Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#74949Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

∘-2------- ∘-2--- 3√---- √3----- x + 4x− 2− x + 6= x +3− 3x − 1

Источники: САММАТ-2022, 11.5 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуем равенство так, чтобы получилось равенство сумм, а после - попробуем рассматривать обе части равенства как функции. Что интересного можно заметить?

Подсказка 2

Заметим, что обе части можно выразить как одну и ту же функцию, но от разных переменных: от 3 и 2x - 1. Попробуем тогда исследовать функцию и найти ее корни!

Подсказка 3

Функция оказывается монотонной...подумаем, что же это означает)

Показать ответ и решение

Обозначим функции

∘-2---- 3√---- F (x,y)= x + 2y+ x+ y, g(x) =3, h(x)= 2x − 1,

тогда

∘-2--- 3√---- ∘-2------- 3√----- F (x,g(x))= x + 6+ x +3, F (x,h(x))= x + 4x− 2+ 3x− 1

Поэтому исходное уравнение можно записать в виде

∘x2+-4x−-2− ∘x2+-6= 3√x-+3− √33x-− 1

F(x,g(x))= F(x,h(x))

Пусть $x0$ — корень исходного уравнения, тогда $x0$ также является корнем уравнения

F (x0,g(x))= F(x0,h(x))

Но так как функция

∘------ √----- f(y)=F (x0,y)= x20+ 2y+ 3x0+ y

является строго возрастающей по переменной $y$ при всех $x2 y ≥ −-02 ,$ тогда полученное уравнение равносильно уравнению

F(x0,g(x))= F (x0,h(x))⇔ g(x)= h(x)

2x− 1= 3⇔ x0 = 2

Нетрудно проверить, что $x0 = 2$ попадает в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения:

∘ 2--------- ∘-2--- √-- √-- 3√- √3- 3√---- 3√------ 2 +4⋅2− 2− 2 + 6= 10− 10= 0= 5 − 5= 2+ 3− 3 ⋅2 − 1

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#76458Максимум баллов за задание: 7

Назовём число $x$ полуцелым, если число $2x$ — целое. Полуцелой частью числа $x$ назовём наибольшее полуцелое число, не превосходящее $x,$ и будем обозначать $]x[.$ Решите уравнение

2 x + 2⋅]x[= 6

Источники: Изумруд-2022, 11.3 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, даны какие-то полуцелые части. Понятно, что сразу же напрашивается аналогия с целой и дробной частью. Когда мы делим число x на целую —[x], и дробную — {x} части, мы можем записать, что х=[x]+{x}, где [x] — целое число, а {x} лежит на [0,1). Здесь, чтобы облегчить себе жизнь, поступим так же и запишем подобные ограничения на полуцелую часть числа и “остаток”, который получается после ее вычитания.

Подсказка 2

Если обозначить за n/2 полуцелую часть, то можно записать, что x = n/2+r. Получаем уравнение на n и r и имеем соответствующие ограничения на эти величины. Далее нужно будет активно использовать то, в каких пределах лежит r, и вспомнить, какие приемы можно использовать в подобных задачах с целой и дробной частью.

Подсказка 3

Удобнее будет отдельно рассмотреть положительные и отрицательные n. Дальше только аккуратные преобразования, нахождение n, подстановка и нахождение r :)

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая.

1) Число $x$ — полуцелое, тогда $]x[= x$ и исходное уравнение примет вид

2 x + 2x − 6 =0

Корнями данного уравнения являются числа $x1,2 = −1± √7,$ но тогда числа $2x1,2$ не являются целыми, значит решений нет.

2) Имеет место равенство

n x= 2 +r,

где $n ∈ℤ$ и $1 0 <r < 2,$ тогда

[ n ]x = 2

А также исходное уравнение примет вид

(n )2 2 + r + n− 6=0

Выразим из уравнения $r$ и получим

r= − n± √6−-n 2

Решения существуют только при $n≤ 6.$ Найдём все $n,$ удовлетворяющие неравенству

n< ±√6-− n-< n+-1 2 2

Если $n≥ 0$ , то $n+-1> 0 2$ и может иметь решение только лишь неравенство

n √ ---- n+-1 2 < 6− n < 2 ,

которое после возведения в квадрат равносильно

2 2 n < 4(6− n)< (n +1)

{ n2+ 4n− 24 <0 n2+ 6n− 23 >0

(|{ − 2− 2√7-< n< −2+ 2√7 [ n >− 3+ 4√2- |( n <− 3− 4√2-

Поскольку $√- √- 2< −3+ 4 2< 3,3< −2+ 2 7< 4,$ и $√- √- − 3− 4 2< −2− 2 7$ , то $n =3$ — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x= n + r=√6-−-n= √3 2

Если $− 1< n< 0,$ то решений нет, так как $n$ — целое.

Если $n≤ −1$ , то $n-+1 ≤0 2$ и может иметь решение только лишь неравенство

n2 > 4(6− n)> (n +1)2

{ n2+ 4n− 24 >0 n2+ 6n− 23 <0

[ (|{ n >− 2+ 2√7- n <− 2− 2√7- |( − 3− 4√2-< n< −3+ 4√2

Поскольку $√- √- − 9< −3− 4 2< −8,−8< −2 − 2 7 <− 7,$ и $√ - √- − 3+ 4 2< −2+ 2 7,$ то $n= −8$ — единственное целое значение, удовлетворяющее системе. В этом случае

x = n+ r= −√6-− n =− √14 2

Ответ:

$√3,− √14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#90855Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $1 +3x∕2 =2x$ .

Показать ответ и решение

Поделив уравнение на строго положительную величину $2x$ , получим уравнение $-1+ (√3)x =1 ⇐⇒ (1)x+ (√3)x = 1 2x 2x 2 2$ . Легко проверяется, что $x =2$ есть корень уравнения (это надо просто угадать). Кроме того, левая часть есть сумма двух убывающих функций (а именно, степенных с основанием, меньшим единицы). Значит, левая часть сама является строго убывающей функцией. Следовательно, при $x> 2$ левая часть строго меньше 1 , а при $x< 2$ она строго больше единицы. Это рассуждение доказывает, что других корней, кроме $x= 2$ , нет.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#91389Максимум баллов за задание: 7

Найдите произведение всех корней уравнения

2 x x x − 31x +220= 2 (31− 2x− 2)

Показать ответ и решение

Исходное уравнеңиё равносильно уравнению

[ x+ 2x = 11 (x +2x)2 − 31(x+ 2x)+ 220= 0⇔ x+ 2x = 20

Каждое из уравнений этой совокупности имеет не более одного корня, так функция $f(x)= x+ 2x$ возрастает. Первое уравнение имеет корень $x= 3$ , а второе – корень $x = 4$ . Произведение корней равно $12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#91924Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

||2x− 1|− 5|+x =|6− x|

Показать ответ и решение

Если $x ≥6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= x− 6

Значит, $x= 0$ ?! Если $3≤ x≤ 6$ , то

3x − 6 =|2x− 6|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6 − x|= 6− x

Значит, $x= 3$ и такой $x$ подходит. Если $1≤ x≥ 3 2$ , то

6− x= |2x− 6|+x =||2x− 1|− 5|+x =|6− x|=6− x

Значит, любой $x$ в этом отрезке подходит. Если $− 2≤ x≤ 12$ , то

3x +4 =|− 2x− 4|+ x= ||2x − 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, $x= 12$ и такой $x$ нам подходит. Если $x < −2$ , то

− x− 4= |− 2x− 4|+ x= ||2x− 1|− 5|+ x= |6− x|= 6− x

Значит, тут нет корней.

Ответ:

$[1;3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#92077Максимум баллов за задание: 7

Даны положительные числа $a$ , $b$ и $c$ . Решите уравнение

√----- √----- √ ----- √ ----- √----- √----- a +bx+ b+ cx + c+ax = b− ax+ c − bx+ a− cx.

Показать ответ и решение

Предположим, что $x> 0$ , тогда

√----- √ ----- √----- √- √- √- √ ----- √----- √----- a+ bx + b+cx+ c+ ax> a+ b + c > b− ax + c − bx+ a− cx ?!

Аналогично, если $x <0$ , то

√----- √ ----- √----- √- √- √- √ ----- √----- √----- a+ bx + b+cx+ c+ ax< a+ b + c < b− ax + c − bx+ a− cx ?!

Остался только $x= 0$ , а он подходит.

Ответ: 0

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#92082Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

(2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2 ) x + x+ 1 + x + 2x+ 3+ x +3x +5 + ...+ x + 20x+39 = 4500.

Показать ответ и решение

Перепишем левую часть

(x2+x +1)+ (x2 +2x+ 3)+(x2+ 3x+ 5) +...+ (x2+20x+ 39)= 2 = 20x +(1+ 2+ ...+20)x+ (1+ 3+ ...+ 39)= = 20x2+ 20-⋅21x+ 10⋅40= 20x2+ 210x +400 2

Нам осталось решить уравнение

20x2+ 210x+ 400 =4500 2 2x +21x− 410 =0

Его корни 10 и -20.5 .

Ответ: 10, -20.5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#92086Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘----2 2 − x = |x|− 1.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $a$ — решение уравнения, то и $− a$ — решение. Поэтому можно считать, что мы решаем уравнение, где $x ≥0$ . Тогда модуль раскрывается со знаком + . Из оценки подкоренного выражения и правой части получаем, что $√- 1≤ x≤ 2$ . Теперь возведем уравнение в квадрат. Перенеся все слагаемые направо, получим

2 2x − 2x− 1= 0.

Это уравнение имеет два корня $2+2√3- 4$ и $2−2√3- 4$ . Но из того, что $1≤ x≤ √2$ , нам подходит только первый корень, соответственно, и при отрицательных $x$ нам подходит только $− 2+2√3 4$ .

Ответ:

$2+2√3,− 2+2√3 4 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#97650Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $6x2+ 10x+25+ 5y2+10xy = 0.$

В ответ запишите возможные значения суммы $x+ y$ через пробел, если решений нет, введите « $−$ ».

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 8 класс

Показать ответ и решение

Выделим в данном выражении два полных квадрата:

2 2 ( 2 ) ( 2 2) 2 2 6x +10x+ 25+5y + 10xy = x + 10x +25 + 5y + 10xy +5x = (x+ 5) +5(y+ x) =0

Итак, у нас получилось, что сумма двух неотрицательных выражений равна нулю. Такое возможно, только если оба выражения равны нулю, так как каждый их квадратов не отрицателен. То есть

{ x+ 5= 0 { x= −5 x+ y = 0 ⇐⇒ y = 5

Итак, $x =− 5,$ $y = 5.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#99200Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение:

9 3 √---- x − 2021x + 2022= 0.

Источники: Газпром - 2022, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть корень из 2022. А также интересный коэффициент 2021. Что хочется сделать?

Подсказка 2

Давайте вычтем x³, чтобы получить коэффициент 2022. Ведь тогда мы сможем разложить выражение на множители!

Подсказка 3

Попробуем разложить на скобки. Получится, что хотя бы одна из двух скобок должна равняться 0. Один из корней сразу виден – это корень 6-ой степени из 2022. А вот второй пока непонятен. Что нужно сделать с уравнением 6-ой степени, чтобы мы умели его решать?

Подсказка 4

Конечно же, делаем замену на x³. Дальше остаётся неприятное квадратное уравнение, но даже с таким Вы точно справитесь!

Показать ответ и решение

Разложим на скобки:

9 3 3 √---- x − 2022x +x + 2022= 0

x3(x6− 2022)+ x3+ √2022-=0

x3 (x3 − √2022)(x3+ √2022) +(x3+ √2022) = 0

( 3 √----)( 6 3√ ---- ) x + 2022 x − x 2022+ 1 = 0

[ √---- x3+ 2√022-=0 x6− x3 2022+ 1= 0

Первое уравнение совокупности имеет одно решение $6√---- x =− 2022$ .

Введём замену во втором уравнении $t= x3$ , тогда:

√ ---- t2− t 2022+ 1= 0

[ √2022+√2018 t= √20222−√2018 t= 2

Вернемся к исходной переменной и получим

∘ √------√---- x = 3--2022±--2018 2

Ответ:

$−√62022; 3∘ √2022±√2018 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#72250Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ удовлетворяют равенству:

√-- ∘ ---------- ∘------- ∘y-(1-− x) xy + (1 − x)(1 − y)= 7x(1− y)+---√7---

Найдите наибольшее значение выражения $x+ 7y.$ Ответ обоснуйте.

Источники: Муницип - 2021, 8 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим корни - пишем ограничения, возможно, они уже как-то приблизят нас к ответу.

Подсказка 2

Получили 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Если оценивать грубо, без оглядки на уравнение, то можно сказать, что x + 7y ≤ 8, но почти очевидно, что это не будет ответом, так что давайте поработаем над уравнением. У нас тут куча корней да еще и две переменных, кроме разложения на множители, пожалуй, тут ничего и не придумаешь. Подуйте, как здесь это лучше всего сделать.

Подсказка 3

Давайте из первого и третьего слагаемого вынесем √(7x), а из второго и четвертого -√(1-x). Как тогда будет выглядеть наше уравнения после вынесения разложения на множители?

Подсказка 4

Мы получаем два множители, один из которых зависит от x, а второй от y, а их произведение равно нулю. Мы знаем, что произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом мы получаем два случая. Рассмотрите оба и найдите максимально значение x+7y для каждого.

Показать ответ и решение

Числа $x$ и $y$ одного знака (иначе не существует $√xy-$ ). Они не могут быть оба отрицательными (иначе не существуют корни, стоящие в правой части равенства. Если $x> 0$ , то $y ≤ 1$ (иначе не существует $∘------- 7x(1− y)$ ) и аналогично из неравенства $y > 0$ следует, что $x ≤1$ . Значит, $0 ≤x ≤1$ и $0≤ y ≤ 1$ . При этих условиях возведём обе части уравнения в квадрат (переход равносильный, так как обе части уравнения неотрицательны):

∘------------ ∘ ------------ y(1− x) xy+ 2 xy(1− x)(1− y)+ (1− x)(1 − y)= 7x(1− y)+ 2 xy(1 − x)(1− y)+-7

7xy+ 7(1− x)(1− y)= 49x(1− y)+ y(1 − x)

64xy− 56x =8y− 7

8x(8y− 7)= 8y− 7

Либо $y = 7 8$ и $0≤ x≤ 1$ , либо $x= 1 8$ и $0≤ y ≤ 1$ .

В первом случае наибольшее значение выражения $x+ 7y$ достигается при $y = 7,x =1, 8$ и равно $57. 8$

Во втором — при $x= 1,y = 1, 8$ и тоже равно $57 8$ .

Варианты правильных ответов:

7,125
7.125

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#92140Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 4 2 )(4 2 ) 4 x +3x + 3 y − 7y +14 = 21.

Источники: ОММО - 2021, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Присмотритесь к этому уравнению, тут есть произведение двух скобок. При этом, когда мы не знаем, как нормально решать уравнение(а мы не знаем - тут вообще уравнение относительно двух переменных и какая-то жуть), мы начинаем оценивать или заменять. Замена как будто не подходит, потому что две переменные(опять получим уравнение с двумя переменными, ну может чуть лучше выглядящее), а вот оценка очень даже просится.

Подсказка 2

Конечно, мы хотим оценить каждый из трехчленов константой снизу и получить константу в оценке. Главное чтобы сошлось! Но тут как ни странно сходится и мы получаем, что левая часть всегда больше или равна правой. Что это значит для нас и какие тогда корни уравнения?

Показать ответ и решение

Заметим, что

4 2 x +3x + 3≥ 3

для каждого $x$ , а

y4− 7y2+ 14= (y2 − 7∕2)2+ 7∕4≥ 7∕4

для каждого $y$ . Поэтому левая часть уравнения не меньше $4⋅3⋅7∕4= 21$ , притом равенство достигается только при $x =0$ и $y2 = 7∕2$ . Это и даёт ответ.

Ответ:

$(0,∘ 7,−∘-7) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#94200Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

∘ ----√------- 5+ 35 − 2 45− 2x= x

Источники: САММАТ - 2021, 11.5 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неудобно работать с двумя корнями, давайте заменим тот, что внутри! Подумаем, а как тогда выглядит правая часть уравнения?

Подсказка 2

Если y = √ (45-2x), то правая часть равна 35 - y² . Если бы мы решали уравнение относительно y, как бы мы выразили 35?

Подсказка 3

Или 35 = y² + 2y, или же 35 = y² - 2y - 4 при y≤a!

Показать ответ и решение

Введём замену $y = √45−-2x$ . Тогда получим уравнение

∘ ------ 2 2 35− 2y = 35− y.

Искусственно введем параметр $a$ , заменив 35 на $a$ :

∘ ----- 2 2 a− 2y = a− y .

Решив относительно параметра, получим

a= y2+ 2y или a= y2− 2y − 4 при y ≤ a.

3 Таким образом, получим два уравнения

y2+ 2y = 35 и y2− 2y− 4= 35.

Первое уравнение имеет корни $− 7< 0$ и $5$ (ему отвечает $x =10$ ). Второе уравнение имеет корни $√-- 1− 40< 0$ и $√-- √ -- 1+ 40> 35$ .

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#102556Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

3 8x − 6x− 1 =0.

Источники: по мотивам Росатома - 2021

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем подставить какие-то значения в левую часть, чтобы получить результаты разных знаков. Так мы сможем хотя бы приблизительно определить, где лежат корни.

Подсказка 2

Подставьте 1 и -1. На что намекает такое ограничение для x?

Подсказка 3

Какой-то корень лежит на [-1;1], значит, можем перейти к тригонометрической замене! А на что намекает куб?

Подсказка 4

Куб используется в формуле синуса тройного угла!

Подсказка 5

Не забудьте сделать обратную замену! Сколько корней осталось найти?)

Показать ответ и решение

Предположим, что $− 1≤ x≤ 1.$ Тогда существует $0 ≤y ≤2π,$ такой, что $siny = x.$ Тогда исходное уравнение:

3 8sin y− 6siny − 1= 0

3 −2(3 siny− 4sin y)=1

sin3y =− 1 2

Отсюда:

7π 19π 31π- 11π 23π- 35π y = 18, y = 18 , y = 18 , y = 18 , y = 18 , y = 18 .

Значит, у нас есть корни:

x1 =sin7π= sin 11π- 18 18

x2 = sin19π =sin35π 18 18

23π 31π x3 = sin 18 =sin18

Так как уравнение третьей степени имеет не более трёх корней, то $x1,$ $x2,$ $x3$ являются искомыми.

Ответ:

$sin7π,sin19π,sin23π 18 18 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#70164Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 10 12 (x− 2020) +(x− 2020) =2(x− 2020)

Если корней несколько, укажите через пробел в порядке возрастания. Если корней нет, укажите в ответе “-”.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим одинаковые вещи, то всегда полезно обозначить их как-то, так и писать меньше, вычисления проще и воспринимать приятнее.

Подсказка 2

Сразу видно некоторые корни уравнения, а может быть мы все их заметили? Как бы можно было бы доказать, что других корней нет?

Подсказка 3

Один из хороших и быстрых способов это показать, что одна из частей всегда больше или меньше другой, когда они не равны. Для удобства можно доказать, что каждое отдельное слагаемое левой или правой части всегда больше или меньше соответствующего слагаемого в другой части уравнения, а затем сложить все неравенства и получить необходимое, помните, что неравенства можно складывать всегда, когда у них знак смотрит в одну и ту же сторону!

Подсказка 4

Попробуйте доказать этот факт для 0 < t^2 < 1 и t^2 > 1, ведь при t^2 = 0 или t^2 = 1 получается тождество.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x− 2020= t$ . Тогда исходное уравнение перепишется в виде

2 10 12 12 t+ t = t +t

Если $t2 >1$ то $t2 <t12$ и $t10 < t12.$ Левая часть уравнения меньше правой.

Если $0< t2 < 1$ то $t2 >t12$ и $t10 > t12.$ Левая часть уравнения больше правой.

Если $t2 =1$ или $t2 =0$ , то уравнение обращается в тождество.

Сделаем обратную замену $x= 2020+ t$ и получим $x ∈{2019,2020,2021}.$

Ответ: 2019 2020 2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#77813Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

10 4 2 x − 3x + x + 1= 0.

Источники: БИБН-2020, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, чётные степени дали нам явно неспроста, явно намёк за замену. После замены у такой страшной штуки имеет смысл поугадывать корни. Какой корень мы обычно в таких случаях проверяем в первую очередь?

Подсказка 2

Верно, 1 подходит! А теперь, после того, как корни, равные 1, мы вытащили, посмотрите внимательно на оставшийся многочлен. Что можно сказать про его корни? Не забывайте про замену, которую мы сделали в начале и то, какие ограничения она накладывает на новую переменную!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= x2,t≥ 0.$ Получим, уравнение:

5 2 t− 3t+ t+ 1= 0

Заметим, что $t= 1$ является корнем и разделив уравнение на $(t− 1),$ получим следующее:

(t− 1)(t4+ t3+ t2 − 2t− 1) =0

Многочлен $t4+ t3+ t2− 2t− 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $(t− 1)$ получаем уравнение:

(t− 1)2(t3 +2t2+3t+ 1)=0

Многочлен $t3+ 2t2+ 3t+1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$ $−$ единственный корень (кратности $2$ ) и, возвращаясь к переменной $x,$ получаем два корня $x =±1.$

Ответ:

$±1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#79621Максимум баллов за задание: 7

Для каждого целого значения параметра $K$ решите систему уравнений

{ 2[x]+ y = 3∕2; ([x]− x)2− 2[y]= K.

Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$ .

Источники: Надежда энергетики-2020, 11.2 (см. energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видим операцию взятия целой части, то стандартной идеей является разложение в виде суммы целой и дробной части.

Подсказка 2

Пусть x = m + a, y = n + b, где m и n — это целые числа, a и b – числа из промежутка [0; 1) Подставим наши разложения в первое уравнение, что тогда можно сказать про b?

Подсказка 3

2m+n+b=3/2, значит, b = 1/2, n = 1 – 2m. Подставим полученные значения во второе уравнение.

Подсказка 4

Учитывая, что K – целое число, чему тогда равно a? Как K можно выразить через m?

Показать ответ и решение

Пусть

x =m + a, y = n+ b, m, n ∈ℤ, a, b∈[0;1)

Из первого уравнения получаем

3 2m + n+ b= 2 ⇒ b= 0,5 n =1− 2m

Подставим эти значения во второе уравнение:

2 (−a )− 2(1− 2m )=K

Тогда

3 a= 0, K = 4m − 2, x= m, y = 2 − 2m

Ответ:

Если $K = 4m − 2,$ где $m ∈ℤ,$ то $x= m, y = 3− 2m. 2$

При других $K$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#91510Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

4 2 2 3x + x − 8x − 4x |x − 4|+16 =0.

Источники: Физтех - 2020, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем в части без модуля выделить квадрат суммы (не обязательно задействовав все слагаемые).

Подсказка 2

Выделяем x² - 8x + 16 = (x - 4)². Заметим, что |x-4|² = (x-4)². Используя это, представим выражение в виде произведения двух скобок.

Подсказка 3

Теперь рассмотрим все случаи, учитывая, что это выражение равно 0. Не обязательно во всех случаях будут решения, но в целом они найдутся!

Показать ответ и решение

3x4+x2− 8x−4x2|x− 4|+16= 3x4+(x− 4)2 − 4x2|x− 4|= ( 2 )( 2 ) = 3x − |x− 4| x − |x− 4|= 0

Значит, либо $2 x =x − 4$ корней нет, либо $2 x = −x+ 4$ (корни $1 √-- − 2 ± 17$ ), либо $2 3x = x− 4$ (решений нет), либо $2 3x = 4− x$ (решения 1 и $4 − 3$ ).

Ответ:

$1 ±√17,1,− 4 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#98715Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Источники: Физтех - 2020, 9 класс (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного преобразуем уравнение: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + (x - 3)² = 0. У вас не возникло никаких идей?

Подсказка 2

Давайте вспомним, что квадрат числа равен квадрату его модуля: 2x⁴ - 3x²|x - 3| + |x - 3|² = 0.

Подсказка 3

Если до сих пор не пришло никаких идей, скорее всего вы не знаете про однородные уравнения. Поделите на |x - 3|² (предварительно рассмотрев случай x = 3) и сделайте замену t = x²/|x - 3|. Теперь уравнение стало совсем простым, не так ли?:)

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение:

4 2 2 2x +x − 6x− 3x|x− 3|+ 9= 0.

Разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения $|x− 3|$ .

Случай 1: $x ≥3$

В этом случае $|x− 3|= x− 3$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(x− 3)+ 9= 0.

Упростим выражение:

2x4+x2− 6x− 3x3+9x2+ 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

4 3 2 2x − 3x +10x − 6x +9 =0.

Теперь выделим два слагаемых следующим образом:

x2(2x2− 3x+9)+ (x − 3)2 = 0.

Покажем, что сумма $x2(2x2− 3x+ 9)+ (x− 3)2$ всегда больше нуля:

1. Рассмотрим выражение $x2(2x2− 3x+ 9)$ . Заметим, что $x2 ≥0$ для всех $x$ , поэтому достаточно исследовать знак многочлена $2x2− 3x+9$ .

Найдем дискриминант многочлена $2x2− 3x +9$ :

D = (− 3)2− 4⋅2⋅9= 9− 72 =− 63.

Поскольку дискриминант отрицателен ( $D < 0$ ), многочлен $2x2− 3x+9$ не имеет действительных корней и всегда положителен (так как коэффициент при $x2$ положителен). Следовательно, $x2(2x2− 3x+ 9)≥ 0$ для всех $x$ .

2. Теперь рассмотрим выражение $(x− 3)2$ , которое также всегда неотрицательно и равно нулю только при $x= 3$ .

Таким образом, сумма двух неотрицательных выражений, $x2(2x2− 3x +9)+ (x− 3)2$ , всегда больше нуля для всех $x$ , кроме $x =3$ . Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений в этом случае.

Случай 2: $x <3$

В этом случае $|x− 3|= 3− x$ . Подставим это в исходное уравнение:

2x4 +x2− 6x− 3x2(3− x)+ 9= 0.

Упростим выражение:

4 2 2 3 2x +x − 6x− 9x +3x + 9= 0.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

2x4 +3x3− 8x2 − 6x+ 9= 0.

Заметим, что $x= 1$ и $x = −1.5$ являются корнями этого уравнения. Тогда разложим многочлен на множители:

1. Разделим $2x4+3x3− 8x2− 6x +9$ на $(x− 1)$ :

2x4+ 3x3− 8x2− 6x+9 =(x− 1)(2x3+ 5x2− 3x− 9).

2. Разделим $2x3+5x2− 3x− 9$ на $(x+1.5)$ :

2x3+ 5x2 − 3x− 9= (x +1.5)(2x2 +2x− 6).

Таким образом, исходное уравнение можно записать в виде:

(x− 1)(x+ 1.5)(2x2+2x− 6)= 0.

Теперь решим уравнение $2 2x +2x− 6= 0$ :

Найдем дискриминант:

D =22− 4⋅2⋅(−6)=4 +48= 52.

Тогда корни уравнения:

√ -- √-- √ -- x= −-2±--52-= −2±-2-13= −-1±--13. 2 ⋅2 4 2

Итак, решения исходного уравнения во втором случае: $x= 1$ , $x= −1.5$ , $√-- x= −1+2-13$ и $√-- x = −-1−213$ .

Ответ:

$1,−1.5,−1+√13,−1−-√13 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#102525Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

∘ ----- ∘----2 --2t-2 + 3 1− t2-=1. 1+ t 1+t

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на дроби в уравнении. Где же нам встречались знаменатели такого вида, так ещё и 2t в числителе?

Подсказка 2

Первое подкоренное выражение — это синус некоторого угла! Тогда можно сделать замену и получить новое тригонометрическое уравнение, в котором мы сможем сделать какие-то оценки на слагаемые.

Подсказка 3

Замените t на тангенс половинного угла. Что можно сказать про кубический корень, как можно оценить его значения и какие из них подходят нам?

Подсказка 4

Разберите случаи отрицательного и положительного значения косинуса. Не забудьте про обратную замену ;)

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

α t= tg-2,α ∈ (−π,π).

Тогда

2t 1− t2 1+-t2 = sinα,1+-t2-= cosα

и исходное уравнение примет вид:

√sinα+ 3√cosα= 1

Если $cosα < 0$ , то левая часть (2) строго меньше 1 , и корней у (2) нет. В случае же, когда $cosα≥ 0$ и $sinα ≥0$ , имеем очевидное неравенство:

√sin-α+ 3√cosα≥ cos2α+ sin2α= 1

Причем равенство достигается, только когда или $cosα =$ 1 , или $sinα= 1$ . Значит, либо $α= 0$ , либо $α= π∕2$ . Подставив найденные значения $α$ в (1), найдем искомое $t$ .

Ответ: 0; 1

Следующая подтема