Десятичная запись и цифры

Обозначим Докажем, что

Это неравенство из-за области значений эквивалентно возведённому в квадрат:

Теперь правое неравенство очевидно в силу , а левое тоже в силу

Тогда получаем, что

где

Пусть Тогда, взяв максимальные получим противоречие, так как

Аналогично, если а то снова противоречие, так как

Значит, единственное значение для остаётся Наш ребус принимает вид

Тогда заметим, что

Отсюда понимаем два случая, когда или

Пусть Тогда мы знаем, что левая часть ребуса делится на Отсюда из признака делимости на понятно, что число даёт такой же остаток, как и при делении на Значит, перебором получаем, что единственный подходящий вариант здесь но она уже занята. Противоречие.

Пусть Аналогично правая часть ребуса делится на откуда должно делиться на Понятно, что подходит или но вторая уже занята, поэтому остаётся только Теперь уже несложно находятся, что и

Заметим, что число представляется в виде . В произведении множители 11 и 101 встречаются чётное число раз. Таким образом, трёхзначное число должно быть кратно 101, а двузначное число — кратно 11. В силу условий . Следовательно,

Отсюда .

Рассмотрим число в двоичной системе счисления:

где При умножении на получаем:

Целая часть соответствует числу, составленному из первых цифр двоичного представления. Последняя цифра этого числа в двоичной системе —

Поскольку иррационально, его двоичная запись содержит бесконечно много нулей. При последняя цифра числа в двоичной системе равна следовательно, само число чётно, значит, существует бесконечно много различных четных и бесконечное количество составных чисел вида

Легко проверить, что число

подходит. Действительно, при записи задом наперед оно равно

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Покажем, как можно было бы придумать такое число на олимпиаде. Обозначим это число где — первые три и последние три числа в его записи. На месте многоточие стоят какие-то цифры.

Тогда Значит, так как — результат умножения натурального числа с первой цифрой, не меньшей на так как иначе при умножении на в числе увеличится количество знаков. Тогда Помимо того, делится на значит, четно, поэтому Также кончается на при Так как то

Далее из равенства по цифре можно однозначно определить цифру которая к тому же должна быть нечетная и меньше Получаются варианты и из которых подходит только второй.

Аналогичным образом пытаясь найти и получаем два возможных варианта: и Развивая второй вариант, можно понять, что все числа вида подходят.

Рассмотрим выражение

Заметим, что если натуральное число оканчивается на (всего нуль, где — натуральное), то это выражение примет значение, оканчивающееся на ( нулей между восьмёрками):

Поэтому можно дописать несколько цифр в начало нового числа так, чтобы получилось число

Число равно Тогда

Выполняя арифметические операции, получим число

В нем 2 «участка» из 39999 и 40000 девяток соответственно. Итого, 79999 девяток.

Понятно, что это число делится на так как раскладывается через сумму, где каждое слагаемое делится на Очевидно, что сумма цифр тоже равна

Десятичная запись данного числа имеет вид где — первые цифр числа а состоит из цифр: последние цифр числа за которыми следуют первые цифр. Предположим, что это число — степень двойки. Поскольку оно -значное, оно больше чем а значит, оно делится на Следовательно, число (последние цифр данного числа) тоже делится на так как разность всего числа и числа из его последних 100 цифр делится на а значит, и на Число равно произведению числа и нечетного числа вида Следовательно, тоже делится на Но Противоречие.

Заметим, что если для исходного числа существует такой момент, то и для числа , полученного вычеркиванием всех девяток из исходного, он так же существует, поскольку каждое вычеркивание не меняет остаток при делении суммы цифр на 9.

Рассмотрим число . В силу неравенства , отношение количества восьмерок к оставшимся числам, больше 9. Отметим подряд идущие блоки по 9 чисел. Докажем, что существует блок, элементами которого являются лишь восьмерки. Пусть это не так, тогда в каждом блоке есть цифра отличная от восьмерки, следовательно, количество цифр, не являющихся восьмерками, хотя бы от общего количество, что противоречит полученному неравенству.

Рассмотрим блок, состоящий только из восьмерок. Пусть число, полученное из вычеркиванием всех цифр до найденного блока, имеет остаток при делении на 9. Каждое вычеркивание 8 увеличивает остаток при делении на 9 на 1, следовательно, вычеркнув элементов в блоке, мы получим искомое число.

Максимальное -значное натуральное число это Докажем, что оно подходит под условие.

Если тогда Сумма цифр у числа равняется Рассмотрим сумму цифр у Будем рассматривать такие что они не оканчиваются на так как нули не влияют на сумму цифр Соответственно переходов через разряд у нет.

Когда из вычитается число происходит следующее:

(a) У -го разряда числа занимается единица. Тогда у остальных младших разрядов вместо будет кроме последнего, у которого будет

(b) При вычитании числа в результате будет в разрядах будет записываться такая цифра, что в сумме с цифрой из стоящей на том же разряде, они дадут кроме первого разряда, у которого в сумме будет

Тогда сумма цифр до -го разряда будет равняться

так как изначально было девяток и одна десятка.

Оставшаяся сумма цифр числа будет равняться Но учитывая ограничения, которые мы ввели, получаем, что

Тогда сумма цифр числа это

что совпадает со суммой цифр числа

Пусть искомое число записано цифрами то есть

Запишем условие задачи:

Перепишем это равенство в виде:

Левая часть делится на 10, значит также делится на 10. В силу того, что и — однозначные числа, эта разность может быть равна только 0, т.е. Подставив в полученное ранее равенство, получим

Итак, возможен только один вариант:

Сначала заметим, что среди цифр этого числа могли быть только простые числа , потому что можно вычеркнуть все цифры, кроме одной, тогда по условию это однозначное число должно быть простым.

Дальше заметим, что никакая цифра не могла встретиться дважды, иначе можно получить число вида , которое делится на , а так как —- какая-то цифра из набора , то это число не простое.

И наконец, среди цифр встречается только одно, потому что числа составные.

Значит, число из условия не более, чем двузначное. При этом оно может быть двузначным, только если одна из цифр , а другая —- одна из . Тогда максимально возможное простое число, удовлетворяющее условиям задачи, —- это .

Лемма. Пусть — натуральные числа, Тогда существует число, делящееся на десятичная запись которого представляет многократно повторенную запись числа

Доказательство. Среди чисел есть два числа, дающих одинаковый остаток при делении на (если взять достаточно много чисел больших, чем ). Возьмем их разность и отбросим нули на конце.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тогда по лемме возьмём в качестве просто произведение всех -значных чисел, составленных из Это число будет, очевидно, взаимно просто с и Теперь в качестве числа для выполнения условия задачи можно взять число, которое содержит сначала очень много единиц, потом очень много троек, семёрок и девяток. Снова получаем по лемме, что каждый блок по отдельности делится на (либо же можно сослаться на то, что приписывание нулей после блока цифр на делимость не влияет). Тогда и всё число тоже будет делится.

Пусть имеет в своей записи цифру, тогда

где — это какое-то -значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число

По условию получаем равенство

Следовательно, можем понять как выглядит

По условию должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная сумма цифр числа должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 делиться не может.

В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.

Из условия задачи видно, что тогда и где — цифра. Последнее уравнение имеет единственное решение Значит, искомое число

Запишем число в виде По условию Заметим, что не может быть потому что в противном случае также будет равна а это первая цифра числа. Также делится на Следовательно,

Перепишем условие в более удобном виде. Пусть , тогда

Так как число двузначное, то , так что правая часть равенства выше отрицательна. При этом левая положительна. Значит, решений нет.

Пусть в последнем слагаемом цифр. По условию десятичная запись суммы оканчивается на

то есть при некотором натуральном верно

откуда с учётом натуральности сразу следует условие для сократимости дроби

Следовательно,

В обеих оценках достигается равенство, при котором выполнено условие.

Заметим, что

Аналогично,

Тогда

Значит, число целое, причем так как Отсюда а ответ равен