Тема №16. Окружности

03 Описанные окружности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57323

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежит на стороне $AB.$ Найдите угол $ABC,$ если угол $BAC$ равен $37∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Угол $ACB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB,$ значит, $∠ACB = 90∘.$ В треугольнике $ABC$ по теореме о сумме углов треугольника

∠ABC = 180∘ − ∠ACB − ∠BAC = = 180∘− 90∘ − 37∘ = 53∘.

Ответ: 53

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116400

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежит на стороне $AB.$ Радиус окружности равен 8,5. Найдите $BC,$ если $AC = 8.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $∠ACB = 90∘.$ $AO = OB =8,5$ как радиусы. Тогда

AB = 8,5 +8,5= 17.

$PIC$

В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

BC = ∘AB2--−-AC2-= ∘ ------- √--- = 172− 82 = 225 =15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#108435

Точка $O$ является серединой стороны $CD$ квадрата $ABCD.$ Радиус окружности с центром в точке $O,$ проходящей через вершину $A,$ равен $√-- 10.$ Найдите площадь квадрата $ABCD.$

$ABCDO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $DO = CO = x.$ Тогда, так как $ABCD$ — квадрат, имеем

AD = AB = BC = CD = 2x.

$ABCDOxx2x$

Запишем теорему Пифагора для треугольника $OAD :$

OA2 =DO2 + AD2 10= x2+ 4x2 2 10= 5x x2 = 2

Площадь квадрата со стороной $2x$ равна $2 4x,$ то есть

SABCD = 4x2 = 4 ⋅2 = 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#61037

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $83∘.$ Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству трапеции $∠A +∠B =180∘,$ значит,

∘ ∘ ∘ ∠B = 180 − 83 =97 .

Ответ: 97

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#26582

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $∘ 76 .$ Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠BAD$ опирается на меньшую дугу $BD,$ а $∠BCD$ — на большую дугу $BD.$ Тогда сумма этих углов равна $180∘.$

∘ ∠BAD + ∠BCD = 180 ∘ ∘ ∘ ∘ ∠BCD = 180 − ∠BAD = 180 − 76 = 104

То есть $∘ ∠C = 104 .$

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#42497

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $37∘.$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четыругольника равна $180∘.$ То есть

∠A +∠C = 180∘ ∠C =180∘− ∠A = 180∘− 37∘ =143∘

Ответ: 143

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45676

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $33∘.$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник. По свойству вписанного четырёхугольника

∠A +∠C = 180∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠C =180 − ∠A = 180 − 33 =147

Ответ: 147

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#116403

Сторона равностороннего треугольника равна $√- 18 3.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то все его углы по $60∘.$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности. По теореме синусов

--AB---- sin∠BCA = 2R.

Значит,

√- √- R = -18-3--= 18√3-= 18. 2sin 60∘ 2⋅-23

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116404

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $√ - 8 3.$ Найдите длину стороны этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ По теореме синусов

---AB--- sin∠BCA =2R √ - √3- AB = 2R sin60∘ = 2⋅8 3⋅-2-= 8⋅3 =24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#116405

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $150∘,$ $AB = 4.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ По теореме синусов:

---AB--- sin∠ACB =2R 4 sin150∘ =2R 4 1-= 2R ⇒ R = 4 2

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#116406

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $45∘,$ $√- AB = 6 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC.$ По теореме синусов:

---AB--- sin∠ACB =2R 6√2- sin45∘ = 2R √- 6√2-= 2R ⇒ R = 6 22

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#116456

Сторона квадрата равна $√ - 14 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠BCD$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $BD$ — диаметр.

Рассмотрим треугольник $BCD.$ По теореме Пифагора

2 2 2 ( √-)2 ( √ )2 BD = BC + CD = 14 2 + 14 2 = = 142⋅2+ 142 ⋅2 = 142 ⋅4 ⇒ BD = 14⋅2= 28.

Значит, диаметр окружности равен 28. Тогда радиус окружности равен $28 = 14. 2$

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#82571

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 15 2.$ Найдите длину стороны этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности равен $√ - 15 2,$ тогда

AC = 2 ⋅15√2-= 30√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = AD2 + CD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘------- ∘-AC2 (30√2-)2 ∘ 302⋅2- ⇒ x = -2--= ---2---= --2--= 30

Значит, сторона квадрата равна 30.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#48496

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 16. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ — равносторонний, то все углы по $60∘.$ Пусть $R$ — радиус описанной окружности. По теореме синусов

AB ∘ √3 √- sin∠BCA--= 2R ⇒ AB = 2R ⋅sin 60 =2 ⋅16⋅-2-= 16 3

Проведём высоту $BH$ треугольника $ABC.$ В треугольнике $BCH$ $BH sin∠BCH = BC-.$ Тогда

∘ √- √3 BH = BC sin60 = 16 3 ⋅-2-= 8⋅3= 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#48491

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√- 42 2.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $ABCD$ — квадрат. $∠ADC$ — вписанный и равен $90∘.$ Тогда $AC$ — диаметр. По условию радиус окружности, описанной около квадрата, равен $√ - 42 2.$ Значит,

AC = 2 ⋅42√2-= 84√2

Рассмотрим треугольник $ACD.$ Пусть $AD = x.$ Так как все стороны квадрата равны, то $CD = AD = x.$ По теореме Пифагора

AC2 = CD2 + AD2 = x2+ x2 = 2x2 ⇒ ∘ ---- ∘ (--√-)- AC2- -84-2-2 ⇒ x= 2 = 2 =84

Докажем, что радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны.

Пусть точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC, OL ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD, KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥ CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, значит,

OK =OL = CD-= 84 = 42 2 2

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#42451

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 7 2.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $√- r = 7 2.$ Требуется найти $R.$

Знаем, что $r$ равен половине стороны квадрата, следовательно, сторона квадрата равна $√ - 14 2.$

Радиус $R$ описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата и, так как диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на $√ - 2,$ имеем

( ) R = 1 14√2-⋅√2- = 14. 2

Ответ: 14