Тема 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

20.04 Системы уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31448

Решите систему уравнений $(| x y-−-2x 1 { 3 − 5 = 13, |( y+ 5 = x+-y. 2 6 3$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходную систему уравнений:

$pict$

Ответ:

$(1;−3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41321

Решите систему уравнений $( |{ 3x− y-− 3x = −6, 4 2 |( y−-x-− 1= y. 3 6 2$

Показать ответ и решение

( 3x y-−-3x |{ 4 − 2 = −6 |( y−-x- 1 y 3 − 6 = 2

Домножим первое уравнение системы на 4, второе уравнение системы на 6:

$pict$

Подставим в первое уравнение $y = −2x− 1:$

$pict$

Получаем ответ $(−2;3).$

Ответ:

$(−2;3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41322

Решите систему уравнений ${ 4x +3y = −1, 2x2 − y = 11.$

Показать ответ и решение

Выразим $y$ из второго уравнения системы:

{ 4x+ 3y2 = −1 y = 2x − 11

Подставим в первое уравнение $y = 2x2− 11 :$

$pict$

Решим первое уравнение системы:

6x2+ 4x− 32= 0 2 3x + 2x− 16= 0 D = 4+ 4⋅16⋅3= 196= 142 x1,2 = −2±-14- 6 x1 = − 8= −22 3 3 x2 = 2

Вернемся к системе:

⌊{ ( [ 2 x = −223 |{ x= −23 || y = 2x2 − 11 | x= 2 ⇔ ||{x = 2 ⇔ ( y = 2x2− 11 ⌈ 2 y = 2x − 11 ⌊{ 2 ⌊ { 2 | x = −23( 2)2 | x= −223 ⇔ ||{y = 2⋅ −23 − 11 ⇔ || {y = 39 |⌈ x = 2 |⌈ x= 2 y = 2⋅22− 11 y = − 3

Получаем ответ $(2;−3),$ $( ) −22; 32 . 3 9$

Ответ:

$(2;−3),$ $( ) − 22;32 3 9$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41323

Решите систему уравнений ${ (2x+ 4)2 = 3y, (4x+ 2)2 = 3y.$

Показать ответ и решение

Выразим $y$ из первого уравнения системы:

({ (2x + 4)2 y = ---3---- ((4x+ 2)2 = 3y

Подставим во второе уравнение $y = (2x-+-4)2-: 3$

$pict$

Решим второе уравнение системы:

(4x + 2)2 = (2x+ 4)2 2 2 (4x+ 2) − (2x +4) = 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

((4x+ 2)− (2x +4))((4x+ 2)+ (2x +4))= 0 (4x+ 2− 2x− 4)(4x +2 +2x +4)= 0 (2x− 2)(6x +6)= 0 [2x− 2= 0 [x= 1 ⇔ 6x+ 6= 0 x= −1

Вернемся к системе:

( [ ⌊{x = 1 ⌊{x =1 |{ x= 1 || (2⋅1+4)2 || y =12 x= −1 ⇔ ||{y = 3 ⇔ ||{ |( y = (2x+34)2 ⌈ x = −(21⋅(−1)+4)2 ⌈ x =−41 y = ---3---- y = 3

Получаем ответ $(1;12),$ $( ) −1; 4 . 3$

Ответ:

$(1;12),$ $( ) −1; 4 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41326

Решите систему уравнений ${ 2y2− 4y− x2 = − 3, 2y2− 4y+ x2 = − 1.$

Показать ответ и решение

Сложим первое уравнение системы со вторым:

$pict$

Разделим первое уравнение на 4:

$pict$

Так как квадрат выражения равен нулю, когда само выражение равно нулю, то

$pict$

Воспользуемся формулой разности квадратов во втором уравнении системы:

⌊{ { (|{ y = 1 | x= 1 y = 1 ⇔ [x= 1 ⇔ ||{ y = 1 (x− 1)(x+ 1)= 0 |( x= −1 |⌈ x= −1 y = 1

Получаем ответ $(1;1), (−1;1).$

Ответ:

$(1;1), (−1;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43063

Решите систему уравнений ${ x − y+ xy = −11, x − y− xy = 1.$

Показать ответ и решение

Сложим первое уравнение системы со вторым:

$pict$

Выразим $x$ из первого уравнения системы:

$pict$

Подставим во второе уравнение $x = y− 5:$

$pict$

Решим второе уравнение системы:

y2− 5y+ 6= 0 2 D = 25− 4⋅6= 1 = 1 y = 5±-1 1,2 2 y1 = 3 y2 = 2

Вернемся к системе уравнений:

⌊{ ⌊{ (|[y = 3 | y = 3 | y = 3 { ||{ x= 3− 5 ||{x = −2 |( y = 2 ⇔ |⌈ y = 2 ⇔ |⌈ y = 2 x = y− 5 x= 2− 5 x = −3

Получаем ответ $(−3;2), (− 2;3).$

Ответ:

$(−3;2),$ $(− 2;3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#43065

Решите систему уравнений ${ x − y = 5, (x +y)(x2− y2)= 245.$

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов:

$pict$

Воспользуемся формулой разности квадратов во втором уравнении:

$pict$

Получаем ответ $(6;1),$ $(− 1;− 6).$

Ответ:

$(6;1),$ $(−1;− 6)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90652

Решите систему уравнений ${ 3x2 +y = 6, 4x2 − y = 1.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем систему уравнений:

$pict$

Если $x2 = 1,$ то $x = ±1.$ Тогда

⌊{ | x = 1 ||{ y = 3 |⌈ x = − 1 y = 3

Ответ:

$(1;3), (−1;3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90653

Решите систему уравнений ${ 4x2 +y = 9, 8x2 − y = 3.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем систему уравнений:

$pict$

Если $x2 = 1,$ то $x =±1.$ Тогда

⌊{ | x = 1 ||{y = 5 |⌈ x = −1 y = 5

Ответ:

$(1;5), (−1;5)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90660

Решите систему уравнений ${ 2x2 − x = y, 2x − 1 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 2x − x = 2x− 1 2x2− x− 2x+ 1= 0 2x2− 3x + 1= 0 2 2 D =(− 3) − 4⋅2⋅1 = 9− 8= 1= 1 x = 3±-1 ⌊ 2 ⋅2 x =1 ⌈x = 1 2

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x =1 | x = 1 |{ ⌈ 1 ||(2x− 1 =y || x = 2 ⇔ ||{x = 1 ( 2x− 1= y ⌈( 2 2x − 1 = y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x =1 x = 1 x = 1 2x− 1= y ⇔ y =2 ⋅1− 1 ⇔ y = 1

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 1 (| 1 ( 1 { x= 2 ⇔ { x= 2 ⇔ { x= 2 ( 2x − 1= y |( y = 2⋅ 1 − 1 ( y = 0 2

Следовательно, $(1;1);$ $( ) 1 2;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;1); 1;0 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90666

Решите систему уравнений ${ 9x2 − 14x =y, 9x − 14 = y.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$pict$

Решим первое уравнение полученной системы:

2 9x − 14x= 9x − 14 9x2− 14x − 9x + 14 = 0 9x2− 23x + 14 = 0 2 2 D =(−23) − 4⋅9⋅14= 529− 504= 25= 5 x= 23-±5 ⌊ 2 ⋅9 x= 1 ⌈x= 14 9

Вернемся к системе:

⌊{ (| ⌊x = 1 | x = 1 |{ ⌈ 14 ||(9x− 14= y || x = 9- ⇔ ||{x = 14 ( 9x− 14= y ⌈( 9 9x − 14 =y

Решим первую систему полученной совокупности:

{ { { x= 1 x= 1 x= 1 9x − 14 = y ⇔ y = 9⋅1− 14 ⇔ y = −5

Решим вторую систему полученной совокупности:

( 14 (| 14 ( 14 { x= -9 ⇔ { x= 9- ⇔ { x= -9 ( 9x− 14= y |( y = 9⋅ 14-− 14 ( y = 0 9

Следовательно, $(1;− 5);$ $( ) 14 9 ;0$ — решения системы уравнений.

Ответ:

$( ) (1;−5); 14;0 9$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#49733

Решите систему уравнений ${ 3x2 +2y2 = 45, 9x2 +6y2 = 45x.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Домножим первое уравнение системы на 3:

{ 2 2 9x2+ 6y2= 45⋅3 9x + 6y = 45x

Левые части равны, следовательно, равны и правые части. Тогда

$pict$

Ответ:

$(3;−3), (3;3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90697

Решите систему уравнений ${ 2x2 +3y2 = 11, 4x2 +6y2 = 11x.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Домножим первое уравнение системы на 2:

{ 2 2 4x2+ 6y2= 11⋅2 4x + 6y = 11x

Левые части равны, следовательно, равны и правые части. Тогда

$pict$

Ответ:

$(2;− 1); (2;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#28211

Решите систему уравнений $(| { (x − 5)(y+ 2)= 0, |( -y-− 4--= 2. x+ y− 9$

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы:

[ (x − 5)(y+ 2)= 0 ⇔ x= 5 y = −2

Преобразуем исходную систему уравнений:

$pict$

Значит, $(8;−2)$ — единственное решение исходной системы.

Ответ:

$(8;−2)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#43064

Решите систему уравнений ${ x4 − y4 =5, x2 − y2 =2.$

Показать ответ и решение

$pict$

Подставим в первое уравнение $2 2 x = y + 2:$

{ ( ) ( ) y2+ 2 2− y22 = 5 x2 = y2+ 2

Решим первое уравнение системы. Сделаем замену $t= y2,$ $t≥ 0:$

(t+2)2− t2 = 5 t2 +4t+ 4− t2 = 5 4t= 1 t= 1 4

Сделаем обратную замену:

y2 = 1 4

Вернемся к системе уравнений:

$pict$

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(( ) ( ) ||{ y− 1 y+ 1 = 0 |( 23) ( 23) ⇔ |( x− 2 x+ 2 = 0 ⌊( 3 ||{ x= 2 ||| 1 (⌊ ||(( y = 2 ||| y = 1 ||||{ x= 3 |||||⌈ 21 || 21 |{ y = −2 |||( y = − 2 ⇔ ||⌊x = 3 ⇔ ||(|{ x= − 3 |||||⌈ 2 || 2 ||( x = − 3 ||||( y = 1 2 ||(| 2 3 ||{ x= − 2 ⌈|( 1 y = − 2

Получаем ответ $(3 1) 2;2 ,$ $(3 1) 2;− 2 ,$ $( 3 1) − 2,2 ,$ $( 3 1 ) − 2;−2 .$

Ответ:

$( ) 3; 1 , 2 2$ $( ) 3;− 1 , 2 2$ $( ) − 3, 1 , 2 2$ $( ) − 3;− 1 2 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#43066

Решите систему уравнений $( { 3x − 2y = 15, ( x+ y + 2= 0. y x$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x⁄= 0, y ⁄= 0.

Пусть $x y = t.$ Тогда $y 1 x = t,$ $t⁄= 0.$

Сделаем замену во втором уравнении системы:

x+ y + 2= 0 y x 1 t+ t + 2 =0 t2+ 1+ 2t ----t----= 0 2 t + 2t+ 1= 0 (t+ 1)2 = 0 t= −1

Сделаем обратную замену:

$pict$

Получаем ответ $(3;−3).$

Ответ:

$(3;−3)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#43062

Решите систему уравнений $( ||{ -4---+ -12-= 3, x− y x+ y ||( -8---− -18-= − 1. x− y x+ y$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

$pict$

Пусть $-1--- x− y = u,$ $-1--- x+ y =v.$ Тогда

$pict$

Домножим первое уравнение системы на 2 и вычтем из второго уравнения:

$pict$

Сделаем обратную замену:

$pict$

Сложим первое уравнение со вторым:

$pict$

Получаем ответ $(5;1).$

Ответ:

$(5;1)$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел