Иррациональные неравенства (с радикалами)

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

Рассмотрим несколько случаев. Когда

Тогда

Тут два случая. Первый,

Пересекаем с ОДЗ, получаем

Второй, при

Тогда

Учтём и ОДЗ, получим

Теперь

Тогда

Заметим, что при правая часть положительна, тогда

Учтём и ОДЗ, получим

В итоге, объединив все случаи,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в прошлом решении, запишем ОДЗ неравенства:

Теперь перенесём влево и приведём всё к общему знаменателю, преобразуем.

Давайте рассмотрим левую часть, как уравнение, и найдём его корни, то есть когда левая часть зануляется, вместе с выколотой точкой. Понятно, что левая часть равна нулю, когда числитель равен нулю. Решим уравнение на ОДЗ, которое равно

Возведём уравнение в квадрат. Преобразуя, получим:

Откуда находим корни и где последний корень не подходит под ОДЗ уравнения.

Теперь можем воспользоваться методом интервалов, подставляя какие-то удобные точки из промежутка.

На промежутке можно выбрать откуда получим положительный знак.

На промежутке взяв точку знак положительный.

На промежутке взяв точку знак отрицательный, так числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

И на промежутке взяв точку знак положительный, так как и числитель, и знаменатель меньше

Итого, совмещая все интервалы и не забывая не выколотые точки — здесь это и получаем, что