Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.16 Арифметическая и геометрическая прогрессии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#724

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 2 общих члена?

Показать ответ и решение

Подходят две прогрессии:

− 1, 1, 3, 5, ... 1, −1, − 3, −5, ...

Ответ: Да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#725

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 1000 общих членов?

Показать ответ и решение

Рассмотрим две последовательности:

− 2015, −2013, −2011, −2009, ...

−17, − 19, −21, − 23, ...

В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид $a = − 2017 +2n, n$ а общий член второй последовательности имеет вид $bn = −15− 2n.$

Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения $ak =bm$ в натуральных числах.

−2017+ 2k = −15− 2m ⇔ m + k = 1001 ⇔ m = 1001− k

Таким образом, $m, k ∈ℕ$ тогда и только тогда, когда $k ∈ {1;2;...;1000},$ то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000 решений в натуральных числах, что и требовалось.

Ответ: Да, могут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#726

Найдите сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, десятый член которой равен 1000.

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии

a + a S19 = -192--1-⋅19

Также

a10 = a1+ 9da a19 = a1 +18da

Тогда

a +a =2a + 18d = 2⋅(a + 9d) =2 ⋅a 19 1 1 a 1 a 10

Значит, искомая сумма равна

S19 = a10⋅19= 19000

Ответ: 19000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#750

Известно, что в геометрической прогрессии первый и третий члены — целые числа. Значит ли это, что второй член этой прогрессии — рациональное число?

Показать ответ и решение

В качестве контрпримера достаточно взять прогрессию

√- √- 1, 2, 2, 2 2, ...

Ответ: Нет, не значит

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2037

Найдите сумму $7 + 77 + 777 + ...+ 777...7$ , где запись последнего числа содержит $2n$ семёрок.

Показать ответ и решение

Данную сумму можно переписать в виде

7(1 + 11 + 111 + ...+ 111...1),

где запись последнего числа в скобках содержит $2n$ единиц.

Последнюю сумму можно переписать в виде

7(1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + ...+ (100...0 + ...+ 1)) = 0 1 2 2n−1 = 7(10 ⋅ 2n + 10 ⋅ (2n − 1) + 10 ⋅ (2n − 2) + ...+ 10 ⋅ 1) = = 7((1 + 10 + 102 + ...+ 102n− 1) + (1 + 10 + 102 + ...+ 102n− 2) + ...+ (1 + 10) + 1))

Суммы в скобках есть суммы геометрических прогрессий. Например, $2 2n−1 102n-−-1- 1 + 10 + 10 + ...+ 10 = 10 − 1$ , тогда последнее выражение равно

( ) 102n-−-1- 102n−-1 −-1 102-−-1- 10 −-1- 7 10 − 1 + 10 − 1 + ...+ 10 − 1 + 10 − 1 = = 7((102n − 1) + (102n −1 − 1 ) + ...+ (102 − 1) + (10 − 1)) = 9 ( ) 7- 2n 2n−1 2 7- 10 ⋅-(102n-−-1) = 9(10 + 10 + ...+ 10 + 10 − 2n ) = 9 10 − 1 − 2n = = 70-⋅ (102n − 1) − 14-⋅ n 81 9

Ответ:

$70 14 ---⋅ (102n − 1 ) −---⋅ n 81 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75437

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, с нечётным количеством членов, если сумма наибольшего и наименьшего членов в этой прогресии равна 987654321?

б) Конечная непостоянная арифметическая прогрессия состоит из восьми натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего из них равна 11. Найдите сумму всех членов этой прогрессии.

в) Среднее арифметическое членов конечной возрастающей арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно $9,5.$ Какое наибольшее количество членов может включать в себя такая прогрессия?

Показать ответ и решение

а) Пусть первый член данной прогрессии — $a1,$ а последний — $an$ . Тогда $n$ — количество членов данной прогрессии ( $n$ — нечётное число).

Найд̈eм величину $an$ по формуле $n −$ го члена арифметической прогрессии:

an = a1+ d(n − 1).

В таком случае сумма наибольшего и наименьшего члена прогрессии (то есть сумма крайних членов прогрессии) равна:

a1+ an = a1+ a1+ d(n− 1)= 2a1 +d(n− 1).

Это число является четным, так как слагаемое $2a1$ чётно из-за множителя 2, а число $d(n− 1)$ чётно, так как число $n − 1$ ӵeтно.
Сумма двух ӵeтных чисел не может быть равна нечётному числу 987654321, следовательно, ответ отрицательный.

б) Найд̈eм сумму наибольшего и наименьшего члена данной прогрессии:

a1 +an = 2a1 +7d = 11.

Запишем формулу суммы арифметической прогрессии:

S8 = 2a1+-7d⋅8 = 11⋅8= 44. 2 2

в) Докажем, что среднее арифметическое всех членов конечной арифметической прогрессии и среднее арифметическое двух крайних членов конечной арифметической прогрессии равны.

Пусть первый член данной прогрессии — $a1$ , а последний — $an$ . Тогда $n$ — количество членов данной прогрессии.

Среднее арифметическое нескольких чисел равно отношению суммы данных чисел к их количеству.
Среднее арифметическое нескольких чисел:

a1+2an⋅n- a1+-an A = n = 2 ,

Среднее арифметическое крайних членов

B = a1+-an. 2

Равенство очевидно.

Таким образом, $a1+2an-=9,5.$ Преобразуем это равенство:

a1+-an = a1+-a1+-d(n-− 1)-= 9,5, 2 2

2a1+ d(n− 1)= 19.

В левой части мы имеем три неизвестных: $a ,d,n. 1$ Все три переменные входят в это равенство со знаком «+», следовательно, при увеличении значения любой переменной, значения двух других переменных уменьшаются, так как в правой части фиксированное число.

Таким образом, чтобы $n$ было максимальным, $a1$ и $d$ должны быть минимально возможными натуральными числами. Разность $d$ не может быть равной 0 или отрицательной, так как по условию прогрессия возрастающая.

Возьмем $a1 = d= 1.$ Тогда

2 ⋅1+ 1⋅(n − 1)= 19.

n = 18.

Пример такой прогрессии для $a1 = 1,d= 1,n= 18:$

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18.

Ответ:

а) Нет;

б) 44;

в) 18. Пример: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#727

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно 2 общих члена?

Показать ответ и решение

Пусть первая прогрессия имеет вид $a1,...,an,...$ ,

пусть вторая прогрессия имеет вид $b1,...,bn,...$ .

$∙$ Рассмотрим сначала случай, когда разности $da$ и $db$ прогрессий отличны от $0$ .

Пусть существуют пары натуральных чисел $(k1;m1 )$ и $(k2;m2 )$ такие что $ak1 = bm1$ и $ak2 = bm2$ . Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что $k1 < k2$ , $m1 < m2$ .

Тогда

ak1 + da (k2 − k1) = ak2 = bm2 = bm1 + db(m2 − m1 ),

но $ak1 = bm1$ , следовательно,

d (k − k ) = d (m − m ) ⇒ d ⋅ 2(k − k ) = d ⋅ 2(m − m ). a 2 1 b 2 1 a 2 1 b 2 1

Так как $k > k > 0 2 1$ , то $2k − k > 0 2 1$ , тогда $(2k − k ) ∈ ℕ 2 1$ и существует

a2k2− k1 = ak1 + da((2k2 − k1) − k1) = ak1 + da ⋅ 2(k2 − k1).

Так как $m2 > m1 > 0$ , то $2m2 − m1 > 0$ , тогда $(2m2 − m1 ) ∈ ℕ$ и существует

b2m2−m1 = bm1 + db((2m2 − m1 ) − m1) = bm1 + db ⋅ 2(m2 − m1).

Но $da ⋅ 2(k2 − k1) = db ⋅ 2 (m2 − m1 )$ , следовательно,

a = b , 2k2−k1 2m2 −m1

то есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

$∙$ Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей $da$ и $db$ равна $0$ .

Пусть $da = 0$ , $db ⁄= 0$ , тогда $db > 0$ (последовательности из положительных чисел), тогда $b1,...,bn,...$ – возрастает, а $a1,...,an,...$ – постоянна, следовательно, у уравнения $ak = bm$ может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть $da = 0$ , $db = 0$ , тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения $ak = bm$ не может быть ровно двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2 общих члена.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#728

Известно, что в последовательности $a1,...,an,...$ каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов последовательности. Также известно, что $a50 = 100$ , $S199 = π$ . Найдите сумму ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с $a100$ .

Показать ответ и решение

Покажем, что последовательность $a1, ...,an, ...$ – арифметическая прогрессия.

Введём обозначение $d = a2 − a1$ , тогда

a1-+-a3 a1 + d = a2 = 2 ⇒ 2(a1 + d) = a1 + a3 ⇒ a3 = a1 + 2d.

Докажем при помощи полной индукции, что $an+1 = an + d$ :

1) При $n = 1$ имеем $a2 = a1 + d$ – верно.

2) Пусть утверждение верно для всех $n ≤ N$ , покажем, что тогда оно верно и для $n = N + 1$ :

a + a a1 + (N − 1 )d = aN = -N+1----N-−1- ⇒ 2(a1 + (N − 1)d) = aN+1 + aN− 1, 2

откуда

aN+1 = 2(a1 + (N − 1)d) − aN −1 = 2(a1 + (N − 1)d) − (a1 + (N − 2)d) = a1 + N d,

что и требовалось доказать.

Сумма ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с $a100$ , есть

a99+1 + ...+ a99+100 = a100 + ...+ a199 = S199 − S99 = π − S99.

$a1-+-a99 S99 = 2 ⋅ 99$ .

$a50 = a1 + 49d$ ,

$a99 = a1 + 98d$ ,
следовательно,

a99 + a1 = 2a1 + 98d = 2(a1 + 49d ) = 2 ⋅ a50,

тогда $S99 = a50 ⋅ 99 = 9900$ .

В итоге $a + ...+ a = π − 9900 100 199$ .

Ответ:

$π − 9900$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#11032

Дана арифметическая прогрессия с натуральной разностью $d,$ кратной 5. Все члены прогрессии — натуральные числа.

а) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 600?

б) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 625, если не все из них кратны 5?

в) Сумма первых $n$ членов прогрессии равна 7756. Какое наибольшее значение может принимать $n?$

Показать ответ и решение

а) Обозначим первый член прогрессии через $a1.$ Запишем условие о том, что сумма $S10$ первых 10 членов равна 600.

a +a 2a + 9d 600 =S10 = -12-10-⋅10 = --12---⋅10

Тогда $2a1+ 9d= 120.$

Этому равенству удовлетворяют, например, $d =10$ и $a1 = 15.$

б) Обозначим первый член прогрессии через $a1.$ Запишем условие о том, что сумма $S10$ первых 10 членов равна 625.

a1+a10 2a1+ 9d 625 =S10 = --2----⋅10 = ---2---⋅10

Тогда $2a1+ 9d= 125.$

$9d$ делится на 5, 125 делится на 5, следовательно $2a1$ и $a1$ тоже делятся на 5. Получили, что и первый член прогрессии, и ее разность кратны 5, следовательно, все члены прогрессии кратны 5. Получаем противоречие с условием.

в) Обозначим первый член прогрессии через $a1.$ Запишем условие о том, что сумма $Sn$ первых $n$ членов равна 7756

7756= Sn = a1-+an ⋅n= 2a1+-d(n−-1)⋅n 2 2 15512 =(2a1+ d(n− 1))⋅n

Из условия $a1 ≥ 1,$ $d≥ 5,$ тогда

(2a1+ d(n− 1))⋅n≥ (2+ 5(n − 1))⋅n =5n2 − 3n

Очевидно, что оценка снизу правой части не должна превышать число 15512, откуда получаем

[ 277 ] 5n2 − 3n ≤ 15512 ⇔ n ∈ −-5-;56

Таким образом, мы доказали, что число $n$ не должно превышать 56. Пример на 56 очевиден, так как неравенство обратится в равенство. Проверим, что сумма первых 56 членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 5 действительно равна 7756

a1+ a56 1+ (1+ 5⋅55) S56 = --2----⋅56 = -----2------⋅56= 7756

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 56

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2

Верно получен один из следующий результатов: — пример в пункте а); — обоснованное решение в пункте б); — искомая оценка в пункте в); — пример в пункте в), обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#11033

Дана геометрическая прогрессия длины 3 с натуральным первым членом и натуральным знаменателем, большим единицы.

а) Может ли произведение всех трех членов прогрессии быть равно 9261?

б) Может ли третий член прогрессии быть равен 210?

в) Какое наименьшее значение может принимать первый член, если сумма всех трех членов равна 189?

Показать ответ и решение

Обозначим члены прогрессии через $b1,$ $b2,$ $b3,$ знаменатель через $m,$ тогда $b2 = b1m,$ $2 b3 = b1m .$

а) Запишем условие о том, что произведение членов равно 9261

2 3 3 b1⋅b2⋅b3 = b1 ⋅b1m√⋅b1m = b1m =9261 b1m = 39261= 21

Такое возможно, например, при $b1 = 3,$ $m = 7.$

б) Допустим, такое возможно и $b3 = b1m2 = 210.$ Разложим число 210 на простые множители

210= 2 ⋅3 ⋅5⋅7

Число $m$ — натуральное, причем $m2$ является делителем числа 210. В разложение числа 210 все простые множители входят в первой степени, значит, единственное подходящее натуральное $m = 1.$ Однако по условию $m > 1,$ получаем противоречие.

в) Запишем условие на сумму трех членов

2 b1+ b(2+ b3 = b1+) b1m + b1m = = b1 1 +m + m2 =189 =33 ⋅7

Все числа натуральные, следовательно, $b1$ должно быть делителем числа 189. Мы хотим найти минимальное допустимое значение для первого члена, поэтому будем перебирать делители числа 189, начиная с наименьших.

$b1 = 1,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 ⇔ m2+ m − 188= 0$
Дискриминант $D = 1 +188⋅4 =753$ не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет натуральных решений, и $b1$ не может принимать такое значение.
$b1 = 3,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 3 m2 +m − 62= 0$
Дискриминант $D = 1 +62 ⋅4 = 249$ не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет натуральных решений, и $b1$ не может принимать такое значение.
$b1 = 7,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 7 m2 +m − 26= 0$
Дискриминант $D = 1 +26 ⋅4 = 105$ не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет натуральных решений, и $b1$ не может принимать такое значение.
$b1 = 9,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 9 m2 +m − 20= 0 m = − 5; 4$
Уравнение имеет натуральное решение $m = 4,$ следовательно, $b1 = 9$ — минимальное подходящее значение первого члена.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) 9

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б),	2
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в)

Обоснованно получен верный ответ в пунктах а) или б)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел