Тема №22. Графики функций

03 Параболы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №22. графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#61042

Постройте график функции $( ) y =-x2+-4-(x+-1) −1− x$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Область определения функции:

−1 − x ⁄= 0 ⇔ x⁄= − 1

Упростим выражение:

(x2 +4)(x+ 1) (x2+ 4)(x+ 1) ( ) y = ---−1-− x---= ---−-(x-+1)---= − x2+ 4 = −x2− 4.

Найдём ординату выколотой точки:

2 x= −1 ⇒ y = −(−1) − 4= −5.

График функции $( ) -x2+-4-(x+-1) y = − 1− x$ — это парабола $2 y = −x − 4$ с выколотой точкой $(− 1;− 5).$

Для того, чтобы построить график функции $2 y = −x − 4,$ нужно график функции $2 y = − x$ сдвинуть на 4 единицы вниз.

Построим график функции:

$xy110$

$y = kx$ — множество прямых, проходящих через начало координат. Прямая $y = kx$ имеет с графиком одну точку в следующих случаях:

1.

Прямая $y = kx$ — касательная к параболе. В этом случае система

{ y =kx y =− x2− 4

имеет одно решение. Тогда и уравнение $− x2 − 4 = kx$ имеет одно решение. Квадратное уравнение имеет одно решение, когда дискриминант равен 0. Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

−x2− 4 =kx 2 x + kx+ 4 =0 D = k2− 4⋅4= k2− 16

Тогда

[ k2− 16= 0 ⇔ (k− 4)(k+ 4)= 0 ⇔ k = 4 k = −4

2.

Прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку $(−1;−5).$ Тогда

−5= k ⋅(− 1) ⇒ k = 5

Таким образом, $k ∈{− 4;4;5}.$

Ответ:

$k ∈{− 4;4;5}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#58605

Постройте график функции $y = |x|(x+ 2)− 5x$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

{ |x|= x, если x ≥0 − x, если x < 0

Раскроем модуль в выражении $y = |x|(x+ 2)− 5x:$

{ y = x ⋅(x + 2) − 5x, если x≥ 0 (− x)(x+ 2)− 5x, если x < 0 { 2 y = x +2x − 5x, если x≥ 0 − x2− 2x− 5x, если x < 0 { 2 y = x −2 3x, если x≥ 0 − x − 7x, если x < 0

График функции при $x ≥0$ — это парабола $2 y =x − 3x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-3= 3 2a 2 2 ( 3)2 3 9 9 9 yв. = 2 − 3⋅2 = 4 − 2 = − 4

Построим таблицу значений для параболы при $x≥ 0:$


$x$	$32$	0	1	2	3	4

$y$	$− 94$	0	$− 2$	$− 2$	0	4

График функции при $x <0$ — это парабола $y =− x2− 7x.$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-7= − 7 2a − 2 2 ( )2 ( ) yв. = − − 7 − 7⋅ − 7 = − 49-+ 49= 49- 2 2 4 2 4

Построим таблицу значений для параболы при $x< 0 :$


$x$	$− 72$	0	$− 1$	$− 2$	$− 3$	$− 4$	$− 5$

$y$	$449$	0	6	10	12	12	10

Построим график функции:

$xyyy110 = = −4 99 44$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком две точки пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− 3x:$ $(3 9) 2;−4 .$ В этом случае $9 m = −4 =− 2,25.$
2.: Прямая $y =m$ проходит через вершину параболы $y = −x2− 7x:$ $(− 72; 494 ).$ В этом случае $m = 494 =12,25.$

Получаем ответ:

m ∈{−2,25; 12,25}

Ответ:

$− 2,25; 12,25$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40767

Постройте график функции $y = (x2−-4)(x2−-4x+-3) x2− 3x+ 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2 x − 3x+ 2⁄= 0

Разложим на множители выражение $x2− 3x + 2:$

D =9 − 4 ⋅2= 1= 12 x1,2 = 3±-1 2 x1 = 2 x2 = 1

То есть

2 x − 3x+ 2 =(x− 1)(x − 2)

Вернемся к ОДЗ:

{ { x2− 3x+ 2⁄= 0 ⇒ (x− 1)(x − 2)⁄= 0 ⇒ x− 1⁄= 0 ⇒ x⁄= 1 x− 2⁄= 0 x⁄= 2

Разложим на множители выражение $2 x − 4x + 3:$

D = 16− 4⋅3= 4 = 22 4± 2 x1,2 = -2-- x1 = 3 x2 = 1

То есть:

x2− 4x+ 3 =(x− 1)(x − 3)

Упростим выражение $2 2 y = (x-−x4)2(−x3−x+42x+3)-:$

2 2 y = (x-−-4)2(x-−-4x+-3)= (x−-2)(x-+2)(x−-1)(x−-3)= (x+ 2)(x − 3) = x − 3x + 2 (x − 1)(x− 2) = x2− x− 6

Найдем координаты выколотых точек:

1.: $x =1 2 y = 1 − 1 − 6 = −6$
2.: $x =2 y = 22− 2 − 6 = −4$

График функции $(x2−4)(x2−4x+3) y = x2−3x+2$ — парабола $2 y = x − x− 6$ с двумя выколотыми точками: $(1;− 6)$ и $(2,−4).$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-1= 1 ( )2a 2 2 y = 1 2− 1− 6 =− 25 в. 2 2 4

Построим таблицу значений для параболы:


$x$	$1 2$	0	3	$7 2$	$− 1$	$− 2$	$− 5 2$

$y$	$− 25 4$	$− 6$	0	$11- 4$	$− 4$	0	$11 4$

Построим график функции:

$xyyyy110 = = = −−−664.25$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых.

Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку в трех случаях:

1.: прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $y = x2− x− 6:$ $(1;− 25). 2 4$ В этом случае $m = − 25= −6,25. 4$
2.: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(1;−6).$ В этом случае $m = −6.$
3.: прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;−4).$ В этом случае $m = −4.$

Получаем ответ:

m ∈ {−6,25;− 6;− 4}

Ответ:

$m ∈ {−6,25;− 6;− 4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43614

Постройте график функции $( )( ) y =-x2+-x−-6--x2−-2x−-3- x2− 9$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Область определения функции:

{ x2 − 9 ⁄= 0 ⇔ (x − 3)(x+ 3)⁄= 0 ⇔ x ⁄= 3 x ⁄= −3

Разложим $x2+ x− 6$ на множители:

2 x + x− 6= 0 D = 1+ 4⋅6 =25 = 52 x1,2 = −-1±-5 2 x1 = −3 x2 = 2

Значит, $x2+ x− 6= (x+ 3)(x− 2).$

Разложим $x2− 2x− 3$ на множители:

D = 4+ 4⋅3 =16 = 42 2± 4 x1,2 = -2-- x1 = 3 x2 = −1

Значит, $2 x − 2x − 3= (x− 3)(x+ 1).$

Тогда

( 2 )( 2 ) y =-x-+-x−-6--x-−-2x−-3-= (x+-3)(x−-2)(x−-3)(x-+1) = (x − 2)(x+ 1)= x2− x− 2 x2− 9 (x− 3)(x+ 3)

Найдём координаты выколотых точек:

x = 3 ⇒ y = 9− 3− 2= 4 x =− 3 ⇒ y = 9+ 3 − 2 = 10

График функции $( )( ) y = -x2+-x−-6--x2−-2x−-3- x2− 9$ — это парабола $y = x2− x − 2$ с выколотыми точками $(3;4)$ и $(− 3;10).$

Найдем вершину параболы:

xв. = −-b = − −-1= 1 2a 2 2 ( 1)2 1 9 yв. = 2 − 2 − 2= −4

Построим таблицу значений для параболы:


$x$	$1 2$	$− 2$	$− 1$	0	1	2	4

$y$	$9 − 4$	4	0	$− 2$	$− 2$	0	10

Построим график функции:

$xyyyy110 = = = −4102.25$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет с графиком одну точку пересечения в трёх случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(1 9) 2;− 4 .$ В этом случае $m =− 9= − 2,25. 4$
2.: Прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(3;4).$ В этом случае $m = 4.$
3.: Прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(−3;10).$ В этом случае $m =10.$

Ответ:

$m ∈ {−2,25;4;10}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45682

Постройте график функции $y = (x+-3)(x2−-3x-+2) x− 2$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Область определения функции:

x − 2 ⁄= 0 ⇔ x⁄= 2

Разложим $x2− 3x+ 2$ на множители:

x2− 3x+ 2= 0 D =9 − 4 ⋅2= 1= 12 3± 1 x1,2 = -2-- x1 = 2 x2 = 1

Значит, $x2− 3x + 2= (x− 2)(x− 1).$

Тогда

2 y = (x+-3)(x-− 3x-+2) = (x-+-3)(x−-2)(x-− 1)-= (x +3)(x− 1)= x2+ 2x− 3 x− 2 x− 2

Найдём координату выколотой точки:

x= 2 ⇒ y =22 +2 ⋅2 − 3= 5

График функции $2 y = (x+-3)(x-−-3x+-2) x− 2$ — это парабола $y = x2+ 2x− 3$ с выколотой точкой $(2;5).$

Выделим полный квадрат:

x2+ 2x− 3 =x2 +2x +1 − 1 − 3 = x2+ 2x+ 1− 4= (x+ 1)2 − 4

Для того, чтобы построить график функции $y = (x+ 1)2 − 4,$ нужно график функции $y = x2$ сдвинуть на 1 единицу влево и 4 единицы вниз, то есть построить в новых вспомогательных осях $Ox :x= −1$ и $Oy :y = −4.$

Построим график функции:

$xyyy110 == −54$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Прямая $y = m$ имеет с графиком одну точку пересечения в двух случаях:

1.: Прямая $y = m$ проходит через вершину параболы $(−1;−4).$ В этом случае $m =− 4.$
2.: Прямая $y = m$ проходит через выколотую точку $(2;5).$ В этом случае $m = 5.$

Таким образом,

m ∈{−4;5}

Ответ:

$− 4; 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#54960

Постройте график функции $( ) y =-x2+-0,25-(x-+1) −1 − x$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Область определения функции:

−1 − x ⁄= 0 ⇔ x⁄= − 1

Упростим выражение:

( ) ( ) x2-+0,25-(x+-1) -x2+-0,25-(x-+1) ( 2 ) 2 y = − 1− x = −(x +1) =− x + 0,25 =− x − 0,25

Найдём координату выколотой точки:

x = −1 ⇒ y =− (−1)2 − 0,25= − 1,25

График функции $( ) y = -x2+-0,25-(x+-1) −1− x$ — это парабола $y = −x2− 0,25= −x2− 1 4$ с выколотой точкой $(−1;−1,25).$

Для того, чтобы построить график функции $2 y = −x − 0,25,$ нужно график функции $2 y = − x$ сдвинуть на $1 4$ единицы вниз.

Построим график функции:

$xy110$

1.

Прямая $y = kx$ — касательная к параболе. В этом случае система

{ y = kx y = − x2− 1 4

имеет одно решение. Тогда и уравнение $− x2− 1 = kx 4$ имеет одно решение. Квадратное уравнение имеет одно решение, когда дискриминант равен 0. Найдём дискриминант квадратного уравнения: