Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#89870Максимум баллов за задание: 7

Дано натуральное число $a> 1.$ Определим функцию

√ - f(n)= n +[a{n 2}].

Докажите, что существует такое натуральное $n,$ что $f(f(n))= f(n)$ , но $f(n)⁄= n.$

Напомним, что $[x]$ — целая часть $x,$ то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x,$ а ${x} =x − [x]$ — дробная часть $x.$

Источники: СПБГОР - 2023, 11.5 (см.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Для решения задачи нам понадобится два классических утверждения из теории чисел.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теорема Дирихле. Для любого иррационального числа $𝜃$ и натурального числа $m$ найдется такое число $k$ , $1≤ k≤ m− 1$ , что $1- {k𝜃}< m$ или $1- {k𝜃}> 1− m$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теорема Кронекера. Для любого иррационального числа $𝜃$ и любых чисел $α$ , $β$ , $0 ≤α <β < 1$ , найдется такое натуральное число $n$ , что ${n𝜃}∈ (α,β)$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Применим теорему Дирихле для $√ - 1 𝜃 = 2+ a$ и $m =a$ и найдем такое $1≤ k≤ a− 1$ , что

{ √- 1 } 1 { √- 1 } 1 k( 2+ a) < a или k( 2+ a) > 1− a.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В первом случае имеем неравенство $a−ak< {k√2}< a+1a−k$ . Применим теорему Кронекера для

𝜃 =√2, α= k и β = a+-1− {k√2}> k, a a a

получим, что найдется такое $n$ , что $k< {n√2}< a+1− {k√2} a a$ . Для этого $n$ имеем

k< a{n√2}< a(a+-1− {k√2})< a( a+1-− a−-k)= k+ 1. a a a

Следовательно, $√- [a{n 2}]=k$ и $f(n)= n+ k$ . Поскольку

k a− k √- √ - a+1- 1= a + a < {n 2}+{k 2} < a ,

дробная часть числа $√- (n+ k) 2$ меньше, чем $1 a$ , поэтому

√- [a{(n +k) 2}]=0.

В итоге $f(n)= n+ k,$ поэтому

f(f(n))= f(n+ k)= n +k= f(n)⁄= n

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

В случае ${k(√2 + 1)}> 1− 1 a a$ выполняется неравенство

a-− k √ - a+1-− k a < {k 2} < a .

Применяя теорему Кронекера для

√ - √ - k+ 1 k+ 1 𝜃 = 2, α= 1− {k 2}< -a-- и β =--a-,

получим, что найдется такое $n$ , что $√- k+1 1< {n 2}< -a-$ . Для этого $n$ имеем

k< a{n√2}< k+ 1.

Следовательно, $√- [a{n 2}]=k$ и $f(n)= n+ k$ . Поскольку

√ - √- 1< {n 2}+{k 2} <1− ka + k+a1-= a+a-1,

дробная часть числа $√- (n+ k) 2$ меньше, чем $1a$ , поэтому

[a{(n +k)√2}]=0.

В итоге $f(n)= n+ k,$ поэтому

f(f(n))= f(n+ k)= n +k= f(n)⁄= n

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#91509Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘--------4 -−-x+-4−-x= -√1--. |2x2 − 6− x| 7 − x

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ, но перед этим представим в более красивом виде первое подкоренное выражение:

4 (x-− 2)2 −x +4− x = −x

Тогда ОДЗ для обоих подкоренных выражений это $− x> 0$ , то есть $x <0$ . А также в ОДЗ:

2x2− 6 − x ⁄=0

Теперь мы можем переписать исходное уравнение как

∘-----2- 7√−-x⋅ (x−-2)-= |2x2− 6− x| − x

2 7|x − 2|= |2x − 6− x|

Рассмотрим два случая:

1.

7x − 14= 2x2− 6− x

2x2− 8x+ 8= 0

(x− 2)2 = 0

x =2, но с учётом О ДЗ этот корень не подходит.

2.

−7x+ 14= 2x2 − 6− x

2x2+ 6x − 20= 0

[ x =2, не подходит с учётом ОДЗ x =− 5

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#31033Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( ) 4−x2- 1 2 =8x 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Левая часть выражения выглядит не очень удобно для работы. Попробуйте преобразовать ее. Справа у нас 2^(3x). Давайте левую часть тоже преобразуем так, чтобы там получилась двойка в некоторой степени!

Показать ответ и решение

( )4−x2- 2 1 2 = 2− 2⋅4−2x-= 23x = 8x 4

x2− 4= 3x

(x− 4)(x+ 1)= 0

Ответ:

${−1;4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#31034Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ 7 ⋅2x+ 6y = 2; 3 ⋅2x+1− 5y = 93.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Это уравнение относительно двух переменных. Давайте попробуем одну из них сократить - домножим верхнее уравнение на что-то, нижнее тоже, вычтем и получим уравнение только с х!

Показать ответ и решение

x x+1 x x 5(7⋅2 + 6y)+ 6(3 ⋅2 − 5y)=2 ⋅(35+36)= 71⋅2 =568.

x 2 = 8.

Тогда $x = 3$ и $y = 2−7⋅62x-= −9$ .

Ответ:

$(3,− 9)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#31035Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-15x+-9x+6-- 2⋅15x +25x+ 3 = 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

После домножений и приведений подобных членов у нас остаются возведенные в степень 15, 9 и 25. Нам бы хотелось, чтобы в степень возводилось одно и то же - для этого делим все имеющееся на 9^x!

Показать ответ и решение

Так как знаменатель $2⋅15x+ 25x+3 >3$ заведомо не равен нулю, то уравнение равносильно

x x x x 15 +9 + 6= 2(2 ⋅15 + 25 +3).

Перенесём всё направо:

x x x 0 =3 ⋅15 + 2⋅25 − 9 .

Разделим на $9x :$

( ) ( ) 0 =3 ⋅ 5 x+ 2⋅ 25 x − 1. 3 9

Сделаем замену $(5)x t= 3$ :

2 0= 2t + 3t− 1.

Так как $t= (5)x > 0 3$ , то из двух корней подходит только $t= −3+√17, 4$ соответственно $x= log5∕3t.$

Ответ:

$log √17−3 5∕3 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#31037Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x ( 1)3x−1 33 + 3 = 4.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется сделать замену, чтобы снова уравнение получилось хотя бы квадратное! Как можно (1/3)^y приобразовать к 3 в какой-то степени? Как 3^(-y)!Теперь внимательно еще раз смотрим на наше условие.

Показать ответ и решение

x ( 1)3x 33 +3 ⋅ 3 = 4.

Если $t=33x$ , то $t+ 3t = 4$ или $t2− 4t+3 =(t− 3)(t− 1)$ . Тогда либо $t =33x = 1$ и $3x = 0$ , что невозможно, либо $t= 33x = 3$ , $3x = 1$ и $x= 0$ .

Ответ:

$0$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#31587Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

| 2 | | 2| |x− x − 1|= |2x− 3 +x |

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неужели рассматривать все случаи раскрытия модулей? А обратите внимание, что обе части уравнения неотрицательны и можно сделать некоторое равносильное преобразование

Подсказка 2

В уравнениях такого типа равносильным преобразованием является возведение в квадрат, а ведь квадрат модуля это квадрат самого выражения... Удобно, что модули уходят!

Подсказка 3

Теперь можно перенести всё в одну сторону и использовать формулу разности квадратов!

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат (обе части неотрицательны, так что в данном случае переход равносилен) и рассмотрим разность квадратов:

2 2 2 2 2 (x − x − 1) − (2x− 3+x ) = (3x− 4)(−2x − x+ 2)=0

Значит, $x= 4 3$ или $x= − 1 ± √17 4 4$ .

Ответ:

$4;− 1± √17 3 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#31589Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

||2x− 1|− 5|+ x= |6 − x|.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче, кажется, придётся пойти по пути раскрытия модулей! Надо только аккуратно это сделать:)

Показать ответ и решение

Если $x ≥6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= x− 6

Значит, $x= 0$ ?!

Если $3≤ x≤ 6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= 6− x

Значит, $x= 3$ и такой $x$ подходит.

Если $1≤ x≤ 3 2$ , то

6− x= |2x− 6|+x =||2x− 1|− 5|+x =|6− x|=6− x

Значит, любой $x$ в этом отрезке подходит.

Если $− 2≤ x≤ 12$ , то

3x +4 =|− 2x− 4|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, $x= 12$ и такой $x$ нам подходит.

Если $x< −2$ , то

− x− 4= |− 2x− 4|+ x= ||2x− 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, здесь корней нет.

Ответ:

$[1;3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#31628Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|x+ |− x − 3|+ 1|− 6= x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачах такого типа часто можно сделать следующее равносильное преобразование: оставить слева только модуль, далее в системе записать неотрицательность правой части и совокупность. Какие же уравнения должны быть в совокупности?

Подсказка 2

Когда у нас может наблюдаться равенство? Только тогда, когда правая часть равна ± подмодульному выражению. Как раз эти уравнения и надо записать в совокупность. Осталось её дорешать!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе:

({ x+ 6≥ 0 (x+ 1+ |x+ 3|=± (x +6)

Запомним, что $x≥ −6$ . Получаем совокупность:

⌊ ⌈ |x+3|= 5 |x+ 3|=− 2x − 7

Первое уравнение совокупности имеет решения $x = −3± 5$ , из которых под условие $x≥ −6$ подходит только $x = 2$ .

Второе уравнение совокупности равносильно:

( { −2x− 7≥ 0 ( x+ 3= ±(2x +7)

(||x ≤−3,5 |{⌊ |||⌈ x= −4 ( 3x= −10

−6 ≤x =−4 ≤− 3,5

Объединяя решения первого и второго уравнения совокупности, получаем ответ.

Ответ:

${−4;2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#32155Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $[x]⋅{x}= x2$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задачке есть и x, и {x}, и [x] —> уменьшаем количество переменных за счёт связки x = [x] + {x}. Можете даже для удобства заменить целую и дробную части на отдельные переменные

Подсказка 2

Теперь перед нами квадратный трёхчлен относительно любой из новых переменных. Уравнение с двумя переменными честно не решается —> ищите нечестные способы! Что с квадратным трёхчленом всегда полезно делать?

Подсказка 3

Выделите полный квадрат, внимательно вглядитесь в то, что перед вами написано и сходу получите значения заменённых переменных – от них уже к иксу вернуться легко!

Показать ответ и решение

Пусть $a ={x}$ и $b= [x]$ . Тогда

2 ab= (a+ b)

2 2 2 2 a + ab+ b= (a+ 0.5b) + 0.75b =0.

Это возможно только при $a = b=0$ . Значит, $x =0$ .

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#32157Максимум баллов за задание: 7

Найти число решений в натуральных числах уравнения

[-x] [ x-] 10 = 11 + 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно читаем условие: мы теперь решаем уравнение в натуральных числах! Да ещё и просят нас найти не сами иксы, а их количество, так что их, наверное, немало. Важная переформулировка: фактически перед нами просто уравнение на неполные частные икса при делении на 10 и на 11, так что сам икс удобно представить в каком-то другом виде…

Подсказка 2

Вспомните определение деления с остатком: x = yk + r (0 ≤ r < y). Попробуйте представить икс в таком виде конкретно для деления на 11 – тогда одна из целых частей превратится в компактную буковку, а вторую можно будет преобразовать, выделив целую часть (поэтому мы и взяли 11, а не 10, ведь 11/10= 1 + 1/10, а вот 10/11 сама по себе дробная часть)

Подсказка 3

Теперь мы получили уравнение на одну целую часть! Из него можно равносильно перейти к ограничениям на наши новые переменные и, учитывая ограничения на остаток, которое вы, надеюсь, не забыли, для каждого остатка установить количество подходящих ему неполных частных. Правило умножения, и задача убита!

Показать ответ и решение

Пусть $x =11p+ r$ , где $11 >r≥ 0$ . Тогда

[-x] [11p+r] [p-+r] [-x] 10 = 10 =p + 10 = 11 + 1= p+ 1.

Значит, $[ ] p1+0r = 1$ и $20> p+ r≥ 10$ . Мы знаем, что $r$ от 0 до 10, значит, для $p$ будет по 10 вариантов ( $10 − r$ , $11− r,...,19− r$ ), где в каждом $11p +r> 0$ . Итого $110$ вариантов.

Ответ:

$110$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#32285Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $∘1-+-{2x}-=[x2]+2[x]+ 3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким числом является правая часть? Попробуем оценить значение левой части!

Подсказка 2

Правая часть является целым числом, значит, и левая тоже. Чему тогда может быть равен корень?

Подсказка 3

Корень может быть равен только 1! Тогда мы сможем сказать, каким должен быть х. Осталось лишь выразить x и посмотреть, какой тогда будет правая часть уравнения!

Показать ответ и решение

С учётом того, что правая часть является целым числом, а ${2x} ∈[0,1)⇒ ∘1-+-{2x}∈ [1,√2)$ , получаем, во-первых, $1+ {2x} =1$ . Тогда $k {2x}= 0⇐⇒ x = 2,k ∈ℤ$ . А во-вторых, $2 [x ]+2[x]+ 3= 1$ . Далее рассмотрим случаи:

$k =2n,n∈ ℤ⇒ [x2]= n2,[x]= n⇒ n2+ 2n+ 2= 0$ — но у такого уравнения решений в целых числах нет.
$2 2 2 k =2n+ 1,n∈ ℤ⇒ [x]= n + n,[x]=n ⇒ n + 3n +2 =0 ⇔ n= −1,n= −2.$

Ответ:

${− 1;− 3} 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#34754Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

2 x + 1+ |x − 1|= 2|x|.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрывать два модуля? Ну, уж нет! Давайте решим красиво! Слева у нас x^2+1 есть, а справа – 2|x| – ни на что такие слагаемые не намекают вам?

Подсказка 2

Выделяем полный квадрат (напомню, x^2 = |x|^2 – квадрат и так убивает знак, так что модуль тут ничего не решает) и получаем уже стандартную напрашивающуюся оценку, тут же выдающую нам ответ!

Показать ответ и решение

Заметим, что $x2+1− 2|x|= (|x|− 1)2 ≥ 0$ , а уравнение равносильно $(|x|− 1)2 +|x− 1|= 0$ . Слева сумма двух неотрицательных чисел, так что равенство достигается тогда и только тогда, когда

{ (|x|− 1)2 = 0 ⇐⇒ x= 1 |x− 1|=0

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#35452Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 4 )( 4 ) 2 2 x + 1 y + 1 = 4x y

Показать ответ и решение

Для начала раскроем скобки и перенесём всё в левую часть. Получим

4 4 4 4 2 2 x y +x + y + 1− 4x y = 0.

Попробуем выделить полные квадраты. Во-первых, можно взять $x4$ и $y4$ . Если это — квадраты, то для полного квадрата суммы или разности им не хватает удвоенного попарного произведения, то есть в данном случае $2x2y2$ . У нас есть это выражение с коэффициентом $− 4$ , поэтому возьмём со знаком минус: $x4 +y4− 2x2y2 = (x2− y2)2$ .

Осталось $x4y4 − 2x2y2+1$ . Это тоже полный квадрат: $(x2y2− 1)2 =0$ . Таким образом, всё выражение мы представили как

2 2 2 2 2 2 (x − y ) +(x y − 1) = 0.

Наконец, воспользуемся тем, что сумма двух квадратов может быть равно 0 только в случае, когда оба этих квадрата равны 0. Получаем условия $x2 =y2$ и $x2y2 = 1$ . Из первого мы получаем, что $x= ±y$ , подставляя это во второе, получим $x4 = 1$ . Таким образом, $x= ±1$ и $y = ±1$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#40721Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)= 1680

Показать ответ и решение

После замены $t= x− 7$ получаем уравнение

(t+ 3)(t+2)(t+ 1)t= 1680

Первое решение.

Перемножим первую и четвёртую скобки, затем вторую и третью:

2 2 (t +3t)(t +3t+ 2)=1680

После замены $y =t2+ 3t$ получаем уравнение

y(y +2)= 1680

y2+2y− 1680 =0

y =− 1±√1-+-1680= −1± 41

При обратной замене получаем $t2+ 3t− 40= 0 ⇐⇒ t∈{−8;5}$ или $t2+ 3t+42= 0 ⇐⇒ t ∕∈ℝ.$

Наконец, $x= t+7 ∈{−1;12}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из разложения на множители

1680 =5⋅6⋅7⋅8 =(−8)⋅(− 7)⋅(−6)⋅(− 5)

имеем корни $t=5,t= −8$ . Введём функцию

f(t)= t(t+ 1)(t+ 2)(t+3)− 1680

Заметим, что $f(0)= −1680< 0$ , а при $t≥ 0$ функция $f(t)$ монотонно возрастает, так что при $t> 0$ может быть не более одного корня. Мы уже поняли, что один корень всё-таки есть и это $t= 5$ .

Заметим, что $f(− 3)=− 1680< 0$ , а при $t≤ −3$ функция $f(t)$ монотонно возрастает, так что при $t<− 3$ может быть не более одного корня. Мы уже поняли, что один корень всё-таки есть и это $t= −8$ .

При $t∈ [−3,0]$ можно сделать оценку

f(t)= t(t+ 1)(t+ 2)(t+3)− 1680< 34− 1680< 0

Значит, на этом отрезке нет корней.

Осталось сделать обратную замену $x =t+ 7$ и записать ответ.

Ответ:

$− 1;12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#41772Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в действительных числах

x √- 2x = 2

Показать ответ и решение

Операция возведения в произвольную действительную степень определена только при положительном основании степени, так что $x >0.$

Чтобы уйти от того, что неизвестная и в основании, и в показателе, перейдём по основному логарифмическому тождеству к равенству двух степеней с основанием $e :$

√2 exlnx =eln2

x lnx= 1 ln 1 2 2

Рассмотрим функцию $f(x)= xlnx$ . Её производная $′ f(x)=lnx+ 1$ больше нуля при $−1 x > e$ и меньше нуля при $−1 x < e$ . Поэтому функция строго монотонна на каждом из двух промежутков, так что на каждом из них может принимать значение $1 1 2ln 2$ не более одного раза.

При этом легко видеть, что при $1 x= 2$ и при $1 x = 4$ равенство верно.

Ответ:

$1 ;1 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#49604Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 √- √---- √- a x +2a( 2− 1)x+ x − 2 =2 2 − 3

имеет хотя бы один корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В нашем уравнение есть слагаемые a²x² и 2ax(√2-1). Не намекают ли нам на то, что нужно собрать полный квадрат?

Подсказка

Как все удачно получилось: наше уравнение преобразовывается к (ax+√2-1)²+√(x-2)=0. Каждое слагаемое слева неотрицательно, но при этом в сумме дают 0. Когда такое бывает?

Подсказка 3

Верно, когда оба слагаемых равны нулю! Значит, нужно решить систему из двух уравнений: ax+√2-1=0 и x-2=0. Решите ее и найдите параметр a!

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат, заметив, что $(√2 − 1)2 = 2− 2√2-+1 =3− 2√2$ :

√ - 2 √---- (ax+ 2− 1) + x− 2= 0

Оба слагаемых неотрицательны, потому необходимо и достаточно

{ ax+ √2− 1= 0 1− √2 x− 2= 0 =⇒ x= 2, a=--2--

Итак, только при этом значении параметра уравнение имеет корни.

Ответ:

$1−√2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#67595Максимум баллов за задание: 7

Найдите все варианты троек $(x;y;z)$ , при которых выполняется уравнение

∘--------- ∘--------- ∘--------------- |2x|+ x− 6+ |2y|⋅|2− x|+ |2z|+ |x − 2|⋅|x+ 6|=0

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первого взгляда очень страшное выражение: множество корней и модулей, — не совсем понятно, что с ними делать. Но как только видим справа ноль, сразу становится легче. Какое самое важное ограничение есть у корней, которое необходимо вспомнить?

Подсказка 2

Верно, все они неотрицательные! То есть задумаемся. Если хотя бы один из них не ноль, то тогда всё выражение точно больше нуля, и равенства не будет. Как теперь это можно переписать с точки зрения алгебры?

Подсказка 3

Да, можно записать как систему, что все три корня равны нулю. Теперь внимательно посмотрим на получившиеся уравнения. Первое из них содержит только одну переменную. Значит, его легко решим. В остальных уравнениях видим похожую идею, как в изначальном уравнении. Когда у нас произведение чисел равно нулю? Как можно это переписать?

Подсказка 4

Верно, это уже будет совокупность, что какое-то из них равно нулю. Далее применяя эти две идеи, можем решить и третье уравнение исходной системы. Осталось только верно записать решение и победа!

Показать ответ и решение

Так как каждое слагаемое неотрицательное, уравнение равносильно следующей системе

( |2x|+ x− 6= 0 |{ |( |2y|⋅|2 − x|= 0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0

[ x= 2 |2x|+x− 6= 0 ⇐⇒ 2x= ±(6− x) ⇐⇒ x= −6

[ y = 0 |2y|⋅|2− x|=0 ⇐ ⇒ x= 2

( { |2z|= 0 |{ z[ =0 |2z|+ |x− 2|⋅|x+ 6|= 0 ⇐⇒ ⇐⇒ | x =2 |x− 2|⋅|x+6|= 0 ( x =− 6

Если $x= 2,$ то $y$ — любое, а $z = 0$

Если $x= −6,$ то $y = 0, z = 0$

Итого получаем тройки $(− 6,0,0);(2,y ∈ ℝ,0).$

Ответ:

$(−6,0,0);$

$(2,y,0), y ∈ ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#69995Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-----15---- ∘3-----3- x( 3√35− 8x3) =2x+ 35− 8x

Источники: ШВБ-2022, отборочный тур (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что у нас в уравнениях есть общая "некрасивая" часть. Что тогда с ней хочется сделать?

Подсказка 2

Верно, мы можем заменить это выражение на t. А что тогда мы получаем из исходного уравнения и замены?

Подсказка 3

Точно, у нас получаются два уравнения с двумя неизвестными. То есть осталось только решить систему уравнений и не забыть учесть ОДЗ. А как же решать казалось бы эту страшную систему?

Подсказка 4

Можно выбрать такой путь. В исходном уравнении после замены у нас получается сумма кубов, которую можно разложить. Тогда одна из скобок нам уже будет известна. Теперь раскройте скобки, а дальше вернитесь к первой подсказке. Затем останется совсем немного доделать, и победа!

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

{ x⁄= 0 { x⁄= 0 3 ⇐ ⇒ 3√35 35− 8x ⁄=0 x⁄= 2

Сделаем замену $t= 3√35−-8x3$ . Тогда $t3 = 35− 8x3$

Получаем систему

{ t3+ 8x3 = 35 { (t+ 2x)3− 3⋅2xt2− 3⋅4x2t=35 15-=2x +t ⇐ ⇒ 15= 2x +t ⇐⇒ xt xt

{ (1x5t)3 − 3⋅2xt2 − 3⋅4x2t=35 { (15xt)3− 3⋅2(xt2+2x2t)=35 ⇐⇒ 1x5t = 2x+ t ⇐ ⇒ 15 =2x2t+ t2x ⇐ ⇒

{ ( ) ⇐ ⇒ 15xt-3− 3⋅2⋅15 =35 15 =2x2t+t2x

Преобразовав первое уравнение, получим

(15)3 xt = 125

xt= 3

Сделаем обратную замену

∘3------- x⋅ 35− 8x3 = 3

3 3 x (35− 8x) =27

Решив квадратное уравнение относительно $x3,$ получим

[ x= 1 x= 32

Ответ: 1; 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#74467Максимум баллов за задание: 7

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как говорится, начнем с ОДЗ. Видно, что нам хватит того, что x,y≥0. Тогда мы можем с чистой совестью возвести обе части в квадрат. Что останется после приведения подобных?

Подсказка 2

Верно, √(x³y³+xy+x⁴+y⁴)=√(x³y³+xy+xy³+x³y)! Можно еще раз возвести в квадрат. Кажется, что после приведения подобных отлично выносится (x-y)...

Подсказка 3

Действительно, x⁴+y⁴-x³y-xy³=(x-y)²(x²+xy+y²). Подумайте, при каких x и y наше выражение обращается в 0 и завершите решение!

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так: