Тема МКТ. Газовые законы

04 Газовые смеси

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела мкт. газовые законы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#29388Максимум баллов за задание: 10

В сосуде постоянного объёма находится смесь гелия и кислорода. Смесь нагревают от температуры $T1 = 300 К$ до температуры $T2 = 4T1∕3 = 400 К$ , при этом половина атомов гелия покидает сосуд, а давление газа остается прежним. Во сколько раз при этом изменяется плотность смеси? Молярная масса кислорода $μ = 32 г/моль к$ , гелия $μг = 4 г/моль$ .

(МОШ, 2007, 10)

Источники: МОШ, 2007, 10

Показать ответ и решение

Пусть количества гелия и кислорода в начале равны $ν1$ и $ν2$ соответственно. Общее количество вещества в системе после нагрева должно составлять $0,5ν1 + ν2$ . Поскольку давление газа не изменяется,

(ν1 +ν2)T1 = (0,5ν1 +ν2)T2

откуда $ν1 = ν2$ . Итак, количество атомов гелия вначале было равно количеству молекул кислорода. Объем смеси при нагревании не изменился, тогда отношение плотностей будет равно

ρ2= 0,5M1-+-M2- = 0,5⋅4+-32-= 17 ρ1 M1 + M2 4+ 32 18

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Верно записано выражение для общего количества вещества в системе после нагрева	2

Записано условие постоянства давления в терминах $ν$ и $T$	2

Сделан вывод о равенстве количества гелия и кислорода в начале	2

Учтена неизменность объема после нагрева	2

Получено верное отношение плотностей	2

Максимальный балл	10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#29389Максимум баллов за задание: 10

В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре $T1$ , когда половина молекул азота диссоциировала на атомы, а диссоциации водорода не происходит, давление в сосуде равно $p1$ . При температуре $T 2$ , когда диссоциировали все молекулы азота и треть молекул водорода, давление в сосуде равно $p2$ . Найти отношение числа атомов азота к числу атомов водорода в смеси.

Источники: Росатом, 2012, 11

Показать ответ и решение

Пусть начальная концентрация азота $n1$ , а водорода $n2$ . После первой диссоциациии концентрации при $T1$ равны $n1 n1 2 ⋅---+ --- 2 2$ и $n2$ . При температуре $T2$ концентрации равны $2n1$ и $n2 2n2 2 ⋅---+ ---- 3 3$ .

Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона:

( ) 3n1 p1 = ---- + n2 kT1 2

( ) p = 2n + 4n2- kT 2 1 3 2

Тогда

2p1T2 3n1 + 2n2 ------= ---------- 3p2T1 6n1 + 4n2

12n1p1T2 + 8n2p1T2 = 9n1p2T1 + 6n2p2T1

n1 (12p1T2 − 9p2T1) = n2(6p2T1 − 8p1T2 )

\text{[math]}

Так как объем, который занимает смесь, остается постоянным, число атомов каждого из газов можно выразить как произведение его концентрации на объем сосуда. Пусть концентрации газов - $N1$ и $N2$ . Тогда

N1- = n1-∕V-= n1-= 6p2T1-−-8p1T2-. N2 n2 ∕V n2 12p1T2 − 9p2T1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#29390Максимум баллов за задание: 10

В цилиндре под поршнем находятся газы $X2$ и $Y2$ и соединение $X2Y$ . В системе протекает химическая реакция $2X2 + Y2 ↔ 2X2Y$ . В равновесном состоянии (когда скорости химической реакции в прямом и обратном направлениях равны) при давлении $p$ система занимала объём $V$ , а количества веществ $X2$ , $Y2$ и $X2Y$ были равны $ν1$ , $ν2$ и $ν3$ соответственно. Давление на систему изменили на малую величину $Δp$ . Найдите изменения объёма системы $ΔV$ и количеств веществ $Δ ν1$ , $Δ ν2$ , $Δ ν3$ после установления нового равновесия. Температура всё время поддерживается постоянной.

Примечание. Известно, что скорость химической реакции пропорциональна произведению концентраций $νi∕V$ реагирующих веществ. Соответственно, скорости прямой и обратной реакций пропорциональны $(ν1)2 V$ $(ν2) V$ и $(ν3)2 V$ . Коэффициенты пропорциональности могут быть разными, но зависят только от температуры. Газы можно считать идеальными.

Источники: Всеросс., 2005, ОЭ, 11

Показать ответ и решение

Скорости прямой ( $vf$ ) и обратной ( $vr$ ) реакций пропорциональны:

(ν1-)2( ν2) ( ν3)2 vf ∝ V V , vr ∝ V .

В состоянии равновесия скорости равны:

ν2ν2 ν2 kf -13--= kr--32. V V

Константа равновесия $Kc$ , зависящая только от температуры, постоянна:

2 Kc = kf-= ν-3V-. kr ν21ν2

Пусть $ξ$ — степень протекания реакции вправо. Изменения количеств веществ:

Δ ν1 = − 2ξ, Δ ν2 = − ξ, Δ ν3 = 2ξ. (1)

Уравнение состояния $pV = νобщRT$ .
В начальном состоянии:

pV = (ν1 + ν2 + ν3)RT.

В конечном состоянии:

(p + Δp )(V + ΔV ) = (ν + ν + ν − ξ)RT. 1 2 3

Для малых изменений $d (...) ≈ Δ (...)$ . Поскольку $Kc$ постоянно, $dKc = 0$ . Дифференциал выражения для $K c$ равен:

dV- + 2dν3-− 2dν1-− dν2-= 0. V ν3 ν1 ν2

Подставляем изменения через $ξ$ :

ΔV 2 (2 ξ) 2(− 2ξ) − ξ ----+ ------− -------− --- = 0. V ν3 ν1 ν2

( ) ξ -4-+ -1-+ 4-- = − ΔV-. (2) ν1 ν2 ν3 V

Линеаризация уравнения состояния. Пренебрегая членами второго порядка малости ( $Δp ΔV ≈ 0$ ):

pΔV + V Δp ≈ − ξRT = − ξ-pV--. νобщ

Введём обозначение $A = 4-+ 1-+ -4 ν1 ν2 ν3$ . Система уравнений:

ΔV A ξ = − ---- ⇒ ΔV = − AV ξ, V

pV pΔV + V Δp = − ξ----. νобщ

Подставляем $ΔV$ во второе уравнение:

-pV-- p(− AV ξ) + V Δp = − ξν , общ

( 1 ) Δp = pξ A − ----- . νобщ

Отсюда находим $ξ$ :

Δp- ---1----- Δp- -----------1------------ ξ = p ⋅A − -1--= p ⋅ ( 4-+ 1-+ -4) − ---1----. νобщ ν1 ν2 ν3 ν1+ν2+ν3

Зная $ξ$ , находим искомые величины $ΔV, Δ ν1,Δ ν2,Δ ν3$ , подставляя выражение для $ξ$ в формулы (1) и (2), получим
Изменение объёма:

V ⋅ Δp 4ν1-+ ν12 + ν43 ΔV = − -------⋅--4----1---4--------1---. p (ν1 + ν2 + ν3) − ν1+ν2+ν3

Изменение количеств веществ:

Δp 1 Δ ν1 = − 2 ⋅--- ⋅-4----1----4--------1---, p (ν1 + ν2 + ν3-) − ν1+ν2+ν3

Δp 1 Δν2 = − ---⋅ -4----1----4-------1----, p (ν1 + ν2 + ν3) − ν1+ν2+ ν3

Δp- ------------1----------- Δ ν3 = 2 ⋅ p ⋅(-4 + 1-+ 4-) − ---1---. ν1 ν2 ν3 ν1+ν2+ν3

Ответ:

$4- -1 -4 ΔV = − V⋅Δp ⋅-4--1ν1+ν42+ν3-1---, p (ν1+ν2+ν3)−ν1+ν2+ν3$ $Δ ν1 = − 2 ⋅ Δp-⋅-4-1---41----1---, p (ν1+ν2+ν3)−ν1+ν2+ν3$ $Δ ν2 = − Δp-⋅-4---1--41----1---, p (ν1+ν2+ ν3)−ν1+ν2+-ν3$ $Δ ν3 = 2 ⋅ Δpp-⋅(-4+-1+-41)−---1---. ν1 ν2 ν3 ν1+ν2+ν3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#49338Максимум баллов за задание: 10

Два двухатомных газа $A2$ и $B2$ , взятые в равном количестве молей, находятся в сосуде под давлением $p$ . Происходит химическая реакция с образованием газообразного соединения $A2B$ . Известно, что образовалось максимально возможное количество этого газа. Какое давление будет в сосуде при той же температуре после прохождения реакции?

(«Росатом», 2019, 11)

Источники: Росатом, 2019, 11

Показать ответ и решение

Пусть в сосуде находятся $ν$ молей вещества $A2$ и $ν$ молей вещества $B2$ . Уравнение реакции

2A2 + B2 = 2A2B

показывает, что каждый моль вещества $B2$ реагирует с двумя молями вещества $A2$ . Поэтому в нашем случае вещество $A2$ ( $ν$ молей) прореагирует полностью с половиной вещества $B2$ (с $ν∕2$ молей). После прохождения реакции в сосуде будет столько же молей соединения $A2B$ , сколько было в сосуде вещества $A2$ (т.е. $ν$ молей) и половина бывшего в сосуде вещества $B2$ ( $ν∕2$ молей). Поэтому в сосуде останется $3ν∕2$ моля газов. Из закона Дальтона для начальной и конечной смесей

p1 = p = 2νRT-- p2 = 1,-5νRT- V V

заключаем, что

3- p2 = 4 p

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#49346Максимум баллов за задание: 10

Теплоизолированный цилиндр объемом $V$ разделен на две части перегородкой. В одной части находится водород в количестве $ν$ при температуре $T1$ , а в другой — азот в количестве $1,5ν$ при температуре $5T 4 1$ и другом давлении. Перегородка прорывается.
1. Какая температура $T2$ , установится в смеси?
2. Найти давление $P$ в смеси.

(«Физтех», 2019, 10)

Источники: Физтех, 2019, 10

Показать ответ и решение

1) После прорыва перегородки азот и водород занимают весь объем сосуда, образуя смесь двух газов. Внутренняя энергия смеси по закону сохранения энергии будет складываться из начальных внутренних энергий азота и водорода:

U1 + U2 = U

Количество вещества смеси также будет складываться из количества вещества азота и водорода:

νсмеси = ν + 1,5ν = 2,5ν

Распишем внутренние энергии и выразим температуру смеси газов:

5 5 5 5 1 + 1,875 --νRT1 + --⋅ 1,5νR ⋅-T1 = --⋅ 2,5νRT2 ⇒ T2 = ----------T1 = 1,15T1 2 2 4 2 2, 5

2) Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси газов и выразим из него давление смеси:

2,5-νRT2- νRT1-- P V = 2, 5νRT2 ⇒ P = V = 2,875 V

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#49777Максимум баллов за задание: 10

Два диска, по которым равномерно распределены заряды $q$ и $− q$ , могут двигаться без трения в длинном непроводящем теплоизолированном цилиндре, расположенном горизонтально (см. рисунок). Расстояние между дисками много меньше их радиуса. Между дисками находится некоторое количество гелия, за дисками газа нет, система находится в равновесии. Заряды дисков мгновенно уменьшают вдвое, после чего ожидают прихода системы в равновесие. Пренебрегая теплообменом, найдите, во сколько раз изменятся температура газа и расстояние между дисками.

(Всеросс., 2015, финал, 10)

Источники: Всеросс., 2015, финал, 10

Показать ответ и решение

Обозначим через $V, P$ и $T$ начальные значения объёма, давления и температуры газа, $d$ – начальное расстояние между дисками, а те же величины с индексом 1 – те же параметры в конечном состоянии. Так как расстояние между дисками много меньше их радиуса, напряжённость поля диска можно вычислять, считая его равномерно заряженной бесконечной плоскостью:

E = --q--, 2𝜀0S

где $S$ – площадь дисков.
Тогда на второй диск со стороны первого действует сила $F = qE$ :

2 F = qE = -q---. 2𝜀0S

Сила пропорциональна квадрату заряда и не зависит от расстояния между пластинами, поэтому конечное равновесное давление будет в четыре раза меньше начального.
Энергия конденсатора равна

2 2 Wc = -q- = -q-d- = F d = P V. 2C 2 𝜀0S

Рассмотрим систему, состоящую из газа и заряженных пластин. Её энергия равна

3- 5- 5- W = P V + 2P V = 2P V = 2νRT.

Энергия системы в конечном равновесном состоянии должна равняться начальной энергии:

5 3 PV 5 7 7T -P1V1 = -P V + ----⇒ --νRT1 = -νRT ⇒ T1 = ---. 2 2 4 2 4 10

Теперь, используя $P1 = P∕4$ :

P1V1-= T1-= 7--⇒ d1-= V1- = 14-. P V T 10 d V 5

Полученный ответ подтверждает предположение о малости $d$ в конечном состоянии.
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#116872Максимум баллов за задание: 10

Смесь гелия $(μ1 = 4 г/м ол ь)$ и кислорода $(μ2 = 32 г/моль)$ имеет при давлении $p = 105 Па$ и температуре $T = 300 K$ плотность $ρ = 0,3 кг/м3.$
1) Найдите отношение числа молекул гелия к числу молекул кислорода.
2) Какой станет при том же объёме плотность смеси, если из неё удалить половину молекул гелия?
(МФТИ, 2008)

Источники: МФТИ, 2008

Показать ответ и решение

Введем обозначения: все буквы с индексом «1» соответствуют гелию, с индексом «2» — кислороду.

1.Выразим давление смеси из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Pсм = ρсм ⋅RT ⇒ μсм = 0,3⋅8,31⋅300-= 7,5⋅10−3-кг-- μсм 105 моль

Далее воспользуемся следующими соотношениями:

( |||| νсм = ν1 + ν2 { m = m + m ⇒ m-см-= m1-+ m2- || смm 1 2 μсм μ1 μ2 ||( ν = -- μ

Из последнего соотношения выразим отношение масс $m1∕m2$ , поделив обе части уравнения на $m2$ :

m1- +1 m1- m2-----= -m2 + -1-⇒ μсм μ1 μ2

m1- m1- μсм μсм m2 + 1 = m2 ⋅ μ1 + μ2

Свяжем отношение масс с отношением числа молекул $mm1= μμ1NN1- 2 2 2$ и получаем:

μсм = N1∕N2-⋅μ1 +-μ2 N1 ∕N2 + 1

Отсюда: $N1∕N2 ≈ 7,00$

2. Обозначим $N1 ∕N2 = x$ . После удаления половины молекул гелия $N1′∕N2 = x- 2$ . Запишем выражение для плотности смеси:

′ ′ m1-+-m2- μ1NN1A-+-μ2NN2A- ρсм = V = V

Для начала выразим $NN2⋅V A$ из выражения для плотности смеси:

--N2--= --ρсм--- NA ⋅V μ1x+ μ2

Тогда получаем:

μ1ρсм x μ2ρсм кг ρ′см = μ-x+-μ--2 + μ-x-+-μ ⇒ ρ′см = 0,23м3 1 2 1 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#116873Максимум баллов за задание: 10

В закрытом сосуде при температуре $T$ находился кислород в количестве $2 моль,$ содержащий некоторое количество озона $O3.$ С течением времени озон полностью превратился в молекулярный кислород. Получившийся кислород оказывает то же самое давление, что и первоначальная смесь газов при температуре $8T ∕9.$ Найти количество вещества (число молей) озона в сосуде в начальный момент времени.

Показать ответ и решение

Введем обозначения: пусть физ. величины с индексом «1» соответствуют $O2$ , с индексом «2» — $O3$ . Запишем уравнения Клапейрона-Менделеева:

( {P ⋅V = (ν1 + ν2)RT 8 ( ′ 8 ⇒ ν1 + ν2 = 9(ν1 + ν′2) P ⋅V = (ν1 + ν2)R9T

Немного химии:

2⋅O3 → 3 ⋅O2

Из этого непосредственно следует $ν2′= 3ν2 2$ . Тогда:

ν1 + ν2 = 8ν1 + 83 ν2 ⇒ ν2 = ν1 9 92 3

В итоге: $2 ν2 = 3 м оль$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116874Максимум баллов за задание: 10

В сосуде объёмом $V = 1 л$ хранится тритий (изотоп водорода с атомной массой $A = 3$ ). Масса трития $m = 1 г.$ За $12$ лет половина ядер трития превращается в ядра гелия. Найдите давление в сосуде в конце этого срока хранения. Температура газа поддерживается равной $t = 27∘C.$ Образовавшийся гелий имеeт атомную массу $A = 3.$

Показать ответ и решение

Запишем химическую реакцию перехода трития в гелий (важно понимать, что 2 добавленных в ядро водорода нейтрона никаким образом не влияют на хим. свойства последнего, тритий все также остается двухатомной молекулой):

H2 → 2He

1. Запишем количество вещества трития после распада, понимая под $ν1$ его начальное количество вещества:

ν1 ν1 3 ν2 = 2 + 2 ⋅2 = 2ν1

Знаем, что молярная масса трития: $μ1 = 6 г/моль,$ отсюда $ν1 = m--= 1 моль μ1 6$

2. Пишем закон Клапейрона-Менделеева:

ν2RT- 1 3 P = V ⇒ P = 4 ⋅8,31 ⋅300⋅10 ≈ 623 кПа

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#116876Максимум баллов за задание: 10

При нормальных условиях кислород состоит из двухатомных молекул $O2.$ При повышении температуры часть молекул может диссоциировать, в результате чего из каждой молекулы $O2$ образуются два атома $O.$ На рисунке показаны два циклических процесса $1$ и $2$ в координатах $(ρ,p),$ где $ρ$ - плотность газа, $p$ - давление. По осям отложены безразмерные величины $p∕p0$ и $ρ∕ρ0,$ где $p0$ и $ρ0$ - некоторые масштабные коэффициенты. При проведении первого эксперимента рабочим веществом служил молекулярный кислород $O2$ (низкие температуры). Второй эксперимент проводился при значительно более высоких температурах. При этом часть кислорода находилась в молекулярном $(O2),$ а часть - в атомарном $(O )$ состоянии, и степень диссоциации не изменялась в течение эксперимента. Масса газа в обоих экспериментах была одной и той же. Известно, что отношение максимальных температур в этих экспериментах $kmax = T2,max∕T1,max = 5,0.$

$PIC$

1. Определите степень диссоциации $α$ (долю диссоциированных молекул) молекул кислорода во втором эксперименте.
2. Определите отношение $kmin$ минимальных температур в этих экспериментах.

(Всеросс., 2010, финал, 10)

Источники: Всеросс., 2010, финал, 10

Показать ответ и решение

$PIC$

1. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона, коэффициент $-μ- T R$ является тангенсом угла наклона касательной к графику зависимости $ρ(P )$

ρ = -μ-⋅P RT

Рассмотрим первый цикл (когда никакой диссоциации еще не происходило). Максимальной температуре соответствует минимальный тангенс угла наклона, который несложно найти из графика для каждого из циклов:

tgα2max-= -μ2--T1max-⇒ μ2-= T2max-⋅ tgα1max tgα1max T2max μ1 μ1 T1max tgα2max

Зная соотношение молярных масс, поступая по аналогии, ответим на второй вопрос задачи:

tg-α2min= T1min-⋅ μ2-⇒ kmin ≈ 9.2 tg α1min T2min μ1

2. Ответим теперь на первый вопрос задачи. Запишем соотношения для количества вещества:

(| m1- |||{ν1 = μ1 ν2 = m2- ⇒ ν1μ1 = ν2μ2 ||| μ2 |(m1 = m2

Вводим степень диссоциации $α$ и записываем связь кол-ва вещества до и после диссоциации:

ν2 = ν1(1 − α )+ α⋅ν1 ⋅2 ⇒ μ1 = μ2(1− α + 2α)

Получаем окончательно:

μ1- α = μ2 − 1 ≈ 0.2

Ответ: