Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.06 Банковский вклад

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#990

Клиент вложил некоторую сумму под 10% годовых, начисляемых на вклад раз в год. Известно, что в конце первого года (после начисления процентов) он снял со своего счета 10% от имеющейся на тот момент суммы, а в конце второго года (также после начисления процентов) он доложил на счет 10% от имеющейся суммы. Определите, в конце третьего года (после начисления процентов) увеличилась или уменьшилась сумма на счете после таких манипуляций по сравнению с первоначальным вкладом и на сколько процентов.

Показать ответ и решение

Пусть клиент сделал вклад в размере $A$ рублей. Тогда после начисления процентов в первый год на счете у него уже будет $1,1A$ рублей. Так как он снял 10% от этой суммы, то у него осталось 90% или $0,9⋅1,1A$ рублей.

Тогда в конце второго года банк снова начислил проценты и сумма на счете стала равна $1,1⋅(0,9⋅1,1A)$ рублей. Далее он доложил 10%, следовательно, на счете у него стало 110% или $1,1⋅(1,1⋅(0,9⋅1,1A ))$ рублей.

На третьем году после начисления процентов у него стало $1,1⋅1,1⋅(1,1⋅(0,9⋅1,1A ))$ рублей.

Удобно следить за данными операциями, составив таблицу:

|Ном-ер-года-|С-умма до-начисления-%|Сумм-а после начисления-%----М-ани&#x04----------- -1--------------------A--------------------1,1A---------------−-0,1-⋅(1,1A)-----| |2---------|------0,9-⋅(1,1A)------|-----1,1-⋅(0,9⋅1,1A)-----|+-0,1⋅(1,1⋅0,9⋅1,1A)-| -3------------1,1⋅(1,1⋅0,9⋅1,1A)----1,1⋅(1,1⋅1,1⋅0,9⋅1,1A-)----------------------

Следовательно, на счете у него стало

1,14⋅0,9A= 1,31769A,

что больше первоначального вклада $A$ на $31,769%.$

Ответ: Увеличилась на 31,769%

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#992

В феврале женщина оформила в банке вклад на 4 года. Каждый год в ноябре банк начисляет на вклад 8%. В декабре первого года пользования услугами данного банка женщина решила купить квартиру и сняла для этой цели со своего счета 8 млн рублей. Ровно через два года она продала эту квартиру и сразу же вернула на счет в банке 8 млн рублей.

Определите, сколько рублей потеряла эта женщина по истечении срока действия вклада из-за подобных действий.

Показать ответ и решение

Пусть размер вклада составил $A$ млн рублей. Составим таблицу, описывающую действия, происходившие со вкладом. Расчеты здесь и далее будем вести в млн рублей.

|----|----------------|----------------------|------------| |Год-|С-умма в-феврале|----Сум-ма в-ноябре----|Манипуляции-| |1---|-------A--------|--------1,08A----------|----−-8-----| |23---|--1,018,0(18,A08A− 8−-8)-|----11,,00882(1(,10,088AA−−8 8))-----|----+-8-----| |4---|1,082(1,08A-−-8)+-8|1,08(1,082(1,08A-− 8)+-8)|------------| -----------------------------------------------------------

Таким образом, спустя четыре года на счете у женщины было

1,08(1,082(1,08A − 8)+ 8) = = 1,084A − 8 ⋅1,08(1,08− 1)(1,08+ 1)

Если бы она не совершала данные манипуляции, то каждый год ее вклад увеличивался в 1,08 раза и к концу четвертого года составил $4 1,08 A$ млн рублей. Следовательно, из-за подобных действий вклад уменьшился на сумму в млн рублей, равную

8⋅1,08(1,08− 1)(1,08+ 1) = = 8 ⋅1,08⋅0,08⋅2,08 = 1,437696

Ответ: 1 437 696 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#17247

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 14% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 8% в первый год и на целое число $n$ процентов за второй год. Найдите наименьшее значение $n,$ при котором за два года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Показать ответ и решение

Обозначим через $S$ сумму первоначального взноса.

По вкладу «А» банк увеличивает сумму на 14% каждый год, значит, через два года сумма денег на вкладе составит

1,142S = 1,2996S

По вкладу «Б» банк увеличивается сумму вклада на 8% в первый год и на $n%$ во второй, значит, через два года сумма денег на вкладе составит

1,08 ⋅ 100-+-n⋅S 100

Нам нужно найти минимальное целое $n,$ при котором второе выражение больше:

100+-n 129,96- 1,2996S < 1,08⋅ 100 ⋅S ⇔ 1,08 − 100 < n ⇔

⇔ n> 1201− 100= 201 3 3

Таким образом, наименьшее подходящее целое $n= 21.$

Ответ: 21

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#951

Владелец автосалона решил разделить свой капитал на 3 части и вложить их в 3 различных банка, причем годовые процентные ставки в этих банках относятся как $2:3 :5.$ В каком отношении он должен поделить свой капитал, чтобы через год чистая прибыль от вкладов во всех трех банках была одинакова?

Показать ответ и решение

Обозначим за $2y$ процентную ставку в первом банке, тогда в остальных банках ставки будут $3y%$ и $5y%.$ Пусть вклад в первый банк составил $A1,$ во второй – $A2,$ в третий – $A3.$ Составим таблицу:

|-----|----------------|-----------------|------------------| |Банк |Размер вклада до |Разм ер вклада после Чистая прибыль | |-----|--начисления-%---|--начисления %---|------------------| | | | 100+ 2y | (100+ 2y ) | |1 | A1 | --100--⋅A1 |A1 ⋅ --100-- − 1 | |-----|----------------|-----------------|------------------| | | | | ( ) | |2 | A | 100+-3y⋅A |A ⋅ 100+-3y − 1 | | | 2 | 100 2 | 2 100 | |-----|----------------|-----------------|------------------| | | | | ( ) | |3 | A3 | 100+-5y⋅A3 |A3 ⋅ 100+-5y − 1 | | | | 100 | 100 | ------------------------------------------------------------

Так как чистая прибыль во всех банках должна быть одинакова, то $( ) ( ) ( ) A1⋅ 100+-2y-− 1 = A2 ⋅ 100+-3y− 1 = A3⋅ 100-+5y-− 1 ⇔ 100 100 100$ $2A1 = 3A2 =5A3 ⇒ A1 :A2 :A3 = 15:10:6.$

Ответ: 15 : 10 : 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#952

В феврале $2015$ года Дмитрий решил сделать вклад в банк в размере $A$ рублей на следующих условиях:
– каждый год в декабре, начиная с $2015$ , банк начисляет целое кратное десяти число $y$ процентов на сумму, находящуюся на счете в феврале текущего года;
– раз в год в январе Дмитрий имеет право снять некоторую сумму со своего счета.
Хитрый Дмитрий решил, начиная с января $2017$ года, снимать со своего счета сначала $A$ рублей, затем $2A$ , и затем снова $A$ . Какое должно быть наименьшее возможное число $y$ , чтобы Дмитрию удалось это сделать?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $100 + y t = -------- 100$ :

|------|-------------------------|--------------------------| |Г од | Сум ма на сч ете д о | С ум ма на счете по сле | | |начи сления % (ф еврал ь)| начисл ения % (декабр ь) | |------|-------------------------|--------------------------| |2015--|-----------A-------------|-----------tA2-------------| |2016--|-----------tA------------|-----------t-A------------| |2017--|--------t2A-−-A----------|-------t(t2A-−-A-)--------| |2018 | t(t2A − A ) − 2A | t(t(t2A − A) − 2A ) | |------|-----2-------------------|--------------------------| -2019----t(t(t-A-−-A-) −-2A)-−-A-----------------------------|

Для того, чтобы Дмитрию удалось сделать то, что он задумал, нужно:

( |{ t2A − A ≥ 0 t(t2A − A ) − 2A ≥ 0 |( 2 t(t(tA − A) − 2A ) − A ≥ 0

(т.к. он не может снять со счета больше, чем есть на счете в данный момент)

Заметим, что, т.к. $2 t > 1 ⇒ A (t − 1) ≥ 0$ при всех $t$ .
Рассмотрим другие два неравенства:

{ 3 t − t − 2 ≥ 0 t4 − t2 − 2t − 1 ≥ 0

Заметим, что если выполнено $4 2 t − t − 2t − 1 ≥ 0$ , то $3 1 t − t − 2 ≥ --> 0 t$ , т.к. $t > 1$ . Т.е. при тех значениях $t$ , при которых выполнено второе неравенство, выполнено и первое неравенство. Значит, решим только второе неравенство:

√ -- t4 − (t + 1)2 ≥ 0 ⇒ (t2 − t − 1)(t2 + t + 1) ≥ 0 ⇒ t ≥ 1-+-5 2

Сделав обратную замену, получим: $√ -- y ≥ 50 ( 5 − 1)$ . Т.к. $√ -- 5 > 2$ , то $√ -- 50( 5 − 1) > 50$ . Следовательно, возможные варианты для $y$ – это $60;70;80$ и т.д. Проверкой убеждаемся, что подходит $y = 70$ , т.к.:
$-- -- 70 > 50 (√ 5 − 1 ) ⇔ 12 > 5√ 5 ⇔ 144 > 125$ — верно.

Ответ:

$70$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#953

Клиент хочет сделать вклад на три года и выбирает между двумя банками:

– первый банк в конце каждого года планирует увеличивать сумму, имеющуюся на счете в начале года, на 10%

– второй банк планирует увеличивать эту сумму в первый год на 4%, во второй год — на $y%,$ а в третий — на $2y%.$

Найдите наименьшее целое кратное 5 число $y,$ чтобы предложение второго банка в течение трех лет хранения вклада оказалось выгоднее предложения первого банка.

Показать ответ и решение

Пусть планируется сделать вклад на сумму $A$ рублей. Составим таблицу для первого банка:

|----|-------------------|-------------------| |Год | Сумма на счете до|С умма на счете после| |1---|начисленияAпроцентов-|начислен1и,я1 пAроцентов| |2---|-------1,1A--------|-------1,12A--------| |3---|-------1,12A--------|-------1,13A--------| ---------------------------------------------

Таким образом, сумма на счете после трех лет хранения в этом банке будет равна $1,13A$ рублей.

Составим таблицу для второго банка, используя обозначение $0,01y = t.$

|Год-|--Сумма-на счете до|С-умма на-счете-после| | |начисления процентов |начисления процентов| |1---|---------A---------|-------1,04A--------| |2---|-------1,04A--------|----(1-+t)⋅1,04A-----| -3--------(1-+t)⋅1,04A-------(1-+2t)(1-+t)⋅1,04A--

Таким образом, сумма на счете во втором банке в конце третьего года будет равна $(1+ 2t)(1+ t)⋅1,04A$ рублей.

Так как необходимо, чтобы второй банк стал выгоднее первого, то должно выполнять неравенство

(1+ 2t)(1+ t)⋅1,04A >1,13A ⇒ 2080t2+3120t− 291> 0

Так как $y$ кратно 5, то возможные варианты для $t$ — это $0,05; 0,1; 0,15; 0,2$ и так далее. Подставляя их в полученное неравенство, найдем наименьшее подходящее $t= 0,1.$

Действительно, при $t= 0,05$ имеем

2080⋅0,052 +3120⋅0,05− 291 = −129,8 < 0

Но при $t= 0,1$ имеем

2080⋅0,12 +3120⋅0,1− 291= 41,8 > 0

Следовательно, $t= 0,1,$ а значит $y = 10%.$

Ответ: 10

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#991

Ваня сделал вклад в банке на 3 года. Раз в год банк начисляет на сумму, находящуюся на счете, некоторое количество процентов.

У Вани есть возможность в первый год после начисления процентов снять со счета 20% от имеющейся там суммы, а во второй год — доложить 20% от имеющейся там суммы. Также у Вани есть возможность сделать наоборот, то есть в первый год после начисления процентов доложить на счет 20% от имеющейся там суммы, а во второй год — снять 20% от имеющейся там суммы.

Определите, в какой из этих возможностей спустя 3 года у Вани на счете окажется большая сумма и на сколько процентов эта сумма больше по сравнению с другой возможностью.

Показать ответ и решение

Пусть Ваня положил в банк $A$ рублей. Пусть каждый год банк увеличивает сумму, находящуюся на счете, в $t$ раз. Далее расчеты будем вести в рублях. Рассмотрим два случая.

1) Сначала Ваня снял 20%, затем доложил 20%:

|---|---------------------|-----------------------|---------------| |Г1од-|С-умма до-наAчисления-%-Сум-ма после начисления-%--Манипуляции--- |2--|-------0,8-⋅(tA)-------|-------t⋅(0,8⋅tA)-------|+0,2⋅(t⋅0,8-⋅tA)-| |3--|----1,2⋅(t⋅0,8⋅tA-)----|----t⋅(1,2⋅t⋅0,8⋅tA-)----|---------------| -------------------------------------------------------------------

2) Сначала Ваня доложил 20%, затем снял 20%:

|Год-|С-умма до-начисления-%|Сум-ма после начисления-%--Манипуляции--| |1--|----------A----------|----------tA-----------|---+0,2⋅(tA-)---| |2--|-------1,2-⋅(tA)-------|-------t⋅(1,2⋅tA)-------|−-0,2⋅(t⋅1,2-⋅tA)-| |3--|----0,8⋅(t⋅1,2⋅tA-)----|----t⋅(0,8⋅t⋅1,2⋅tA-)----|---------------| -------------------------------------------------------------------

Таким образом, в обоих случаях в конце третьего года на счете у Вани будет

0,8 ⋅1,2⋅t3A

Следовательно, относительная выгода любой из возможностей составляет 0%.

Ответ: 0%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#993

Банк предоставляет следующие условия по оформлению вкладов:

– два раза в год банк начисляет на вклад некоторый процент;

– в первый год банк начисляет целое кратное десяти число $y$ процентов;

– в каждый следующий год процент становится в два раза больше процента в предыдущем году.

Найдите $y,$ если известно, что спустя 3 года сумма на счете превысила первоначальную на $241,5104%.$

Показать ответ и решение

Пусть для определенности банк начисляет проценты в январе и июле. Пусть было положено $A$ рублей в банк. Составим таблицу:

|-----------|----------------------------------|-----------------------------------| |Н-омер года|----------Сумма-в январе----------|-----------С-умма в-июл2е-----------| |1----------|-----------(1+-0,01y)A----2--------|------------(1-+-0,021y)A----2--------| |23----------|(1-+0,(011+⋅40y,)0(11+⋅20y,)(011+⋅20y,)20(11y)+-A0,01y)2A-|(1+-0,0(11+⋅4y0),021(1⋅2+y)0,0(11⋅+20y,)02(11y+)A0,01y)2A-| ------------------------------------------------------------------------------------

Таким образом, спустя 3 года на счете было в рублях

2 2 2 (1 +0,01⋅4y)(1+ 0,01⋅2y)(1+ 0,01y) A

По условию эта сумма превышает первоначальную, то есть $A,$ на $241,5104%.$ Следовательно, эта сумма составляет $341,5104%$ от $A.$ Значит,

2 2 2 (1+ 0,01⋅4y)(1+ 0,01 ⋅2y) (1+ 0,01y)A = 3,415104A

Обозначим $0,01y = x$ и получим следующее уравнение:

2 ((1+ 4x)(1+ 2x)(1+ x)) = 3,415104

Разложим на множители число

6 2 2 2 3 2 3415104= 2 ⋅3 ⋅11 ⋅7 = (2 ⋅3 ⋅11 ⋅7)

Следовательно, $3,415104= 1,8482.$ Следовательно, уравнение можно переписать в виде

(1 +4x)(1+ 2x)(1+ x)= 1,848

Так как $y$ кратно десяти, то $y = 10; 20; 30$ и так далее. Следовательно, $x = 110; 15; 310-$ и так далее.

Подставляя по очереди эти числа, видим, что первое значение $x = 110 = 0,1$ подходит:

(1+ 0,4)(1+ 0,2)(1+ 0,1)= 1,848 ⇔ 1,848= 1,848

Следовательно, $y = 10.$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2260

Алексей решил внести некоторую сумму $A$ рублей в банк под целое число $y$ процентов годовых. Каждый год после начисления процентов он дополнительно вносит на счет сумму, равную половине от той, которая находилась на счете у Алексея в начале текущего года. Какая наименьшая процентная ставка $y$ должна быть у банка, чтобы к концу третьего года (после внесения третьей дополнительной суммы) сумма на счете была не менее $8A$ рублей?

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $t= 100+-y : 100$

|---|--Сумм-а на счете|---Сумма-на счете--|--------С-умма на-счете--------| |Год|-до-начисления-%--|-после начисления-%-|--------после-доп.-взноса--------| | | | | 1 | |-1-|--------A--------|-----(--tA---)-----|----(------tA)-+-2A(-------)----| | 2 | tA+ 1A | t tA + 1A | t tA + 1A + 1 tA + 1A | |---|---(-----2-)-----|---(-(-----2-)-----|-(--(-----2-)---2(-----2-))---| | 3 | t tA + 1A + | t t tA + 1A + |t t tA+ 1A + 1 tA+ 1 A + | | | ( 2 ) | ( 2 )) | ( ( 2 )2 ( 2 )) | | | + 1 tA + 1A | + 1 tA + 1A |+ 1 t tA + 1A + 1 tA+ 1A | ---------2------2----------2------2----------2--------2-----2------2------

По условию итоговая сумма на счете должна быть не менее $8A,$ следовательно,

( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) t t tA + A- + 1 tA + 1A + 1 t tA + 1A + 1 tA + 1A ≥ 8A 2 2 2 2 2 2 2

Преобразовав левую часть неравенства, получим:

2 3 t3A+ 3t-A+ 3tA + A-≥ 8A ⇔ A-(2t+-1)-≥ 8A 2 4 8 8

Решив данное неравенство, получим:

t≥ 1,5⇒ y ≥ 50

Таким образом, наименьшее целое значение $y = 50%.$

Ответ: 50%

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2261

Елена решила сделать вклад в банк в размере $351000$ рублей под целое кратное десяти число $y%$ годовых. Найдите наибольшее возможное $y$ , чтобы к началу третьего года сумма на счете Елены не превысила $1092000$ рублей. Известно, что Елена планирует в конце первого и второго годов дополнительно после начисления процентов вносить на счет треть от суммы, имеющейся на счете на начало текущего года.

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $100+-y t= 100 , A= 351000$ :

|----|---------------|-----------------|-------------------------| |Год | Сумма на счете | Сумма на счете | Сумма на счете | до начисления % после начисления % после дополнительного взно&#x04 | | | | 1 | |1 | A | tA | tA + 3A | |----|---------------|-----------------|-------------------------| | | | ( ) | ( ) ( ) | |2 | tA + 1A | t tA+ 1A | t tA + 1A + 1 tA+ 1A | | | 3 | 3 | 3 3 3 | ------------------------------------------------------------------

Таким образом, на начало третьего года на счете у Елены будет та же сумма, которая была на счете на конец второго года после начисления процентов и после внесения второго дополнительного взноса, т.е.

$( ) ( ) t tA + 1A + 1 tA + 1A 3 3 3$ .

Необходимо, чтобы $1 1 1 t(tA+ 3A )+ 3(tA + 3A)≤ 1092000$

Заметим, что $28⋅351000 28 1092000 = 9 = 9 A ⇒$ неравенство примет вид:

√ - 3t2+ 2t− 9≤ 0 ⇒ t≤ 2--7−-1, 3

т.к. $t> 0$ .

Т.к. $√7 < 3$ , то $√ - 2--7−-1< 5 = 1,(6) 3 3$ .

Следовательно, учитывая то, что $y$ кратно десяти, то искомое $t$ будет среди чисел $1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5$ и $1,6$ .
Подставив все числа в неравенство, найдем, что наибольшее $t= 1,4$ , т.к.:
$3 ⋅1,42+ 2⋅1,4− 9= −0,32< 0$ , а вот уже $3⋅1,52 +2 ⋅1,5− 9 =0,75> 0$ .

Следовательно $t= 1,4$ , а значит $y = 40%$ .

Заметим, что число $√- 7$ можно было бы оценить точнее, если лучше помнить таблицу квадратов. Например, $√7-< 2,72 = 7,29$ , а значит $√- 2-7-− 1-< 22= 1,4(6) 3 15$ .

Ответ:

$40%$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2305

В январе 2014 года Андрей сделал вклад в размере 6 640 000 рублей под $y$ процентов годовых. В феврале 2014 года он захотел купить квартиру стоимостью 9 млн. рублей, но решил для этого взять кредит под 21% годовых на 15 лет, который необходимо выплачивать дифференцированными платежами. Найдите наименьшее число $y,$ чтобы процентов, начисляемых на вклад каждый год, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Показать ответ и решение

Заметим, что так как кредит должен выплачиваться дифференцированными платежами, то из их определения следует, что первый платеж по кредиту будет наибольшим среди всех платежей.

Так как каждый платеж по такому кредиту состоит из двух частей: $115$ часть от 9 млн рублей плюс проценты, «набежавшие» на долг за текущий год, то первый платеж будет равен

1 15 ⋅9000+ 0,21 ⋅9000 тыс. рублей.

Рассмотрим вклад. В первый год на вклад «набегут» проценты в размере $0,01y ⋅6640$ тыс. рублей. Этой суммы должно хватить для того, чтобы сделать первый платеж. Следовательно,

0,01y⋅6640≥ -1 ⋅9000+ 0,21 ⋅9000 (∗) 15

Заметим, что таким образом, если он снимет в первый год со счета не более $0,01y ⋅6640$ тыс. рублей, то на счете у него останется как минимум 6640 тыс. рублей, то есть точно не меньше, чем было в начале первого года. Следовательно, «набежавших» во второй год процентов также хватит на то, чтобы сделать второй платеж, поскольку он меньше первого платежа. Такое же рассуждение относится и ко всем следующим годам.

Следовательно, нам важно, чтобы именно первых «набежавших» по вкладу процентов хватило на то, чтобы сделать первый платеж по кредиту:

y ≥ 83-⋅ 9000 ⇒ y ≥ 3000 = 37 1 3 6640 80 2

Следовательно, наименьшее подходящее $y$ равно 37,5.

Ответ: 37,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2306

В начале 2000 года некий обеспеченный человек сделал вклад в размере $151807041$ рубль под целое число $y$ процентов годовых. Причем в течение первых 10 лет снимать со счета он мог только такую сумму, чтобы размер вклада не становился меньше первоначального. Через месяц после этого ему срочно понадобился $251807041$ рубль, поэтому он вынужден был взять кредит под $11%$ годовых на 8 лет, который необходимо было выплачивать аннуитетными платежами. Найдите наименьшее число $y$ , чтобы суммы, которую он может снимать со счета на вкладе, было достаточно для того, чтобы вносить платежи в счет погашения кредита.

Показать ответ и решение

Рассмотрим вклад. Пусть $S = 151 807041$ руб. Тогда в первый год вклад увеличится на $0,01y ⋅ S$ . Это и есть максимальная сумма, которую человек может снять со своего счета. Следовательно, во второй год вклад увеличится как минимум на столько же.

Рассмотрим кредит. Обозначим $A = 251807 041$ руб. Составим таблицу, где $x$ – ежегодный платеж по кредиту.

|-------------|----------------------------|----------------------------------|-----------------------------| |Н омер год а | До лг д о начисл ения % | Д олг по сле начисл ения % | Дол г п о&#x0 |1 | A | 1,11A | 1,11A − x | |2------------|--------1,11A--−-x----------|---------1,11(1,11A-−--x)---------|---1,11(1,11A-−--x) −-x-=----| | | | | 2 | |-------------|----------------------------|----------------------------------|--=--1,11-A-−-x-(1,11 +-1)---| |...-----------|------------...-------------|----------------...----------------|-------------...--------------| |8 |1,117A − x (1,116 + ⋅⋅⋅ + 1)|1,11(1,117A − x(1,116 + ⋅⋅⋅ + 1 ))|1,118A − x(1,117 + ⋅⋅⋅ + 1) | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Так как в конце восьмого года долг должен быть выплачен, то

8 7 1,11 A − x(1,11 + ⋅⋅⋅ + 1) = 0 ⇔ 8 8 x = ----1,11-A-----= 1,11-A-⋅ (1,11-−-1)-= 1,117 + ⋅⋅⋅ + 1 1, 118 − 1 8 = ------------1,11-A-⋅-(1,-11 −-1)----------- = (1,114 + 1)(1,112 + 1)(1,11 + 1)(1,11 − 1) 8 = -------------1,11-A------------- (1,114 + 1)(1,112 + 1)(1,11 + 1)

Следовательно, нужно, чтобы

-----------1,118 ⋅-100---------- A- 0, 01y ⋅ S ≥ x ⇒ y ≥ (1,114 + 1)(1,112 + 1)(1,11 + 1) ⋅ S

Выполним умножение:
$2 4 2 1,11 = 1,2321; 1,11 = 1,2321 = 1, 51807041$ .
Следовательно, неравенство примет вид:

y ≥ 1,51807041--⋅ 1,51807041-⋅ 100 ⋅ 251-807-041 2,51807041 ⋅ 2,2321 ⋅ 2,11 151 807 041

Выполним сокращения, получаем:

y ≥ 151807-041- 211 ⋅ 22321

Разделим в столбик эту “некрасивую” дробь и получим

32 < 151807-041-< 33 211 ⋅ 22321

Следовательно, наименьшее целое $y = 33$ .

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2307

В банке оформили два одинаковых вклада под один и тот же процент годовых на 3 года.

По первому вкладу были проделаны следующие манипуляции: в конце первого года после начисления процентов со счета было снято 20% от имеющейся там суммы, а в конце второго года после начисления процентов было доложено 30% от имеющейся там суммы.

По второму вкладу были проделаны следующие манипуляции: в конце первого года после начисления процентов на счет было доложено 20% от имеющейся там суммы, а в конце второго года после начисления процентов было снято 30% от имеющейся там суммы.

Определите, на каком из двух счетов в конце третьего года после проделанных действий оказалось больше денег. Найдите отношение суммы, находящейся на первом счете, к сумме, находящейся на втором счете.

Показать ответ и решение

Пусть оба вклада были размером $A$ рублей. Пусть после начисления процентов вклад увеличивался в $t$ раз. Расчеты будем вести в рублях. Составим таблицу для первого вклада:

|---|---------------------|-----------------------|---------------| |Год-|С-умма до-начисления-%|Сум-ма после начисления-%--Манипуляции--| |1--|----------A----------|----------tA-----------|---−-0,2⋅(tA-)---| |23--|----1,30⋅,8(t⋅⋅(0t,A8)⋅tA-)----|----t⋅(t1⋅,3(⋅0,t8⋅⋅0t,A8)⋅tA-)----|+0,3⋅(t⋅0,8-⋅tA)-| -------------------------------------------------------------------

Следовательно, в конце третьего года на счете было

3 3 1,3⋅0,8⋅tA = 1,04t A

Составим таблицу для второго вклада:

|---|---------------------|-----------------------|---------------| |Г1од-|С-умма до-наAчисления-%-Сум-ма после начисления-%--Манипуляции--- |2--|-------1,2-⋅(tA)-------|-------t⋅(1,2⋅tA)-------|−-0,3⋅(t⋅1,2-⋅tA)-| |3--|----0,7⋅(t⋅1,2⋅tA-)----|----t⋅(0,7⋅t⋅1,2⋅tA-)----|---------------| -------------------------------------------------------------------

Следовательно, в конце третьего года на счете было

3 3 0,7⋅1,2⋅tA = 0,84t A

Заметим, что сумма на первом счету оказалась больше. Тогда искомое отношение сумм на счетах равно

1,04:0,84 =26 :21

Ответ: Сумма на первом счету больше. Отношение равно 26 : 21

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2308

В банке был оформлен вклад. Каждые четыре месяца банк увеличивает сумму, находящую на счете по вкладу, на некоторое количество процентов. Причем известно, что в первом году этот процент был равен $y$ , а во втором году был равен $5y$ . При каком наименьшем целом кратном пяти $y$ сумма, находящая на счете спустя 2 года сотрудничества с банком, превысит первоначальную как минимум на $72,8%$ ?

Показать ответ и решение

Пусть для определенности банк начисляет проценты в январе, мае, сентябре. Пусть было положено $A$ рублей в банк. Составим таблицу:

|----------|-----------------------|---------------------|----------------------| |Номер-года-|-----Сумма-в январе----|-----Сумм-а в м2ае---|---С-умма в-сентя3бре---| |1---------|------(1+-0,01y)A----3--|-----(1-+0,201y)A---3--|-----(1+-03,01y)-A---3--| -2----------(1+-0,01-⋅5y)(1+-0,01y)-A--(1+-0,05y)-(1+-0,01y)A--(1+-0,05y)-(1+-0,01y)A--

Таким образом, спустя 2 года на счете было

3 3 (1+ 0,05y) (1 + 0,01y)A рублей

По условию эта сумма должна превысить первоначальную, то есть $A$ , как минимум на $72,8%$ . Следовательно, эта сумма составляет как минимум $172,8%$ от $A$ . Значит,

3 3 (1 +0,05y)(1+ 0,01y) A ≥1,728A

Обозначим $0,01y = x$ и получим следующее уравнение:

( )3 (1+ 5x)(1 +x) ≥ 1,728

Разложим на множители число $6 3 1728= 2 ⋅3$ . Следовательно, $2 3 1728= (2 ⋅3)$ . Следовательно, $3 1,728 = 1,2$ . Следовательно, неравенство можно переписать в виде:

√10-− 3 (1+ 5x)(1+ x)≥ 1,2 ⇒ x≥ ---5---, так как x> 0

Следовательно, $√-- y = 100x≥ 20( 10− 3)$ . Так как $√ -- 3< 10< 3,5$ , то $√-- 0< 20( 10− 3)< 10$ . Следовательно, проверим $y = 5$ :

-- 5 ≥ 20(√ 10 − 3) ⇔ 169≥ 160 − верно.

Следовательно, $y = 5$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#70645

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 10% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей во второй и третий годы.

Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором через четыре года на вкладе будет больше 220 миллионов рублей.

Показать ответ и решение

Пусть сумма первоначального вклада равна $S$ млн рублей. Вычисления будем проводить в млн рублей.

Составим таблицу изменений суммы вклада:

|----|----------|---------------|--------------|--------------| |Год-|Нач.-сумм-а|Н-ачис.-проценты-|Д-оп. вложения|Конечная сумма| |-1--|----S-----|-----S-⋅0,1-----|-----−-−------|-----1,1S------| |-2--|---1,1S----|----1,1S-⋅0,1----|------20------|--1,21S-+-20---| |-3--|-1,21S+-20-|-(1,21S+-20)⋅0,1-|------20------|--1,331S+-42---| --4---1,331S-+-42--(1,331S-+42)⋅0,1------−-−--------1,4641S+-46,2--

Сумма на вкладе спустя четыре года должна быть больше 220 миллионов рублей, поэтому имеем:

1,4641S+ 46,2 > 220 1,4641S >173,8 S > 1738000- 14641 S > 11810362 14641

Тогда $S = 119$ — наименьшее целое значение, удовлетворяющее этому неравенству.

Ответ: 119 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#71009

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.

Показать ответ и решение

Пусть $S$ миллионов рублей – это первоначальная сумма вклада.

|----|------------|-----------------|------|--------------| |Год-|-Нач. сумм-а|----П-роценты-----|В-знос-|--Кон. сумма--| |-1--|-----S------|------0,2S-------|--20--|---1,2S-+-20----| |-2--|--1,2S-+-20--|--0,2⋅(1,2S-+20)--|--20--|--1,44S+-44---| |-3--|-1,44S+-44--|-0,2⋅(1,44S-+-44)--|--10--|-1,728S-+-62,8--| --4---1,728S-+-62,8--0,2⋅(1,728S-+62,8)---10---2,0736S-+-85,36-

Так как через 2 года конечная сумма должна быть больше 125 миллионов, а через 4 года больше 200 миллионов, составим и решим систему неравенств:

{ 1,44S+44>125, 2,0736S+85,36>200

{ 1,44S > 81, 2,0736S > 114,64

({ S > 56,25, 185 ( S > 55-- 648

Таким образом наименьшим возможным целым значением $S$ , чтобы выполнялись оба условия одновременно, будет $S =57.$

Ответ: 57 миллионов рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#72212

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад учеличивается на $10%$ по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 3 миллиона рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за четыре года начислит более шести миллионов рублей.

Показать ответ и решение

Все вычисления будем проводить в миллионах рублей.

Пусть вклад был открыт на $S$ миллионов рублей.

Составим таблицу выплат:

|----|----------|---------|----------------|------------| |Год-|Н-ач.вклад-|Д-оп.взнос|----Проценты-----|-К-он.вклад--| |-1--|----S-----|----−----|-----S-⋅0,1------|----1,1S-----| |-2--|---1,1S----|----−----|----1,1S-⋅0,1-----|---1,21S----| |-3--|--1,21S---|----3----|--(1,21S-+-3)⋅0,1--|-1,331S+-3,3--| --4---1,331S+-3,3-----3-----(1,331S-+6,3)⋅0,1--1,4641S+-6,93--

Чтобы вычислить сумму начисленных банком за 4 года средств следует из конечной суммы по вкладу $1,4641S+ 6,93$ вычесть изначальную сумму $S$ и два дополнительных вложения по 3 миллиона рублей. Таким образом, согласно условию имеем неравенство:

0,4641S+ 0,93> 6,

0,4641S > 5,07,

4641S > 50700,

S > 50700, 4641

4290 S > 104641-.

В таком случае минимальное значение $S = 11.$

Ответ: 11 миллионов рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#78016

По вкладу «Шоколадный» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на $10%$ сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Гарантированный» — увеличивает на $13%$ в течение первого и второго года, и на $p%$ в третий год. Найдите наименьшее целое число процентов $p$ по вкладу «Гарантированный», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «Шоколадный».

