Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия → .04 Формулы в тригонометрических уравнениях

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#98816Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( π) π sin 2x− 8 = cos2x − cos8.

Показать ответ и решение

Применяя к левой части уравнения формулу синуса двойного угла, а к правой части — формулу преобразования разности косинусов в произведение, получаем:

( -π) ( π-) ( π-) ( π-) 2sin x −1(6 cos)x(− 1(6 = −2)sin x(− 16 si)n) x+ 16 2sin x− π- cos x− -π + sin x +-π =0. 16 16 16

Отсюда или

sin (x − π) = 0⇔ x= -π+ πn,n∈ ℤ 16 16

или

( π-) ( -π) sin x+ 16 + cos x− 16 = 0.

Во втором случае, замечая, что

( π-) (π ( π-)) cos x− 16 = sin 2 − x− 16

и применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, будем иметь

( π-) ( π-) ( -π) ( π π-) sin x+ 16 + cos x− 16 = sin x +16 +sin 2 − x+ 16 = =2 sin(x+-1π6 +-π2-− x+-1π6) cos( x+-π16-− π2 +-x−-π16-)= 2sin( 5π-)cos(x− π)= 0. 2 2 16 4

Так как $(5π) sin 16 ⁄=0$ , то

( π) π π cos x− 4 = 0⇔ x − 4 = 2 +πk,k∈ ℤ

Ответ:

$3π +πk;-π +πk (k ∈ℤ) 4 16$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#34202Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos5x-− cos7x sin4x +sin2x = 2|sin 2x|.

Источники: Физтех-2016, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть уравнения выглядит и правда плохо..Вспомните, как мы можем лихо заменять суммы синусов/косинусов на произведения! Также про формулу двойного угла и ОДЗ не забывайте)

Подсказка 2

Если после сокращений и махинаций вышло уравнение 2sinxcos3x/cosx = 4|sinxcosx|, то все хорошо. Тут было бы хорошо вспомнить формулу тройного угла косинуса..

Подсказка 3

Справа все еще стоит модуль, поэтому нам придется рассматривать два случая: когда sinxcosx>0 и когда < 0. Здесь делать стоит аккуратно, вспоминать про одз и какой случай мы смотрим)

Показать ответ и решение

Применим формулы разности косинусов и суммы синусов, получим

2sinx-sin6x 2sin-xcos3x 2sin3xcosx = cosx =4|sinxcosx|

Далее в силу $3 cos3x =4cos x− 3cosx$ имеем $2 sinx(4cos x− 3)=2|sinxcosx|$ , а также условия из ОДЗ: $sin3x ⁄=0,cosx ⁄=0$ . Рассмотрим случаи

$sinxcosx ≥0$ , то есть синус и косинус одного знака и $x$ в первой или третьей четверти. Заметим, что $sinx= 0$ является корнем $sin3x= 0$ и не подходит, откуда $2 1±√13 4 cos x− 3= 2cosx ⇐⇒ cosx= 4$ . Под область значений косинуса подойдёт только $1−√13 cosx= --4--< 0$ , откуда синус также отрицателен и $1− √13- x =− arccos--4--+2πn$ .
$sinxcosx < 0$ , то есть синус и косинус разных знаков и $x$ во второй или четвёртой четверти. Отсюда аналогично $√-- 4cos2x− 3 =− 2cosx ⇐ ⇒ cosx= −1±4-13$ , где снова остаётся только $√-- cosx= -134−1> 0$ , откуда синус снова отрицателен и $√-- x = − arccos-13−4-1+2πn$ .

Ответ:

$− arccos(±1−√13)+ 2πn, n∈ ℤ 4$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#34203Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

10 10 29- 4 sin x+cos x = 16 cos 2x.

Источники: ПВг-2016, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вот наверняка у вас возникал вопрос: зачем учить формулы понижения степени? Ответ: для того, чтобы сейчас же понизить эти десятые степени! Помним, что sin¹⁰(x) = (sin²(x))⁵. Там начнет фигурировать и пятая степень двойки - на нее стоит домножить левую и правую части.

Подсказка 2

Заменим cos(2x) на t, а затем, не стесняясь, раскроем скобки с пятыми степенями. Вы же понимаете, что при раскрытии они будут почти идентичны? Только слагаемые с нечетной степенью будут отличаться знаками, следовательно, при сложении они просто пропадут!

Подсказка 3

Далее будет очень удобно сделать замену t² = p, тогда мы получим квадратное уравнение, решим его и сделаем обратную замену, таким образом постепенно и дорешаем задачу.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По формуле понижения степени уравнение равносильно

5 5 4 (1 − cos(2x)) + (1 +cos(2x)) = 29⋅2⋅cos (2x).

После замены $cos(2x)= t$ и раскрытия скобок имеем (нечётные степени косинуса взаимноуничтожаются):

2 4 4 1+10t +5t = 29t .

Из этого квадратного относительно $t2$ уравнения получаем $t2 = 12$ или $t2 = −112$ . Отсюда $cos(2x)= ±√1 2$ , так что $x =± π8 + πk2 = π8 + π4k,k ∈ℤ$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Выразим две суммы с меньшими степенями через $cos4x$

sin4x+ cos4x= 1− 2sin2xcos2x =1 − 1 sin22x= 3+-cos4x 2 4

6 6 4 2 2 4 3 2 3cos4x+-5- sin x +cosx =sinx − sin x cos x+ cos x= 1− 4sin 2x = 8

Теперь выразим через них левую часть

sin10x+ cos10x= (sin4x +cos4x)(sin6x+ cos6x)− sin4x cos4x

( )2 sin4xcos4x = 1-sin42x= 1- 1-− cos4x = 1-(1 − 2cos4x+cos24x) 16 16 2 64

Теперь подставим всё это в изначальное равенство

3+-cos4x ⋅ 3cos4x+-5− 1−-2cos4x-+cos2-4x = 29(cos24x +2cos4x+1) 4 8 64 64

2 2 2 6cos 4x+ 28cos4x+ 30− 1+2cos4x− cos 4x= 29 cos 4x+58cos4x+29

2 24cos4x+ 28cos4x =0 ⇐⇒ cos4x =0,−7∕6

Остаётся только первый корень, который и идёт в ответ.

Ответ:

$π + πn, n ∈ℤ 8 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#46081Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|cosx|−-cos3x- 2-- cosxsin2x = √3.

Источники: Физтех-2015, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Много косинусов возникло - давайте разделим на cos(x)^3, предварительно раскрыв модуль, и числитель, и знаменатель.

Подсказка 2

При делении на cos(x)^3 в знаменателе получаем 2tg(x) -> все нужно свести к одной переменной, тангенсу. Получив решения для cos(x)>0 или <0, не забываем отобрать нужные!

Показать ответ и решение

Пусть $cosx> 0$ , поделим числитель и знаменатель на $cos3x$

-12-− 4+ -32- 2 2 1 π cos-x2tgx-cos-x= √3- ⇐⇒ 2tgx= √3- ⇐ ⇒ tgx =√3- ⇐⇒ x= 6 +πn

Из этих корней остаются только $x = π6 + 2πn$ , при $cosx< 0$ действуем аналогично

−-co1s2x-− 4-+co3s2x-= √2 ⇐ ⇒ tg2x− 1= √2-tgx ⇐ ⇒ tgx =√3,− 1√-- ⇐⇒ x = π + πn 2tgx 3 3 3 3 2

Из этих корней остаются $2π 5π x= − 3 +2πn,6 + 2πn$ . Остаётся заметить, что все полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$π + 2πn,5π+ 2πn,− 2π+ 2πn, n∈ ℤ 6 6 3$

Критерии оценки

Разобран только один из двух случаев раскрытия модуля — 3 балла.

Разобраны оба случая раскрытия модуля — 7 баллов.

Не сделан (неверно сделан) отбор корней — (−1) балл за каждый случай.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#70299Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|sinx|−-sin3x- √ - cosx cos2x =2 3

Источники: Физтех - 2015, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит раскрыть модуль.

Подсказка 2

Было бы удобно преобразовывать получившиеся выражения на ОДЗ.

Подсказка 3

Воспользуйтесь формулой произведения синусов.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cosx cos2x⁄= 0$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля и преобразуем на ОДЗ:

− sinx− sin3x √- 2sin2xcosx √- sin2xcosx √ - sin x< 0:--cosxcos2x--= 2 3 ⇔ −-cosxcos2x-= 2 3 ⇔ cosx-cos2x = − 3⇔ ⇔ sin2xcosx-= −√3 ⇔ sin2x-= −√3⇔ tg2x= −√3 cosxcos2x cos2x

sinx−-sin3x- √ - 2sin-xcos2x √ - sinx-cos2x √- sinx ≥0 : cosxcos2x =2 3⇔ − cosxcos2x =2 3⇔ cosxcos2x =− 3⇔ ⇔ sinx-=− √3⇔ tgx= −√3- cosx

$( ⌊||| sinx< 0 ||{ tg2x= −√3 ||||||( ||(cosxcos2x ⁄=0 |||||| sinx≥ 0 ||{ tgx =− √3 ⌈|||( cosxcos2x ⁄=0$ $⇔$ $⌊ π |x =− 6 + 2πk,k ∈ℤ |||x = 4π+ 2πk,k∈ ℤ |⌈ 3 x = 2π+ 2πk,k∈ ℤ 3$

Ответ:

${− π+ 2πk,4π-+2πk,2π+ 2πk,k ∈ℤ} 6 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#88919Максимум баллов за задание: 7

а) Решите уравнение $---si(n2x-) = √3. cos π +x 2$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ 5π ] − 2-;− π .$

Источники: ЕГЭ 2015, резервный день

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Совершите преобразования, которые помогут нам работать с этим уравнением: воспользуйтесь формулой приведения, формулой синуса двойного угла

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $cos(π-+x) = − sinx 2$ , а также по формуле синуса двойного угла $sin 2x= 2sin xcosx$ , следовательно, имеем:

$√- √ - 2sinxcosx √ - 2sin-xcosx+--3-sinx sinx(2cosx+---3)- − sinx = 3 ⇔ sinx = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔$

$( ||| s⌊inx ⁄= 0 √- { sinx= 0 -3- 5π- ⇔ ||| |⌈ √3- ⇔ cosx= − 2 ⇔ x= ± 6 + 2πn,n∈ ℤ. ( cosx =− -2-$

б) Отберем корни.

$− 5π ≤ 5π +2πn ≤ −π ⇔ − 5 ≤n ≤ − 11 ⇒ n= −1 ⇒ x= − 7π-. 2 6 3 12 6$

$− 5π ≤ − 5π + 2πn≤ −π ⇔ − 5 ≤ n≤ − 1 ⇒ n ∈∅ ⇒ x∈ ∅. 2 6 6 12$

Ответ:

а) $± 5π-+ 2πn,n∈ ℤ 6$

б) $− 7π 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#39089Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 6cos9xcos2x= 1+ 3cos11x+ 2cos 7x.

Источники: ПВГ-2013, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим справа в аргументах косинуса большие и неприятные значения 7х и 11х. Причём они никак не выражаются через друг друга... Тогда с правой частью мы пока никак не поработаем. А слева у нас произведение косинусов. Давайте попробуем расписать их через формулу.

Подсказка 2

Ага, получилось, что слева теперь тоже 11x и 7x. И видим, что 11х хорошо сокращается. Ура! У нас осталось только кубическое уравнение относительно cos(7x). Какой корень сразу угадывается из суммы коэффициентов многочлена?

Подсказка 3

Верно, cos(7x)=1 подходит. Теперь уже остаётся только решить квадратное уравнение, учесть ограничение на косинус и найти х.

Показать ответ и решение

Распишем произведение косинусов

3 3(cos7x+ cos11x)= 1+ 3cos11x+ 2cos 7x

3 2 0= 2cos7x − 3cos7x +1 =(cos7x− 1)(2cos7x +2cos7x − 1)

Тогда $cos7x= 1$ или $−1±√3 2$ . Так как $cosx≥ −1$ , то $−1−√3- 2$ не подходит. Значит, либо $7x= 2πk$ , либо $7x =± arccos( −1+-√3)+ 2πk 2$

Ответ:

$2πk,±1arccos(√3−1)+ 2πk, k ∈ℤ 7 7 2 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#63563Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

cos3x- sin3x- sin2x- cos2x- sin 2x + cos2x = cos3x + sin 3x .

Источники: ДВИ - 2013, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемые-дроби не очень удобны: приводим к общему знаменателю каждую из частей уравнения! А что получилось в числителе?

Подсказка 2

Это же формула косинуса суммы! При каких условиях теперь может получиться равенство?

Подсказка 3

Либо числитель равен нулю, либо знаменатели равны. С первым проблем не возникает, решаем и сверяемся с ОДЗ. А что можно сделать с равенством знаменателей?

Подсказка 4

Перед нами синус двойного угла! Только двоек не хватает (но их мы легко добавим :) ). Какую формулу теперь можно применить, чтобы не раскрывать обратно по синусу двойного угла?

Подсказка 5

Формулу разности синусов! Она как раз даст нам удобное произведение, которое мгновенно распадется на простейшие тригонометрические уравнения. Решаем их и задачка убита!

Подсказка 6 (отбор корней)

Пересекать с ОДЗ полученные корни лучше всего на тригонометрической окружности. Отмечаем на ней точки, которые хотим пересечь с ОДЗ одним цветом, точки для серий из ОДЗ (которые как раз хотим “выколоть”) другим и оставляем те корни, которые не совпали!

Показать ответ и решение

Приводя к общему знаменателю:

cos3xcos2x+-sin3xsin2x cos3xcos2x-+sin-2x-sin3x sin2xcos2x = cos3xsin 3x

В каждой дроби сверху записан $cos(3x− 2x)=cosx$ . Если $cosx= 0$ , то $sin2x =0$ , что невозможно в силу ОДЗ, то есть:

sin2xcos2x =cos3xsin3x⇐ ⇒ sin4x= sin6x⇐ ⇒ sinxcos5x =0

Здесь $sinx$ не подходит по тем же причинам. Осталось только $cos5x =0,x= -π+ πn 10 5$ . Чтобы проверить ОДЗ, посмотрим на корни для отрезка $[0,2π]$ — это $π-,3π,...19π 10 10 10$ . Среди всех этих решений 5 в знаменателе сократится только для $5π 10$ и $15π 10$ — в этих точках $sin2x$ снова будет равен нулю, но для остальных 5 останется в знаменателе и не исчезнет для выражений $2x$ и $3x$ , поэтому синусы и косинусы с аргументами $2x$ и $3x$ не могут равняться нулю в таких точках — помним, что в несократимом виде в знаменателе может остаться только двойка для равенства нулю синуса или косинуса. То есть нужно исключить только $n= 2+5k,k∈ ℤ$ (5 нужна, чтобы задать период $π$ между “плохими” корнями).

Ответ:

$-π+ πn,n∈ ℤ∖ {2+ 5k,k∈ℤ} 10 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#64000Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

tg2x−-2sinx tg2x+ 2sinx =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, при каких условиях дробь равна 0? Они будут составлять систему!

Подсказка 2

В полученных выражениях есть и синусы и тангенсы. Стоит все переписать через синусы и косинусы, ведь их связь нам более привычна! А заодно и общий множитель найдем, применив формулы двойных углов :)

Подсказка 3

Остается решить только несложные уравнения из системы и пересечь соответствующие результаты! Не забывайте, что для условия со знаком “не равно” необходимо, чтобы оба множителя одновременно были не равны нулю, а не “хотя бы один”, как со знаком равенства.

Показать ответ и решение

Выпишем эквивалентную систему

(| [ sinx= 0 { 2sinxcosx− 2sinx =0 |||{ cosx= 2cos2x − 1 22csiosn2xxc−os1x ⇐⇒ | 2cos2x−1 + 2sinx ⁄=0 |||( sinx⁄= 0 2 cosx ⁄=−2 cos x+ 1

Отсюда $sinx ⁄=0$ , при этом $cosx∈ {1,− 1} 2$ , где первое значение невозможно (тогда $sinx =0$ ). После несложной проверки ОДЗ, получаем $x= ±2π+ 2πn. 3$

Ответ:

$± 2π +2πn, n ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#80648Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin5x cos5x- sinx- -cosx- sinx − cosx = sin5x − cos5x

Источники: ДВИ - 2013, вариант 2, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте преобразуем правую и левую части уравнения. Сразу хочется избавиться от этой разности дробей, поэтому логично привести выражения к общему знаменателю. Заметим, что тут можно применить формулу синуса разности для того, чтобы свернуть выражения в числителях

Подсказка 2

Перекинем все в одну сторону и снова приведем к общему знаменателю (заметьте, что знаменатели тоже можно было преобразовать по очень известной тригонометрической формуле), попробуйте теперь разложить результат на множители

Подсказка 3

После применения формулы для суммы синусов остается только приравнять каждый множитель к нулю и найти корни уравнения (только важно не забыть выколоть нули знаменателя!)

Показать ответ и решение

Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи формул синуса разности и синуса двойного угла:

-sin4x- sin(−4x) 12sin2x = 12sin10x

Это равносильно тому, что

sin4x(sin2x+-sin10x) =0 sin2xsin10x

Преобразуем сумму синусов в произведение:

sin4xsin6xcos4x-= 0 sin2xsin10x

Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла::

-sin8xsin6x- sin2xsin10x = 0

Учитывая, что нули функции $sin2x$ являются нулями функции $sin 10x,$ получаем::

( [ |{ sin6x= 0 | sin8x= 0 ( sin 10x ⁄=0

Общие нули $sin 6x$ и $sin10x$ имеют вид $kπ2-,k ∈ℤ.$ Точно так же выглядят общие нули $sin8x$ и $sin10x$ . Следовательно, из серий $m8π,n6π,m, n∈ ℤ,$ нужно выкинуть числа вида $kπ2-,k ∈ℤ$ .

Ответ:

$x = mπ,nπ, m ∈ ℤ∖4ℤ,n∈ ℤ∖3ℤ 8 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#89461Максимум баллов за задание: 7

а) Решите уравнение $(7π ) √- 2sin 2 +x ⋅sin x= 3cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[−7π;−6π].$

Источники: ЕГЭ 2013, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $( 7π ) sin 2 + x = − cosx$ , следовательно, уравнение примет вид

⌊ cosx= 0 −2cosx ⋅sinx= √3cosx ⇔ cosx(2sinx+ √3)= 0 ⇔ || √ - ⌈ sinx= −--3 2

Решением первого уравнения совокупности будут $x = π + πk,k ∈ℤ 2$ .

Решением второго уравнения будут $π x =− 3 +2πn,n∈ ℤ$ и $2π x= −-3 +2πm,m ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни.

$− 7π ≤ π + πk≤− 6π ⇔ − 7,5≤ k≤ −6,5 2$ . Так как $k$ – целое, то подходит только $k =− 7$ , при котором получаем корень $13π- x =− 2$ .

$− 7π ≤ − π+ 2πn≤ −6π ⇔ − 10≤ n≤ − 17 3 3 6$ . Так как $n$ – целое, то подходит только $n =− 3$ , при котором получаем корень $19π x =− -3-$ .

$2π- 19 8 − 7π ≤ − 3 + 2πm ≤ −6π ⇔ − 6 ≤m ≤ −3$ . Так как $m$ – целое, то подходит только $m = −3$ , при котором получаем корень $x =− 20π- 3$ .

Ответ:

а) $π + πk; − π +2πn; − 2π+ 2πm; k,n,m ∈ℤ 2 3 3$

б) $− 20π-; − 13π; − 19π- 3 2 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#63559Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- sin3x= 2 cosx− sinx

Источники: ДВИ - 2012, вариант 1, задача 4 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Синус тройного угла раскрывать не очень хочется (потом явно придется еще двойные раскрывать), так что вспоминаем формулу суммы синусов и пробуем применить её!

Подсказка 2

Получили уже что-то более приятное, только две функции остались различные! Стоит попробовать разложить на множители, раз уж один множитель в слагаемых одинаковый.

Подсказка 3

Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно 0 и решаем базовые тригонометрические уравнения! Не пугайтесь двойного угла, можете заменить его на новую переменную y, чтобы было проще выписывать решения :)

Показать ответ и решение

Поскольку $sin3x+ sinx =2sin 2x cosx$ , то возможны два случая.

π cosx =0 =⇒ x= 2 +πn,n∈ ℤ

√ - √ - π πn 2= 2sin2x⇐⇒ sin2x = 1∕ 2=⇒ x= (−1)n-8 + 2-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn,(−1)nπ+ πn, n ∈ℤ 2 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#85177Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin7xcosx−-sin5xcos3x cos2x− sin2x =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Итак, на первый взгляд не очень понятно, что делать с произведениями синуса на косинус. А если вспомнить формулу? Да давайте представим неудобное произведение в качестве приятный суммы синусов, может у нас даже что-то сократится. Действительно, sin(6x) сократился. Получаем в числителе sin(2x)4x.

Подсказка 2.

Кажется, мы можем уже дорешать задачу. Однако не спешим. Можно ещё сильнее упростить наше уравнение. Представим cos(4x) как (cos(2x) - sin(2x))(cos(2x) + sin(2x)). Ну, дальше уже сами... Мы получили незамысловатую дробь, числитель который должен равняться 0, а знаменатель не должен.

Показать ответ и решение

По формулам

1 sin 7x cosx= 2(sin8x+ sin6x)

1 sin5xcos3x = 2(sin8x +sin 2x)

уравнение равносильно

-sin6x−-sin2x-= -sin2xcos4x-= 0 2(cos2x− sin2x) cos2x− sin2x

Так как $cos4x= (cos2x− sin2x)(cos2x+ sin2x)$ , то получаем

sin2x⋅(cos2x−-sin2x)(cos2x+sin2x)- cos2x− sin2x =0

Что равносильно системе

{ sin2x(cos2x+ sin2x)=0 cos2x− sin2x⁄= 0

( [ |{ sin2x= 0 |( cos2x+ sin2x= 0 cos2x − sin2x ⁄=0

Если $sin2x= 0$ , то $πn x= 2 ,n ∈ℤ$ , причём $n cos2x− sin2x= (− 1) ⁄= 0$ , т. е. это решения.

Если $cos2x+ sin2x =0$ , то $cos2x⁄= 0$ (иначе $sin 2x =±1$ и равенство нулю невозможно). Поделив на $cos2x$ , получим $tg 2x =− 1$ , т. е. $π πn x= − 8 + 2$ . При этом $cos2x− sin2x= 2cos2x ⁄=0$ , т. е. это решения.

Ответ:

$πn, − π + πn, n∈ ℤ 2 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#51605Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

3+-cos4x-− 8cos4-x -1-- 4(cosx+ sinx) = sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом хотелось бы избавиться от четвёртой степени. Каким образом можно при помощи преобразований свести степень к линейному виду какой-то тригонометрической функции?

Подсказка 2

Например, через формулу косинуса двойного угла! Как тогда преобразуется числитель?

Подсказка 3

Супер, в числителе осталось только -cos(2x)! А как можно преобразовать его, чтобы связать со знаменателем?

Подсказка 4

Косинус двойного угла — это разность квадратов! Тогда многое сократится и останется несложное уравнение ;)

Показать ответ и решение

Выразим четвёртую степень косинуса через двойные углы

4 2 ( 1+-cos4x) 8cos x= 2(1+ cos2x) = 2 1+ 2cos2x+ 2 = 3+4cos2x+ cos4x

откуда исходное уравнение равносильно уравнению

− --cos2x---= -1-- sinx+ cosx sinx

Используя формулу $cos2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx)$ и учитывая, что $sinx ⁄=0$ , $sinx+ cosx⁄= 0,$ преобразуем уравнение:

sinx− cosx =--1- ⇐⇒ sin2x− cosx sinx= 1 ⇐⇒ sinx

2 1− cos x− cosxsinx =1 ⇐ ⇒ cosx(sin x+cosx)= 0

откуда $cosx= 0 ⇐⇒ x= π2 +πn$ .

Ответ:

$π + πn,n ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#78856Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

2 2 cos2x- sin 2x+ sin 4x= 1− cos3x

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, неудобно работать с синусами и косинусами от разных аргументов, так еще и в разных степенях. Подумайте, с помощью какой формулы можно избавиться сразу и от синусов, и от квадратов?

Подсказка 2

Давайте понизим степень у синусов и сложим две полученные дроби. Тогда после приведения подобных мы слева получили сумму косинусов, а справа произведение, так еще и аргументы у них у всех разные. Какой формулой можно облегчить своё положение? Обратите внимание, что (8x-4x)/2=2x.

Подсказка 3

Давайте в левой части уравнения преобразуем сумму в произведение, теперь наше уравнение приобрело следующий вид: cos(6x)2x = cos(2x)/cos(3x). Что можно дальше сделать с ним?

Подсказка 4

Приведем всё к одному знаменателю и вынесем общий множитель. Получаем совокупность уравнений cos(2x) = 0; cos(3x)cos(6x) = 1. С первым всё понятно, а в каком случае второе уравнение будет иметь решения?

Подсказка 5

Вспомним, что функция косинуса принимает значения от -1 до 1, а значит, произведение косинусов может быть равно 1 в крайне редких случаях.

Показать ответ и решение

По формуле понижения степени получаем

1− cos4x 1−-cos8x cos2x 2 + 2 =1− cos3x

cos4x+ cos8x cos2x -----2-----= cos3x-

По формуле суммы косинусов получаем

cos6xcos2x = cos2x- cos3x

cos2x(cos3x⋅cos6x − 1)= 0, cos3x⁄= 0

Уравнение $cos2x = 0$ имеет корни

x= π + πn ,n ∈ℤ 4 2

а, уравнение $cos3xcos6x =1$ по методу оценки имеет корни только в случае $|cos3x|= 1.$

Если $|cos3x|= 1,$ то $cos6x= 2cos23x− 1= 1$ и поэтому

cos3xcos6x =1

будет равносильно

cos3x =1

2πn x= -3-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn, 2πn, n ∈ℤ 4 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#51604Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

sin27x cos27x sin2x = 16cos4x(1+ 2cos4x)+ cos2x .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте похожие слагаемые перенесём в одну часть. Чему равна разность дробей? Приведём к общему знаменателю!

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю в числителе появится разность квадратов. А что получится внутри каждой скобки после разложения?)

Подсказка 3

В числителе образуется произведение синусов двойных углов, которые также можно расписать в произведение. Теперь хочется некоторую часть числителя преобразовать так, чтобы получить что-то похожее на скобку из правой части уравнения.

Подсказка 4

Попробуйте расписать cos(6x)cos(2x).

Подсказка 4

cos(6x)cos(2x) = sin(2x)cos(2x)(1+2cos(4x)). Тогда можно подставить это в числитель нашей дроби и сократить всё, что можно! Останется несложное уравнение на косинусы ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin2x⁄= 0$ . Воспользуемся равенствами

sin27x cos2-7x sin8xsin6x- 16cos4xsin2xcos2xsin6x sin2 x − cos2x = sin2xcos2x = sin22x

1 1 cos2xsin6x= 2(sin8x+ sin4x)= 2sin 4x(1+ 2cos4x)= sin2xcos2x(1+ 2cos4x)

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

2 16cos4x-sin-2xco2s2x(1-+2cos4x)= 16cos4x(1+ 2cos4x) sin 2x

Это уравнение на ОДЗ равносильно уравнению

cos4x(1+2cos4x)cos2x= cos4x(1+2cos4x)

а уравнение это равносильно совокупности уравнений

⌊ cos4x= 0 |⌈ cos4x= − 12 cos2x= 1

Первые два уравнения имеют корни $x= π8 + π4n,$ $n∈ ℤ$ и $x= ±π6 + πn2-,$ $n∈ ℤ$ и эти корни удовлетворяют ОДЗ, а из последнего следует, что $sin2x= 0$ .

Ответ:

$π + πn,± π+ πn, n∈ ℤ 8 4 6 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#80044Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

---sinx--- ---sinx--- cos2xcos3x + cos3xcos4x = sin4x− tg 2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что в числителях аргумент синуса есть разность аргументов косинуса;) В какой формуле такое присутствует?

Подсказка 2

Вспоминаем формулу разности тангенсов!

Подсказка 3

sin(a-b)/cos(a)cos(b) = tg(a) - tg(b).Во что превратится наше выражение после преобразований?

Подсказка 4

tg(4x) = sin(4x). Когда такое возможно?

Подсказка 4

Распишите тангенс по определению и перенесите всё в одну часть! Полученную совокупность несложно решить:)

Показать ответ и решение

Используя формулу $sin(α−β)-= tgα − tgβ, cosαcosβ$ преобразуем исходное уравнение в виду

tg 3x − tg2x+ tg4x− tg3x= sin4x− tg2x

Область допустимых значений $x$ определяется условиями

cos2x ⁄=0,cos3x ⁄=0,cos4x⁄= 0

а при на ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению

tg4x =sin 4x

Уравнение равносильно совокупности уравнений

sin4x= 0 cos4x =1

причем все корни уравнения ворого содержатся среди корней уравнения первого. Из первого следует, что либо $sinx= 0,$ и тогда $x =πn,$ $n ∈ℤ,$ либо $cosx= 0$ (и тогда $cos3x= 0),$ либо $cos2x= 0$

Ответ:

$πn$ , $n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#78852Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

sin 3x +|sinx|= sin2x

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, видим модуль, поэтому первое, что стоит сделать - рассмотреть два случая!

Подсказка 2

Если синус положительный, то можно применить формулу суммы синусов! И дальше получится уравнение, которое решить уже не так и сложно! Теперь разберёмся, когда синус отрицательный!

Подсказка 3

Да, если синус отрицательный, то теперь просто применим формулу разности синусов! И также получим, несложное уравнения, для которого точно сможем найти совокупность решений!

Подсказка 4

И в каждом из случаев - не забывайте про ограничение на синус!

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая (1) $sinx> 0,$ (2) $sinx ≤0$

(1) При $sin x> 0:$

sin3x+ sinx= sin2x

2sin2xcosx= sin2x

sin2x(2cosx− 1)=0

откуда $sin2x = 0,$ либо $2cosx− 1= 0.$ Отсюда получаем серии:

⌊ πn | x = 2-,n ∈ℤ || π ||| x = 3 + 2πn,n ∈ℤ ⌈ 5π x = 3-+ 2πn, n∈ ℤ

С учетом неравенства $sinx≥ 0$ получаем следующие ответы:

⌊ π | x= 2 +2πn,n∈ ℤ |⌈ π x= 3 +2πn, n ∈ℤ

(2) При $sin x≤ 0:$

sin3x− sinx= sin2x

2cos2x sinx= 2sinxcosx

sinx(cos2x− cosx)= 0

откуда $sinx= 0,$ либо $cos2x− cosx = 0.$ Отсюда получаем серии:

⌊ x= πn,n∈ ℤ || 2πn ||⌈ x= 3 +2πn,n∈ ℤ x= 2πn, n ∈ℤ

Объединяя решения последней совокупности с учетом неравенства $sin x≤ 0,$ получаем следующие ответы:

⌊ x =πn, ⌈ x = 4π-+ 2πn, n∈ ℤ 3

Объединяя ответы из (1) и (2) получаем следующие ответы:

⌊ x= πn, || x= π + 2πn, || 2 ⌈ x= π + πn, n∈ ℤ 3

Ответ:

$πn, π + 2πn, π+ πn, n∈ ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#78853Максимум баллов за задание: 7

Найти все решения уравнения

---sin6x-- --cos6x--- sinx+ cosx = cosx− sinx,

принадлежащие интервалу $π (0;2)$ .

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Знаменатели в тригонометрии — очень неудобная вещь. Что поможет от них избавиться?

Подсказка 2

Верно, приведём к общему знаменателю и перенесём в одну сторону! Тогда у нас будет условие, что числитель равен нулю, и ОДЗ, чтобы знаменатель не обращался в ноль!

Подсказка 3

Для того, чтобы разобраться с числителем, примените формулы синуса разности и косинуса разности! Какое уравнение тогда получим в числителе?

Подсказка 4

Верно, получаем, что tg(5x) = 1, дальше остаётся аккуратно решить уравнение и проверить ОДЗ!

Показать ответ и решение

Исходному будет равносильно уравнение

sin6x(cosx− sinx)=cos6x(sin x+cosx)

при условии $(sinx+ cosx)(cosx− sinx)⁄= 0,$ т.е. $cos2x⁄= 0$

sin6xcosx− cos6xsinx = cos6xcosx +sin 6x sinx

sin5x =cos5x⇒ tg5x= 1,⇒ x = π-и x = 9π 20 20

Условиям $0 <x < π,cos2x⁄= 0 2$ удовлетворяют $x= -π и x = 9π 20 20$

Ответ:

$-π;9π 20 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 120#79126Максимум баллов за задание: 7

Числа $− sin x,4sin x⋅ctg2x,cosx$ являются членами арифметической прогрессии с номерами $k,k+ 1,k +2$ соответственно. Найти все значения $x$ и $k,$ если седьмой член этой прогрессии равен $1 5.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Три подряд идущих члена арифметической прогрессии... Конечно же, сразу хочется переписать это условие в виде уравнения с тремя данными в условии функциями. Далее, естественно будет это уравнение преобразовать к более приятному виду!

Подсказка 2

Если Вы всё правильно сделали, то должно было получиться 2 значения для ctg(x) — 1 и -4/3. Случай ctg(x) = 1 рассматривается просто, а со вторым нужно быть повнимательнее.

Подсказка 3

План рассмотрения случая ctg(x)=-4/3. Нам нужно выписать 2 серии решений (рассматриваем далее каждую по отдельности), для них выразить все нужные тригонометрические функции и подставить всё в условие для 7-го члена арифметической прогрессии. Отсюда и находятся значения x и k!

Показать ответ и решение

Из условия задачи получаем уравнение

cos2x 8 sinx⋅ctg2x= cosx− sinx ⇐⇒ 8sinx⋅ sin2x = cosx − sin x

cos2x 4⋅-cosx-= cosx − sinx ⇐ ⇒ 4cos2x= cos2x− cosx sinx

3cos2x +cosxsinx − 4sin2x =0 ⇐ ⇒ 3ctgx+ ctgx− 4= 0

Из последнего уравнения получаем:

[ ctgx =1 4 ctgx =− 3

Случай 1 $π π ctgx= 1, x= 4 +πn, 2x = 2 + 2πn, n∈ ℤ.$ Видно, что в этом случае прогрессия имеет вид либо $√2 √2- − 2 ; 0; 2 ,$ либо $√2- √2- 2 ; 0; − 2 .$