Тема 17. Задачи по планиметрии

17.11 Метод площадей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по планиметрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#807

Точки $M,$ $N,$ $P$ лежат на сторонах $AB,$ $BC,$ $CA$ соответственно треугольника $ABC,$ причем $AM :AB =BN :BC = CP :CA = 1 :3.$ Площадь треугольника $MNP$ равна 15. Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$△ ABC$ и $△MBN$ имеют общий угол $B,$ при этом $BM = 23BA,$ $BN = 13BC.$

$PIC$

Так как площади треугольников, имеющих общих угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол, то

2 1 SMBN- = 3BA-⋅3BC--= 2 ⇒ SMBN = 2SABC. SABC BA ⋅BC 9 9

Аналогично рассуждая, получаем, что

2 SMAP = SPCN = 9SABC.

Следовательно,

15+ 3⋅ 2S = S ⇒ S = 3⋅15= 45. 9 ABC ABC ABC

Ответ: 45

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2745

Внутри треугольника $ABC$ взяты точки $A1,$ $B1,$ $C1$ так, что $B1$ — середина $AA1,$ $C1$ — середина $BB1,$ $A1$ — середина $CC1.$ Найдите отношение площадей треугольников $A1B1C1$ и $ABC.$

Показать ответ и решение

Соединим точки $A$ и $C1,$ $B$ и $A1,$ $C$ и $B1.$

$PIC$

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то

S△ACB1 = S△B1CA1 =S△A1B1C1 S△CBA1 = S△A1BC1 =S△A1B1C1 S△BAC = S△C AB = S△A B C 1 1 1 1 11

Таким образом, все семь образовавшихся треугольников имеют одинаковые площади. Значит,

S :S = 1:7. △A1B1C1 △ABC

Ответ: 1:7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#548

Дана трапеция $ABCD,$ ее основания $BC$ и $AD$ равны 2 и 6 соответственно. Диагонали $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $O.$ Точка $P$ — середина $OD.$ Найдите площадь четырехугольника $ABCP,$ если $S△ABO = 9.$

Показать ответ и решение

Пусть $S△BOC = x.$ Заметим, что $△ BCO ∼ △AOD$ по двум углам, так как $BC ∥ AD,$ $∠BCA =∠CAD$ как накрест лежащие и $∠BOC = ∠AOD$ как вертикальные.

$PIC$

Следовательно, запишем отношение подобия:

BO- = CO-= BC- = 2 = 1 OD OA AD 6 3

Тогда для треугольников с общей высотой из вершины $B$ имеем:

S△ABO AO 3 S△BCO- = OC-= 1 ⇒ S△ABO = 3x

Аналогично получаем

S = 3x △CDO

Для треугольников с общей высотой из вершины $C$ имеем:

S△COP OP 1 S△CPD- = PD-= 1 S△COP = S△CPD = 1,5x

$PIC$

Площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате, следовательно,

( )2 -S△BOC = 1 = 1 ⇒ S △ADO = 9x S △AOD 3 9 S△APO = 4,5x ⇒ SABCP = 10x

Так как по условию $S△ABO = 9,$ то окончательно имеем:

3x= 9 ⇒ x = 3, SABCP = 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#791

В треугольнике со сторонами $a,b,c$ радиус вписанной окружности равен $r = a+b2−-c$ . Докажите, что треугольник является прямоугольным.

Показать ответ и решение

Как известно, площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. С другой стороны, площадь можно найти по формуле Герона. Следовательно:

∘ ---------------------- 2 S = p (p − a )(p − b)(p − c) = p ⋅ r ⇒ (p − a)(p − b)(p − c) = p ⋅ r

Т.к. $a + b + c p = --------- 2$ , $a + b − c r = --------- 2$ , то

$a + b − c a + c − b b + c − a a + b + c (a + b − c)2 ---------⋅ ---------⋅--------- = --------- ⋅------------ ⇒ 2 2 2 2 4$

$⇒ (c + (a − b))(c − (a − b)) = ((a + b) + c)((a + b) − c) ⇒ c2 − (a − b)2 = (a + b)2 − c2$

$2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ c − a + 2ab − b = a + 2ab + b − c ⇒ c = a + b$

Таким образом, по обратной теореме Пифагора треугольник будет прямоугольным, причем прямой угол находится против стороны $c$ .

Ответ: Доказательство

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2104

Внутри равностороннего треугольника со стороной $m$ движется точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника не меняется, и найдите эту сумму.

Показать ответ и решение

Рассмотрим равносторонний $△ABC,$ $AB = m,$ $O$ – точка внутри треугольника, $OA1, OB1, OC1$ — перпендикуляры на стороны $BC, AC, AB$ соответственно.

$PIC$

Рассмотрим $△AOB, △BOC, △COA.$ Их площади равны $0,5m ⋅OC1; 0,5m ⋅OA1; 0,5m ⋅OB1$ соответственно. Тогда сумма их площадей равна площади всего $△ABC,$ следовательно:

√- √ - -3- 2 --3 0,5m ⋅(OC1+ OA1 + OB1)= S△ABC = 4 m ⇔ OC1 +OA1 + OB1 = 2 m

Таким образом, мы доказали, что для фиксированного равностороннего треугольника сумма постоянна, а также нашли ее.

Ответ:

$m √3 --2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2105

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $AM :MC =4 :5,$ $BN :BC =0,25.$ Отрезки $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $P.$ Найдите площадь треугольника $AP M,$ если площадь треугольника $ABC$ равна 63.

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $BN = 1BC 4$ .

Обозначим $S △ABC =S.$ Так как $△ABC$ и $△ABN$ имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины $A,$ то

S BC 1 S△ABN- = BN-= 4 ⇒ S△ABN = 4S

Аналогично рассуждая, получим

---S--- -AC- 9 4 S△ABM = AM = 4 ⇒ S△ABM = 9S

Найдем отношение $AP :PN,$ чтобы определить, какую часть составляет $S△ABP$ от $S △ABN.$

$PIC$

Проведем прямую $NK ∥BM.$ Тогда по теореме Фалеса

BN-- MK-- 1 MK-- 1 BC = MC ⇒ 4 = MC ⇒ MK = 4MC

Так как по условию $AM :MC = 4 :5,$ то можно принять $AM = 4x,$ $MC =5x.$ Тогда $5 MK = 4x.$

По теореме Фалеса имеем:

-AP = AM-- ⇒ -AP = 45x-= 16 ⇒ AP = 16PN P N MK P N 4x 5 5

Так как $△ABP$ и $△ABN$ имеют одинаковую высоту, опущенную из вершины $B,$ то получаем

S△ABN-= AN- = AP-+-PN-= 21 S△ABP AP AP 16

Следовательно,

16 4 S△ABP = 21S△ABN = 21-S

Тогда окончательно имеем:

S △APM = S△ABM − S△ABP = 4S − 4-S = 16S ⇒ S△APM =16 9 21 63

Ответ: 16

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#16006

Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25.

Показать ответ и решение

Достроим трапецию до параллелограмма: провередем через $D$ прямую, параллельную $AB$ , $F$ — точка ее пересечения с прямой $BC$ . $ABF D$ — параллелограмм, следовательно, $F D = AB = 25$ , $CF = BF − BC = AD − BC = 44 − 16 = 28$ .

$PIC$

Найдем косинус угла $CF D$ по теореме косинусов для треугольника $CFD$ :

CF 2 + DF 2 − CD2 282 + 252 − 172 CD2 = CF 2 + DF 2 − 2CF ⋅DF cos∠CF D ⇒ cos∠CF D = ----2CF-⋅DF------= --2-⋅28⋅25---= 0,8

Учитывая, что синус угла, меньшего 180 $∘$ , всегда неотрицателен, получаем

∘ ------2------ sin ∠CF D = 1− cos ∠CF D = 0,6

Тогда площадь трапеции можно записать следующим образом

SABCD = SABFD − SCF D = BF ⋅F Dsin∠BF D − 1CF ⋅F D sin∠CF D = 44⋅25⋅0,6 − 1⋅28 ⋅25⋅0,6 = 450 2 2

Ответ:

450

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#16007

Найдите площадь трапеции с основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и 12.

Показать ответ и решение

Сделаем дополнительное постороение. Проведем через $D$ прямую, параллельную $AC$ , $E$ — точка ее пересечения с прямой $BC$ . Получаем $AC ∥ DE$ и $AD ∥ CE$ , следовательно, $ACED$ — параллелограмм. Тогда $CE = AD = 11$ , $DE = AC = 12$ .

$PIC$

Рассмотрим теперь треугольник $BED$ , длины его сторон образует пифагорову тройку $92 + 122 = (4+ 11)2$ , следовательно, он прямоугольный с прямым углом $D$ . Пусть $DH$ высота из $D$ на $BE$ . Тогда можем записать площадь прямоугольного треугольника $BED$ двумя способами

S_BED = $1 2$ DB ⋅ DE = $1 2$ BE ⋅ HD ⇒ HD = $DB--⋅DE- BE$ = 7,2

Тогда площадь трапеции

S_ABCD = $1 - 2$ (BC + AD) ⋅ HD = 54

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#19704

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 14 и 15.

Показать ответ и решение

Радиус $r$ вписанной окружности вычисляются по формуле

S r = p-

Здесь $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр.

Радиус $R$ описанной окружности вычисляются по формуле

R = abc 4S

Здесь $a$ , $b$ и $c$ — длины сторон треугольника, $S$ — его площадь.

$PIC$

Зная стороны треугольника, найдем его полупериметр:

p= a-+b+-c = 13+-14+-15-= 42 = 21 2 2 2

По формуле Герона вычислим площадь треугольника:

∘ ----------------- S = p(p− a)(p− b)(p− c)= = ∘21-⋅(21−-13)-⋅(21−-14)⋅(21-− 15)= √ --------- √ -------- = 21 ⋅6⋅7⋅8= 24 ⋅32 ⋅72 = 4⋅3⋅7= 84

Тогда искомые радиусы равны

r = S-= 84-= 4 p 21 abc 13-⋅14-⋅15- 13⋅5 R = 4S = 4 ⋅84 = 8 = 8,125

Ответ:

$4; 8,125$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#812

Точки $M,$ $N,$ $P$ лежат на сторонах $AB,$ $BC,$ $CA$ треугольника $ABC,$ причем $AM :AB = BN :BC = CP :CA = 1:3.$ При пересечении отрезков $AN,$ $BP,$ $CM$ образуется треугольник $A1B1C1,$ площадь которого равна 1. Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Найдем часть, которую составляет $SMAA 1$ от $SABC.$ Для этого найдем, в каком отношении отрезок $AN$ делится отрезком $CM.$ Проведем $NN1 ∥CM.$ Тогда по обобщенной теореме Фалеса $N1$ делит отрезок $BM$ в том же отношении, что $N$ делит отрезок $BC.$

Следовательно, получаем

1 1 2 2 BN1 = 3BM = 3 ⋅3AB = 9AB

Также по условию $1 AM = 3AB.$ Тогда имеем:

AA1- = AM--= ---13AB---= 3 AN AN1 AB − 29AB 7

Следовательно, так как треугольники $MAA1$ и $BAN$ имеют общий угол $A,$ то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол:

S△MAA1- = AM-⋅AA1-= 13AB-⋅ 37AN-= 1 S△BAN AB ⋅AN AB ⋅AN 7

$PIC$

Таким образом, $S△MAA1 = 1S△BAN. 7$ Но в свою очередь $△BAN$ и $△ABC$ имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины $A.$ Значит, их площади относятся как основания, то есть