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — первоначальная сумма по обоим вкладам, $k = 1+ 1p00.$

Составим таблицу для вклада «Шоколадный»:

|----|-------------------------|------------------------| |Год-|Сумма-на счёте в начале-года|Сумм-а на счёте в-конце-года |-1--|-----------S-------------|---------1,1⋅S----------| |-2--|----------1,12⋅S-----------|---------1,123⋅S----------| --3------------1,1-⋅S---------------------1,1-⋅S-----------

Составим таблицу для вклада «Гарантированный»:

|----|-------------------------|------------------------| |Год-|Сумма-на счёте в начале-года|Сумм-а на счёте в-конце-года |-1--|-----------S-------------|---------1,13⋅2S----------| |-2--|---------1,132⋅S-----------|--------1,123-⋅S---------| --3------------1,13-⋅S------------------1,13-⋅k⋅S---------

По условию вклад «Гарантированный» должен остаться более выгодным, чем вклад «Шоколадный», значит должно выполняться условие:

1,132⋅k⋅S > 1,13⋅S,

1,2769⋅k > 1,331,

k >-1,331, 1,2769

k > 13310, 12769

-p- -541- 1+ 100 > 112769,

-p-> -541-, 100 12769

54100 p> 12769,

p > 4 3024, 12769

так как $p$ целое и наименьшее, то $p= 5.$

Ответ: 5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#78019

Михаил поместил на свой сберегательный счёт в банке 342000 рублей под $p%$ годовых, где $p$ — целое число кратное 5. По условиям вклада раз в год можно делать дополнительные взносы, но только после начисления процентов за этот год. Под какой максимальный процент Михаил мог разместить свои денежные средства, если в конце первого и второго года он дополнительно вносил на счёт треть суммы, имеющейся на счёте в начале текущего года, и к началу третьего года сумма на счёте Михаила не превышала 760000 рублей?

Показать ответ и решение

Все расчёты проводятся в тыс.рублей. Пусть $A = 342$ — первоначальный размер вклада Михаила, $t= 1+ 1p00.$ Составим таблицу:

|------|-------------|------------|-----------|---------------| |месяц-|сумма в-начале--проценты---|-доп.взнос--|-сумма-в конце-| |--1---|-----A-------|(--A-⋅1p00)----|---(-A3---)-|(---At)+(A3---)-| ---2-------At-+-A3------At+-A3-⋅1p00---13 ⋅-At+-A3---At+-A3--⋅t+-13--

Сумма на начало третьего года такая же, как на конец второго года. По условия эта сумма не должна превышать 760000 рублей:

( ) ( ) A- 1 At+ 3 ⋅ t+ 3 ≤ 760,

At2+ 1At + 1At+ 1A ≤ 760. 3 3 9

Подставим в неравенство значение $A =342 :$

342t2 + 2⋅342t+ 1⋅342− 760≤ 0, 3 9

2 342t +228t− 722≤ 0,

2 171t +114t− 361≤ 0,

2 9t + 6t− 19 ≤ 0.

Найдем нули квадратного трехчлена $9t2+ 6t− 19 :$

D = 62 − 4 ⋅9⋅(− 19)= 36 +684 =720,

−6−-√720- −6-− 12√5 −-1−-2√5 t1 = 2 ⋅9 = 18 = 3 ,

√ --- √ - √- t2 = −6+---720-= −6-+12--5= −-1+-2-5, 2 ⋅9 18 3

Решением квадратного неравенства $9t2+ 6t− 19 ≤ 0$ будет

[ √ - √ -] t∈ −1-− 2-5; −1+-2-5 . 3 3

По смыслу задачи $t >0,$ значит искомое значение $t$ удовлетворяет неравенству

√ - −-1+-2-5 0< t≤ 3 .

Оценим верхнюю границу десятичной дробью:

√- ∘ ---- 5 < 2,3= 5,29,

√- −-1+-2-5 < −1+-2⋅2,3, 3 3

√- −1+-2-5-< 3,6, 3 3

√ - −1+-2--5 3 < 1,2.

По условию $p$ кратно 5, возьмем $t= 1,15 :$

9⋅1,152+ 6⋅1,15 − 19 = −-79, 400

что верно, следовательно, $t =1,15$ нам подходит.
Тогда $p= (1,15− 1)⋅100 = 15.$

Ответ: 15

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#87059

Банк предоставляет услуги по открытию счета на следующих условиях:

– с 10 по 20 число каждого месяца банк увеличивает сумму на счете на 2%;

– с 21 по 29 число каждого месяца вкладчик имеет право внести на счет любую сумму или снять со счета сумму, не превышающую имеющуюся.

2 мая 2025 года два друга решили сложить свои накопления и открыть счет в банке на эту сумму. 28 мая первый друг увеличил свою часть на счету на $n%$ , в результате чего его доля увеличилась на 10%. Найдите наибольшее целое $n,$ при котором 22 июня 2025 года прибыль первого друга составит не менее 3%.

Под прибылью понимается разница между вырученными и всеми вложенными средствами.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ и $y$ — накопления первого и второго друзей соответственно. Тогда на счет в банке было положено $x+ y,$ доля первого друга составляет $-x--- x+ y.$ После первого начисления процентов сумма на счете составила $1,02(x+ y).$ После этого первый друг увеличил сумму на вкладе на $t,$ в результате чего его доля составила $--x+-t- . x + y+ t$ По условию