Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85022

Решите неравенство

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

Показать ответ и решение

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

⌊ x2− 25 =0 || ( |⌈ { x2− 25> 0 ( x − 3 ≤0

⌊ [ x =5 ||| x =− 5 || ({ |⌈ x∈ (− ∞,−5)∪(5,+∞ ) ( x≤ 3

⌊ [ x= 5 || x= −5 |⌈ x∈ (−∞,−5)

x∈(−∞, −5]∪{5}

Ответ:

$(−∞,− 5]∪ {5}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85023

Решите неравенство

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

Показать ответ и решение

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ОДЗ:

9 16x +36≥ 0 ⇐⇒ x≥ −4

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При $9 − 4 ≤x < 0$ видно, что правая часть отрицательна, а левая положительна, неравенство выполняется, значит, эти значения подходят.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≥0.$ Возведём наше выражение в квадрат

√ ------- 16x +36+ 6≥ x2

√ ------- 16x +36≥ x2− 6

Рассмотрим несколько случаев. Во-первых,

( ) x2− 6 <0 ⇐ ⇒ x ∈ −√6,√6-

С учётом условия $x ≥0$ получим $[ -) x∈ 0,√6 .$

Во-вторых,

( { x2− 6 ≥0 ( (2 )2 16x+ 36≥ x − 6

(|{ x∈ (− ∞,−√6] ∪[√6,+∞ ) |( 16x +36≥ x4− 12x2+ 36

Учтём, что у нас $x≥ 0$

( [√ - ) |{ x∈ 6,+∞ |( 3 x(x − 12x − 16)≤ 0

( [√ - ) |{ x∈ 6,+ ∞ |( 2 x(x − 4)(x +2) ≤ 0

Решим второе неравенство методом интервалов

(| [√- ) { x ∈ 6,+∞ |( x ∈{−2}∪ [0,4]

[ ] x ∈ √6,4

_____________________________________________________________________________________

В итоге, объединив все случаи получим, что $[ ] x ∈ − 9 ,4 . 4$

Ответ:

$[− 9;4] 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85025

Решите неравенство

13− 6x+√4x2-− 2x−-6 -------5−-2x-------> 1

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

(| ( 3) |{ 2(x+ 1) x− 2 ≥0 ||( 5 x ⁄= 2

( [3 ) ||{ x∈ (− ∞,−1]∪ 2,+∞ || 5 ( x⁄= 2

[ ) ( ) x∈(−∞, −1]∪ 32,52 ∪ 52,+ ∞

Рассмотрим несколько случаев. Когда

5 5− 2x> 0 ⇐⇒ x< 2

Тогда

∘ ---------- 13− 6x+ 4x2− 2x − 6 >5− 2x

∘--2------- 4x − 2x− 6> 4x − 8

Тут два случая. Первый,

4x− 8< 0 ⇐⇒ x< 2

Пересекаем с ОДЗ, получаем $[ ) x∈ (− ∞,−1]∪ 3,2 . 2$

Второй, при

4x− 8≥ 0 ⇐⇒ x≥ 2

Тогда

4x2− 2x − 6 >16x2− 64x +64

2 12x − 62x+ 70< 0

(x − 7)(x − 5) < 0 2 3

( 5 7) x ∈ 3,2

Учтём $5 x< 2,x≥ 2$ и ОДЗ, получим $[ 5) x∈ 2,2 .$

Теперь

5− 2x< 0 ⇐⇒ x> 5 2

Тогда

13− 6x+∘4x2-−-2x-− 6-<5− 2x

∘---------- 4x2− 2x− 6< 4x − 8

Заметим, что при $5 x > 2$ правая часть положительна, тогда

4x2− 2x − 6 <16x2− 64x +64

12x2− 62x+ 70> 0

( 7)( 5) x− 2 x −3 > 0

( ) ( ) x∈ −∞, 5 ∪ 7,+∞ 3 2

Учтём $x> 5 2$ и ОДЗ, получим $( ) x∈ 7,+∞ . 2$

В итоге, объединив все случаи, $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в прошлом решении, запишем ОДЗ неравенства:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

( ( ) ||{ 2(x+ 1) x− 3 ≥0 2 ||( x ⁄= 5 2

[ ) (|| x∈ (− ∞,−1]∪ 3,+∞ { 2 ||( x⁄= 5 2

[3 5) ( 5 ) x∈(−∞, −1]∪ 2,2 ∪ 2,+ ∞

Теперь перенесём $1$ влево и приведём всё к общему знаменателю, преобразуем.

