Тема №22. Графики функций

03 Параболы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#54960

Постройте график функции $( ) y =-x2+-0,25-(x-+1) −1 − x$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

−1− x ⁄=0 ⇔ x⁄= −1.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(x2 +0,25)(x +1) ( ) y = ---−-(x-+-1)----= − x2+ 0,25 = − x2− 0,25.

Тогда график исходной функции — это парабола с выколотой точкой. Найдем координаты этой выколотой точки:

x= −1 ⇒ y(−1)= − (− 1)2 − 0,25= −1,25.

Следовательно, $(−1;−1,25)$ — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 0,25$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;− 0,25)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|------|-----|------|-----|------| |x-|--−2--|-−1--|--0---|--1--|--2---| -y--−-4,25--−1,25-−-0,25--−1,25-−-4,25-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy1−−12−0−−−210141,2,2,2555$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$5 011−xy(((11)2)3),25:::yyy = = = 4−xxx$

Положение 1: прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(− 1;− 1,25):$

5 −1,25 = −1⋅k ⇔ k = 4.

Положения 2 и 3: прямая $y =kx$ касается параболы $2 y = − x − 0,25.$ Значит, система

{ y = kx y = − x2− 0,25

имеет единственное решение, следовательно, квадратное уравнение

− x2− 0,25= kx ⇔ x2+ kx +0,25= 0.

имеет ровно одно решение, то есть его дискриминант равен нулю:

D = k2− 1= 0 k2 = 1 k = ±1

Следовательно, ответ

{ } k ∈ − 1;1; 54 .

Ответ:

$k ∈{− 1;1;1,25}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#99078

Постройте график функции $y = (x2+-1)(x−-2). 2− x$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 5

Показать ответ и решение

Область определения функции:

2− x ⁄=0 ⇔ x⁄= 2.

Преобразуем уравнение, задающее функцию:

(x2+ 1)(x − 2) ( ) y = ---−(x−-2)---= − x2+ 1 = − x2− 1.

Тогда график исходной функции — это парабола с выколотой точкой. Найдем координаты этой выколотой точки:

x= 2 ⇒ y(2)= −22− 1= −5.

Следовательно, $(2;− 5)$ — выколотая точка.

Графиком квадратичной функции $y = −x2− 1$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

$pict$

Следовательно, $(0;− 1)$ — вершина параболы. Составим таблицу значений параболы:

|--|---|----|---|---|---| |x-|−2-|−-1-|0--|1--|-2-| -y--−5--−-2--−1--−2--−5--

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции.

$xy1−−120−−−21521$

$y = kx$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0;0).$

Изобразим положения прямой $y =kx,$ при которых она имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

$5 011−xy(((1235))):::yyy ===−−2x22xx$

Положение 1: прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(2;− 5) :$

−5 = 2⋅k ⇔ k = − 5. 2

Положения 2 и 3: прямая $y =kx$ касается параболы $y = − x2− 1.$ Значит, система

{y =kx y =− x2− 1

имеет единственное решение, следовательно, квадратное уравнение

− x2− 1= kx ⇔ x2+ kx +1 = 0.

имеет ровно одно решение, то есть его дискриминант равен нулю:

D = k2− 4= 0 k2 = 4 k = ±2

Следовательно, ответ

{ 5 } k ∈ −2;−2;2 .

Ответ:

${ } k ∈ − 5;− 2;2 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40767

Постройте график функции $y = (x2−-4)(x2−-4x+-3) x2− 3x+ 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2 x − 3x+ 2⁄= 0

Разложим на множители выражение $x2− 3x + 2:$

D =9 − 4 ⋅2= 1= 12 x1,2 = 3±-1 2 x1 = 2 x2 = 1

То есть

2 x − 3x+ 2 =(x− 1)(x − 2)

Вернемся к ОДЗ:

{ { x2− 3x+ 2⁄= 0 ⇒ (x− 1)(x − 2)⁄= 0 ⇒ x− 1⁄= 0 ⇒ x⁄= 1 x− 2⁄= 0 x⁄= 2

Разложим на множители выражение $2 x − 4x + 3:$

D = 16− 4⋅3= 4 = 22 4± 2 x1,2 = -2-- x1 = 3 x2 = 1

То есть:

x2− 4x+ 3 =(x− 1)(x − 3)

Упростим выражение $2 2 y = (x-−x4)2(−x3−x+42x+3)-:$

2 2 y = (x-−-4)2(x-−-4x+-3)= (x−-2)(x-+2)(x−-1)(x−-3)= (x+ 2)(x − 3) = x − 3x + 2 (x − 1)(x− 2) = x2− x− 6

Найдем координаты выколотых точек:

1.: $x =1 2 y = 1 − 1 − 6 = −6$
2.: $x =2 y = 22− 2 − 6 = −4$

График функции $(x2−4)(x2−4x+3) y = x2−3x+2$ — парабола $2 y = x − x− 6$ с двумя выколотыми точками: $(1;− 6)$ и $(2,−4).$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-1= 1 ( )2a 2 2 y = 1 2− 1− 6 =− 25 в. 2 2 4

Построим таблицу значений для параболы:


$x$	$1 2$	0	3	$7 2$	$− 1$	$− 2$	$− 5 2$

$y$	$− 25 4$	$− 6$	0	$11- 4$	$− 4$	0	$11 4$

Построим график функции:

$xyyyy110 = = = −−−664.25$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку в трех случаях:

1.: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− x− 6:$ $(1;− 25). 2 4$ В этом случае $m = − 25= −6,25. 4$
2.: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(1;−6).$ В этом случае $m = −6.$
3.: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;−4).$ В этом случае $m = −4.$

Получаем ответ:

m ∈ {−6,25;− 6;− 4}

Ответ:

$m ∈ {−6,25;− 6;− 4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43614

Постройте график функции $( )( ) y =-x2+-x−-6--x2−-2x−-3- x2− 9$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Область определения функции:

{ x2 − 9 ⁄= 0 ⇔ (x − 3)(x+ 3)⁄= 0 ⇔ x ⁄= 3 x ⁄= −3

Разложим $x2+ x− 6$ на множители:

2 x + x− 6= 0 D = 1+ 4⋅6 =25 = 52 x1,2 = −-1±-5 2 x1 = −3 x2 = 2

Значит, $x2+ x− 6= (x+ 3)(x− 2).$

Разложим $x2− 2x− 3$ на множители:

D = 4+ 4⋅3 =16 = 42 2± 4 x1,2 = -2-- x1 = 3 x2 = −1

Значит, $2 x − 2x − 3= (x− 3)(x+ 1).$

Тогда

( 2 )( 2 ) y =-x-+-x−-6--x-−-2x−-3-= (x+-3)(x−-2)(x−-3)(x-+1) = (x − 2)(x+ 1)= x2− x− 2 x2− 9 (x− 3)(x+ 3)

Найдём координаты выколотых точек:

x = 3 ⇒ y = 9− 3− 2= 4 x =− 3 ⇒ y = 9+ 3 − 2 = 10

График функции $( )( ) y = -x2+-x−-6--x2−-2x−-3- x2− 9$ — это парабола $y = x2− x − 2$ с выколотыми точками $(3;4)$ и $(− 3;10).$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-1= 1 2a 2 2 ( 1)2 1 9 yв. = 2 − 2 − 2= −4

Построим таблицу значений для параболы:


$x$	$1 2$	$− 2$	$− 1$	0	1	2	4

$y$	$9 − 4$	4	0	$− 2$	$− 2$	0	10

Построим график функции:

$xyyyy110 = = = −4102.25$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет с графиком одну точку пересечения в трёх случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(1 9) 2;− 4 .$ В этом случае $m =− 9= − 2,25. 4$
2.: Прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(3;4).$ В этом случае $m = 4.$
3.: Прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−3;10).$ В этом случае $m =10.$

Ответ:

$m ∈ {−2,25;4;10}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45682

Постройте график функции $y = (x+-3)(x2−-3x-+2) x− 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x − 2 ⁄= 0 ⇔ x⁄= 2

Разложим $x2− 3x+ 2$ на множители:

x2− 3x+ 2= 0 D =9 − 4 ⋅2= 1= 12 3± 1 x1,2 = -2-- x1 = 2 x2 = 1

Значит, $x2− 3x + 2= (x− 2)(x− 1).$

Тогда

2 y = (x+-3)(x-− 3x-+2) = (x-+-3)(x−-2)(x-− 1)-= (x +3)(x− 1)= x2+ 2x− 3 x− 2 x− 2

Найдём координату выколотой точки:

x= 2 ⇒ y =22 +2 ⋅2 − 3= 5

График функции $2 y = (x+-3)(x-−-3x+-2) x− 2$ — это парабола $y = x2+ 2x− 3$ с выколотой точкой $(2;5).$

Выделим полный квадрат:

x2+ 2x− 3 =x2 +2x +1 − 1 − 3 = x2+ 2x+ 1− 4= (x+ 1)2 − 4

Для того, чтобы построить график функции $y = (x+ 1)2 − 4,$ нужно график функции $y = x2$ сдвинуть на 1 единицу влево и 4 единицы вниз, то есть построить в новых вспомогательных осях $Ox :x= −1$ и $Oy :y = −4.$

Построим график функции:

$xyyy110 == −54$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет с графиком одну точку пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−1;−4).$ В этом случае $m =− 4.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;5).$ В этом случае $m = 5.$

Таким образом,

m ∈{−4;5}

Ответ:

$− 4; 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2