Тема АЛГЕБРА

Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с модулем

Иррациональные уравнения (с радикалами)

Уравнения с модулями и корнями (радикалами)

Показательные уравнения

Оценки в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Уравнения с целой и дробной частями

Использование монотонности функций в уравнениях без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#105073Максимум баллов за задание: 7

Найти все пары вещественных чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

{ (3− √8)x = 8y+ 9y ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2.

Источники: Газпром - 2020, 11.4 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте после возведения в квадрат раскроем скобки и попытаемся красиво "свернуть" второе уравнение ;)

Подсказка 2

Отлично, второе уравнение сворачивается в квадрат! Теперь мы можем выразить y через x и подставить в первое :)

Подсказка 3

Обратите внимание на то, что (3 - √8)(3 + √8) = 1. Тогда после подстановки у нас везде образуется -x в показателе степени.

Подсказка 4

Поделите обе части уравнения на (3 + √8)⁻ˣ. Много ли корней у получившегося уравнения?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $y ≥ − x. 4$

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, ∘---2-------2 x − x − 3xy− y = 2y+ 2;

{ (3− √8)x = 8y+ 9y, −x2− 3xy − y2 = 4y2+2xy+ x2; 4

{ (3− √8)x = 8y+9y, (y+ x2)2 = 0,

{ √- (3− 8)x = 8y+9y, y = − x2;

{ √- √- (3+ 8)−x = ( 8)−x +3−x, y = − x2.

Поделив левую и правую части первого уравнения системы на $√ - (3 + 8)−x ⁄=0,$ получим

( √- )−x ( ) ---8√-- + --3√- −x = 1. 3 + 8 3+ 8

Выражение слева есть сумма двух монотонно убывающих функций, значит данное уравнение имеет не более одного корня. Этот корень легко угадывается: $x= −1.$ Тогда $1 y = 2.$

Ответ:

$(−1;1) 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#115105Максимум баллов за задание: 7

Неотрицательные числа $a,b,c$ и $d$ таковы, что

a+ b+ c+d =4.

Найдите наибольшее возможное значение суммы

S = ab+bc+ cd

и определите все четвёрки $(a,b,c,d)$ чисел, для которых это максимальное значение достигается.

Источники: КФУ - 2020, 11.3 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение ab + bc + cd хорошо бы разложилось на скобки, если бы в нем было еще и слагаемое da. А можно ли его добавить и оценить S сверху?

Подсказка 2

Конечно! Тогда выходит, что S ≤ ab + bc + cd + da ≤ (a + c)(b + d). А как теперь оценить сверху произведение этих скобок?

Подсказка 3

Верно! Нужно использовать, что a + b + c + d = 4, откуда b + d = 4 - (a + c). Тогда положим x = a + c, откуда b + d = 4 - x. Как тогда сверху оценить S и какие a, b, c и d нам подойдут?

Показать ответ и решение

Оценим сумму $S,$ добавив к ней неотрицательное число $da:$

S = ab+bc+ cd ≤(ab+bc)+(cd+da)= (a+c)(b+ d)

Учтём, что $b+ d= 4− (a +c),$ и обозначим $x =a +c,$ тогда

2 S ≤ x(4− x)≤ 4 ⇐= 0 ≤(x− 2)

Наибольшее значение $S =4$ достигается, например, при $a= b= 2$ и $c= d= 0.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#123422Максимум баллов за задание: 7

Про вещественные числа $m, n,x,y$ известно следующее:

(| mx +ny =4 ||||| 2 2 {mx +ny =2 ||||mx3 +ny3 =6 ||(mx4 +ny4 =38

Чему равно $((m +n)(x+ y)+ 5xy)(m +n +x+ y)?$

Источники: ФЕ - 2020, 11.6(см. www.formulo.org)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения в условии имеют похожий вид, но хорошо было бы связать их значения! Давай попробуем выразить одно через какие-то другие.

Подсказка 2

Представьте в виде суммы (x+y)(mxᵏ + nyᵏ), используя "соседние" степени.

Подсказка 3

Отлично, то есть теперь мы можем домножить все уравнения в условии на (x+y), и тогда можно будет совсем избавиться от степеней!

Подсказка 4

Осталось лишь записать нужное нам выражение через xy, (x+y) и (m+n) и воспользоваться новой системой равенств!

Показать ответ и решение

Заметим, что

( k k) ( k+1 k+1) ( k−1 k−1) mx + ny (x+ y)= mx + ny + xy mx + ny

A $(x+ y),$ очевидно, не равно нулю.

Тогда, домножив первые 3 равенства на $(x+ y),$ получим следующее:

( |||{2+ xy(m + n)= 4(x+ y) |6+ 4xy = 2(x+ y) ||(38+ 2xy = 6(x+ y)

Введём замену перменных: $x+ y = a,$ $xy = b,$ $m +n =c.$ Тогда искомое выражение запишется так:

(ac+ 5b)(a+ c)

Подставим замену в раннее написанную систему:

( ||| 2+ bc= 4a { 6+ 4b =2a |||( 38+2b= 6a

Из последних двух уравнений находим $a= 7$ и $b= 2,$ откуда $c =13.$ Тогда искомое выражение:

(ac+ 5b)(a +c)= (7⋅13+ 10)(7+ 13)= 101⋅20 =2020

Ответ:

$2020$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#124042Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

x x tg πx= [lgπ]− [lg[π ]]

где $[a]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a.$

Источники: ММО - 2020, второй день, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала определитесь с ОДЗ равенства.

Подсказка 2

Чтобы было проще работать с правой частью равенства, давайте определим такое n, что 10ⁿ ≤ π^x < 10^{n+1}. Чему тогда равны слагаемые из правой части?

Показать ответ и решение

Правая часть уравнения имеет смысл при $πx ≥ 1.$

Пусть $n x n+1 10 ≤π <10 ,$ где $n$ — неотрицательное целое число. Тогда $x [lgπ ]=n.$

Но поскольку также имеем:

n x n+1 10 ≤ [π ]< 10

получаем $[lg[πx]]= n.$ Следовательно, при $πx ≥1$ правая часть уравнения тождественно равна нулю. Значит, решениями будут все неотрицательные целые значения $x.$

Ответ:

$x$ — любое целое неотрицательное число

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#32156Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 x +8{x+ 4}− 9 =0

Источники: ПВГ-2019, 11.5 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Важный метод решения уравнений с целой и дробной частями: оценки сверху и снизу. Можно избавиться от большого количества иксов на оси справа, от большого количества иксов на оси слева и свести задачу к рассмотрению случаев: на каждом маленьком промежутке мы точно поймём, как раскроется дробная часть

Подсказка 2

Подумайте, так ли важна нам четвёрка внутри дробной части. Если мы к какому-то числу прибавим целое число, то изменится ли от этого дробная часть? Используйте оценку дробной части и это знание, чтобы оценить x^2-9, а потом и сам икс, сверху и снизу!

Подсказка 3

Осталось правильно разбить полученный промежуток на промежутки поменьше, чтобы дробная часть на них раскрылась однозначно. В каждом таком случае мы либо подставляем конкретный икс, либо получаем квадратное уравнение на икс с ограничениями на его значения (не забывайте эти ограничения при поиске корней учитывать!)

Показать ответ и решение

Так как ${x+ 4} ={x}= x− [x],$ то получаем

2 2 9 − x = 8x− 8[x] ⇐ ⇒ x + 8(x− [x])− 9= 0

Так как $0≤ {x+ 4}<1,$ то

2 0≤ 9− x = 8{x +4}< 8

1< x2 ≤9

Нужно рассмотреть случаи исходя из этой оценки

$∙$ Если $x= 3$ , то уравнение $x2+8(x− 3)− 9= 0$ обращается в тождество.

$∙$ Если $2≤x < 3$ , то $x2+8(x− 2)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √41$ и корень $− 4+ √41$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $1< x< 2$ , то $x2+8(x− 1)− 9= 0$ . Корни этого уравнения $− 4± √33$ и корень $− 4 +√33$ попадает в нужный полуинтервал.

$∙$ Если $− 2≤x < −1$ , то $x2+ 8(x+ 2)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 7,−1$ и ни один не попадает в полуинтервал.

$∙$ Если $− 3≤x < −2$ , то $x2+ 8(x+ 3)− 9 =0$ . Корни этого уравнения $− 5,−3$ и корень $− 3$ подойдёт.

Ответ:

${−3;−4+ √33;−4+ √41;3}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#42923Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в действительных числах

[x] [2x] 2 + 3 =x,

где $[a]$ обозначает целую часть числа $a.$

В ответ выпишите все корни через пробел в порядке возрастания.

Источники: Муницип - 2018, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не очень работать с таким x, может представить его в более удобном виде, раз x - целый.

Подсказка 2

Знаменатели 2 и 3, их НОК - 6 , значит, х можно представить как 6b + q , а q в каких пределах?

Подсказка 3

После подстановки получили выражение, зависящее от q, которое принадлежит [0;5], осталось перебрать эти q и получить b, а потом и x

Показать ответ и решение

Заметим, что $x$ — целое число. Пусть $x =6b+ q,q ∈[0,5]$ , тогда выражение принимает вид

[q] [2q] [q] [2q] 3b+ 2 +4b+ 3 = 6b+ q ⇐⇒ 2 + 3 = q− b

Переберём значения $q$

$q =0$ , здесь $b=0$ , $x =0$ .
$q =1$ , $0= 1− b =⇒ b= 1,x= 7$ .
$q =2$ , $1+ 1= 2− b =⇒ b= 0,x = 2$ .
$q =3$ , $1+ 2= 3− b =⇒ b= 0,x = 3$ .
$q =4$ , $2+ 2= 4− b =⇒ b= 0,x = 4$ .
$q =5$ , $2+ 3= 5− b =⇒ b= 0,x = 5$ .

Ответ: 0 2 3 4 5 7

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#67599Максимум баллов за задание: 7

Найдите количество корней уравнения

2 |x|+ |x +1|+ ...+|x+ 2018|= x +2018x− 2019

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 10.1(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Самое лучшее, что можно делать в задачах такого вида (когда явных корней не видно или их просто долго искать) это анализировать уравнение по интервалам. Для начала давайте разложим на множители квадратный трёхчлен и поймём, какие знаки он принимает на промежутках. Что тогда можно сказать сразу, учитывая, что левая часть у нас всегда положительна?

Подсказка 2

Верно, на интервале от -2019 до 1 квадратный трёхчлен отрицательный, а левая часть всегда положительна. Значит, корней тут нет. Давайте теперь проанализируем интервалы, где правая часть положительна. Что можно сказать про эти два интервала? Попробуйте понять, как на этих промежутках раскрываются модули.

Подсказка 3

Ага, от 1 до бесконечности они все раскроются положительно, откуда найти, сколько находится корней на этом промежутке, не составляет труда. Второй промежуток можно рассмотреть аналогично или же понять, что функции слева и справа симметричны относительно одной оси. Тогда на втором промежутке столько же корней, сколько на первом.

Показать ответ и решение

При $x∈ (− 2019;1)$ корней нет, так как на указанном интервале левая часть неотрицательна, а правая — отрицательна.

При $x ∈[1;∞ )$ все модули раскрываются со знаком “ $+$ ”, поэтому уравнение примет вид $g(x)= 0,$ где $2 g(x)=x − x− 2019 − (1+ 2+...+2018).$ Поскольку $g(1)< 0,$ это квадратное уравнение имеет единственный корень на промежутке $[1;∞ ).$

Поскольку графики функций в левой и правой части симметричны относительно прямой $x= −1009$ (т.е. $f(x)= f(−2018− x)$ ), то на промежутке $(− ∞;−2019]$ столько же корней, сколько и на промежутке $[1;+∞ ),$ т.е. ровно один корень. Итого, у данного уравнения два корня.

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#69994Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

Источники: ШВБ-2018 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение пока вовсе не красивое… попробуем преобразовать так, чтобы |х-у| использовался еще где-то… на что нам намекают квадраты?

Подсказка 2

Переносим все в одну часть, выделяем (х-у)^2 и раскладываем на нулевую сумму двух слагаемых, каждое из которых неотрицательно. Значит, каждое из них равно нулю!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

2 2 ∘ ----- x + y + 1+ xy− 6= 2|x− y|+2xy

2 2 ∘ ----- x − 2xy+ y − 2|x− y|+1+ xy − 6 =0

(x− y)2− 2|x− y|+ 1+ ∘xy-− 6-=0

(|x − y|− 1)2+ ∘xy−-6= 0

Оба слагаемые неотрицательны, значит, $(|x− y|− 1)2 = 0$ и $√xy−-6= 0$

( [ ( [ { |x − y|= 1 |{ x− y = 1 |{ y = x− 1 xy− 6=0 ⇐⇒ | x− y = −1 ⇐ ⇒ | y = x+ 1 ⇐⇒ ( xy− 6= 0 ( xy− 6= 0

⌊ { | x= −2 ⌊ { ⌊ { || { y = −3 | y = x− 1 | y = x− 1 ||| x= 3 ⇐ ⇒ || { xy − 6 =0 ⇐ ⇒ || { x2− x − 6 =0 ⇐⇒ || { y = 2 |⌈ y = x+1 |⌈ y = x+ 1 ||| x= 2 xy − 6 =0 x2+x − 6 =0 || { y = 3 |⌈ x= −3 x= −2

Ответ:

$(−2;−3), (3;2), (2;3), (−3;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#71902Максимум баллов за задание: 7

Положительные иррациональные числа $α$ и $β$ таковы, что при всех $x >0$ выполнено равенство $[α[βx]]= [β[αx]].$ Докажите, что $α =β.$

Источники: СпбОШ - 2018, задача 11.6(см. www.pdmi.ras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения с целой/дробной частью полезно сравнивать с некоторым целым числом, пусть это число n. Какие ограничения тогда накладываются на x?

Подсказка 2

С одной стороны x ≥ |n/a|/b, а с другой? ( обозначение: |m| — наименьшее целое число, которое больше либо равно x)

Подсказка 3

Для любого x выполняется условие x ≥ |n/a|/b и x ≥ |n/b|/a, но эти неравенства следуют из одного и того же равенства. Что это значит?

Подсказка 4

|n/a|/b = |n/b|/a. Докажите, что так бывает лишь при a = b.

Показать доказательство

Введём обозначение: будем считать, что нам даны два таких иррациональных параметра $α$ и $β,$ что при всех $x >0$ выполнено равенство $1 1 -11 [α[βx]]= [β [αx]].$ По-прежнему требуется доказать, что $α =β.$
Обозначим через $⌈x⌉$ верхнюю целую часть числа $x,$ т.е. наименьшее целое число, которое больше либо равно $x.$ Положим $1 1 fα,β(x)= [α[βx]]$ и найдём, при каких натуральных $n$ выполняется неравенство $fα,β(x) ≥n.$ Имеем

[1[ 1 ]] 1 [1 ] fα,β(x)≥n ⇔ α- βx ≥n ⇔ α- βx ≥ n⇔

[ ] [ ] ⇔ 1x ≥ αn ⇔ 1x ≥ ⌈αn⌉⇔ 1x ≥⌈αn⌉⇔ x ≥β⌈αn⌉. β β β

Аналогично неравенство $fβ,α(x)≥ n$ равносильно неравенству $x ≥α ⌈βn⌉.$ Поскольку $fβ,α(x)= fα,β(x),$ мы приходим к выводу, что при всех натуральных $n$ выполняется равенство $β⌈αn⌉=α⌈βn⌉,$ или

α-= ⌈αn⌉- β ⌈βn⌉

Теперь понятно, что это равенство верно только при $α= β.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#79127Максимум баллов за задание: 7

Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа $a$ равна $609,$ а сумма расстояний от этих же семи чисел до некоторого числа $b$ равна $721.$ Найдите все возможные значения $a$ , если известно, что $a+b =192.$

Источники: Физтех - 2018, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала нужно понять, как точки а и b могут быть расположены относительно семи последовательных чисел из условия. Может ли какая-то из этих точек лежать внутри отрезка [k, k+6], где k - первое из данных последовательный чисел? Какие тогда остаются случаи расположения точек А и В относительно [k, k+6]?

Подсказка 2

Мы хотим найти все значения а, поэтому хочется составить систему, из которой можно будет получить значения a, b, k.

Подсказка 3

Должно получиться 4 случая расположения а и b, систему записываем, выражая сумму расстояний от наших чисел до а и b и не забывая про условие о сумме а и b. Cоответственно, 4 варианта системы дают нам максимум 4 возможных ответа!

Показать ответ и решение

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

k, k+ 1, ..., k+ 6

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке $[k; k +6],$ то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит $7⋅ 6 = 21 2$ (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна $6,$ сумма расстояний до $k+ 1$ и $k+ 5$ не превосходит $6,$ сумма расстояний до $k +2$ и $k+ 4$ также не превосходит $6,$ расстояние до $k+ 3$ не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. $3$ ). Следовательно, числа $a$ и $b$ лежат вне отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда сумма расстояний от числа $a$ до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

|7a− k− (k +1)− ...− (k+ 6)|= 7|a− k− 3|

Аналогично, сумма расстояний от числа $b$ до каждого из данных чисел равна $7|b− k − 3|.$ Получаем систему уравнений

(|{ 7|a− k− 3|=609, (|{ |a − k− 3|=87, 7|b− k− 3|=721, ⇐ ⇒ |b− k− 3|=103, |( a+b =192 |( a+ b= 192

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа $a$ и $b$ лежат справа от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

(| a− k− 3= 87, (| a =88, { b− k− 3= 103, ⇐⇒ { b= 104, |( a+ b= 192 |( k =− 2

Ввиду того, что $k$ должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа $a$ и $b$ лежат слева от отрезка $[k;k +6].$ Тогда

(|{ − a+ k+3 =87, (|{ a= 104, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 88, |( a +b= 192 |( k= 188

(|{ a − k − 3= 87, (|{ a= 191, − b+k +3 =103, ⇐ ⇒ b= 1, |( a +b= 192 |( k= 101

(d) Число $b$ лежит справа, а $a$ — слева от отрезка $[k;k+ 6].$ Тогда

( ( |{ −a+ k+ 3= 87, |{ a= 1, | b− k− 3 =103, ⇐⇒ | b=191, ( a+ b= 192 ( k= 85

Итак, возможны три случая: $a= 1, a= 191, a =104.$

Ответ:

$1, 104, 191$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#88915Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2018- 2018- [x]+ [x] = {x}+ {x}

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что бросается в глаза — правая и левая часть ну очень похожи. Давайте сгруппируем схожие слагаемые и попытаемся разбить уравнение на множители.

Подсказка 2

После приведения дробей к общему знаменателю можно вынести общий множитель ([x] – {x}). Таким образом наше уравнение распадается на совокупность из двух: [x] = {x} и {x} * [x] = 2018. Для каких x такие уравнения могут быть верны? Не забывайте про ОДЗ.

Подсказка 3

Первое равенство никогда не может быть верным из-за ограничений [x] не равно нулю и {x} не равно нулю. А что насчет второго? При любых ли x может существовать {x} = 2018/[x]?

Подсказка 4

Если x меньше 2019, то {x} будет принимать значения не меньше единицы, что невозможно. Какие значения будет принимать x, если мы знаем нижнюю границу на [x] и знаем, как выражается {x} через [x]?

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения:

{ [x]⁄=0 {x}⁄= 0

С учетом ограничений сделаем преобразования:

[x]+ 2018= {x}+ 2018- [x] {x}

( 1 1 ) [x]− {x} +2018⋅ [x] − {x} =0

( ) [x]− {x}+2018⋅ {x}−-[x] = 0 {x}[x]

( ) ([x]− {x})⋅ 1− 2018- = 0 {x}[x]

Тогда получаем следующую серию решений:

[ [x]={x} {x}⋅[x]= 2018

Первый случай возможен только если ${x} ∈ℤ ⇒ {x} =0,$ что не удовлетворяет ограничениям.

Рассмотрим второй случай подробнее:

(a) Если $x< 0,$ то левая часть неположительна (поскольку ${x}≥0,[x]< 0$ ) и не может равняться 2018.

(b) Если $0≤ x≤ 2018,$ то тогда $[x]≤ 2018,$ откуда следует, что ${x}≥ 1,$ откуда получается противоречие.

2018- 2018- {x} = n <1 ⇒ [x]= n⇒ x= [x]+ {x}= n+ n

Докажем, что для каждого $n$ будет ровно 1 решение. Пусть существуют решения $x1,x2 :$

2018 2018 [x1]= [x2]⇒ {x1}= [x1]-= [x2]-={x2}⇒ x1 = x2

Ответ:

$x =n + 2018 n$ для любого натурального $n ≥2019$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#42262Максимум баллов за задание: 7

Имеет ли отрицательные корни уравнение $x4− 4x3− 6x2− 3x+ 9= 0$ ?

Источники: Муницип - 2016, Москва, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Коль скоро мы хотим доказать, что наше уравнение не имеет отрицательных корней (а мы хотим доказать именно это, потому что если они есть, как их предъявлять? Теорема о промежуточном значении не помогает). Как мы это можем доказывать? Либо мы хотим исследовать график функции и возиться с производными… А может быть лучше как-то преобразовать выражение, чтобы слева было что-то отрицательное, а справа что-то положительное или равное 0? Ведь если корней нет, то мы всегда можем так сделать(как минимум для многочлена!)

Подсказка 2

Один из способов - это (x^2 - 3)^2 = 4x^3 + 3x = x(4x^2 + 3). Что можно сказать про каждую из сторон равенства? Верно, левая часть больше или равна нуля, а вот правая наоборот строго меньше 0, потому как x<0, при этом, (4x^2 + 3) строго больше 0.

Подсказка 3

Значит, такое уравнение не имеет решений при х<0. Победа!

Показать ответ и решение

Преобразуем данное уравнение: $x4− 4x3− 6x2− 3x+ 9= 0⇔ (x2− 3)2− 4x3− 3x= 0$ , $(x2− 3)2 =4x3+ 3x⇔ (x2− 3)2 = x(4x2+3)$ . Если $x <0$ , то $(2 )2 x − 3 ≥ 0$ , а $( 2 ) x 4x +3 < 0$ , значит, полученное равенство при любом отрицательном значении х будет неверным. Следовательно, отрицательных корней нет.

Варианты правильных ответов:

нет
Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#67596Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- 2016 √ ----2016 ( x) + ( 1− x) = 1

Источники: ПВГ-2016 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ключом к решению этой задачи является правильно написанное ОДЗ! Поэтому для начала найдем ОДЗ нашего уравнения!

Подсказка 2

Верно, 0 ≤ x ≤ 1! А что можно сказать про (√x)²⁰¹⁶ и (√(x-1))²⁰¹⁶? Может мы их можем как-то оценить, учитывая наше ОДЗ?

Подсказка 3

Да, если есть число, которое меньше единицы, но больше нуля, то при возведении в степень это число будет уменьшатся! То есть, мы имеем: x¹⁰⁰⁸ < x и (1-x)¹⁰⁰⁸ < 1 — x! Таким образом, если x ≠ 0 и x ≠ 1, то решений нет! Осталось проверить случаи x = 1 и x = 0.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $0≤ x≤ 1.$

Подстановкой легко убедиться, что $x= 0$ и $x = 1$ — это решения.

При $0< x< 1$ (на оставшейся области ОДЗ) оценим слагаемые в левой части

{ √- 2016 0< x< 1 ⇐⇒ ( x)√ --<-x2016 0< 1− x< 1 ⇐⇒ ( 1− x) <1− x

Складывая эти неравенства, получаем

√- 2016 √ ----2016 ( x) + ( 1− x) < x+ (1 − x)= 1

Поэтому на интервале $(0;1)$ левая часть строго меньше единицы и равняться единице не может.

Ответ:

$0;1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#32859Максимум баллов за задание: 7

При каждом значении $a$ решите уравнение

|x− 1|+ |x+ 1|+|x− 2|+ |x +2|+ |x− 3|+ |x+3|+ ...+ +|x− 2015|+|x+2015|+2x2+ 2a2+ 40302− 8060x − 8060a =4030x.

Источники: ПВГ-2015, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение на первый взгляд выглядит страшно, обычные действия из неравенств с модулями делать не хочется. Ещё и вопрос такой неприятный: решить при каждом значении a. Не раскрывать же модули! В общем, нужно подумать про какие-то нестандартные методы. Среди таких есть метод оценки, который часто используется в уравнениях с модулями, так как есть неравенства |a| + |b| >= |a + b| и |a| >= a.

Подсказка 2

Попробуем найти оценку. Заметим, что если сложить все подмодульные выражения слева, то получится 4030x. А это как раз то, что стоит справа! Мы же знаем, что сумма модулей не меньше, чем сумма подмодульных выражений, то есть уже получили некоторую оценку. Но ещё ведь есть лишние слагаемые без модулей, может, и их можно оценить?

Подсказка 3

Большое количество квадратов намекает на мысль, что здесь можно поискать квадраты суммы или разности. И они есть! Убедитесь, что слагаемые без модулей слева можно записать как 2(a - 2015)^2 + 2(x - 2015)^2. Теперь дело за малым. Слева выражение не меньше, чем справа, но нам нужно равенство. Тогда во всех неравенствах должно достигаться равенство, то есть квадраты должны быть равны нулю и сумма модулей должна быть равна сумме подмодульных выражений.

Показать ответ и решение

Так как $|A|+ |B |≥|A+ B|$ , то

|x− 1|+|x+1|+ |x− 2|+|x+ 2|+ ...+ |x− 2015|+ |x+ 2015|≥ 2◟|x|+2|x|+◝◜...+-2|x|◞= 2015⋅2|x|= 4030|x| 2015раз

Заметим также, что

2 2 2 2 2 2x +2a + 4030 − 8060x− 8060a= 2(x− 2015) +2(a− 2015)

Следовательно, левая часть равенства

|x − 1|+|x+ 1|+ |x − 2|+ |x+ 2|+...|x− 2015|+|x+ 2015|+ + 2x2+2a2+ 40302− 8060x− 8060a≥ 4030|x|+ 2(x− 2015)2+ 2(a − 2015)2 ≥ 4030|x|

Таким образом, левая часть равна $4030x$ , если

(|| (x − 1)(x +1)≥ 0 ||||| ||||| (x − 2)(x +2)≥ 0 |||{ ... ({ | (x − 2015)(x+ 2015)≥ 0 ⇔ (x = 2015 ||||| 2(x− 2015)2 = 0 a =2015 ||||| 2 ||||( 2(a− 2015) = 0 x≥ 0

Тогда при $a= 2015$ решением уравнения является $x= 2015$ , а при $a⁄= 2015$ уравнение не имеет решений.

Ответ:

$a = =⇒ x= 2015,$

при других значениях $a$ решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#51858Максимум баллов за задание: 7

Решите систему

{ x2 +y2 ≤ 2; 81x4− 18x2y2+ y4− 360x2− 40y2+ 400 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Второе равенство очень похоже на квадрат суммы трёх слагемых...быть может, попробуем собрать его? А если не получится, то, может, преобразуем в два квадрата?

Подсказка 2

Второе выражение можно преобразовать в равенство двух квадратов (один из которых — квадрат суммы трёх слагаемых). Отсюда несложно разобрать случаи знаков выражений ;)

Подсказка 3

После того как мы разберём два случая для знаков, то у нас получится два равенства, в которых мы можем выразить y через x. Почему бы не применить явно первое условие? :)

Показать ответ и решение

Второе уравнение очень напоминает квадрат тройной суммы, но, к сожалению, им не является, однако можно написать его в таком виде

2 2 2 2 (9x +y − 20)= (6xy)

Что эквивалентно

[ 9x2+ y2 − 20= 6xy [ (3x − y)2 = 20 [ 3x − y =±2√5 9x2+ y2 − 20= −6xy ⇐⇒ (3x +y)2 = 20 ⇐⇒ 3x +y =±2√5-

Остаётся разобрать 4 полученных случая. Например, если $3x− y =2√5$ , то из первого неравенства

x2+ (3x − 2√5)2 ≤ 2 ⇐⇒ 10x2− 12√5x+ 20 ≤2 ⇐ ⇒ (√10x− 3√2-)2 ≤0 ⇐⇒ x= √3- 5

И $1√- y = 5$ . Остальные случаи точно также дают ровно одно решение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(−√3,√1),(− 3√-,−√1),(√ 3-,− 1√-),(√3,√1) 5 5 5 5 5 5 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#63906Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение:

( 2 )( 2 ) x − 8x+16 x − 8x +18 − 24 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что мы можем просто разложить выражение на множители, потом привести подобные и потом снова долго и мучительно раскладывать на множители. Но давайте придумаем что-нибудь поинтереснее. Посмотрите на то, как сильно похожи скобки в произведении. Давайте подумаем, как этим воспользоваться и какую формулу сокращенного умножения мы сможем применить!

Подсказка 2

Представьте х² - 8x + 16 как х² - 8x + 17 - 1. Как тогда можно представить вторую скобку, чтобы она получилась максимально похожа на первую? А какой формулой сокращенного умножения можем воспользоваться?

Подсказка 3

Верно! Сделаем так, чтобы у нас получилась разность квадратов и разложим по этой формуле! Посмотрите, что получилось теперь?

Подсказка 4

Верно, снова разность квадратов! Воспользуйтесь ей и разложите выражение на скобки, а дальше дело за малым – найти решение квадратных уравнений!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Положим $2 t= x − 8x +17$ , тогда получим

2 (t− 1)(t+ 1)− 24= 0⇐ ⇒ t− 1− 24= 0⇐⇒ t= ±5

Тогда либо

2 2 x − 8x +17= −5 ⇐⇒ x − 8x+22= 0

решений нет, поскольку $D∕4= 42− 22 <0,$

либо

x2− 8x +17= 5⇐ ⇒ (x − 4)2 = 4⇐⇒ x =4 ±2

Второе решение.

Обозначим левую часть уравнения

(x− 4)2((x− 4)2+ 2)= 24

за $f(x)$ . Заметим, что при $x ≥4$ функция монотонно возрастает, поэтому решений уравнения на этом промежутке может быть не более одного. При этом $f(6)= 22(22+ 2) =4⋅6= 24$ , так что $x= 6$ является решением. Легко видеть, что уравнение симметрично относительно $4$ , так что если решением является $x= 4+ 2,$ то решением является и $x= 4− 2,$ при этом решений меньше $4$ больше нет, так как иначе было бы соответствующие им решения и на промежутке $x> 4$ , а на нём решение только одно из монотонности, и мы уже его нашли.

Ответ:

2; 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#70344Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 2)( 2 10) ( 2 6)2 1 +x+ x 1+x +x + ...+ x = 1+ x+x +...+ x

Источники: ПВГ-2015, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Скобка (1+x+...xⁿ) кажется очень знакомой, где мы её могли видеть?...

Подсказка 2

Точно! В формула разности n-ых степеней, ведь xⁿ - 1 = (x-1)(xⁿ⁻¹+...+x+1). То есть у нас часть произведения. Что же хочется сделать?...

Подсказка 3

Верно! Хочется дополнить до полного произведения. Домножим обе части на (x-1)(x-1). Что мы имеем теперь?

Подсказка 4

(x¹¹-1)(x³-1) = (x-7)². Осталось немного...

Подсказка 5

Раскройте скобки, приведите подобные и получите красивую штуку! Успехов!

Показать ответ и решение

Вспомним формулы сокращенного умножения. Домножим на $(x− 1)2 ⁄= 0$ , но учтём потом, что $x =1$ не является корнем.

( 2) ( 2 10) 2( 2 6)2 (x− 1)1 +x+ x (x − 1) 1+ x+x +...+ x =(x− 1) 1+ x+ x +...+x

(3 )(11 ) (7 )2 x − 1 x − 1 = x − 1

14 11 3 14 7 x − x − x +1 =x − 2x +1

x11+ x3− 2x7 =0

$x= 0$ — корень. Поделим на $x3 ⁄= 0$

x8 − 2x4+ 1= 0

( )2 x4− 1 =0 ⇐ ⇒ x =±1

$x= 1$ — посторонний корень

Ответ:

${−1;0}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#77219Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|| ∘ ---2|| ∘----2 |x+ x 1− x |= 1 +x .

Источники: ПВГ 2015

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение: есть в нем какие-то элементы, на которые стоит обратить внимание?

Подсказка 2

Что особенного в модуле и x²? Может быть, они смогут как-то сократить количество х, которые нужно рассмотреть?

Подсказка 3

Какие значения х достаточно рассмотреть, если у нас есть четные функции слева и справа?

Подсказка 4

Раз решаем уравнение, то что стоит записать?

Подсказка 5

Так как взяли для рассмотрения только x≥0, то что можно сделать на ОДЗ?

Подсказка 6

После раскрытия модуля останутся два выражения с корнем. Что обычно делаем в таком случае?

Подсказка 7

Да, стоит возвести в квадрат. Но что можно сделать, чтобы эта операция прошла проще, чем если возводить части уравнения в текущем виде?

Подсказка 8

Перенесли +х вправо, чтобы упростить конструкцию, и возвели в квадрат. Но корень все еще остался. Что можно сделать, чтобы избавиться от него окончательно?

Подсказка 9

Да, снова оставить корень с одной стороны, а все остальное перенести в другую. Можно бы было, конечно, после этого честно раскрывать квадраты, но решать уравнения четвертой степени явно не хочется. Может быть, заметите что-то общее между левой и правой частью?

Подсказка 10

Может быть, в выражении справа можно сделать какое-то преобразование, чтобы вышло похоже на выражение слева? И стоит вспомнить, что сумму трех элементов можно представить, как сумму двух.

Подсказка 11

x⁴ + x² = x²(x² + 1). Можно ли с помощью этого как-то объединить левую и правую часть в одно выражение?

Подсказка 12

(a+1)² - 4a = 0. Ничего не напоминает?

Подсказка 13

Выразили как квадрат разности, и теперь осталось простое биквадратное уравнение.

Подсказка 14

Не забудьте, что мы рассматривали только часть допустимых х!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку выражение слева и справа — чётные функции, то достаточно рассмотреть случай $x ≥0.$

Тогда на ОДЗ $x∈ [0;1]$ все преобразования равносильны. А при $x∈∕$ $[0;1]$ решений нет.

∘ ----- ∘ ----- x 1− x2+x = 1+ x2

∘ ----2 ∘----2 x 1− x = 1+ x − x

x2− x4 = 1+2x2− 2x∘1+-x2

2x∘1-+-x2-=x4+ x2+ 1

4x2(1+ x2)=(x2(x2+ 1)+ 1)2

(x2(x2+ 1) − 1)2 = 0

x4+x2− 1= 0.

Решив квадратное относительно $2 x$ уравнение, получим $∘ √5−1- x= 2 .$

Учитывая чётность всех выражений в исходном уравнении $∘√---- x =± --5−21.$

Второе решение.

Используем неравенство Коши–Буняковского(скалярное произведение двух векторов на плоскости не превосходит произведения их длин) для векторов на плоскости вида $√ ----- ( 1− x2,x)$ и $± (x,1)$ . Получим

±(x∘1-− x2+ x)≤ 1⋅∘1+-x2

Равенство достигается, если вектора пропорциональны(косинус угла между ними равен $1$ ), то есть

√----- -1−-x2= x x 1

∘1-−-x2 = x2

√- x2 =-5−-1 2

Ответ:

$±∘ √5−1- 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#47250Максимум баллов за задание: 7

Найдите все решения уравнения

2 2 2 (y(x− 1)) +(x− 1) +y + 1− 4y|x− 1|= 0.

Источники: ОММО-2014, номер 5, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним, что (x - 1)² эквивалентно |x - 1|². Чем нам это может помочь?

Подсказка 2

Для начала введем замену на модуль, проведем соответствующие преобразования и приведем подобные. Что теперь можно заметить?

Подсказка 3

Оставьте с одной стороны произведение двух выражений, а вправо вынесите одно слагаемое. Есть ли теперь предположения о количестве решений? Что можно сказать про каждую из частей равенства?

Подсказка 4

Можно действовать "в лоб": сравнить правую и левую части с модулем правой. Логично, что правая часть будет меньше либо равна своего модуля. А что насчет левой?

Подсказка 5

Тут нужно либо решить квадратное относительно переменной yt, либо понять, что a² + 1 = 2|a| только в случае a = 1. Отсюда мы уже получаем необходимые значения t и y и делаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Заменим $t= |x − 1|≥ 0$ , а также перепишем уравнение в виде

2 2 (y + 1)(t +1)= 4yt

Как известно $a2+ 1≥2|a|$ , при этом $a2+ 1= 2|a| ⇐⇒ |a|= 1$ , откуда

2 2 4yt= (y + 1)(t + 1)≥ 4|yt|=4t|y|

и равенство достигается тогда и только тогда, когда $|y|=|t|= 1$ , при этом $|y|= y$ , поскольку иначе $4yt⁄=4t|y|$ . Получаем $y =1,|x − 1|= 1 ⇐ ⇒ x ∈{0,2}$ .