√--2------- 8− 4x+-4x-−-2x−-6> 0 5− 2x

Давайте рассмотрим левую часть, как уравнение, и найдём его корни, то есть когда левая часть зануляется, вместе с выколотой точкой. Понятно, что левая часть равна нулю, когда числитель равен нулю. Решим уравнение на ОДЗ, которое равно $4x− 8> 0,$

∘---------- 4x2− 2x− 6= 4x − 8

Возведём уравнение в квадрат. Преобразуя, получим:

12x2− 62x+ 70= 0

Откуда находим корни $7 x = 2$ и $5 x= 3,$ где последний корень не подходит под ОДЗ уравнения.

Теперь можем воспользоваться методом интервалов, подставляя какие-то удобные точки из промежутка.

На промежутке $[−∞, −1]$ можно выбрать $x= −2,$ откуда получим положительный знак.

На промежутке $[3 5) 2,2 ,$ взяв точку $x =2,$ знак положительный.

На промежутке $(5 7) 2,2 ,$ взяв точку $x =3,$ знак отрицательный, так числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

И на промежутке $(7 ) 2,+∞$ взяв точку $x= 4,$ знак положительный, так как и числитель, и знаменатель меньше $0.$

Итого, совмещая все интервалы и не забывая не выколотые точки — здесь это $x = −1$ и $3 x= 2,$ получаем, что $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

Ответ:

$(−∞; −1]∪[3;5) ∪( 7;+ ∞) 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85026

Решите неравенство

∘-------2 2 − x − x > −1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 2 − x− x ≥ 0

(x− 1)(x+ 2)≤ 0

x∈ [−2;1]

Заметим, что левая часть всегда принимает неотрицательные значения, следовательно, неравенство верно на всей ОДЗ.

Ответ:

$[−2;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85027

Решите неравенство

√---- ∘--2------- 2− x< 3x − 2x− 2

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 2− x≥ 0 3x2− 2x − 2 ≥0

(|{ x ≤2 ( √-] [ √- ) |( x ∈ −∞; 1−3-7 ∪ 1+37;+∞

( √-] [ √- ] x∈ − ∞;1−--7 ∪ 1+--7;2 3 3

Теперь исходное неравенство возведём в квадрат

2− x< 3x2− 2x− 2

3x2− x − 4 >0

(x +1)(3x− 4)> 0

(4 ) x∈ (−∞;−1)∪ 3;+∞

Пересекаем с ОДЗ и получаем в итоге

( ] x ∈(−∞;− 1)∪ 4;2 3

Ответ:

$(−∞; −1)∪( 4;2] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85030

Решите неравенство

∘--2------- 1− 2x 3x − 8x− 3 > 3

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 3x − 8x− 3≥ 0

(x − 3)(3x+ 1)≥0

( ] x ∈ − ∞;− 1 ∪[3,+∞ ) 3

Теперь заметим, что если правая часть исходного неравенства отрицательна, то оно верно, т.к. левая часть неотрицательна.

1−-2x- 3 < 0

x > 1 2

Учтём ОДЗ и получим, $x∈[3,+ ∞).$

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤ 1, 2$ т.е. правая часть исходного неравенства неотрицательна. Возведём его в квадрат.

3x2− 8x − 3 > 1− 4x+-4x2 9

2 23x − 68x− 28> 0

( 34−-30√2-) (34+-30√2 ) x∈ − ∞; 23 ∪ 23 ;+∞

Учтём ОДЗ и $x ≤ 1, 2$ получим, $( √ -) x∈ −∞; 34−-30--2 . 23$

В итоге ответом будет

( √-) x ∈ −∞;34−-30-2 ∪[3;+∞ ) 23

Ответ:

$( 34 − 30√2) −∞; ---23---- ∪[3;+ ∞)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85173

Решите неравенство

∘-2------- x − 3x+ 2≤ x− 1

Показать ответ и решение

Разложим подкоренное выражение на множители:

∘---------- (x− 1)(x− 2)≤x − 1

Если правая часть отрицательна, то решений нет, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Если правая часть неотрицательна, то можем возвести в квадрат, не забыв про ОДЗ:

2 0≤ (x− 1)(x− 2)≤ (x− 1)

{ (x− 1)(x− 2)≥0 (x− 1)((x− 2)− (x− 1))≥ 0

{ x ∈(−∞;1]∪[2;+ ∞) x ≥1

x ∈{1}∪[2;+ ∞)

Ответ:

${1}∪[2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88252

Решите неравенство

∘ --7-----3 5x-−-332x-≤ x3 5x− x − 4

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения

({ 5x7 − 32x3 5x-− x3−-4 ≥ 0 ( 5x− x3− 4⁄= 0

При $x3 < 0$ неравенство не имеет решений.

