Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#98709Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

|5x+ 1|+7x+ 2= 0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это довольно стандартное уравнение с одним модулем. Значит, нужно рассмотреть два случая его раскрытия.

Подсказка 2

Давайте заметим, что под модульное выражение зануляется при x = -0,2. При больших x оно положительное, а при меньших — отрицательное. Кажется, теперь понятно, какие случаи нужно разобрать.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $5x +1≥ 0,$ то есть $1 x≥ −5.$ Тогда $|5x+ 1|= 5x+ 1.$ Подставим это в данное уравнение и решим его:

5x +1+ 7x+ 2= 0

12x= −3

x= − 1 4

Но, так как $x≥ − 1, 5$ а $− 1< − 1, 4 5$ то $x= − 1 4$ не является корнем уравнения.

2) $5x +1< 0,$ то есть $1 x< −5.$ Тогда $|5x+ 1|=− 5x − 1.$ Получается:

−5x− 1+ 7x +2 =0

2x =− 1

1 x= −2

При этом $1 1 − 2 <− 5,$ поэтому $1 x= −2$ — корень уравнения.

Ответ:

$− 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#98710Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

|x+3|−-2 2− x = 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется избавиться от знаменателя, домножить на него. Не забудьте учесть ОДЗ!

Подсказка 2

Получилось простое уравнение с одним модулем. Нужно рассмотреть два случая — когда подмодульное выражение не положительно и отрицательно.

Подсказка 3

Модуль зануляется при x = -3. Значит, при x ≥ -3 он раскрывается со знаком +, а при x < 3 со знаком минус.

Показать ответ и решение

Так как $2− x$ стоит в знаменателе, то $2− x⁄= 0,$ то есть $x⁄= 2.$

Домножим обе части уравнения на $2− x.$ Получим:

|x+ 3|− 2= 4− 2x

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x+3 ≥0,$ тогда $|x +3|= x+ 3.$ Подставим это в уравнение выше и решим его:

x+ 3− 2= 4− 2x

x= 1

При этом $x= 1$ удовлетворяет неравенству $x +3≥ 0,$ поэтому является корнем.

2) $x+3 <0,$ тогда $|x+3|= −x− 3.$ Получается:

− x− 3 − 2= 4− 2x

x= 9

Но $x =9$ не удовлетворяет неравенству $x+3 <0,$ поэтому не является корнем.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#98711Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

| 2 | |x +x − 3|= |5x− 4|.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение представляет из себя равенство двух модулей. А когда могут быть равны модули двух выражений?

Подсказка 2

Либо выражения равны, либо когда они противоположны. Отсюда вытекает два случая, в каждом из которых нужно решить простое квадратное уравнение.

Показать ответ и решение

Если два модуля равны, значит подмодульные выражения либо равны, либо противоположны. Рассмотрим оба случая:

1) Подмодульные выражения равны, то есть:

2 x +x− 3= 5x− 4

x2− 4x +1 =0

Дискриминант этого уравнения равен $D = 16− 4 =12,$ а значит корни равны $- x= 2+ √3$ и $- x =2− √3$

2) Подмодульные выражения противоположны, то есть:

x2+ x− 3 =− 5x +4

x2+ 6x − 7 =0

По теореме Виета корни равны $x = −7$ и $x= 1.$

Ответ:

$− 7,$ $2− √3,$ $1,$ $2+ √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#98712Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2 |x− 3|= x +2x− 3.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если бы в левой части не было модуля, то это было бы простое квадратное уравнение.

Подсказка 2

Значит, модуль нужно раскрыть, рассмотрев два случая, когда он раскрывается со знаками + и -.

Подсказка 3

При x ≥ 3 модуль раскроется с положительным знаком, а при x < 3 — с отрицательным.

Показать ответ и решение

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) $x− 3≥ 0,$ то есть $|x− 3|=x − 3.$ Подставим это в данное уравнение:

2 x − 3 =x + 2x− 3

x2+x =0

x(x+1)= 0

Получается, $x =0$ или $x= −1,$ но оба этих значения меньше 3, что не удовлетворяет неравенству $x− 3≥ 0,$ а значит при $x− 3≥0$ решений нет.

2) $x− 3< 0,$ то есть $x < 3.$ Тогда $|x− 3|=− x+ 3.$ Подставим:

−x+ 3= x2+ 2x − 3

x2+ 3x − 6 =0

$D= 9+ 24= 33,$ откуда корни уравнения равны $− 3− √33 x1 =---2----$ и $−3+ √33 x2 = ---2---.$ $x1$ — отрицательное число, то есть точно меньше трех и подходит нам. Оценим $x2 :$ $√-- √-- 33< 36= 6,$ отсюда $√-- −3+--33- 3 x2 = 2 < 2 <3.$ Итак, $x1$ и $x2$ — корни уравнения.

Ответ:

$−-3−-√33 −3+-√33 2 , 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#98713Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

||3 − x|− 2x +1|= 4x − 10.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут два модулю, и с ними нужно что-то делать. Стоит начать с внутреннего модуля |3-x|. Рассмотрите случаи его положительного и отрицательного раскрытия, наложите ограничения на x, получите два более простых уравнения.

Подсказка 2

С получившимися уравнениями работать гораздо проще, ведь у них только один модуль. Рассмотрите разные случаи его раскрытия, наложите на x дополнительные ограничения, связанные с этим.

Показать ответ и решение

1. Обозначим $a= |3− x|$ , тогда уравнение примет вид:

|a− 2x +1|= 4x− 10.

Теперь решим это уравнение в зависимости от значения $a= |3− x|$ .

Случай 1: $3 − x ≥0$ , то есть $x ≤3$ .

В этом случае $|3− x|= 3− x$ . Уравнение примет вид:

|3 − x− 2x+ 1|=4x− 10.

Упростим левую часть:

|4− 3x|=4x− 10.

Теперь рассмотрим два случая для значения $|4− 3x|$ .

Подслучай 1.1: $4− 3x≥ 0$ , то есть $4 x≤ 3$ .

В этом случае $|4− 3x|= 4− 3x$ . Тогда уравнение примет вид:

4− 3x= 4x− 10.

Решим это уравнение:

4+ 10= 4x+ 3x,

14 =7x,

x =2.

Проверим, удовлетворяет ли $x= 2$ условию $4 x ≤ 3$ . Нет, это условие не выполняется, следовательно, $x =2$ не является решением.

Подслучай 1.2: $4− 3x≤ 0$ , то есть $4 x≥ 3$ .

В этом случае $|4− 3x|= 3x− 4$ . Тогда уравнение примет вид:

3x− 4= 4x− 10.

Решим это уравнение:

4x− 3x= 10− 4,

x =6.

Проверим, удовлетворяет ли $x = 6$ условиям $4 x≥ 3$ и $x≤ 3$ . Нет, второе условие выполняется, следовательно, $x =6$ не является решением.

Случай 2: $3 − x ≤0$ , то есть $x ≥3$ .

В этом случае $|3− x|= x− 3$ . Тогда уравнение примет вид:

|x − 3− 2x+ 1|=4x− 10.

Упростим левую часть:

|− x− 2|= 4x− 10.

Теперь рассмотрим два случая для значения $|− x− 2|$ .

Подслучай 2.1: $−x − 2 ≥0$ , то есть $x ≤− 2$ .

В этом случае $|− x− 2|= −x − 2$ . Тогда уравнение примет вид:

−x − 2= 4x− 10.

Решим это уравнение:

− x− 4x =− 10+2,

−5x= −8,

8 x= 5.

Проверим, удовлетворяет ли $8 x= 5$ условию $x≤ −2$ . Нет, это условие не выполняется, следовательно, $8 x = 5$ не является решением.

Подслучай 2.2: $−x − 2 ≤0$ , то есть $x ≥− 2$ .

В этом случае $|− x− 2|= x+ 2$ . Тогда уравнение примет вид:

x+ 2= 4x − 10.

Решим это уравнение:

4x − x =10+ 2,

3x =12,

x =4.

Проверим, удовлетворяет ли $x = 4$ условиям $x≥ −2$ и $x≥ 3$ . Да, эти условия выполняются, следовательно, $x= 4$ является решением.

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#98714Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

||x2− 2x|| --x−-3-+ |x +2|= 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишите ОДЗ.

Подсказка 2

В уравнении есть два модуля, при том совсем разных, никак не связанных друг с другом. Придётся рассматривать случаи раскрытия. Но этот процесс оптимизировать?

Подсказка 3

Давайте найдём все значения х, при которых хотя бы один из модулей зануляется. Это x = -2, 0, 2. Теперь стоит рассмотреть уравнение отдельно при x ≤ -2, -2 < x ≤ 0, 0 < x ≤ 2, 2 < x. И не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Необходимо, чтобы знаменатель не обращался в ноль:

x ⁄=3.

2. Раскрытие модулей

Рассмотрим различные случаи для раскрытия модулей.

Модуль $|x2− 2x|$ :

({ x2 − 2x, если x ≤0 или x≥ 2, |x2− 2x|= ( 2 −(x − 2x), если 0 <x <2.

Модуль $|x +2|$ :

({ −(x+2), если x< −2, |x+ 2|= ( x+ 2, если x≥ −2.

3. Решение уравнения по частям

Случай 1: $x <− 2$

В этом случае:

|x+ 2|=− (x +2), |x2− 2x|=x2 − 2x.

Уравнение принимает вид:

x2− 2x-− (x+ 2)=1. x − 3

Приведем всё к общему знаменателю:

x2−-2x− (x+-2)(x−-3) x− 3 = 1.

Раскроем скобки:

x2− 2x− (x2 − 3x+ 2x− 6)= −x +6.

Таким образом, уравнение становится:

−xx−+63 = 1.

Решим его:

−x+ 6= x− 3 =⇒ 2x= 9 =⇒ x = 9. 2

Это значение не принадлежит области $x< −2$ , поэтому решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 2: $− 2≤ x< 0$

В этом случае:

2 2 |x +2|= x+ 2, |x − 2x|= x − 2x.

Уравнение принимает вид:

2 x-− 2x-+(x+ 2)=1. x − 3

Приведем всё к общему знаменателю:

x2−-2x+(x+-2)(x−-3)= 1. x− 3

Раскроем скобки:

2 2 2 x − 2x+ (x − 3x+ 2x− 6)= 2x − 3x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

2x2−-3x− 6 x− 3 = 1.

Решим это уравнение:

2 2 2x − 3x− 6= x− 3 =⇒ 2x − 4x− 3= 0.

Решим квадратное уравнение:

√------ √-- √-- √ -- x= 4±--16+-24= 4±--40 = 4-±2-10 = 2±-10. 4 4 4 2

Из корней $2+√10 2$ и $2−√10 2$ , только $2−√10 2$ принадлежит промежутку $[−2,0)$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 3: $0 ≤x <2$

В этом случае:

|x+ 2|=x +2, |x2− 2x|= −(x2− 2x).

Уравнение принимает вид:

− (x2− 2x) --x-− 3- +(x+ 2)= 1.

Преобразуем:

−x2+-2x- x− 3 +x +2 =1.

Приведем всё к общему знаменателю:

− x2+2x +(x+ 2)(x− 3) --------x−-3------- =1.

Раскроем скобки:

− x2+2x+ (x2− 3x+ 2x− 6)=x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

xx−−-63 = 1.

Решим его:

x − 6 =x − 3,

что приводит к противоречию. Решений в этом случае нет.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Случай 4: $x ≥2$

В этом случае:

|x +2|= x+ 2, |x2− 2x|= x2− 2x.

Уравнение принимает вид:

x2− 2x x-− 3-+(x+ 2)=1.

Приведем всё к общему знаменателю:

2 x-−-2x+(xx−+32)(x−-3)= 1.

Раскроем скобки:

x2− 2x+ (x2− 3x+ 2x− 6)= 2x2− 3x − 6.

Таким образом, уравнение становится:

2 2x-−-3x− 6-= 1. x− 3

Решим его:

2x2 − 3x− 6= x− 3 =⇒ 2x2− 4x− 3= 0.

Решения этого уравнения совпадают с предыдущими: $√-- x = 2±-210-$ , и только корень $√-- x= 2+210$ принадлежит области $x ≥2$ .

Ответ:

$1± √10 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#135359Максимум баллов за задание: 7

Сколько решений в вещественных числах имеет уравнение $(x − 1)3 = {(x+ 1)3}?$

Здесь ${t}$ обозначает дробную часть числа $t.$

Источники: Курчатов - 2024, 10.2 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, мы знаем ограничения на правую часть уравнения. Исходя из этого, можно получить ограничения на x.

Подсказка 2

Теперь посмотрим на выражение, которое написано в фигурных скобках. Кажется, мы можем применить знания о дробной части выражения (x - 1)³.

Подсказка 3

Получается, мы свели задачу к тому, чтобы посчитать количество целых чисел на промежутке.

Показать ответ и решение

Заметим, что по определению дробной части числа справедливы неравенства

{ 3} 0≤ (x+ 1) <1

Отсюда

3 0≤ (x− 1) <1

1≤ x< 2

Преобразуем наше уравнение:

(x− 1)3 = {(x+1)3}= {x3+3x2+ 3x+ 1} ={(x− 1)3 +(6x2+2)}

Поскольку число $(x − 1)3$ лежит в промежутке $[0;1),$ оно совпадает со своей дробной частью. Значит, число $6x2+ 2$ должно быть целым.

Так как $1≤ x< 2,$ то справедливы следующие неравенства:

1≤ x2 <4

8 ≤6x2+ 2< 26

Поэтому число $2 6x + 2$ может принимать любое из целых значений на отрезке $[8;25],$ и для каждого такого значения существует ровно один $x$ из промежутка $[1;2),$ который реализует это значение. В результате мы получаем $25 − 8+ 1= 18$ ответов.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#136039Максимум баллов за задание: 7

Пусть $f(x)= x2 +10x+ 20.$ Решите уравнение $f(f(f(x))) =0.$

Источники: ФЕ - 2024, 10.2 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо как-то подойти к f(f(f(x))). Подстановка напрямую в функцию f(x) приведет к непонятному уравнению, нужно поступить более хитрo: как можно представить f(x)?

Подсказка 2

Представим f(x) как (x + 5)² - 5. Теперь считать f(f(x)) и f(f(f(x))) гораздо проще!

Подсказка 3

Получим f(f(x)) = (x + 5)⁴ + 5. Подставляем в f(f(f(x))) и решаем уравнение.

Показать ответ и решение

Заметим

2 f(x)= (x +5) − 5

теперь видно

( 2 )2 4 f(f(x))= ((x+ 5) − 5)+ 5 − 5= (x +5) + 5

Аналогично получим

f(f(f(x)))= (x+ 5)8− 5

Осталось решить уравнение

(x +5)8− 5 =0

x= −5± 8√5

Ответ:

$− 5± 8√5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#66209Максимум баллов за задание: 7

Решите систему уравнений:

(| x +[y]+ {z}= 3,9 { y +[z]+ {x}= 3,5 |( z+ [x]+ {y} =2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пользуясь свойством х = [х] + {х}, что можно сделать с уравнениями в условии, чтобы получить уравнение на х+у+z?

Подсказка 2

Верно, сложить все 3 уравнения. Затем попробуйте вычесть из полученного уравнения все уравнения из условия и получить следствие

Подсказка 3

Если дробная часть лежит в промежутке [0, 1), то что можно сказать, пользуясь предыдущим следствием про [х], [у], [z]?

Подсказка 4

Правильно, что они лежат в определенных промежутках и в этих промежутках ровно по 1 целому числу, а значит, целые части и равны этому числу.

Показать ответ и решение

Давайте вспомним, что для любого числа $a$ верно: $a =[a]+{a}.$ Тогда сложим все эти три уравнения, применив это тождество, и получим:

2(x+ y+ z)=9,4;

x+ y+z =4,7.

Теперь вычтем из полученного уравнения каждое уравнение системы:

(|{ (y− [y])+(z− {z})= 0,8; (z− [z])+(x− {x})= 1,2; |( (x− [x])+(y− {y})= 2,7.

Теперь воспользуемся следствием из тождества:

( |{ {y}+ [z]= 0,8; | {z}+ [x]= 1,2; ( {x}+ [y]= 2,7.

Так как дробная часть любого числа лежит в полуинтервале $[0;1),$ то получим следующие неравенства:

( |{ 0,8− 1= −0,2 <[z]≤ 0,8; | 1,2 − 1= 0,2< [x]≤ 1,2; ( 2,7 − 1= 1,7< [y]≤2,7;

Тогда получим, что $[z]= 0,[x]=1,[y]= 2.$ Откуда получим, что ${y}= 0,8;{z} =0,2;{x}= 0,7.$ Тогда $x =1,7;y =2,8;z =0,2.$

Ответ:

$(1,7;2,8;0,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#67150Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 2 --8--- x − x − x3− x2 = 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут сразу напрашивается замена x^3-x^2 = t. Тогда если все привести к одному знаменателю, то будет квадратное уравнение относительно t в числителе)

Подсказка 2

После решения квадратного уравнения нужно делать обратную замену, но тут выходит какое-то кубическое уравнение...Постарайтесь угадать корень и поделить это уравнение на соответствующий одночлен)

Показать ответ и решение

Сделав замену $t=x3 − x2$ получаем

8 t2− 2t− 8 { t2− 2t− 8 =0 t− t = 2 ⇐ ⇒ ---t----= 0 ⇐ ⇒ t⁄=0

[ t= −2 t= 4

Обратная замена:

t=4 =⇒ x3− x2− 4 =0

(x − 2)(x2+ x+ 2)=0 ⇐ ⇒ x =2

t= −2 =⇒ x3− x2+ 2= 0

(x +1)(x2− 2x+ 2) =0 ⇐⇒ x =−1

Ответ:

$− 1; 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#67151Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 3 (x+ 5)+ (x+ 7) = 8

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим внимательнее на левую часть как на функцию. Это сумма двух кубических функций. А справа у нас стоит константа. Есть ли в этом что-то примечательное?

Подсказка 2

Кубическая функция - монотонная) Т.е. слева стоит монотонная функция как сумма двух монотонных функций! Остается угадать корень и объяснить, что только он один и подойдет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После замены $x +6 =t$ получаем уравнение

3 3 (t− 1)+ (t+1) = 8

3 2t+ 6t− 8 =0

2(t− 1)(t2+ t+4)= 0

t= 1 =⇒ x= −5

Второе решение.

Левая часть является монотонно возрастающей функцией как сумма двух монотонно возрастающих кубических функций. Поэтому значение $8$ она может принимать не более, чем в одной точке. Легко видеть, что это значение достигается при $x= −5,$ потому что $x +5= 0,x+ 7=2 =⇒ (x+ 7)3 = 8.$

Ответ: -5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#67152Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2 ) x − 5x (x+ 3)(x− 8)+108= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть скобка где стоит что-то квадратное, и две скобки-одночлены. Давайте перемножим скобки-одночлены между собой, вдруг выйдет что-то похожее)

Подсказка 2

Вышло x^2-5x-24, что как раз похоже на первую скобку, но с -24. Тогда давайте сделаем просто замену t = x^2-5x и решим квадратное уравнение, после сделаем обратные замены)

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

( 2 )( 2 ) x − 5x x − 5x − 24 + 108= 0

Пусть $2 x − 5x= t$

t(t− 24)+ 108 =0

2 t − 24t+ 108= 0

[ t=6 t=18

Обратная замена:

[ t =6⇒ x2 − 5x− 6= 0⇔ x =6 x =−1 2 5±-√97 t= 18⇒ x − 5x− 18= 0⇔ x= 2

Ответ:

$5±√97; 6; − 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#67536Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)= 0,5625

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких случаях, когда мы видим много скобочек, бывает полезно разбить скобочки на группы и выполнить умножение внутри групп, ориентируясь на то, чтобы после умножения пары стали в чём-то похожи.

Подсказка 2

Здесь лучше разбить скобки на две пары, например, чтобы в результате умножения в каждой паре был одинаковый коэффициент при х.

Подсказка 3

Умножьте первую скобочку на последнюю, а вторую на третью. Получатся две очень похожие скобочки. Замените общую часть на временную переменную и решите полученное уравнение. Не забывайте про обратную замену!

Показать ответ и решение

9- x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)= 16

Сгруппируем сомножители:

9 x(x +3)⋅(x+1)(x+2)= 16

(x2+ 3x)⋅(x2+ 3x+ 2)= -9 16

Пусть $t=x2+ 3x.$ Тогда:

t(t+ 2)= 9-|⋅16 16

16t2+ 32t− 9= 0

D 4-= 162+9 ⋅16= 16⋅25.

t= −16±-20= −1± 5 16 4

t∈ {− 9,1} 4 4

Выполним обратную замену:

1.: $t= − 9. 4$ Тогда
$4x2+12x+ 9= 0,x =− 3 2$
2.: $1 t= 4.$ Тогда
$√ -- ∘ -- 4x2+ 12x− 1 =0,x= −-6±-40-= − 3 ± 5. 4 2 2$

Ответ:

$− 3,− 3±∘ 5 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#67825Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

6 5 4 3 2 x − x +x − x + x − x +1 =0

Показать ответ и решение

При $x= −1$ в левой части получается $1+ 1+ 1+1 +1+ 1+ 1,$ так что $x= −1$ это не корень, поэтому мы можем домножить обе части уравнения на $x+ 1:$

(6 5 4 3 2 ) 6 5 4 3 2 xx − x + x − x +x − x+ 1 +x − x + x − x + x − x+ 1= 0

7 6 5 4 3 2 x − x + x − x +x − x + x +

+ x6− x5+x4− x3+ x2− x +1 =0

x7+1 =0

x7 =− 1

Как мы уже отметили, $x =− 1$ не является корнем, и других решений у уравнения нет.

Ответ: корней нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#68179Максимум баллов за задание: 7

Найдите сумму всех корней уравнения:

∘--2-------------- ∘--2-------------- ∘--2-------------- 2x − 2024x+ 1023131+ 3x − 2025x+ 1023132+ 4x − 2026x+ 1023133=

=∘x2-−-x+1-+∘2x2-− 2x+-2+ ∘3x2−-3x+-3

Источники: ФЕ-2023, 11.1 (см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется разбить радикалы по парам. Как связаны подкоренные выражения в одной паре?

Подсказка 2

Они отличаются на x^2-2023x+1023130. Тогда хочется написать какую-то оценку...

Подсказка 3

Если это выражение больше 0, то левая часть больше правой, если же это выражение меньше 0, то левая часть меньше (при условии существования обеих частей). Когда тогда может достигаться равенство?

Подсказка 4

Только если x^2-2023x+1023130=0. Отсюда находим x, и не забываем проверить, что выражения существуют!

Показать ответ и решение

Обозначим

2 1 2 3 f(x)= x − x+ 1= (x −2) + 4 >0

g(x)= x2− 2023x+ 1023130=(x− 1010)(x− 1013)

Тогда уравнение имеет вид

∘ --------- ∘--------- ∘ --------- ∘ ---- ∘---- ∘ ---- f(x)+ g(x)+ 2f(x)+g(x)+ 3f(x)+ g(x)= f(x)+ 2f(x)+ 3f(x)

Если какое-то значение $x$ является решением, то $g(x)= 0,$ ведь иначе левая часть больше (при $g(x)> 0$ ) или меньше (при $g(x) <0$ ) в силу монотонного возрастания функции $√- h(t)= t$ на своей области определения.

При этом легко видеть, что все решения $g(x)=0$ являются и решениями исходного уравнения (будет верное тождество, при этом обе части определены в силу положительности функции $f$ ), то есть это не только необходимое, но и достаточное условие.

Корнями уравнения $g(x)= 0$ являются числа $1010$ и $1013$ . Их сумма равна $2023.$

Ответ: 2023

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#68244Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 x + 10y − 6xy+ 4y +4= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что здесь есть каждый из квадратов(х и у) и попарное произведение. Плюсом к этому есть часть (y+2)^2 - 4y+4. На какие мысли это может натолкнуть?

Подсказка 2

Да, это может натолкнуть на такую группировку (x-3y)^2+(y+2)^2=0. Так, то есть у нас два слагаемых, которые квадраты, и при этом их сумма равна 0. Какой вывод из этого можно сделать?

Показать ответ и решение

Заметим, что

2 2 2 2 x +10y − 6xy +4y+ 4= (x− 3y) +(y+ 2) =0

откуда $y = −2,x= −6.$

Ответ:

$(−6;−2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#68245Максимум баллов за задание: 7

Найдите все вещественные решения следующего уравнения с $4$ неизвестными:

2 2 2 2 x + y +z + t = x(y+ z+ t)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Относительно замен y,z,t - уравнение равноправно. Вот справа у нас 4 слагаемых второй степени, а слева - 3 слагаемых, условно, «второй степени» (то есть ху,xz,xt ). При этом, если мы увеличиваем х, то чаще всего увеличивается сильнее х^2, аналогично с у,z,t. Все это наталкивает нас на мысли о том, что левая часть как будто всегда больше или равна правой. Но если мы пытаемся решить задачу так, как это доказать?

Подсказка 2

Можно доказывать это просто используя какие-то неравенства и оценки. Однако в силу того, что здесь степени не больше 2, можно рассматривать это как квадратное уравнение относительно какой-нибудь переменной, ведь если то, что наш квадратный трехчлен всегда больше или равен 0, то его дискриминант всегда меньше или равен 0, и наоборот. Таким образом, можно доказать, что дискриминант нашего уравнения относительно какой-то переменной неположителен. Вот только относительно какой переменной? Мы, в теории, хотим, чтобы наш дискриминант получился симметричным, относительно переменных, которые в нём есть (с таким удобно работать). Значит, нужно решать относительно х

Подсказка 3

Дискриминант получится равным 2(yz+zt+ty-t^2-z^2-y^2)-(t^2+z^2+y^2). Ого, но ведь первая скобка - это достаточно популярная конструкция, такое выражение всегда отрицательно. Хмм… Вот только мы забыли, почему это так. А может быть, разложить как-то на сумму квадратов?

Подсказка 4

Действительно, это просто (y-t)^2+(z-t)^2+(z-y)^2 ≤ 0. При этом второе слагаемое в дискриминанте тоже неположительно, так как это сумма квадратов. Значит, весь дискриминант неположителен. Ура! Значит, остаётся понять, когда достигается равенство, и записать ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Посмотрим на это как на квадратное уравнение относительно $x.$ Его дискриминант равен

2 2 2 2 2 2 2 (y+ z+ t) − 4(y + z +t )= 2(yz+ zt+ yt)− 3(y +z + t)=

2 2 2 2 2 2 = 2(yz+ zt+yt− y − z − t)− (y +z + t)

Вспомним известное неравенство

y2+z2+ t2 ≥yz+ zt+yt,

которое можно доказать так:

2(y2+ z2+ t2− yz− zt− yt)≥ 0 ⇐⇒ (y− z)2+ (z− x)2+(x− y)2 ≥0

Теперь мы видим, что дискриминант состоит из суммы двух неположительных слагаемых

2(yz+ zt+yt− y2− z2− t2)

−(y2+z2+ t2)

Таким образом, решения могут быть лишь когда эти слагаемые равны $0.$ Это возможно лишь при $y = z = t= 0,$ значит и $x =0.$

Второе решение.

Явно докажем, что левая часть не меньше правой, то есть

x2− x(y+z +t)+y2+ z2+ t2 ≥ 0 ⇐⇒

y+ z+t 3 1 (x− --2---)2+ 4 ⋅(y2 +z2+ t2)− 4 ⋅(2ty+ 2yz+ 2zt) ⇐ ⇒

y+-z+-t2 1 2 2 2 2 2 2 (x− 2 )+ 4 ⋅(y − 2yz+ z + t− 2ty +y + t − 2tz+z )≥ 0

Последнее верно в силу неотрицательности каждого из квадратов.

y+ z+ t 4(x− ---2---)2+ (y− z)2+ (z− t)2+ (t− y)2 ≥ 0

Для равенства правой и левой части из условия должно выполняться

( |||| 2x= y+ z+ t { y− z = 0 |||| z− t= 0 ( t− y = 0

Сразу получаем, что решением является четвёрка $x= y = z = t=0.$

Ответ: (0, 0, 0, 0)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#68260Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√ ---- √----x √---- √ ----x √---- ( 2023+ 2022)− ( 2023− 2022) = 8088

Источники: БИБН-2023, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение выглядит как-то пугающе и, наверное, классические методы решения здесь не подойдут. Попробуйте как-то поисследовать функцию в левой части уравнения.

Подсказка 2

Если исследовать функцию в левой части уравнения на монотонность, то можно понять, что она возрастает на всей области определения.

Подсказка 3

Левая часть уравнения возрастает, а правая - константа. Это говорит о единственности корня, который можно попробовать угадать.

Показать ответ и решение

Заметим, что $√8088-=2√2022,$ отсюда нетрудно видеть, что $x= 1$ является решением. Далее покажем, что функция в левой части строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, мы видим разность возрастающей (основание больше 1) и убывающей (основание меньше 1) показательных функций, которая строго возрастает. Отсюда равенство имеет не более одного решения, которое уже было найдено.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#69996Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

|| ∘ ----2|| √- ∘ ----2- |2x − 1− 4x |= 4 2⋅x⋅ 1− 4x

Источники: Росатом-2023, 10.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем с базовых вещей. Напишите ОДЗ и подумайте, как на этих ограничениях грамотно избавиться от модуля

Подсказка 2

Конечно, необходимо возвести обе части в квадрат и сделать преобразования. Заметим, что выражение 1-4x² встречается в обеих частях уравнения. Хочется сделать замену, однако если заменить t = sqrt(1-4x²), получим уравнение с двумя неизвестными, зависящими друг от друга, что плохо. Какая замена будет более удобной?

Подсказка 3

Замена: t = 4x * sqrt(1-4x²). Осталось дорешать квадратное уравнение на t, затем биквадратное на x и не забыть проверить все ограничения!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно системе

(| x≥ 0 |{ 2 ||( 1(− 4x√≥-0--)2 ( √- √-----)2 ⇐ ⇒ 2x − 1− 4x2 = 4 2x 1− 4x2

( |{ x≥ 0[ 1 1] |( x∈2 − 2;√2----2 2 2( 2) 4x − 4x 1− 4x + 1− 4x = 32x 1 − 4x

В итоге получаем

{ x∈[0;1] −4x√12−-4x2-+1= 32x2(1 − 4x2)

Введем переменную $t= 4x√1-− 4x2, t≥ 0$ . Тогда уравнение принимает вид

2 −t+ 1= 2t

2 2t +t− 1= 0

Решая квадратное уравнение, находим $t= −1, t= 1 2$ . С учетом неотрицательности $t$ , выбираем $t= 1 2$ . В итоге получаем уравнение для нахождения $x$

4x∘1-− 4x2 = 1, x ∈[0;1] 2 2

Решим это уравнение

( ) 64x2 1− 4x2 = 1 ⇐⇒ 256x4− 64x2+1 =0 =⇒

32± √322−-256 32 ±16√3 2±√3- =⇒ x2 =-----256----- = --256---= -16--> 0.

Тогда, с учетом неотрицательности $x$ , находим $√--√- x = -2±4-3$ . Осталось проверить условие $x≤ 12 :$

∘---√- -2±--3-≤ 1 4 2

√ - 2± 3≤ 4

± √3≤ 2

Неравенство верно, значит, оба корня подходят.

Ответ:

$√2-±√3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#71016Максимум баллов за задание: 7

В уравнении

2022 2021 2020 x − 2x − 3x − ...− 2022x− 2023 =0

можно как угодно переставлять коэффициенты при всех степенях $x$ , кроме самой старшей. Можно ли такой перестановкой добиться, чтобы уравнение имело хотя бы два положительных корня?

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, какой в этой задаче может быть ответ: если ответ да, то необходимо предъявить пример. Не очень хочется подбирать коэффициенты и искать корни. Давайте попробуем доказать, что, как бы мы не меняли коэффициенты местами, положительных корней будет не больше 1. На что вас наводит последнее предложение?

Подсказка 2

На монотонность! Вспомните, если функция строго монотонна, то она имеет не более 1 корня. Давайте попробуем найти здесь что-то похожее. Пускай (a₂, a₃, ..., a₂₀₂₃)- произвольная перестановка чисел (2, 3, ..., 2023). Тогда наш многочлен имеет вид: x²⁰²²-a₂x²⁰²¹-...-a₂₀₂₃=0. Нам мешаются минусы, может, перенести их в правую часть?

Подсказка 3

x²⁰²²=a₂x²⁰²¹+...+a₂₀₂₃. Теперь справа у нас монотонная функция, при x>0. Но слева у нас также монотонная функция, поэтому сразу завершить решение не получится. Что можно сделать, чтобы слева у нас стояла константа?

Подсказка 4

Можно поделить обе части на x²⁰²² (т.к. нас интересуют положительные корни, мы можем это сделать). Тогда: 1=a₂/x+a₃/x²+...+a₂₀₂₃/x²⁰²². Что мы можем сказать про функцию, стоящую справа?

Подсказка 5

Она строго убывает. Действительно, при увеличении x знаменатель каждой дроби увеличится, а значит, сами они уменьшатся. ⇒ Справа функция монотонно убывает, а слева константа, равная 1 ⇒ она пересекает ее не более чем в 1 точке. Победа!

Показать ответ и решение

Докажем, что это невозможно.

От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку $(a2,a3,...,a2023)$ из чисел ${2,3,...,2023}:$

2022 2021 2020 x − a2x − a3x − ...− a2022x− a2023 = 0

Заметим, что $x= 0$ не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:

− a2023 =0,

что неверно.

Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на $x2022$ (при условии $x⁄= 0$ ):

x2022 = a2x2021+a3x2020+ ...+ a2022x +a2023

1= a2+ a32 + ...+ a22020221 + a22002322 x x x x

В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:

f(x)= 20∑22ak+1 k=1 xk

Доказательство строгой монотонности: пусть $x1 > 0,x2 > 0,x1 <x2.$ Тогда для любого $k ∈{1,2,...,2022}$ выполнено:

ak+k1< ak+k1⇒ f(x2)< f(x1) x2 x1

Строгое монотонное убывание $f(x)$ на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.

Ответ: нет

Следующая подтема

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Случай 1: , то есть .

Подслучай 1.1: , то есть .

Подслучай 1.2: , то есть .

Случай 2: , то есть .

Подслучай 2.1: , то есть .

Подслучай 2.2: , то есть .

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

2. Раскрытие модулей

Модуль :

Модуль :

3. Решение уравнения по частям

Случай 1:

Случай 2:

Случай 3:

Случай 4:

Случай 1: $3 − x ≥0$ , то есть $x ≤3$ .

Подслучай 1.1: $4− 3x≥ 0$ , то есть $4 x≤ 3$ .

Подслучай 1.2: $4− 3x≤ 0$ , то есть $4 x≥ 3$ .

Случай 2: $3 − x ≤0$ , то есть $x ≥3$ .

Подслучай 2.1: $−x − 2 ≥0$ , то есть $x ≤− 2$ .

Подслучай 2.2: $−x − 2 ≤0$ , то есть $x ≥− 2$ .

Модуль $|x2− 2x|$ :

Модуль $|x +2|$ :

Случай 1: $x <− 2$

Случай 2: $− 2≤ x< 0$

Случай 3: $0 ≤x <2$

Случай 4: $x ≥2$