19.03 Задачи формата ЕГЭ

а) Упорядочим числа по возрастанию:

Из условия задачи следует, что

Предположим, что Тогда имеем:

Рассмотрим сумму

Получили противоречие, следовательно, наибольшее число не может равняться 16.

б) Если среднее арифметическое 11-ти чисел равно 10, то их сумма равна 110:

Рассмотрим такую схему:

Следовательно,

Тогда Действительно, если то и то есть что неверно.

Если то значит,

Тогда получаем

Cледовательно, — противоречие. Значит, среднее арифметическое всех 11-ти чисел не может равняться 10.

в) Из пункта б) следует, что сумма всех 11-ти чисел равна

Следовательно, если нужно найти наименьшее значение среднего арифметического всех 11-ти чисел, то нужно найти наименьшее значение Тогда нужно найти наибольшее значение

Рассмотрим сумму

Так как она фиксированна, то чем больше мы делаем сумму тем меньше мы делаем сумму Следовательно, тем меньше мы делаем каждое из слагаемых Каждое из этих пяти слагаемых будет наименьшим, если это будут подряд идущие натуральные числа, то есть отличающиеся друг от друга на 1.

Пусть

Тогда будет максимальна, если мы возьмем максимальные и то есть Тогда получаем

Таким образом, при мы получаем, что сумма последних семи чисел равна 98, сумма Нетрудно показать, что существуют такие которые удовлетворяют условию задачи.

Допустим, что

Следовательно, у нас есть пример, при котором

Докажем, что не может быть больше 23. Предположим, что Тогда по тому же принципу, который использовался в пункте б), Следовательно,

Но тогда

Получили противоречие. Следовательно, и для построен пример.

Тогда и

То есть наименьшее значение, которое может принимать среднее арифметическое всех 11-ти чисел, равно

а) Упорядочим числа по возрастанию:

По принципу крайнего: если сумма четырех наименьших чисел больше суммы двух наибольших, то есть то сумма любых двух чисел из этого набора меньше суммы любых четырёх чисел из этого набора.

Возьмем числа

Здесь каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего.

Тогда имеем:

Значит, такое возможно.

б) Возьмем такие числа:

Здесь каждое следующее число, начиная со второго, на 1 больше предыдущего.

Тогда имеем:

Значит, такое возможно

в) Пусть есть некоторая последовательность чисел

удовлетворяющая условию задачи (то есть ).

Заметим, что, одновременно заменяя на и на если это не нарушает условия мы получаем новую последовательность

удовлетворяющую условию (так как сумма первых двух чисел при таком действии остается прежней: ), причем сумма всех чисел не меняется.

Проделаем такую операцию столько раз, сколько возможно, в результате чего мы получим, что числа и заменятся либо последовательно идущими числами и (например, если числа и равнялись 5 и 10, то мы их заменили на числа 7 и 8), либо отличающимися друг от друга на 2, то есть и (например, если числа и равнялись 5 и 9, то мы их заменили на числа 6 и 8). Далее работаем с последовательностью чисел где и такие, как описано в предыдущем предложении, а остальные остались прежними:

Рассмотрим «хвост» этой последовательности:

«Приближая» члены этого хвоста к то есть уменьшая члены так, чтобы их порядок оставался прежним, но разница между каждым членом и становилась меньше, мы получаем новую последовательность, которая продолжает удовлетворять условию «сумма первых четырех членов больше суммы последних двух» (так как сумма первых четырех членов не меняется, сумма последних двух становится только меньше), но сумма всех сорока чисел при этом становится меньше. Следовательно, у такой последовательности:

сумма всех чисел в последовательности будет меньше, чем у взятой изначально, значит, это действие приводит нас к построению последовательности с наименьшей возможной суммой всех членов.

Проделаем теперь следующую операцию: уменьшим одновременно на 1 члены последовательности

столько раз, сколько нужно, чтобы получить новую последовательность

Тогда, если мы проделали эту операцию раз, сумма первого и второго членов осталась прежней, сумма третьего и четвертого членов уменьшалась на а сумма последних двух членов уменьшалась на значит, все так же сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух. Зато сумма всех сорока чисел стала еще меньше.

«Приближаясь» аналогично ко второму числу, то есть к (пусть мы каждый член, начиная с уменьшили на 1 раз), мы уменьшаем сумму первых четырех членов и сумму последних двух членов на следовательно, все так же сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух. Зато сумма всех сорока чисел стала еще меньше.

Значит, получаем такую последовательность чисел, у которой, как следует из всего построения, сумма будет наименьшей:

Запишем для обоих видов последовательности условие о том, что сумма первых четырех чисел больше суммы последних двух:

Тогда получаем такие два вида последовательности:

Очевидно, что у 1-го вида сумма всех сорока чисел меньше, чем у 2-го вида, и она равна 2220.

а) Пусть куплено красных карандашей, тогда синих карандашей куплено На красные карандаши потрачено рублей, на синие — рублей. Тогда можно составить следующее неравенство:

Заметим, что мы можем составить именно неравенство, так как неизвестно, потратим мы все деньги на карандаши или нет.

Решим это неравенство:

Так как то число красных карандашей а число синих карандашей Возьмем 18 красных карандашей и 14 синих, и тогда условие задачи будет выполнено (число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять). Проверим, достаточно ли нам денег:

Значит, ответ: да, можно.

б) Аналогично пункту а) пусть — число красных карандашей, — число синих. Тогда

Следовательно, красных не более 10, синих — не менее 25. Тогда разница между числом красных и синих карандашей как минимум 15, что не удовлетворяет условию задачи.

Значит, ответ: нет, нельзя.

в) Заметим, что так как нельзя купить 35 карандашей, то больше купить также нельзя. Действительно, пусть — число карандашей, которое можно купить. Тогда получаем неравенство

Так как то имеем:

Отсюда с учетом того, что — целое, получаем оценку

Следовательно, число красных карандашей не более 6, а тогда число синих карандашей не менее Тогда разница между числом красных и синих карандашей не менее 24, что не удовлетворяет условию задачи.

Проверим, можно ли купить 34 карандаша:

Следовательно, красных не более 13, синих — не менее 21. Тогда разница между числом красных и синих карандашей как минимум 8, что не удовлетворяет условию задачи.

Проверим, можно ли купить 33 карандаша:

Следовательно, красных не более 16, синих — не менее 17. Тогда можно взять 16 красных, 17 синих, разница между ними равна 1, что удовлетворяет условию задачи. Убедимся еще раз, что нам достаточно денег:

Да, достаточно, следовательно, наибольшее число карандашей, которое можно купить — это 33.

а) Пусть — количество всех положительных чисел, — количество всех отрицательных чисел, — количество нулей. Тогда по условию

По определению среднего арифметического имеем:

Тогда — сумма всех положительных чисел, — сумма всех отрицательных чисел, — сумма всех чисел.

Так как сумма всех нулей равна нулю, то получаем равенство

Левая часть равенства делится на 6, следовательно, правая часть равенства делится на 6. Так как числа 7 и 6 не имеют общих множителей, то делится на 6. Так как то равно 48.

б) Так как то следовательно, Получаем следующую систему:

Тогда с учетом имеем:

Значит, следовательно, отрицательных чисел больше.

в) Требуется найти В предыдущем пункте мы получили, что

Заметим, что чем меньше тем больший мы получаем.

Еcли или то получается нецелым, что невозможно, так как это количество положительных чисел.

Если то Следовательно, Тогда

Приведем пример для такого количества положительных, отрицательных чисел и нулей. Возьмем 12 чисел, равных , 34 числа, равных и 2 нуля. Тогда среднее арифметическое всех положительных в точности равно среднее арифметическое всех отрицательных чисел в точности равно

При этом среднее арифметическое всех чисел равно

Следовательно,

Введем обозначения: — количество правильных ответов, — количество неправильных ответов, — количество отсутствующих ответов. Тогда по условию имеем:

Заметим, что левая часть делится на 8, значит, и правая часть должна делиться на 8, то есть

Таким образом, должно иметь остаток 7 при делении на 8, а значит представимо в виде где — целое неотрицательное число.

а) Нас просят найти при условии, что Составим систему:

Подставим

Заметим, что и — целые неотрицательные числа. Значит, можем совершить перебор по

• Если то
• Если то — противоречие, так как — целое.
• Если то — противоречие, так как

Значит, — единственный вариант.

б) Нас просят найти при условии, что Составим систему:

Подставим

Заметим, что и — целые неотрицательные числа. Значит, можем совершить перебор по

• Если то — противоречие, так как — целое.
• Если то
• Если то — противоречие, так как

Значит, — единственный вариант.

в) Нас просят найти при условии, что Составим систему:

Подставим

Заметим, что и — целые неотрицательные числа. Значит, можем совершить перебор по

• Если то — противоречие, так как — целое.
• Если то
• Если то — противоречие, так как

Значит, — единственный вариант.

а) Тогда из числа 3259 получается число 362105459.

б) Второй цифрой обязана быть 6. Тогда ни 4, ни 2, ни 7 не могут быть третьей цифрой.

в) Если изначальным числом будет то получим число вида

Запишем это число в «почти каноническом» виде. Начнем с конца числа. Последняя цифра войдет в него с коэффициентом 1. Далее двузначное или однозначное число войдет в почти каноническое разложение с коэффициентом 10. Далее цифра войдет в него с коэффициентом где равно либо 2, либо 3 в зависимости от количества цифр числа Тогда число войдет в почти каноническое разложение с коэффициентом И, наконец, цифра войдет в него с коэффициентом где равно либо либо в зависимости от количества цифр числа

Тогда

Мы знаем, что 10 сравнимо с 1 по модулю 9, поэтому при любом натуральном значении число сравнимо по модулю 9 с то есть просто с 1. Таким образом, число сравнимо по модулю 9 с суммой

Значит, чтобы полученное число делилось на 9, нам нужно обеспечить делимость этой суммы на 9.

Заметим, что

Тогда делится на 9, а значит на 9 не делится.

и — цифры от 0 до 8. Если равна 8, то такое произведение делится на 9, противоречие. Значит, может принимать значения от 0 до 7.

Изначальное число 878 подходит, так как полученное из него число 8567568 делится на 9.

Если же в изначальном числе цифры и другие, то есть меньше, чем в числе 878, то и полученное из него число будет меньше чем 8567568.

а) Если в сумме есть слагаемое 111, то осталось составить сумму из слагаемых 1 и 11. Но даже из единиц сделать это невозможно, ведь они в сумме дадут как минимум 56.

Значит, все слагаемые равны 1 или 11. Пусть слагаемых равны 11, тогда оставшиеся слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

Получили, что такое возможно, если взять 7 слагаемых по 11 и 45 слагаемых по 1:

При этом здесь ровно единиц.

б) Аналогично рассуждениям из пункта а) понимаем, что из единиц составить сумму 12 невозможно, значит, слагаемого 111 быть не могло.

Пусть слагаемых равны 11, тогда слагаемых равны 1. Можем составить уравнение:

Данное уравнение имеет только нецелое решение, значит, сумму 123 получить нельзя.

в) Заметим, что четырёхзначное число не больше Значит, чисел 1111 мы можем составить не более 9, а числа больше 1111 составлять нельзя.

• Если мы составили 9 чисел 1111, то в них мы задействовали 36 единиц. Тогда из оставшихся единиц будут образованы еще какие-то натуральные числа, значит, итоговая сумма будет более 9999.
• Если мы составили 8 чисел 1111, то их сумма равна 8888. Помимо этих 32 единиц у нас остались еще единиц. Из них можно составлять только числа 111, 11 и 1. Тогда можно получить 9 чисел 111, сумма которых будет равняться 999. Очевидно, результат больше достичь нельзя. Таким образом, в этом случае наибольшее число, которое мы можем получить, равно

• Если мы составили 7 чисел 1111, а из остальных единиц мы получали числа 111, 11 или 1, то оценим максимальное число, которое можем получить.

  Заметим, что из единицы при составлении только чисел 111, 11 и 1 мы можем получить сумму не более

  

  так как

  Тогда сумма равна 8888. Таким образом, на получение числа 1111 из чисел 111, 11 или 1 нужно не менее 31 единицы. Значит, если составлено 7 или менее чисел 1111, то сумма будет не более 8888.

Таким образом, при наибольшая четырехзначная сумма, которую можно получить, равна 9887.

а) Пусть Мите выпало 20 раз число 3 и 10 раз число 2. Тогда всего он совершил бросков, а их результат равен

Таким образом, фишка Мити оказалась на отметке «–40».

б) Разобьем броски на пары «четное число – нечетное число». Мы можем это сделать, так как по условию четное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Внутри такой пары максимально возможное смещение влево равно поскольку наибольшее нечетное число на кубике равно 5, а наименьшее четное равно 2.

Тогда для того, чтобы оказаться в точке «–26», необходимо не менее пар. Поскольку число пар целое, их не менее 9. Но давайте поймем, что внутри пары шаг обязательно равен нечетному числу, так как мы вычитаем из нечетного числа четное. То есть за 9 таких пар мы переместимся 9 раз на нечетное число шагов, что является нечетным числом в сумме, но — число четное, поэтому пар не менее 10. То есть всего бросков не менее 20. Для 10 пар предоставим пример.

Пусть Мите выпало 10 раз число 5, 9 раз число 2 и 1 раз число 6. Тогда его фишка оказалась на отметке

в) Оценим снизу номер позиции фишки, если было сделано бросков, то есть выпало четных и нечетных чисел.

Пусть выпало единиц, троек, четверок, шестерок. Тогда количества пятерок и двоек однозначно восстанавливаются — это и соответственно.

Значит, позиция фишки будет равна

Так как каждое число выпало не менее 1 раза, причем все числа выпали разное количество раз, то имеют место неравенства:

Тогда

Откуда

Таким образом, всего Митя сделал не менее бросков.

Причем равенство достигается при Тогда число 1 было выброшено 1 раз, число 3 — 3 раза, число 5 — 15 раз, число 6 — 2 раза, число 4 — 4 раза, число 2 — 13 раз.

Действительно, каждое число выпало не менее раза, нет двух чисел, которые выпали одинаковое количество раз, причем как четных, так и нечетных выпало по 19 штук. Итоговая позиция фишки равна

Итого, Митя сделал 38 бросков, что является минимально возможным количеством бросков, при котором выполняется условие задачи, и фишка оказалась на отметке «–31».

а) Поймем, что ровно две отметки имеют числа, которые кратны каким-то двум числам, но не кратны сразу трем.

Сразу на три представленных числа делятся числа, кратные 84. Среди чисел от 1 до 260 не включительно их 3 — это 84, 168, 252. Тогда будем вычитать это количество во всех последующих подсчетах.

Теперь посчитаем количество чисел с двумя отметками:

• Числа, кратные 3 и 4, то есть кратные 12, но не кратные 84.

  Их среди чисел менее 260 ровно поскольку 252 — наибольшее число до 260, кратное 12.

• Числа, кратные 3 и 7, то есть кратные 21, но не кратные 84.

  Их среди чисел менее 260 ровно поскольку 252 — наибольшее число до 260, кратное 21.

• Числа, кратные 4 и 7, то есть кратные 28, но не кратные 84.

  Их среди чисел менее 260 ровно поскольку 252 — наибольшее число до 260, кратное 28.

Итого имеем числа. Так как то среди общего числа карточек наибольшее возможное количество карточек с числами меньше 260 равняется 33.

б) Исходя из условия, имеется 20 чисел, кратных 12, 20 чисел, кратных 21, 20 чисел, кратных 28, при этом нет ни одного числа, кратного 84.

Отметим, что для оценки максимального числа нам достаточно оценить только максимальное число среди тех, что кратны 28, так как это произведение наибольшее. То есть если в найденном промежутке найдется 20 чисел, кратных 28, но не кратных 84, то 20 чисел, кратных 12, и 20 чисел, кратных 21, но не кратных 84, тоже найдется.

Каждое число, кратное 28, имеет вид

Поймем, что имеет вид или где так как не может быть кратно 3.

Тогда каждое образует два подходящих числа. Так как чисел 20, то необходимо использовать не менее 10 различных значений Тогда наименьшее возможное наибольшее значение равняется 9, так как целых чисел от 0 до 9 ровно 10. Тогда наибольшее никак не может быть меньше, чем а наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках, никак не может быть меньше, чем

в) По условию среди чисел ровно 45 кратны либо 28, либо 12. Также оставшиеся 15 чисел кратны 21, но не кратны 84.

Разобъем множество натуральных чисел на следующие отрезки:

Рассмотрим сначала первый отрезок: в нем 2 числа, кратных 28, и 6 чисел, кратных 12, при условии, что эти числа не делятся на 84.

Так как 84 — наименьшее общее кратное 12 и 28, то остальные отрезки аналогичны первому, ведь каждое число на отрезке, начинающемся с представимо в виде Причем дает такой же остаток при делении на 12, как и аналогично дает такой же остаток при делении на 28, как и поскольку делится и на 12, и на 28, то есть на остатки при делении не влияет.

Тогда на каждом таком отрезке лежит ровно 8 подходящих чисел. Тогда необходимо использовать не менее 6 отрезков, так как чисел должно быть 45.

В последнем отрезке достаточно выбрать пять наименьших чисел, которые эквивалентны числам 12, 24, 28, 36, 48 из первого отрезка. Отрезок с номером 6 имеет значение так как чисел от 0 до 5 ровно 6.

Тогда наименьшее возможное значение наибольшего подходящего числа равняется

Также необходимо показать, что среди чисел до 468 найдется 15, кратных 21, но не кратных 84. Так как на каждом выделенном отрезке ровно 3 подходящих числа, соответствующих числам 21, 42, 63 на отрезке то среди 5 отрезков (чтобы не включать неполный 6-ой, рассматриваем только первые 5), найдется подходящих чисел.

а) Будем искать такую последовательность в виде

(каждый последующий член равен разности двух предыдущих). Чтобы такая последовательность подходила под условие, необходимо и достаточно, чтобы

Данная система эквивалентна системе

Таким образом, можно взять, например, , . При этом получим последовательность

б) Если какой-то из членов последовательности равен , то, начиная с него, все члены последовательности равны (так как результат деления на не может совпасть ни с каким действительным числом).

Пусть никакой из членов последовательности не равен .

 

1) Пусть . Так как остаток от деления не может быть больше делителя, то , то есть последовательность убывает.

При этом остатки от деления натуральных чисел будут натуральными числами ( мы запретили), то есть каждый следующий член последовательности будет натуральным числом, меньшим предыдущего по крайней мере на .

Тогда член последовательности с номером должен быть натуральным числом, меньшим, чем по крайней мере на , что невозможно.

 

2) Пусть , тогда и этот пункт сводится к пункту 1) при помощи смены обозначений , , ..., и дословного повторения рассуждения для последовательности .

Таким образом, последовательностей, подходящих под условие, у которых никакой из членов не равен , не бывает. Тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности Тимура равны и, значит, .

а) Рассмотрим уравнение и найдем его дискриминант:

Так как образуют арифметическую прогрессию, то можно сказать, что где – разность арифметической прогрессии. Тогда

Если уравнение имеет один корень, то

Следовательно, ответ: может. Например, если взять

б) Из пункта а) следует, что

1) Тогда уравнение выглядит так:

Следовательно, первый трехчлен имеет вид

2) Тогда уравнение выглядит так:

Следовательно, второй трехчлен имеет вид

Таким образом, всего существует два приведенных трехчлена, удовлетворяющих заданным условиям.

В обоих случаях мы имеем право делить на так как по условию прогрессия непостоянная, следовательно, разность не равна нулю.

 

в) Пусть имеет два корня, то есть

Пусть – корни. Тогда

Рассмотрим функцию

Ее производная

Следовательно, знаки производной:

Следовательно, при функция убывает, при функция возрастает.

Из условия следует:

Заметим, что при выполняется условие, что дискриминант положителен:

Таким образом, нужно найти наименьшее значение при Так как при функция убывает, то наименьшее значение будет в точке

Для того, чтобы найти необходимо и достаточно найти числа Попробуем найти их.

а)

Тогда

Подставляя полученные и в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят.

б)

Тогда

Подставляя полученные и в исходную систему, убеждаемся, что они действительно подходят, следовательно,

в) Покажем, что Шерлок Холмс прав:

Тогда

Значит,

Рассмотрим разность

Но число нам уже известно, тогда отсюда находим Кроме того, имеем:

Но и нам известны, следовательно, находим

Таким образом, искомые числа и если они существуют, находятся однозначно.

Сумма чисел в первой группе равна а во второй равна

а) Допустим, что такое возможно, тогда сумма семи оставшихся чисел первой группы равна и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел троек и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

б) Если такое возможно, то сумма семи оставшихся чисел второй группы равна и все они — четверки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел четверок и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие.

в) Пусть в какой-то из двух групп две или больше четверок. Тогда возьмем две любые четверки из этой группы и заменим на тройку и пятерку. После этой операции среднее арифметическое чисел в группе не изменится. При этом среднее арифметическое всех троек и четверок строго уменьшится. Действительно, если было четверок и троек, то их среднее арифметическое равно

После замены двух четверок одной тройкой среднее арифметическое станет равным

Видим, что числитель увеличился, а знаменатель уменьшился, значит, вычитаемая дробь увеличилась и среднее арифметическое строго уменьшилось.

Таким образом, при оптимальных наборах в каждой из двух групп не больше одной четверки.

Допустим, что в первой группе ровно одна четверка, тогда сумма девяти оставшихся чисел первой группы равна и все они — тройки либо пятерки. Пусть среди оставшихся чисел троек и пятерок. Получаем следующее соотношение:

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах в первой группе нет четверок, ровно пять троек и ровно пять пятерок.

Допустим, во второй группе нет четверок, тогда в ней троек и пятерок. Получаем

Однако должно быть целым неотрицательным, получаем противоречие. Значит, при оптимальных наборах во второй группе ровно одна четверка. Снова обозначим через количество троек, через количество пятерок, получим

Таким образом, при оптимальных наборах во второй группе две тройки и семь пятерок. Посчитаем среднее арифметическое троек и четверок в оптимальном наборе:

Сумма чисел, написанных изначально, равна .

а) Пусть изначально на доске пять единиц и пять девяток, их среднее арифметическое действительно равно 5. После удвоения получим пять чисел 18 и пять двоек, после стирания останутся только пять двоек. Их среднее арифметическое равно 2, что меньше 5.

б) Допустим, что такое возможно. Тогда каждое из девяти чисел, которые после удвоения не были стерты, должно быть не больше 4. Число, которое было стерто после удвоения, не могло изначально быть больше 9. Тогда сумма чисел, изначально написанных на доске, не превышает , что меньше 50. Получаем противоречие.

в) Допустим, двоек могло быть шесть. Тогда сумма оставшихся четырех чисел должна быть равна , однако это больше, чем — наибольшая сумма, которую можно набрать четырьмя числами, каждое из которых не превышает 9. Таким образом, шесть и более двоек быть не могло, т.к. в этом случае сумма исходных чисел будет гарантированно меньше 50.

Будем называть неисчезающими числа, которые после удвоения не будут стерты. Очевидно, что все неисчезающие числа не превышают 4. Среднее арифметическое неисчезающих чисел после удвоения по условию равно 6, следовательно, их среднее арифметическое до удвоения должно быть равно 3.

Допустим, двоек могло быть пять. Пусть кроме двоек в исходном наборе неисчезающих чисел. Каждое из них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

= = = 2 +

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. )

2 + ≥ 3 ⇔ ≥ 1 ⇔ 2k ≥ 5 + k ⇔ k ≥ 5

Получили, что все числа неисчезающие. Это противоречит тому, что среднее арифметическое исходных чисел равно 5.

Допустим, двоек могло быть четыре. Пусть кроме двоек в исходном наборе неисчезающих чисел. Каждое из них не больше 4, тогда среднее арифметическое неисчезающих чисел не превышает

= = = 2 +

При этом, как объяснено выше, оно должно быть не меньше 3, тогда (домножать можем, т.к. )

2 + ≥ 3 ⇔ ≥ 1 ⇔ 2k ≥ 4 + k ⇔ k ≥ 4

Получили, что неисчезающих чисел хотя бы 8, из них 4 двойки. Тогда сумма наименьших восьми чисел в исходном наборе не превышает (помним, что неисчезающие )

2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 = 24,

значит, сумма наибольших двух должна быть не меньше, чем . Получаем противоречие.

На три двойки есть пример:

2, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8

а) Да, можно. Достаточно на каждом ходу стирать наименьшее из чисел. Например, для исходных чисел 9, 10, 11, 12, 13 можно стереть последовательно числа 9, 10, 11, 12. Легко проверить, что после каждого хода среднее арифметическое будет увеличиваться.

б) После трех ходов на доске останется два числа. Пусть их среднее арифметическое втрое больше исходного, то есть равно 33, тогда их сумма равна . Каждое из трех стертых чисел не меньше единицы (т.к. числа по условию натуральные), значит, сумма всех пяти чисел не меньше, чем , а среднее арифметическое не меньше, чем , что противоречит условию.

в) Утверждение. Пусть имеется набор из чисел со средним арифметическим, равным , тогда верны следующие утверждения:

• При удалении из набора числа, равного , среднее арифметическое чисел набора останется равным .
• При удалении из набора числа, большего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет меньше, чем .
• При удалении из набора числа, меньшего, чем , среднее арифметическое чисел набора станет больше, чем .

Вернемся к нашим числам. Исходное среднее арифметическое равно 11, значит, исходная сумма равна . После трех ходов на доске всегда будет оставаться два числа, значит, минимизация их среднего арифметического равносильна минимизации их суммы.

Чтобы после стирания числа наше среднее арифметическое увеличилось, мы должны стереть число, меньшее текущего среднего арифметического, а так как средние арифметические после каждого стирания увеличиваются, то текущее среднее арифметическое меньше, чем итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел. Тогда можем сделать вывод, что на каждом ходу мы стираем число, меньшее итогового среднего арифметического .

Мы знаем, что итоговое среднее арифметическое двух оставшихся чисел должно быть больше, чем 11. Тогда итоговая сумма должна быть натуральным числом, большим, чем . Таким образом, . Будем перебирать по ней снизу, пока не найдем достижимую (она и будет минимально возможной).

• Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты — различные натуральные, каждое из них меньше, чем 11,5 (см. ). Тогда их сумма не превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем противоречие.
• Пусть , тогда итоговое среднее арифметическое , а числа, которые были стерты — различные натуральные, каждое из них меньше, чем 12 (см. ). Тогда их сумма не превышает , а сумма исходного набора не превышает . Получаем противоречие.
• Для и строится следующий пример (в каждой строчке набор, начиная с исходного):
  

  В полученном примере все условия выполняются, значит, наименьшее возможное среднее арифметическое после трех ходов при условии, что числа 12 в наборе нет, равняется 12,5.

а) Любые два соседних члена последовательности отличаются на 1, следовательно, они разной четности. Первый член 0 — четный, четность чередуется, значит, все члены с нечетными номерами четны, а с четными номерами — нечетны. Таким образом, 22-ой член последовательности должен быть нечетным и не может быть равен нулю.

б) Среди первых 11 членов последовательности ровно 6 четных (это те, у которых нечетные индексы: 1, 3, 5, 7, 9, 11). При этом мы знаем, что первый четный член равен нулю. Получаем противоречие, так как шесть двоек невозможно разместить на пяти свободных позициях для четных чисел.

в) Рассмотрим ненулевые Их сумма должна равняться 8, так как они равны количествам вхождений различных чисел в первую восьмерку.

Решим сначала другую задачу. Найдем максимально возможное значение, которое может принимать произведение нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 8, а уже затем разберемся, какое наибольшее значение произведения реализуемо в условиях нашей задачи.

Пусть среди наших чисел с суммой 8 есть хотя бы одна единица, а их произведение равно то есть имеется следующий набор чисел: Тогда, если мы возьмем набор то сумма чисел в нем будет также равна 8, а произведение будет больше, чем в исходном. Таким образом, можем сделать вывод, что максимум произведения не может достигаться в наборе, в котором есть хотя бы одна единица.

Рассмотрим всевозможные наборы чисел с суммой 8, такие, что ни одно из чисел не равно единице, чтобы найти максимум произведения чисел в таком наборе. Рассмотрим, чему может равняться количество чисел в наборе.

• В наборе 5 и более чисел.

  В этом случае хотя бы одно из чисел будет равно единице, ведь даже уже превышает 8. Как мы доказали выше, ни в каком из таких наборов не может достигаться максимум произведения.

• В наборе 4 числа.

  Каждое из чисел не меньше 2, значит, единственный возможный вариант это четыре двойки. В этом случае произведение равно 16.

• В наборе 3 числа.

  Возможны следующие случаи (порядок не важен): Максимальное произведение достигается во втором случае и равно 18.

• В наборе 2 числа.

  Возможны следующие случаи (порядок не важен): Максимальное произведение достигается в третьем случае и равно 16.

• В наборе 1 число.

  Единственный возможный вариант, когда единственное число равно 8.

Теперь будем перебирать возможные значения произведения вниз начиная с наибольшего и проверять, реализуемы ли они в условиях исходной задачи.

• Произведение равно 18.

  Оно достигается в единственном случае, когда среди первых восьми чисел два числа три числа и три числа При этом мы знаем, что среди первых восьми чисел ровно 4 четных. Докажем, что какими бы ни были четности чисел и общее количество четных в нашем наборе из восьми не будет равно 4. Разберем несколько случаев:

  • Пусть среди нет ни одного нечетного, либо все нечетные. Тогда среди наших восьми чисел будет либо 0, либо 8 нечетных, а должно быть ровно 4.
  • Пусть среди ровно одно нечетное. Если это то среди наших восьми чисел будет 2 нечетных. Если — то 3, если — тоже 3. Ни в одном из этих вариантов количество нечетных не равно 4.
  • Пусть среди ровно два нечетных. Если это и то среди наших восьми чисел будет нечетных. Если и — то 6, если и — то 5. Ни в одном из этих вариантов количество нечетных не равно 4.

  Получили, что произведение, равное 18, не реализуемо.

• Произведение равно 17.

  Такое произведение не достигается путем перемножения чисел с суммой 8, так как один из множителей должен быть равен 17.

• Произведение равно 16.

  Есть пример, первые 8 членов последовательности равны: 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1. Тогда остальные равны 0, тогда произведение ненулевых равно 16. В полученном примере все условия выполняются, следовательно, 16 — наибольшее достижимое значение произведения.

Пусть на доску выписали числа и в таком порядке. Пусть

По условию имеем:

Тогда

В задаче нас просят выяснить может ли сумма чисел равнятся 300 и 426, выразим её через и

а) Мы выяснили, что Значит,

Тогда, чтобы число было натуральным, нужно взять Пусть Тогда То есть

Разности по построению чисел удовлетворяют условию, проверим сумму:

Значит, изначально могли быть написаны числа 2, 30, 59, 89 и 120.

б) Если сумма чисел и представима в виде

значит она кратна 5, так как каждое слагаемое кратно 5. 426 не делится на 5, поэтому сумма пяти чисел, записанных изначально, не может равнятся 426.

в) В этом пункте нас просят найти наибольшее значение самого правого числа. Мы знаем, что

Если сумма чисел и равна 100, то

Так как — натуральное число, Тогда мы можем оценить

Заметим, что кратно 2 и Значит, наибольшее возможное значение

Докажем, что значение достигается. Для этого простроим пример, подходящий под условие, в котором Если то Значит,

Тогда

Найдем сумму полученных чисел:

Значит, полученный пример удовлетворяет условию. Тогда наибольшее возможное значение самого правого из чисел, записанных изначально, если их сумма равна 100, равно 40.

а) Да, может, например, так:

б) Обозначим через общее количество чисел в круге. Пусть, не умаляя общности, и — два соседних неотрицательных числа. Следующее за ними по часовой стрелке число по условию должно быть больше суммы а значит, больше каждого из и Будем двигаться далее по часовой стрелке, проводя аналогичное рассуждение (нам ничто не помешает, так как и снова неотрицательные). Получим, что при движении по часовой стрелке начиная с числа строго увеличиваются, причем и следовательно, Однако по условию должно быть больше суммы что невозможно при и неотрицательном Значит, два неотрицательных числа не могли стоять рядом.

в) В предыдущем пункте мы доказали, что неотрицательные числа не могут соседствовать в круге, следовательно, отрицательных чисел должно быть не меньше половины от общего количества, то есть не меньше 50.

Допустим отрицательных ровно 50, тогда неотрицательных тоже 50, и они должны чередоваться в круге. Обозначим числа по часовой стрелке, не умаляя общности, будем считать, что отрицательное. Тогда из чередования мы знаем, что неотрицательное. По условию должно выполняться следовательно, — отрицательное число, большее, чем Аналогично получаем (нам ничто не помешает, так как важна только отрицательность/неотрицательность числа, а она при сдвиге на 2 по часовой стрелке сохраняется), что а также Получаем противоречивую цепочку неравенств

Значит, 50 отрицательных быть не могло. На 51 отрицательное число строится следующий пример:

а) Если число после деления на 2 убрали с доски, то изначально это было число 5. Пусть пятерок было Попробуем построить пример, в котором все остальные числа равны Среднее арифметическое оставшихся чисел должно быть больше 16, поэтому Тогда имеем уравнение:

Мы хотим, чтобы был натуральным числом, числитель точно делится на 30, поэтому сделаем знаменатель по модулю по равным 30, выбрав Тогда Таким образом, получаем пример, подходящий под условие: двадцать четыре «5» и шесть «35».

б) Пусть пятерок изначально было других чисел а сумма чисел без пятерок равна тогда

Предположим, что такое возможно, пусть среднее арифметическое чисел, оставшихся доске, будет равно Тогда имеем:

Решим двойное неравенство:

 

Пересекая полученные множества решений, получаем

Значит, это невозможно, так как — натуральное число.

в) Заметим, что максимальное число, которое могло бы быть записано на доске, это 44. Поэтому:

Рассмотрим

Максимальное значение достигается при

Пример: двадцать пять «5» и пять «41».

По формуле суммы арифметической прогрессии сумма первых последовательных натуральных чисел равна

а) Рассмотрим наименьшую возможную сумму двадцати различных натуральных чисел, не содержащую простых чисел. Она состоит из первых 20 непростых чисел натурального ряда. Наибольшим из таких чисел будет число 30. Действительно, среди чисел от 1 до 30 ровно 10 простых:

Тогда, исключив их, мы получим ровно чисел. Найдем их сумму:

Таким образом, даже наименьшая сумма, удовлетворяющая условию, превосходит 280, значит, такого быть не могло.

б) В пункте а) мы доказали, что наименьшая сумма 20 различных натуральных чисел, не содержащая простых, равна 336. Тогда очевидно, что наименьшая сумма двадцати различных натуральных чисел, содержащих ровно одно простое, получается заменой наибольшего числа из суммы на наименьшее простое, то есть заменой числа 30 на 2:

Снова получили, что наименьшая сумма, удовлетворяющая условию, превосходит 280, значит, такого быть не могло.

в) Из пунктов а) и б) следует, что на доске написано как минимум два простых числа (если меньше — противоречие). Допустим, на доске оказалось написано ровно два простых числа и Тогда сумма на доске не меньше чем где — наименьшая возможная сумма 18 различных натуральных чисел, ни одно из которых не простое. Сумма состоит из первых 18 непростых чисел натурального ряда. Наибольшим из таких чисел будет число 27. Действительно, среди чисел от 1 до 27 ровно 9 простых:

Тогда, исключив их, мы получим ровно чисел. Найдем их сумму:

Это всего на 2 меньше, чем сумма в условии, то есть какие бы мы ни выбрали и получим противоречие. Таким образом мы доказали, что простых чисел должно быть хотя бы 3.

Приведём пример, когда на доске написано три простых числа 3, 7 и 19:

Их сумма равна