Тема 16. Окружность

16.03 Нахождение длин в окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела окружность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26581

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $∠AOB = 122∘$ . Длина меньшей дуги $AB$ равна 61. Найдите длину большей дуги $AB$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Длину окружности радиуса $R$ можно найти по формуле

C = 2πR

Длину дуги, образуемой центральным углом $α$ можно найти по формуле

∘ L = 2πR-⋅α = --α-C ⇒ C = 360-L 360∘ 360∘ α

В нашем случае $∘ α = 122$ , $L = 61$ и

C = 360∘ ⋅61 = 180 122∘

Тогда длину большей дуги $AB$ можно найти как разность длины окружности и меньшей дуги $AB$ , т.е.

C − L = 180− 61 = 119

Ответ: $119$

Ответ: 119

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#26591

Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P,$ $BP = 12,$ $CP = 6,$ $DP =13.$ Найдите $AP.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $P$ — точка пересечения двух хорд, то

PB ⋅PD 13 ⋅12 P D ⋅P B = PC ⋅PA ⇔ PA = --PC---= --6--= 26

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#26592

Через точку $A,$ лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке $K.$ Другая прямая пересекает окружность в точках $B$ и $C,$ причём $AB = 4,$ $BC = 12.$ Найдите $AK.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Для начала заметим, что так как из точки $A$ проведены две прямые, одна из которых пересекает окружность в двух точках, а другая — касается окружности, то

√ ------- ∘ -------------- ∘ --------- √-- AB ⋅AC = AK2 ⇒ AK = AB ⋅AC = AB ⋅(AB +BC )= 4⋅(4+ 12) = 64= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43608

Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P,$ $BP = 9,$ $CP = 15,$ $DP =20.$ Найдите $AP.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ADP$ и $BCP.$ $∠AP D = ∠BP C$ как вертикальные, $∠BDA = ∠ACB$ как вписанные, опирающиеся на дугу $AB.$ Значит, $∠P DA = ∠P CB.$ Тогда $△ ADP ∼ △BCP$ по двум углам.