Иррациональные неравенства (с радикалами)

Левая часть неравенства определена при условии то есть на множестве а правая часть — на множестве Поэтому ОДЗ исходного неравенства — это На этом множестве обе части определены и неотрицательны, поэтому исходное неравенство равносильно

полученному возведением в квадрат обеих частей исходного неравенства. После преобразований получаем

которое равносильно на множестве неравенству то есть Таким образом, решением неравенства является множество всех удовлетворяющих условию

Сделаем замену и По определению корня Заметим, что

Тогда исходное неравенство примет вид:

Так как и то Следовательно, неравенство равносильно то есть

Для того чтобы это неравенство имело смысл и его можно было возвести в квадрат, необходимо выполнение условий:

1)

Следовательно,

2)

Отсюда

При выполнении этих условий возводим неравенство в квадрат:

Значит:

Теперь объединим все условия в систему:

Пересекаем интервалы и получаем, что решение неравенства:

Целые значения в этом промежутке: единственное целое значение Сумма целых решений равна

Заметим, что разность подкоренных выражений в левой части равна выражению справа. Сделаем замену:

Исходное неравенство примет вид:

Поскольку и неотрицательны, всегда. Тогда неравенство равносильно:

Отсюда получаем, что решения исходного неравенства это

и единственным целым среди них является

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ОДЗ:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При видно, что правая часть отрицательна, а левая положительна, неравенство выполняется, значит, эти значения подходят.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь рассмотрим случай, когда Возведём наше выражение в квадрат

Рассмотрим несколько случаев. Во-первых,

С учётом условия получим

Во-вторых,

Учтём, что у нас

Решим второе неравенство методом интервалов

_____________________________________________________________________________________

В итоге, объединив все случаи получим, что

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

Рассмотрим несколько случаев. Когда

Тогда

Тут два случая. Первый,

Пересекаем с ОДЗ, получаем

Второй, при

Тогда

Учтём и ОДЗ, получим

Теперь

Тогда

Заметим, что при правая часть положительна, тогда

Учтём и ОДЗ, получим

В итоге, объединив все случаи,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в прошлом решении, запишем ОДЗ неравенства:

Теперь перенесём влево и приведём всё к общему знаменателю, преобразуем.

Давайте рассмотрим левую часть, как уравнение, и найдём его корни, то есть когда левая часть зануляется, вместе с выколотой точкой. Понятно, что левая часть равна нулю, когда числитель равен нулю. Решим уравнение на ОДЗ, которое равно

Возведём уравнение в квадрат. Преобразуя, получим:

Откуда находим корни и где последний корень не подходит под ОДЗ уравнения.

Теперь можем воспользоваться методом интервалов, подставляя какие-то удобные точки из промежутка.

На промежутке можно выбрать откуда получим положительный знак.

На промежутке взяв точку знак положительный.

На промежутке взяв точку знак отрицательный, так числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

И на промежутке взяв точку знак положительный, так как и числитель, и знаменатель меньше

Итого, совмещая все интервалы и не забывая не выколотые точки — здесь это и получаем, что

Запишем ОДЗ:

Заметим, что левая часть всегда принимает неотрицательные значения, следовательно, неравенство верно на всей ОДЗ.

Запишем ОДЗ:

Теперь исходное неравенство возведём в квадрат

Пересекаем с ОДЗ и получаем в итоге

Запишем ОДЗ:

Теперь заметим, что если правая часть исходного неравенства отрицательна, то оно верно, т.к. левая часть неотрицательна.

Учтём ОДЗ и получим,

Теперь рассмотрим случай, когда т.е. правая часть исходного неравенства неотрицательна. Возведём его в квадрат.

Учтём ОДЗ и получим,

В итоге ответом будет

Разложим подкоренное выражение на множители:

Если правая часть отрицательна, то решений нет, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Если правая часть неотрицательна, то можем возвести в квадрат, не забыв про ОДЗ:

Выпишем ограничения

При неравенство не имеет решений.

При с учетом ограничений возведем исходное неравенство в квадрат:

Так как , решим методом интервалов неравенство

Заметим, что , так как

Решив неравенство, получаем

Преобразовав неравенство из ограничений, получим

Решив методом интервалов, получим

Заметим, что , так как

Пересекая с решением неравенства, получаем

Заметим, что , поэтому домножив обе части неравенства на знаменатель, получим

Если , то решений нет.

Если же , то обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

Пересекая с , получаем ответ.

Заметим, что корень неотрицателен, поэтому рассмотрим два случая:

1) Числитель левой части неравенства равен 0, тогда знак знаменателя не важен.

При этом знаменатель не обращается в 0, поэтому эти значения подходят.

2) тогда числитель в левой части исходного неравенства больше 0, следовательно, исходное неравенство выполняется, если знаменатель больше 0:

Видно, что при всех этих значениях выполняется условие значит, все они подходят

В итоге ответ:

ОДЗ:

Если , то неравенство верно. Пересекая с ОДЗ, получаем, что являются решениями. При обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

Пересекая с ОДЗ, получаем

Объединяя две серии, получаем ответ.

Преобразуем неравенство:

Введем замену:

Тогда неравенство сведется к

Решением будут Сделаем обратную замену.

Применим метод интервалов для первого неравенства системы:

То есть решение первого неравенства

Для второго неравенства:

Его решением будет

Тогда общее решение:

Запишем ОДЗ:

Введем замену Неравенство имеет вид

Если , то исходное неравенство эквивалентно

Заметим, что , следовательно, . Наконец, неравенство имеет вид

Что неверно, при всеx , поскольку дискриминант данного квадратного трехчлена отрицателен, а его старший коэффициент положителен.

Если , то неравенство верно, поскольку левая часть отрицательна, а правая — положительна. Следовательно, решению удовлетворяют все , удовлетворяющее ОДЗ и неравенству , , , то есть . Пересекая с ОДЗ, имеем

Выпишем условия ОДЗ

Получаем единственное возможное решение. После подстановки убеждаемся, что оно подходит.

Обе части неравенства неотрицательны, так что можем возвести в квадрат, учитывая ОДЗ на неотрицательность каждого подкоренного выражения:

ОДЗ:

Значит, если , то

Так как и , то это возможно только, если .

Значит, если , то

Число всегда. Значит, .

Сразу заметим, что нам не подходит, а также что . Разберем несколько случаев:

• Если , то неравенство переписывается, как

  

  Обе части неравенства неотрицательны, поэтому если верно это неравенство, то верно и неравенство, полученное из данного возведением в квадрат, но новое неравенство верно для всех положительных чисел. С учетом того, что , получаем .

• Если , то правая часть исходного неравенства неотрицательна, а левая - не положительна, поэтому неравенство верно.

• Если же , то обе части неравенства не положительны, поэтому с учетом того, что , можно возвести неравенство в квадрат, сменив знак на противоположный

  

  Откуда

Итого наш ответ — объединение всех случаев, то есть