При $x3 ≥ 0$ с учетом ограничений возведем исходное неравенство в квадрат:

7 3 -5x--− 332x-≤ x6 5x − x − 4

5x7− 32x3−-5x7+-x9+-4x6-≤ 0 5x− x3− 4

x3(x6+ 4x3 − 32) --5x−-x3− 4--≤ 0

3 3 3 -----(-x-(x-−√ 4)()x(+8)√----)-≤ 0 (1− x) x+ 1+--17 x− --17-− 1 2 2

Так как $x≥ 0$ , решим методом интервалов неравенство

x(x3− 4) -----(---√17-− 1)-≤ 0 (1− x) x− ---2--

Заметим, что $√ -- --17-− 1 <413 2$ , так как

1 2 2 1 17<(43 ⋅2+ 1) =4 3 ⋅4+1 +43 ⋅4

4< 413(413 + 1)

16< (413 + 1)3

2⋅213 < 1+ (213)2

1 0< (23 − 1)2

Решив неравенство, получаем

( √ -- ) [ 1 ) x ∈{0}∪ 1;--172− 1 ∪ 43;+∞

Преобразовав неравенство из ограничений, получим

x3(x4− 352)⋅5 -----(---√17-− 1)-≥ 0 (1− x) x− ---2--

Решив методом интервалов, получим

( ] √17− 1-∘432 x∈ [0;1)∪ 2 ; 5

Заметим, что $∘ --- 4 32> 3√4- 5$ , так как $3 7 323-> 44 =⇒ 23 >1 5 5$

Пересекая с решением неравенства, получаем

[ ] 3√- 4∘-32- x ∈{0}∪ 4; 5

Ответ:

$[ 3√- 4∘-32] {0}∪ 4; 5-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88253

Решите неравенство

√5-(x− 5) 1< √x2-− 10x+-26

Показать ответ и решение

Заметим, что $x2− 10x+ 26= (x − 5)2+1 >0$ , поэтому домножив обе части неравенства на знаменатель, получим

∘ ---------- √- x2− 10x+ 26< 5(x− 5)

Если $x≤ 5$ , то решений нет.

Если же $x >5$ , то обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

2 2 x − 10x+26< 5(x− 5)

2 2 x − 10x+ 26< 5x − 50x+ 125

4x2 − 40x+ 99 >0

( ) ( ) x ∈ −∞,9 ∪ 11,+ ∞ 2 2

Пересекая с $x> 5$ , получаем ответ.

Ответ:

$(11;+∞) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88256

Решите неравенство

√x6−-64 -x−-3--≥ 0

Показать ответ и решение

Заметим, что корень неотрицателен, поэтому рассмотрим два случая:

1) Числитель левой части неравенства равен 0, тогда знак знаменателя не важен.

6 x − 64= 0

[ x =− 2 x =2

При этом знаменатель не обращается в 0, поэтому эти значения подходят.

2) $x6 − 64> 0,$ тогда числитель в левой части исходного неравенства больше 0, следовательно, исходное неравенство выполняется, если знаменатель больше 0:

x− 3> 0

x> 3

Видно, что при всех этих значениях выполняется условие $6 x − 64> 0,$ значит, все они подходят

В итоге ответ: $x∈ {− 2;2}∪ (3;+∞ ).$

Ответ:

${−2;2}∪(3;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88257

Решите неравенство

√16−-x2 -3−-x--≤ 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ [−4;3)∪(3;4].$

Если $3− x < 0$ , то неравенство верно. Пересекая с ОДЗ, получаем, что $x∈ (3;4]$ являются решениями. При $3 − x >0$ обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

2 2 16− x ≤(3− x)

2 2x − 6x− 7≥ 0

( 3−-√23] [3+-√23 ) x∈ − ∞; 2 ∪ 2 ;+∞

Пересекая с ОДЗ, получаем

[ √ -] x∈ − 4;3-−--23 2

Объединяя две серии, получаем ответ.

Ответ:

$[ 3 − √23] − 4;--2-- ∪(3;4]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88259

Решите неравенство

∘ ---1- 7x − 1 5 1− x > -x---

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

∘ x-− 1 x− 1 5 --x- > -x--+ 6

Введем замену:

∘ ----- t= x−-1 x

Тогда неравенство сведется к

5t> t2+ 6

t2− 5t+ 6< 0

(t− 2)(t− 3)< 0

Решением будут $t∈ (2;3).$ Сделаем обратную замену.

∘----- { −3x−1 2< x−-1< 3 ⇐⇒ 4< x−-1< 9 ⇐⇒ --x--> 0 x x −8xx−1< 0

Применим метод интервалов для первого неравенства системы:

$PIC$

То есть решение первого неравенства $x ∈(− 13;0).$

Для второго неравенства:

$PIC$

Его решением будет $x∈(−∞; − 18)∪ (0;+∞ ).$

Тогда общее решение:

x∈(− 1;− 1) 3 8

Ответ:

$x ∈(− 1;− 1) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88875

Решите неравенство

∘-3− 4x √5-+-4x- 5+4x-+ 2√3-−-4x-− 2-≥0

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 3− 4x ≥0 { 5+4x >0 |( √----- 3− 4x⁄= 1

(| x ≤ 3 { x >−45 |( x ⁄= 14 2

x∈ (− 5,1)∪(1,3]. 4 2 2 4

Введем замену $a= √3-− 4x,b= √5+-4x.$ Неравенство имеет вид

a --b-- b +2a− 2 ≥0

a ≥ --b-. b 2− 2a

Если $2− 2a >0$ , то исходное неравенство эквивалентно

2a− 2a2 ≥ b2.

Заметим, что $b2+a2 =8$ , следовательно, $b2 =8 − a2$ . Наконец, неравенство имеет вид

2a− 2a2 ≥8 − a2

a2− 2a +8 ≤0

Что неверно, при всеx $a$ , поскольку дискриминант данного квадратного трехчлена отрицателен, а его старший коэффициент положителен.

Если $2− 2a <0$ , то неравенство верно, поскольку левая часть отрицательна, а правая — положительна. Следовательно, решению удовлетворяют все $x$ , удовлетворяющее ОДЗ и неравенству $a >1$ , $√ ----- 3− 4x >1$ , $3− 4x> 1$ , то есть $1 x< 2$ . Пересекая с ОДЗ, имеем

x∈ (− 5,1). 4 2

Ответ:

$(− 5;1) 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#67699

Решите неравенство

∘ --------2- √---- 15− 2x − x + x − 3> 2x− 7

Показать ответ и решение

Выпишем условия ОДЗ

{ 15− 2x − x2 ≥0 x− 3≥ 0

{ (3− x)(x+ 5)≥ 0 x≥ 3

{ −5 ≤x ≤3 x≥ 3

x= 3

Получаем единственное возможное решение. После подстановки убеждаемся, что оно подходит.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#43618

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ --2---------3 x − 1≤ 5x − 1− 4x− x

Показать ответ и решение

Обе части неравенства неотрицательны, так что можем возвести в квадрат, учитывая ОДЗ на неотрицательность каждого подкоренного выражения:

∘ ----- ∘ ------------- x2− 1≤ 5x2− 1− 4x− x3

2 2 3 0 ≤x − 1≤ 5x − 1 − 4x− x

{ (x+ 1)(x− 1)≥0, x(x− 2)2 ≤ 0

x∈(−∞; −1]∪{2}

Ответ:

$(−∞;− 1]∪ {2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91543

Решите неравенство

x2 +4x+ 4 √x2+-8x+-16 -2x+-12--≤ 1− ---x-+4----

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= −4, − 6$

√x2+-8x+16- |x+ 4| 1− ---x+-4----=1 −-x+-4

Значит, если $x +4 ≥0$ , то

√---------- x2+-4x-+4-= (x-+2)2≤ 1− -x2+-8x+-16-= 0 2x+ 12 2(x+ 6) x+ 4

Так как $(x+ 2)2 ≥ 0$ и $x+ 6≥ 2$ , то это возможно только, если $x= −2$ .

Значит, если $x +4 <0$ , то

x2+ 4x +4 (x +2)2 √x2+-8x+-16- -2x+-12--= 2(x+-6) ≤ 1−---x+-4----= 2

√-- √-- x2−-20= (x−--20)(x+--20≤ 0 2x+ 12 2(x+6)

Число $x− √20< x+ 4< 0$ всегда. Значит, $x∈ [−√20,−4)∪ (−∞, −6)$ .

Ответ:

$(−∞;− 6)∪[− √20;− 4)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#92084

Решите неравенство

∘x2(10−-x2) ----x------≤2x+ 5.

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что $x =0$ нам не подходит, а также что $|x|≤ √10$ . Разберем несколько случаев:

Если $x > 0$ , то неравенство переписывается, как
$∘------ 10− x2 ≤ 2x+5$
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому если верно это неравенство, то верно и неравенство, полученное из данного возведением в квадрат, но новое неравенство верно для всех положительных чисел. С учетом того, что $|x|≤ √10$ , получаем $(0,√10]$ .
Если $− 2.5≤x < 0$ , то правая часть исходного неравенства неотрицательна, а левая - не положительна, поэтому неравенство верно.
Если же $x< −2.5$ , то обе части неравенства не положительны, поэтому с учетом того, что $|x|≤ √10$ , можно возвести неравенство в квадрат, сменив знак на противоположный
$2 2 √-- 10− x ≥4x + 20x +25,x ∈[− 10,− 2.5) x2+ 4x +3 ≤0$
Откуда $x ∈[−3,− 1]∩[−√10,− 2.5) =[−3,− 2.5).$

Итого наш ответ — объединение всех случаев, то есть $[−3;0)∪ (0;√10].$

Ответ:

$[−3;0)∪ (0;√10]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32857

Решите неравенство

------1----- -------2------ √x2-− x-− 2− 2 ≤ √x2-+14x+-40− 4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся четырьмя условиями:

2 x − x− 2= (x +1)(x− 2)≥ 0,

(x +1)(x − 2)⁄= 4,

x2 +14x+ 40 =(x+ 4)(x+ 10)≥0,

x2+ 4x +40⁄= 16;

пересекая которые, получаем

x ∈(−∞; −12)∪ (− 12;−10]∪[−4;− 2)∪ (−2;− 1]∪ [2;3)∪ (3;+∞ )

Приведём дроби из условия к общему знаменателю

√-2-------- √-2------ -√-2x-+-14x-+40√−-22-x-−-x−-2-- ≤0 ( x − x− 2− 2)( x +14x+ 40− 4)

Знак разницы неотрицательных чисел (в данном случае корней из каких-то выражений) совпадает со знаком разницы их квадратов, потому что разность квадратов раскладывается в произведение разности этих чисел (знак которой нам и надо понять) и суммы этих чисел (которая и так неотрицательна, так что не влияет на знак). Поэтому неравенство равносильно:

x2+-14x-+40−-4(x2−-x−-2) ---3(x−-8)(x+-2)--- (x2− x− 6)(x2+ 14x +24) ≤0 ⇐ ⇒ (x − 3)(x+ 2)2(x+ 12) ≥0

Откуда по методу интервалов $x ∈(−∞; −12)∪ (−2;3]∪[8;+ ∞)$ .

Пересекаем с ОДЗ $(−∞;−12)∪(−12;−10]∪ [− 4;−2)∪ (−2;−1]∪[2;3)∪(3;+∞ )$ и получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 12)∪ (− 2;−1]∪ [2;3)∪ [8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#110248

Решите неравенство

√ - (− x2+81+ (x− 9)√x2+-6x−-27) ∘ x−-3- 1 x⋅ -9-− x2+-(x+3)√x2+-6x−-27 ⋅ x+-9 ≥ √x

Показать ответ и решение

Подкоренное выражение $x2+ 6x− 27$ имеет нули

∘ 2----- x= −3± 3+ 27= −3± 6,

поэтому раскладывается на множители как $(x +9)(x − 3).$

C учётом ограничения $x> 0$ для существования правой части исходного неравенства получаем, что корень $∘ (x-+9)(x-− 3)$ определён при $x ≥3$ и равен $√x-+9⋅√x-− 3.$