+ x3+ x4)+ (x4 +x5+ x6+ x7)− (x1+x2 +...+ x7) = = 12+ 28 − 35 = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#141291Максимум баллов за задание: 4

На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120. Может ли на доске быть написано число 230?

Показать ответ и решение

Известно, что сумма первых $n$ последовательных натуральных чисел равна

n-⋅(n-+1) Sn = 1+ 2+ ...+n = 2 .

Когда в задаче сказано что-то о сумме некоторых чисел, можно попробовать рассмотреть наименьшую из возможных сумм этих чисел.

Рассмотрим наименьшую возможную сумму $S$ , содержащую число 230. Она состоит из наименьших 99 натуральных чисел и числа 230:

99 ⋅100 S =S99+ 230= ---2-- +230 =5180> 5120.

Следовательно, получаем противоречие и число 230 не могло быть написано на доске.

Ответ: Нет

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#141292Максимум баллов за задание: 4

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.

a) Может ли наибольшее из этих одиннадцати чисел равняться 16?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 10?

Показать ответ и решение

а) Упорядочим числа по возрастанию:

a < a <a <a < a < a < a < a < a < a < a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Из условия задачи следует, что

a1-+a2-+...+a6-= 8 ⇔ a1+ a2+ ...+ a6 = 48 6 a5-+a6-+...+a11-= 14 ⇔ a5 +a6 +...+a11 = 98 7

Предположим, что $a = 16. 11$ Тогда имеем:

a10 ≤ 15, a9 ≤ 14, a8 ≤ 13, a7 ≤ 12, a6 ≤11, a5 ≤ 10

Оценим сумму семи наибольших чисел:

98= a + a + ...+ a ≤ 10+ 11+ 12+ 13+ 14 +15 +16 =91 5 6 11

Получили противоречие, следовательно, наибольшее число не может равняться 16.

б) Если среднее арифметическое 11 чисел равно 10, то их сумма равна 110:

a1+-a2+-...+-a11 11 = 10 ⇔ a1+ a2+ ...+ a11 = 110

Рассмотрим такую схему:

-------ихсумма равна98-------- a1 < a2 < a3 <a4 <◜a5 < a6< a7 < ◞a◟8 < a9 < a10 < a◝11 ◟----ихсум◝м◜аравна48-----◞

Следовательно,

48+ 98= (a1 +a2+ ...+a11)+ (a5 +a6)= = 110+ (a5+ a6) ⇔ a5+ a6 = 36

Отсюда получаем $a6 ≥ 19.$ Действительно, иначе приходим к неверному неравенству:

a6 ≤ 18, a5 ≤ 17 a5+ a6 ≤ 17+ 18 36 ≤35

Если $a6 ≥19,$ то имеем:

a7 ≥ 20, a8 ≥21, a9 ≥ 22, a10 ≥23, a11 ≥24 a6+ a7 +...+ a11 ≥19 +20+ 21+ 22+ 23+ 24= 129

Тогда получаем:

129 ≤a6 +a7+ ...+a11 < a5+ (a6+ a7+...+ a11)= 98

Cледовательно, $129< 98$ — противоречие. Значит, среднее арифметическое всех 11 чисел не может равняться 10.

Ответ:

а) Нет

б) Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#141299Максимум баллов за задание: 4

Дано $n$ различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое четырех наибольших из них равно 15,5. Найдите максимальное возможное значение $n$ .

Показать ответ и решение

Обозначим числа через

a1 > a2 > ...> an.

Запишем условие на среднее арифметическое:

a1+-a2+-a3-+a4- 4 = 15,5 a1 +a2+ a3+ a4 = 62

Все числа различны, значит, верны следующие оценки:

a3 ≥ a4+ 1 a2 ≥ a3+ 1 ≥a4+ 2 a1 ≥ a2+ 1 ≥a4+ 3

Подставив их в условие на то, что сумма равна 62, получим:

(a4 +3)+ (a4+ 2)+(a4+ 1)+ a4 ≤ 62 4a4+ 6≤ 62 ⇔ a4 ≤ 14

Все $n − 4$ чисел $a5,...,an$ по условию различны и все они меньше чем $a4.$ Очевидно, что количество различных натуральных чисел, меньших $a , 4$ равно $a4− 1.$ Тогда имеем неравенство

n− 4≤ a4− 1≤ 13 ⇔ n ≤17.

Пример: все натуральные числа от 1 до 17.

Ответ: 17