Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#88909Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

[3] [2] x + x + [x]= {x}− 1

Показать ответ и решение

Заметим, что левая часть принимает всегда целые значения. Значит, и правая часть должна принять целое значение, но ${x}∈ [0;1),$ поэтому это возможно только при ${x} =0,$ т.е. когда $x$ — целое число. Тогда данное уравнение примет вид

3 2 x + x + x= −1

2 x (x+1)+ (x +1)= 0

(x +1)(x2+ 1)= 0

x= −1

Ответ:

$− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#88910Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 x − [x]= 3

Показать ответ и решение

Можно заметить, что $x∈ ℤ,$ так как справа от равенства целое число, $[x]$ — целое, значит и $x3$ тоже целое.

Ограничим $x$ сверху. Так как при $x > 0$ значение $3 x$ будет слишком большим, то ограничим $3 x$ сверху:

3 2 x = [x]+3 ≤x +3 ⇒ x(x − 1)≤3

Из последнего неравенства получаем, что $x <2,$ иначе при $x≥ 2$ имеем, что

2 x(x − 1)≥2 ⋅3 =6 >3

Ограничим $x$ снизу. Докажем, что $x> 0$ . Так как при $x≤ 0$ значение $x3$ будет слишком малым, то ограничим $x3$ снизу:

3 3 2 x ≥ [x]+3 ⇒ x > (x− 1)+ 3 ⇔ x(x − 1) >2

При $x≤ 0$ левая часть меньше $0,$ значит $x >0.$

Получили, что $0< x< 2.$

При $0< x< 1$ имеем

x3− 0= 3 ⇒ x = 3√3

но $√- 33 >1$ и не попадает в промежуток.

При $1≤ x< 2$ имеем

x3− 1= 3 ⇒ x = 3√4

где $3√- 4∈ [1;2}.$

Значит, существует одно решение $√3- x = 4$

Ответ:

$√34-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#88912Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

{ 3} 3 (x +1) = x

Показать ответ и решение

3 3 {(x +1)} =x

3 2 3 {x + 3x +3x+ 1}= x

{x3+3x2+ 3x} =x3

Из последней строчки делаем вывод, что чтобы $x$ было корнем, необходимо и достаточно, чтобы $x ∈[0,1),$ $3x2 +3x∈ ℤ.$ Поскольку $x ∈[0,1),$ то $3x2 +3x$ может принимать только целые значения от 0 до 5 включительно. Решаем все 6 уравнений и отбираем среди их только подходящие по ограничениям $x∈[0,1).$

3x2+3x =0 =⇒ x1,2 = 0,− 1 =⇒ x =0

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =1 =⇒ x1,2 = − 1 ±-7 =⇒ x= − 1 + -7 2 12 2 12

2 1 ∘ 11- 1 ∘ 11- 3x +3x =2 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =3 =⇒ x1,2 = − 1 ± 15 =⇒ x= − 1 + 15 2 12 2 12

∘ --- ∘ --- 3x2+3x =4 =⇒ x = − 1 ± 19 =⇒ x= − 1 + 19 1,2 2 12 2 12

2 1 ∘ 23- 1 ∘ 23- 3x +3x =5 =⇒ x1,2 = −2 ± 12 =⇒ x= −2 + 12

Итого, мы нашли 6 корней исходного уравнения.

Ответ:

${ 1 ∘ -7- 1 ∘ 11- 1 ∘ 15- 1 ∘ 19- 1 ∘ 23} x ∈ 0,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12,−2 + 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#88913Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений

(| x +[y]={z}+ 54, { y +[z]= {x}+ 54, |( z +[x]= {y}+ 54.

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение в следующем виде:

x− {z}= 54 − [y]

Получили, что правая часть представляет из себя целое число. Значит, левая часть — это тоже целое число. Так как $x =[x]+ {x},$ то получаем, что ${x}= {z}.$ Аналогично для второго и третьего уравнений получаем, что

{x} ={y}= {z}

Тогда получаем следующую систему:

(|{ ([x]+ {x})+ [y]= {z}+54, (|{ ([x]+ [y])= 54 ([y]+ {y})+ [z]= {x}+54, ⇐⇒ ([y]+[z])= 54 |( ([z]+ {z})+ [x]= {y} +54. |( ([z]+[x])= 54

Из последней системы получаем, что $[x]= [y]= [z]=27.$ Тогда получили, что

x= y = z

где $x =27+ {x}.$ Так как $0 ≤{x}< 1,$ то имеем, что

x= y = z, где 27≤x < 28

Ответ:

$(c;c;c)$ для любого $c∈[27;28)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#88914Максимум баллов за задание: 7

Найдите все $x$ , для которых

7 2[x]+3{x}= 3,

где $[x]$ — целая часть числа $x$ , ${x}$ — дробная часть числа $x$ , то есть ${x} =x− [x]$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем оценить x. Каким будет значение левой части, если x будет достаточно маленьким? А при каких x значение левой части уже превысит 7/3?

Подсказка 2

Рассмотрите случаи x < 0 и x >= 2.

Подсказка 3

Правильно, при таких случаях значение левой части точно будет меньше или больше правой. Какие тогда значения может принимать [x]?

Показать ответ и решение

Если $x <0,$ то $2[x]+ 3{x}< 2⋅(−1)+ 3⋅1< 7. 3$

Если $x≥ 2,$ то $7 2[x]+3{x}≥ 2⋅2+ 3⋅0 > 3.$

Остаётся два варианта:

$7 [x]=0, 3{x}= 3$
$1 [x]=1, 3{x}= 3$

Соответственно $x= 0+ 7 9$ или $x= 1+ 1. 9$

Ответ:

$7 ;10 9 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#89460Максимум баллов за задание: 7

Числа $x,y,z,t$ таковы, что

1 {x +y +z}= {y+ z+t}= {z+ t+ x}= {t+x +y}= 4

Найдите ${x+ y+ z+ t}$ .

Замечание. ${A}$ обозначает дробную часть числа $A.$

Показать ответ и решение

Заметим, что

{3(x+ y+ z+t)}={{x+ y+ z}+{y+ z+ t} +{z+ t+x} +{t+x +y}}= {1}= 0

Значит, $3(x+ y+ z+ t)$ — целое число. Рассмотрим возможные остатки этого числа при делении на 3:

3(x+ y+z +t)= 3n, n∈ ℤ

x+ y+z +t= n, n ∈ℤ

{x +y +z+ t}= 0

Это значение достигается, например, при $x= y = z = t= 912,$ тогда

{ } {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅-9 = 1 12 4

{x+ y+ z+ t}= {4 ⋅ 9} = 0 12

3(x +y+ z+ t) =3n+ 1, n ∈ℤ

1 x+ y+ z+ t=n + 3, n∈ ℤ

1 {x+ y+ z+ t} = 3

Это значение достигается, например, при $1- x= y = z = t= 12,$ тогда

{ 1} 1 {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅12 = 4

{ } {x+ y+ z+t}= 4⋅-1 = 1 12 3

3(x +y+ z+ t) =3n+ 2, n ∈ℤ

x+ y+ z+ t=n + 2, n∈ ℤ 3

{x+ y+ z+ t} = 2 3

Это значение достигается, например, при $x= y = z = t=-5, 12$ тогда

{ } {x+ y+ z}= {y +z+ t}= {z +t+ x}= {t+ x+ y}= 3⋅-5 = 1 12 4

{ -5} 2 {x+ y+ z+t}= 4⋅12 = 3

В итоге все возможные значения ${x +y +z+ t}$ — это $0,13$ и $23.$

Ответ:

$0;1;2 3 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#90370Максимум баллов за задание: 7

Сколько решений имеет уравнение $4x2 − 40[x]+ 51 =0$ ?

Показать ответ и решение

Распишем целую часть:

2 4x − 40(x− {x})+ 51 =0

2 4x − 40x+ 51 +40{x}= 0

Оценим последнее слагаемое:

0≤ 40{x} <40

Тогда получаем ограничения на уравнение:

−40 <4x2− 40x +51≤ 0

$1)Рассмотрим − 40< 4x2− 40x +51:$

4x2 − 40x+ 91 >0

( 7) ( 13 ) (2x− 7)(2x− 13)> 0 =⇒ x∈ −∞;2 ∪ 2-;+ ∞

$2)Рассмотрим 4x2− 40x+ 51≤ 0:$

4x2 − 40x+ 51≤0

[ ] (2x− 3)(2x − 17)≤ 0 =⇒ x∈ 3;17 2 2

Итого получили следующие ограничения:

[3 7) (13 17] x∈ 2;2 ∪ 2 ; 2

Рассмотрим случаи:

$1) 1≤x <2 :$

4x2− 40+51= 0 =⇒ 4x2 +11= 0 —нет решений

$2) 2≤x <3 :$

2 2 4x − 80+51= 0 =⇒ 4x − 29= 0 —1 решениe

$3) 3≤x <4 :$

2 2 4x − 120+ 51= 0 =⇒ 4x − 69 =0 — нет реш ений

$4) 6≤x <7 :$

4x2− 240+ 51− = 0 =⇒ 4x2− 189 =0 — 1 решениe

$5) 7≤x <8 :$

4x2− 280+51= 0 =⇒ 4x2 − 229= 0 — 1 решениe

$6) 8≤x <8 :$

4x2− 320+51= 0 =⇒ 4x2 − 269= 0 — 1 решениe

Итого, всего $4$ решения.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#90371Максимум баллов за задание: 7

Найдите все $x$ , для которых

[8x+-19] 16(x+-1) 7 = 11 .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

[(8x+19)/7] — это некоторое целое число, пусть k. Тогда мы можем оценить выражение внутри целой части через k.

Подсказка 2

Получилось неравенство с двумя переменными, надо точно избавиться от одной. Как это можно сделать?

Подсказка 3

С одной стороны [(8x+19)/7] равно k, с другой — 16(x+1)/1. Можно выразить х через k! Останется лишь решить неравенство для целого k.

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

16(x+-1)- [ 8x-+19] k = 11 = 7 .

Так как $k$ равняется целой части какого-то числа, то $k∈ ℤ.$ Получается,

[ ] 8x+-19 = k. 7

Отсюда по свойству целой части

k≤ 8x+-19< k+ 1. 7

Выразим $x$ через $k$

11k− 16 x= 16

и подставим в неравенство:

( ) 8 11k−-16-+ 19 k≤ -----16-------< k+ 1, 7

k≤ 11k-+22-<k +1, 14

3k≤ 22 <3k+ 14.

8 < k≤ 22 3 3

Так как $k$ — целое, то $k ∈{3,4,5,6,7}.$ Теперь подставим каждое возможное значение k в формулу

11k− 16 x= 16

и получим

{ 17 7 39 25 61} x ∈ 16,4,16,-8 ,16 .

Ответ:

$17,7,39,25,61 16 4 16 8 16$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#90448Максимум баллов за задание: 7

Пусть $x <y$ — положительные действительные числа такие, что

√ - √- √---- ∘ ---- x+ y = 4 и x +2+ y+2 =5.

Найдите $x$ .

Источники: Турнир Ломоносова - 2024, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте в обоих уравнениях в одной части оставить корни от одной и той же переменной и возвести в квадрат.

Подсказка 2

Отлично! Теперь мы можем избавиться от второй переменной, выразив её в обоих уравнениях системы через первую и записав за счёт этого новое равенство для одной переменной.

Подсказка 3

Попробуйте снова перенести одно выражение с корнем в одну часть, а всё остальное в другую и возвести в квадрат. Так мы получим квадратное уравнение относительно корня из x.

Показать ответ и решение

Запишем равенства в следующем виде:

√ - √ - ∘ ---- √---- y = 4− x и y+2 =5 − x +2.

Учитывая ограничение $x ≤16$ возведём их в квадрат и выразим $y$ :

√ -2 √----2 y = (4 − x) и y = (5− x+ 2)− 2.

Получаем уравнение

(4− √x)2 = (5− √x-+2)2− 2.

После раскрытия полных квадратов и приведения подобных оно примет вид

10√x+-2= 8√x+ 9.

После возведения в квадрат получим уравнение

36x− 144√x − 119= 0.

Решая его как квадратное относительно $x$ , получаем

√-- 17 √-- 7 x1 =-6 , x2 =6,

откуда

x1 = 289,x2 = 49. 36 36

По ОДЗ оба корня проходят, но при первом корне $y < x$ , значит он не подходит.

Ответ:

$49 36$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#91511Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 3 2 x − 5x +4x + 5x+ 1= 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что данное уравнение возвратное. Тогда поделим его на $x2 ⁄= 0:$

2 5 1 x − 5x+ 4+ x + x2 = 0

( 1 ) ( 1) x2− 2+ x2 − 5 x− x + 4+2 =0

( ) ( ) x− 1 2− 5 x− 1 +6= 0 x x

Замена $1 t= x− x$

2 t − 5t+ 6= 0

⌊ | t= 2 =⇒ x − 1= 2 |⌈ x1 t= 3 =⇒ x − x = 3

[ x2− 2x− 1= 0 x2− 3x− 1= 0

⌊ √- | x =1± 2 |⌈ 3±√13- x = --2---

Ответ:

$√- 3±√13- 1± 2; 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#91513Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

----6----- -----8---- (x +1)(x+ 2) + (x− 1)(x+4) =1.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x⁄= 1 |||{ x⁄= −1 | |||( x⁄= −2 x⁄= −4

Раскроем скобки:

---6----- ----8---- x2 +3x+ 2 + x2+ 3x− 4 = 1

Сделаем замену $2 t= x +3x$

6 8 t+-2 + t−-4 = 1

2 6t−-24-+8t+-16-− t-+-2t+-8= 0 (t+ 2)(t− 4)

2 --−t-+16t-= 0 (t+ 2)(t− 4)

[ t=0 =⇒ x2+ 3x = 0 t=16 =⇒ x2+3x =16

Итого:

⌊ x= 0 || x= −3 ||⌈ √-- x= −3±--73- 2

Ответ:

$−3±-√73- 0; − 3; 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#91514Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $-x2-= 12x2+7x− 6 1−2x2$ .

Показать ответ и решение

Перепишем изначальное равенство:

x2 2 1− 2x2-=6⋅(2x − 1)+ 7x

Сделаем замену: $2x2− 1= t$ , ОДЗ: $t⁄= 0$

2 x-= 6t+7x t

6t2+ 7tx +x2 =0

6t2+6tx+ tx+ x2 = 0

6t(t+ x)+x(t+x)= 0

(6t+ x)(t+ x)=0

Рассмотрим два случая:

1.

$t= −x$

2x2 − 1= −x

2 2x +x − 1 =0

[ x= 1 x= 1 2

2.

$6t= −x$

2 12x − 6= −x

12x2+ x− 6= 0

[ x= − 3 x= 2 4 3

Ответ:

$3 ;2 ;1;1 4 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#95965Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2 2 2 x y + 10+y + 6xy− 2y =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас одно уравнение и две неизвестных. Сначала попробуем преобразовать его в более удобный вид. Самое простое, что можно сделать — это попробовать выделить полные квадраты.

Подсказка 2

Отлично! Теперь мы имеем, что сумма квадратов равна нулю. А когда такое в принципе возможно?

Подсказка 3

Верно! Когда обе скобки под квадратами равны нулю. Осталось лишь решить несложную систему.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение и сгруппируем на скобочки:

22 2 xy + 10+ y +6xy− 2y = 0

22 2 xy + 6xy+ 9+y − 2y+ 1= 0

(xy +3)2+(y− 1)2 =0

Получили, что сумма квадратов равна $0.$ Такое возможно, если каждый из квадратов равен $0.$ Тогда

{ xy +3= 0 y − 1 =0 =⇒ y = 1

{ x+ 3= 0 =⇒ x =−3 y = 1

{ x = −3 y =1

Ответ: (-3;1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#95967Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2 2 2x +2x(y− 3)+ 9+ y = 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскроем скобки и попробуем сгруппировать слагаемые. Что можно заметить?

Подсказка 2

Посмотрим внимательно на такое выражение: x² + 2xy + y² + x² - 6x + 9 = 0. Какое действие хочется сделать?

Подсказка 3

Выделим полные квадраты! Сумма каких квадратов останется?

Подсказка 4

Получится (x + y)² + (x - 3)² = 0. А когда сумма двух квадратов может равняться нулю?

Подсказка 5

Получается, что каждое слагаемое равно 0. А значит, что x = 3 и y = -3.

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение и сгруппируем на скобочки:

2 2 2x + 2x(y− 3)+9+ y = 0

2 2 2 x + 2xy +y + x − 6x +9= 0

(x+ y)2+ (x− 3)2 = 0

Получили, что сумма квадратов равна $0.$ Такое возможно, если каждый из квадратов равен $0.$ Тогда

{ x +y =0 x − 3 =0 =⇒ x= 3

{ 3+ y = 0 =⇒ y = −3 x= 3

{ x = 3 y =− 3

Ответ: (3; -3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#97567Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

6 3 x + 9x +8 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами уравнение, в котором есть шестая и третья степень. Как эти степени связаны? Что нужно сделать, чтобы свести уравнение к виду, который мы умеем решать?

Подсказка 2

Давайте сделаем замену t = x³. Какое уравнение у нас получится?

Подсказка 3

t² + 9t + 8 = 0. Вспоминаем, как решать квадратные уравнения и находим корни ;) Не забудьте про обратную замену!

Показать ответ и решение

Решим уравнение:

6 3 x + 9x +8 =0.

Сделаем замену переменной $t= x3$ , тогда уравнение примет вид:

2 t +9t+ 8= 0.

Решим это квадратное уравнение по формуле:

√------ t= −b±--b2−-4ac, 2a

где $a =1$ , $b= 9$ , $c= 8$ . Подставим эти значения:

− 9±√92-− 4⋅1⋅8 −9± √81−-32- −9± √49 t= ------2⋅1----- = -----2-----= ---2---.

Таким образом, получаем два решения:

t1 = −9-+7 = −2= −1, 2 2

t2 = −9−-7= −16 =− 8. 2 2

Теперь вернемся к переменной $x$ . Напомним, что $t=x3$ , поэтому решаем уравнение $x3 =t$ для каждого значения $t$ .

1. Если $t =−1$ , то уравнение $x3 = −1$ имеет решение:

x= −1.

2. Если $t =−8$ , то уравнение $x3 = −8$ имеет решение:

x= −2.

Таким образом, корни исходного уравнения: $x =− 1$ и $x =−2$ .

Ответ:

-1; -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#97568Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(x − 1)(x +1)(x +2)(x +4)= 7.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрывать все 4 скобки не хочется — вылезет четвертая степень. Поэтому лучше раскрывать по чуть-чуть — разделим скобки на пары и раскроем по 2, чтобы получить "примерно одинаковые" выражения.

Подсказка 2

Перемножим первую скобку и четвертой, вторую — с третьей. Какая замена так и напрашивается?)

Подсказка 3

Сделаем замену t = x² + 3x. Какое уравнение тогда получится?

Подсказка 4

Получим уравнение (t-4)(t+2) = 7. Давайте раскроем скобки, перенесём все в одну сторону и решим квадратное уравнение!

Подсказка 5

Отлично, получается, что t = 5 или t = -3. Теперь нам надо сделать обратную замену. Как она будет выглядеть?

Подсказка 6

Нам нужно решить уравнения x² + 3x = 5 и x² + 3x = -3 ;)

Показать ответ и решение

Перегруппируем первую и четвертую скобки, а также вторую и третью:

(x − 1)(x +4)(x +1)(x +2)= 7.

Теперь раскроем каждую из пар скобок:

2 (x− 1)(x+ 4)= x + 3x− 4,

(x+ 1)(x+ 2)= x2+ 3x+ 2.

Тогда уравнение приобретает вид:

(x2+ 3x − 4)(x2+ 3x+ 2)=7.

Введем замену $t= x2+3x$ . Тогда уравнение перепишется следующим образом:

(t− 4)(t+ 2)= 7.

Раскроем скобки:

t2− 2t− 8= 7,

t2− 2t− 15= 0.

Это квадратное уравнение, решаем его с использованием дискриминанта:

2 Δ = (− 2) − 4⋅1⋅(− 15)= 4+ 60= 64.

Корни уравнения:

−(−2)+√64- 2+ 8 t1 = ---2⋅1----= -2--= 5,

√-- t2 = −(−2)−-64= 2−-8= −3. 2 ⋅1 2

Теперь вернемся к переменной $x$ , используя уравнение $t=x2+ 3x$ . Нам нужно решить два квадратных уравнения:

$x2 +3x= 5$ , $x2 +3x= −3$ .

Первое уравнение:

x2+3x− 5= 0.

Используем формулу для квадратного уравнения:

∘----------- √----- √-- x = −-3±-32−-4⋅1⋅(−-5) = −3±--9+-20= −3±--29. 2 ⋅1 2 2

Корни первого уравнения:

−3+ √29 −3− √29 x1 =---2---, x2 = ---2---.

Второе уравнение:

x2+3x+ 3= 0.

Дискриминант этого уравнения:

2 Δ =3 − 4⋅1⋅3= 9− 12= −3.

Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

Ответ:

$−-3+√29 2$ , $−-3−√29 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#97569Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x2+-2x+-1 x2+2x-+2- 7 x2+ 2x+ 2 + x2+2x +3 = 6.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется избавиться от громоздкого уравнения, ведь делить квадратные трёхчлены друг на друга довольно сложно.

Подсказка 2

А что если заменить какой-нибудь подходящий квадратный трёхчлен? Останется сумма двух дробей, но уже не будет второй степени, с этим работать явно проще!

Подсказка 3

Отлично, получилась более простая сумма двух дробей. Самое время привести к общему знаменателю и найти заменённое значение. Осталось провести обратную замену!

Показать ответ и решение

Введем замену $t= x2 +2x$ . Тогда уравнение можно переписать в виде:

t+-1 t+2- 7 t+ 2 + t+3 = 6.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

(t+1)(t+ 3)+(t+ 2)2 7 ----(t+-2)(t+-3)--- =6 .

Раскроем скобки в числителе:

(t+ 1)(t+ 3)= t2+ 4t+ 3,

(t+ 2)2 =t2+ 4t+ 4.

Теперь числитель примет вид:

t2+ 4t+3+ t2+4t+ 4= 2t2+ 8t+7.

Знаменатель:

(t+ 2)(t+ 3)= t2+ 5t+ 6.

Уравнение теперь имеет вид:

2t2+ 8t+ 7 7 -t2-+5t+6-= 6.

Применим правило крест-накрест:

6(2t2+ 8t+7)= 7(t2+ 5t+ 6).

Раскроем скобки:

2 2 12t + 48t+ 42= 7t+ 35t+ 42.

Упростим уравнение:

12t2+48t+ 42 − 7t2− 35t− 42 =0,

5t2+ 13t= 0.

Решим квадратное уравнение:

t(5t+ 13)=0.

Отсюда $t= 0$ или $5t+ 13= 0$ , следовательно, $13 t= −5$ .

Напомним, что $2 t= x + 2x$ . Теперь решим два уравнения:

x2+ 2x= 0.

Корни:

x1 = 0, x2 = −2.

13 x2+2x =− 5-.

Умножим на 5:

5x2+ 10x+13 =0.

Дискриминант:

Δ = 102− 4⋅5⋅13= 100 − 260= −160.

Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

Корни уравнения:

x1 = 0, x2 = −2.

Ответ:

$0;−2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#97570Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2 )2 2 x − 4x + (x − 2) = 6.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что внутри скобки находится почти полный квадрат... Но чето-то не хватает:( Давайте добавим и вычтем что-то так, чтобы появился полный квадрат.

Подсказка 2

Внутри первой скобки лежит (x-2)² - 4. Какая замена так и напрашивается?) Быть может, у нас появились схожие части в уравнении?

Подсказка 3

Сделаем замену t = (x-2)². Какой вид примет уравнение?

Подсказка 4

(t-4)² + t = 6. А такое мы уже решать умеем ;) Не забудьте про обратную замену!

Показать ответ и решение

Выделим внутри первой скобки полный квадрат:

2 2 2 ((x− 2) − 4) +(x− 2) =6

Сделаем замену $t= (x − 2)2 ≥ 0,$ тогда исходное уравнение преобразуется в

2 (t− 4) +t= 6

t2 − 7t+ 10 =0

[ t= 5 t= 2

Делаем обратную замену

[ (x− 2)2 =5 (x− 2)2 =2

[ √- x= 2± √5 x= 2± 2

Ответ:

$2± √5,2± √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#97571Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 3 2 x − 8x + 17x − 8x+ 1= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Хм, у нас уравнение четвёртой степени... Давайте сразу проверим, является ли x = 0 решением уравнения. Если является, то мы можем свести к уравнению третьей степени, если нет, будем думать дальше.

Подсказка 2.

Действительно, x = 0 не будет решением. Тогда можем поделить на x или даже на x². Что это нам даст?

Подсказка 3.

Попробуем использовать замену t = x + 1/x. Осталось понять, как выразить x² + 1/x², получить квадратное относительно t уравнение и помнить про обратную замену!

Показать ответ и решение

4 3 2 x − 8x +17x − 8x +1= 0

Разделим уравнение на $x2$ :

x4− 8x3+ 17x2− 8 x-+ 1-= 0, x2 x2 x2 x2 x2

что упрощается до:

2 8 -1 x − 8x+ 17− x + x2 = 0.

Введем замену $1 t= x+ x$ . Тогда:

1 x2+ x2 = t2− 2.

Перепишем уравнение через $t$ :

t2− 2− 8t+ 17=0,

упрощаем:

t2− 8t+15= 0.

Решим квадратное уравнение:

2 t− 8t+15= 0.

Найдем дискриминант:

Δ = (−8)2− 4⋅1⋅15= 64− 60= 4.

Корни:

8+ √4 8+2 t1 =--2-- = -2--= 5,

√- t2 = 8−-4 = 8− 2-= 3. 2 2

Решим уравнение $t= x+ 1x$ для каждого значения $t$ .

Для $t1 = 5$ :

x+ 1= 5. x

Умножим обе части на $x$ :

2 x − 5x+ 1= 0.

Решим это уравнение:

5± √25−-4 5 ±√21- x= ----2---- =---2--.

Корни:

√-- √ -- x1 = 5+-21, x2 = 5−--21. 2 2

Для $t2 = 3$ :

x+ 1= 3. x

Умножим обе части на $x$ :

2 x − 3x+ 1= 0.

Решим это уравнение:

3± √9−-4 3 ±√5- x= ----2--- =---2- .

Корни:

√- √ - x3 = 3+-5, x4 = 3−--5. 2 2

Ответ:

$5+√21,5−√21,3+√5,3−√5 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#97572Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 ( 2 ) x − (x− 1) 5x − 4(x− 1) =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если решать прямо и раскрыть скобочки, то получится уравнение четвёртой степени. Непонятно, что с этим делать дальше, надо придумать замену.

Подсказка 2

У нас дано уравнение от одной переменной, а что будет, если сделать сразу две замены?

Подсказка 3

Попробуем заменить x² = t, x-1 = h. Мы получим квадратное уравнение относительно t (относительно h тоже будет квадратное уравнение). Решим квадратное уравнение!

Подсказка 4

Мы решили квадратное уравнение, выразили t через h или h через t. Осталось выразить х и найти его.

Показать ответ и решение

Решим уравнение

4 ( 2 ) x − (x− 1) 5x − 4(x− 1) =0.

Подставим замены:

$2 t= x$
$h =x − 1$

Теперь мы имеем

2 2 t− 5ht+4h = 0.

Решим это уравнение относительно $t$ :

D =(−5h)2− 4⋅1⋅4h2 = 25h2− 16h2 = 9h2.

Корни:

t= 5h±3h-= 8h= 4h или t= 2h-= h. 2 2 2

Теперь подставим обратно:

Если $t= 4h$ :
$x2 =4(x− 1) =⇒ x2 =4x − 4 =⇒ x2− 4x+ 4= 0 =⇒ (x− 2)2 = 0 =⇒ x= 2.$
Если $t= h$ :
$x2 = x− 1 =⇒ x2− x+ 1= 0.$
Дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

x= 2

Ответ:

Следующая подтема

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Для :

Для :

Для $t1 = 5$ :

Для $t2 = 3$ :