Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Иррациональные неравенства (с радикалами)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85022

Решите неравенство

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не спешите возводить в квадрат, как только увидели корень. Обратите внимание на знак неравенства и вспомните, какие значения принимает корень.

Подсказка 2

Когда смотришь на это неравенство, так и хочется сократить на корень, хорошо, что он по определению неотрицательный. Значит, нужно рассмотреть только случай, когда он 0, а потом уже можно и сокращать!

Подсказка 3

Если корень равен нулю, то неравенство выполнено всегда! осталось решить такое уравнение, когда же корень равен нулю.

Показать ответ и решение

∘-2---- x − 25⋅(x− 3)≤ 0

⌊ x2− 25 =0 || ( |⌈ { x2− 25> 0 ( x − 3 ≤0

⌊ [ x =5 ||| x =− 5 || ({ |⌈ x∈ (− ∞,−5)∪(5,+∞ ) ( x≤ 3

⌊ [ x= 5 || x= −5 |⌈ x∈ (−∞,−5)

x∈(−∞, −5]∪{5}

Ответ:

$(−∞,− 5]∪ {5}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85023

Решите неравенство

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Столько корней, значит, стоит сразу посчитать ОДЗ. При каких х из ОДЗ неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения?

Подсказка 2

При x < 0. Значит, теперь мы рассматриваем только х ≥ 0. Больше ничего не поделать, поэтому придётся возводить обе части неравенства в квадрат. Перенесём 6 в правую часть и опять получим неравенства вида «корень ≥ выражение через х». И вновь можно сказать, что когда правая часть отрицательная, то неравенство всегда выполняется, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Подсказка 3

И вот мы рассматриваем х, такие что х ≥ 0 и x² - 6 ≥ 0, и опять возводим в квадрат наше неравенство, которое после приведения подобных и разложения на множители можно решить методом интервалов.

Показать ответ и решение

∘ √---------- 16x+ 36+ 6≥ x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ОДЗ:

9 16x +36≥ 0 ⇐⇒ x≥ −4

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

При $9 − 4 ≤x < 0$ видно, что правая часть отрицательна, а левая положительна, неравенство выполняется, значит, эти значения подходят.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≥0.$ Возведём наше выражение в квадрат

√ ------- 16x +36+ 6≥ x2

√ ------- 16x +36≥ x2− 6

Рассмотрим несколько случаев. Во-первых,

( ) x2− 6 <0 ⇐ ⇒ x ∈ −√6,√6-

С учётом условия $x ≥0$ получим $[ -) x∈ 0,√6 .$

Во-вторых,

( { x2− 6 ≥0 ( (2 )2 16x+ 36≥ x − 6

(|{ x∈ (− ∞,−√6] ∪[√6,+∞ ) |( 16x +36≥ x4− 12x2+ 36

Учтём, что у нас $x≥ 0$

( [√ - ) |{ x∈ 6,+∞ |( 3 x(x − 12x − 16)≤ 0

( [√ - ) |{ x∈ 6,+ ∞ |( 2 x(x − 4)(x +2) ≤ 0

Решим второе неравенство методом интервалов

(| [√- ) { x ∈ 6,+∞ |( x ∈{−2}∪ [0,4]

[ ] x ∈ √6,4

_____________________________________________________________________________________

В итоге, объединив все случаи получим, что $[ ] x ∈ − 9 ,4 . 4$

Ответ:

$[− 9;4] 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85025

Решите неравенство

13− 6x+√4x2-− 2x−-6 -------5−-2x-------> 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При решении подобного вида задач часто помогало занесение всех выражений под один знаменатель, затем нахождение нулей у числителя и знаменателя, а затем грамотное объединение всех подходящих интервалов с учётом ОДЗ.

Подсказка 2

Чтобы найти нули у числителя нужно решить уравнение sqrt(4x^2-2x-6) = 4x-8, при условии, что 4x-8 >= 0, иначе левая часть не отрицательна, а правая отрицательна. Не забывайте, что мы рассматриваем такие случаи, потому что возведение в квадрат уравнений равносильно только когда выражения одного знака!

Подсказка 3

Теперь, когда с нулями числителя мы расправились, нужно решить условия на ОДЗ и воспользоваться методом интервалов (подставить в каждый из получившихся промежутков по точке и посмотреть на знак выражения)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Запишем ОДЗ:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

(| ( 3) |{ 2(x+ 1) x− 2 ≥0 ||( 5 x ⁄= 2

( [3 ) ||{ x∈ (− ∞,−1]∪ 2,+∞ || 5 ( x⁄= 2

[ ) ( ) x∈(−∞, −1]∪ 32,52 ∪ 52,+ ∞

Рассмотрим несколько случаев. Когда

5 5− 2x> 0 ⇐⇒ x< 2

Тогда

∘ ---------- 13− 6x+ 4x2− 2x − 6 >5− 2x

∘--2------- 4x − 2x− 6> 4x − 8

Тут два случая. Первый,

4x− 8< 0 ⇐⇒ x< 2

Пересекаем с ОДЗ, получаем $[ ) x∈ (− ∞,−1]∪ 3,2 . 2$

Второй, при

4x− 8≥ 0 ⇐⇒ x≥ 2

Тогда

4x2− 2x − 6 >16x2− 64x +64

2 12x − 62x+ 70< 0

(x − 7)(x − 5) < 0 2 3

( 5 7) x ∈ 3,2

Учтём $5 x< 2,x≥ 2$ и ОДЗ, получим $[ 5) x∈ 2,2 .$

Теперь

5− 2x< 0 ⇐⇒ x> 5 2

Тогда

13− 6x+∘4x2-−-2x-− 6-<5− 2x

∘---------- 4x2− 2x− 6< 4x − 8

Заметим, что при $5 x > 2$ правая часть положительна, тогда

4x2− 2x − 6 <16x2− 64x +64

12x2− 62x+ 70> 0

( 7)( 5) x− 2 x −3 > 0

( ) ( ) x∈ −∞, 5 ∪ 7,+∞ 3 2

Учтём $x> 5 2$ и ОДЗ, получим $( ) x∈ 7,+∞ . 2$

В итоге, объединив все случаи, $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Аналогично, как в прошлом решении, запишем ОДЗ неравенства:

{ 4x2− 2x − 6 ≥0 5− 2x⁄= 0

( ( ) ||{ 2(x+ 1) x− 3 ≥0 2 ||( x ⁄= 5 2

[ ) (|| x∈ (− ∞,−1]∪ 3,+∞ { 2 ||( x⁄= 5 2

[3 5) ( 5 ) x∈(−∞, −1]∪ 2,2 ∪ 2,+ ∞

Теперь перенесём $1$ влево и приведём всё к общему знаменателю, преобразуем.

√--2------- 8− 4x+-4x-−-2x−-6> 0 5− 2x

Давайте рассмотрим левую часть, как уравнение, и найдём его корни, то есть когда левая часть зануляется, вместе с выколотой точкой. Понятно, что левая часть равна нулю, когда числитель равен нулю. Решим уравнение на ОДЗ, которое равно $4x− 8> 0,$

∘---------- 4x2− 2x− 6= 4x − 8

Возведём уравнение в квадрат. Преобразуя, получим:

12x2− 62x+ 70= 0

Откуда находим корни $7 x = 2$ и $5 x= 3,$ где последний корень не подходит под ОДЗ уравнения.

Теперь можем воспользоваться методом интервалов, подставляя какие-то удобные точки из промежутка.

На промежутке $[−∞, −1]$ можно выбрать $x= −2,$ откуда получим положительный знак.

На промежутке $[3 5) 2,2 ,$ взяв точку $x =2,$ знак положительный.

На промежутке $(5 7) 2,2 ,$ взяв точку $x =3,$ знак отрицательный, так числитель положительный, а знаменатель отрицательный.

И на промежутке $(7 ) 2,+∞$ взяв точку $x= 4,$ знак положительный, так как и числитель, и знаменатель меньше $0.$

Итого, совмещая все интервалы и не забывая не выколотые точки — здесь это $x = −1$ и $3 x= 2,$ получаем, что $[ ) ( ) x ∈(−∞,− 1]∪ 3,5 ∪ 7,+∞ . 2 2 2$

Ответ:

$(−∞; −1]∪[3;5) ∪( 7;+ ∞) 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85026

Решите неравенство

∘-------2 2 − x − x > −1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 2 − x− x ≥ 0

(x− 1)(x+ 2)≤ 0

x∈ [−2;1]

Заметим, что левая часть всегда принимает неотрицательные значения, следовательно, неравенство верно на всей ОДЗ.

Ответ:

$[−2;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85027

Решите неравенство

√---- ∘--2------- 2− x< 3x − 2x− 2

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ 2− x≥ 0 3x2− 2x − 2 ≥0

(|{ x ≤2 ( √-] [ √- ) |( x ∈ −∞; 1−3-7 ∪ 1+37;+∞

( √-] [ √- ] x∈ − ∞;1−--7 ∪ 1+--7;2 3 3

Теперь исходное неравенство возведём в квадрат

2− x< 3x2− 2x− 2

3x2− x − 4 >0

(x +1)(3x− 4)> 0

(4 ) x∈ (−∞;−1)∪ 3;+∞

Пересекаем с ОДЗ и получаем в итоге

( ] x ∈(−∞;− 1)∪ 4;2 3

Ответ:

$(−∞; −1)∪( 4;2] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85029

Решите неравенство

-----3x+3----- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 1

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

({ x2− 2x+10≥ 0 √---------- ( 3− x2− 2x+ 10 ⁄=0

( { (x− 1)2+ 9≥ 0 ( (x− 1)2+ 9⁄= 9

x⁄= 1

Теперь преобразуем исходное неравенство

( √ ---------) 3x+-3−--3−--x2−-2x-+10- 3 − √x2-− 2x+-10 ≤ 0

√---------- 3x+√-x2−-2x+10-≤0 3 − x2− 2x+ 10

Докажем, что знаменатель всегда отрицательного знака

∘ -2-------- 3− x − 2x+ 10< 0

9 <x2 − 2x+ 10

0< (x− 1)2

Следовательно, исходное неравенство равносильно

∘-2-------- 3x+ x − 2x+ 10 ≥0

∘x2−-2x+-10-≥− 3x

Заметим, что если $− 3x < 0,$ т.е. $x >0,$ то неравенство верно, т.к. левая часть неотрицательна. Теперь рассмотрим случай $x ≤0,$ возведём неравенство в квадрат.

x2− 2x+ 10≥ 9x2

8x2+ 2x − 10≤ 0

(x − 1)(4x+ 5)≤0

[ ] x ∈ − 5;1 4

Но т.к. $x ≤0,$ то

x ∈[− 5;0] 4

Объединим все случаи и учтём ОДЗ, в итоге получим

[ 5 ) x ∈ −4 ;1 ∪(1;+∞ )

Ответ:

$[− 5;1) ∪(1;+∞) 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85030

Решите неравенство

∘--2------- 1− 2x 3x − 8x− 3 > 3

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

2 3x − 8x− 3≥ 0

(x − 3)(3x+ 1)≥0

( ] x ∈ − ∞;− 1 ∪[3,+∞ ) 3

Теперь заметим, что если правая часть исходного неравенства отрицательна, то оно верно, т.к. левая часть неотрицательна.

1−-2x- 3 < 0

x > 1 2

Учтём ОДЗ и получим, $x∈[3,+ ∞).$

Теперь рассмотрим случай, когда $x ≤ 1, 2$ т.е. правая часть исходного неравенства неотрицательна. Возведём его в квадрат.

3x2− 8x − 3 > 1− 4x+-4x2 9

2 23x − 68x− 28> 0

( 34−-30√2-) (34+-30√2 ) x∈ − ∞; 23 ∪ 23 ;+∞

Учтём ОДЗ и $x ≤ 1, 2$ получим, $( √ -) x∈ −∞; 34−-30--2 . 23$

В итоге ответом будет

( √-) x ∈ −∞;34−-30-2 ∪[3;+∞ ) 23

Ответ:

$( 34 − 30√2) −∞; ---23---- ∪[3;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85173

Решите неравенство

∘-2------- x − 3x+ 2≤ x− 1

Показать ответ и решение

Разложим подкоренное выражение на множители:

∘---------- (x− 1)(x− 2)≤x − 1

Если правая часть отрицательна, то решений нет, так как корень принимает только неотрицательные значения.

Если правая часть неотрицательна, то можем возвести в квадрат, не забыв про ОДЗ:

2 0≤ (x− 1)(x− 2)≤ (x− 1)

{ (x− 1)(x− 2)≥0 (x− 1)((x− 2)− (x− 1))≥ 0

{ x ∈(−∞;1]∪[2;+ ∞) x ≥1

x ∈{1}∪[2;+ ∞)

Ответ:

${1}∪[2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88252

Решите неравенство

∘ --7-----3 5x-−-332x-≤ x3 5x− x − 4

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения

({ 5x7 − 32x3 5x-− x3−-4 ≥ 0 ( 5x− x3− 4⁄= 0

При $x3 < 0$ неравенство не имеет решений.

При $x3 ≥ 0$ с учетом ограничений возведем исходное неравенство в квадрат:

7 3 -5x--− 332x-≤ x6 5x − x − 4

5x7− 32x3−-5x7+-x9+-4x6-≤ 0 5x− x3− 4

x3(x6+ 4x3 − 32) --5x−-x3− 4--≤ 0

3 3 3 -----(-x-(x-−√ 4)()x(+8)√----)-≤ 0 (1− x) x+ 1+--17 x− --17-− 1 2 2

Так как $x≥ 0$ , решим методом интервалов неравенство

x(x3− 4) -----(---√17-− 1)-≤ 0 (1− x) x− ---2--

Заметим, что $√ -- --17-− 1 <413 2$ , так как

1 2 2 1 17<(43 ⋅2+ 1) =4 3 ⋅4+1 +43 ⋅4

4< 413(413 + 1)

16< (413 + 1)3

2⋅213 < 1+ (213)2

1 0< (23 − 1)2

Решив неравенство, получаем

( √ -- ) [ 1 ) x ∈{0}∪ 1;--172− 1 ∪ 43;+∞

Преобразовав неравенство из ограничений, получим

x3(x4− 352)⋅5 -----(---√17-− 1)-≥ 0 (1− x) x− ---2--

Решив методом интервалов, получим

( ] √17− 1-∘432 x∈ [0;1)∪ 2 ; 5

Заметим, что $∘ --- 4 32> 3√4- 5$ , так как $3 7 323-> 44 =⇒ 23 >1 5 5$

Пересекая с решением неравенства, получаем

[ ] 3√- 4∘-32- x ∈{0}∪ 4; 5

Ответ:

$[ 3√- 4∘-32] {0}∪ 4; 5-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#88253

Решите неравенство

√5-(x− 5) 1< √x2-− 10x+-26

Показать ответ и решение

Заметим, что $x2− 10x+ 26= (x − 5)2+1 >0$ , поэтому домножив обе части неравенства на знаменатель, получим

∘ ---------- √- x2− 10x+ 26< 5(x− 5)

Если $x≤ 5$ , то решений нет.

Если же $x >5$ , то обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

2 2 x − 10x+26< 5(x− 5)

2 2 x − 10x+ 26< 5x − 50x+ 125

4x2 − 40x+ 99 >0

( ) ( ) x ∈ −∞,9 ∪ 11,+ ∞ 2 2

Пересекая с $x> 5$ , получаем ответ.

Ответ:

$(11;+∞) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88256

Решите неравенство

√x6−-64 -x−-3--≥ 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По ОДЗ: x⁶ - 64 ≥ 0 и x≠3. А что мы знаем про корень? Какие значения он принимает?

Подсказка 2

Корень не может быть отрицательным. Значит, числитель дроби всегда неотрицательный. Что можно сказать про x = 2, а про x = -2?

Подсказка 3

Если x = 2 или x = -2, то вся левая часть обращается в ноль! А это нам подходит. Теперь отбросим эти значения. Каким тогда должен быть знаменатель?

Подсказка 4

Получается, что и знаменатель тоже больше нуля! А когда он больше нуля?

Подсказка 5

При всех x > 3

Показать ответ и решение

Заметим, что корень неотрицателен, поэтому рассмотрим два случая:

1) Числитель левой части неравенства равен 0, тогда знак знаменателя не важен.

6 x − 64= 0

[ x =− 2 x =2

При этом знаменатель не обращается в 0, поэтому эти значения подходят.

2) $x6 − 64> 0,$ тогда числитель в левой части исходного неравенства больше 0, следовательно, исходное неравенство выполняется, если знаменатель больше 0:

x− 3> 0

x> 3

Видно, что при всех этих значениях выполняется условие $6 x − 64> 0,$ значит, все они подходят

В итоге ответ: $x∈ {− 2;2}∪ (3;+∞ ).$

Ответ:

${−2;2}∪(3;+ ∞)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#88257

Решите неравенство

√16−-x2 -3−-x--≤ 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом в выражении с корнями и дробями стоит найти ОДЗ. А что делать дальше? У нас есть дробь, знак числителя которой нам известен... Может, попробуем обратить внимание на знак всего выражения?

Подсказка 2

Конечно, когда знаменатель отрицательный, то и всё наше выражение будет неположительным, а значит, точно не больше единицы. Остаётся рассмотреть случаи с положительным знаменателем. Как мы тогда можем преобразовать наше неравенство?

Подсказка 3

Верно, если знаменатель положителен, то можно домножить на него обе части неравенства и затем возвести в квадрат! Теперь нам нужно только аккуратно посчитать и пересечь обе серии решений с ОДЗ

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x∈ [−4;3)∪(3;4].$

Если $3− x < 0$ , то неравенство верно. Пересекая с ОДЗ, получаем, что $x∈ (3;4]$ являются решениями. При $3 − x >0$ обе части неравенства неотрицательные, поэтому имеем

2 2 16− x ≤(3− x)

2 2x − 6x− 7≥ 0

( 3−-√23] [3+-√23 ) x∈ − ∞; 2 ∪ 2 ;+∞

Пересекая с ОДЗ, получаем

[ √ -] x∈ − 4;3-−--23 2

Объединяя две серии, получаем ответ.

Ответ:

$[ 3 − √23] − 4;--2-- ∪(3;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88259

Решите неравенство

∘ ---1- 7x − 1 5 1− x > -x---

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать дроби: правую часть привести к общему знаменателю, а из левой выделить целую часть. Может быть, мы теперь увидим похожие конструкции справа и слева?

Подсказка 2

И справа, и слева образовалось выражение sqrt((x-1)/x), и больше нет ничего, зависящего от x. Давайте же обозначим это выражение за новую переменную t!

Подсказка 3

Получим простое квадратное неравенство от t. Решим его, а далее останется аккуратно перейти к старой переменной!

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

∘ x-− 1 x− 1 5 --x- > -x--+ 6

Введем замену:

∘ ----- t= x−-1 x

Тогда неравенство сведется к

5t> t2+ 6

t2− 5t+ 6< 0

(t− 2)(t− 3)< 0

Решением будут $t∈ (2;3).$ Сделаем обратную замену.

∘----- { −3x−1 2< x−-1< 3 ⇐⇒ 4< x−-1< 9 ⇐⇒ --x--> 0 x x −8xx−1< 0

Применим метод интервалов для первого неравенства системы:

$PIC$

То есть решение первого неравенства $x ∈(− 13;0).$

Для второго неравенства:

$PIC$

Его решением будет $x∈(−∞; − 18)∪ (0;+∞ ).$

Тогда общее решение:

x∈(− 1;− 1) 3 8

Ответ:

$x ∈(− 1;− 1) 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#88875

Решите неравенство

∘-3− 4x √5-+-4x- 5+4x-+ 2√3-−-4x-− 2-≥0

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 3− 4x ≥0 { 5+4x >0 |( √----- 3− 4x⁄= 1

(| x ≤ 3 { x >−45 |( x ⁄= 14 2

x∈ (− 5,1)∪(1,3]. 4 2 2 4

Введем замену $a= √3-− 4x,b= √5+-4x.$ Неравенство имеет вид

a --b-- b +2a− 2 ≥0

a ≥ --b-. b 2− 2a

Если $2− 2a >0$ , то исходное неравенство эквивалентно

2a− 2a2 ≥ b2.

Заметим, что $b2+a2 =8$ , следовательно, $b2 =8 − a2$ . Наконец, неравенство имеет вид

2a− 2a2 ≥8 − a2

a2− 2a +8 ≤0

Что неверно, при всеx $a$ , поскольку дискриминант данного квадратного трехчлена отрицателен, а его старший коэффициент положителен.

Если $2− 2a <0$ , то неравенство верно, поскольку левая часть отрицательна, а правая — положительна. Следовательно, решению удовлетворяют все $x$ , удовлетворяющее ОДЗ и неравенству $a >1$ , $√ ----- 3− 4x >1$ , $3− 4x> 1$ , то есть $1 x< 2$ . Пересекая с ОДЗ, имеем

x∈ (− 5,1). 4 2

Ответ:

$(− 5;1) 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#67699

Решите неравенство

∘ --------2- √---- 15− 2x − x + x − 3> 2x− 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные корни — это нехорошо... Возводить в квадрат тут не вариант, так как, во-первых, ничего не сократится, и появятся ещё корни. А во-вторых, при возведении в квадрат обе части должны быть положительными, то есть нужно будет рассматривать дополнительные случаи. Но у нас есть корень с квадратным трёхчленом. Что напрашивается сделать с ним в первую очередь?

Подсказка 2

Верно, давайте разложим его на множители. А дальше ещё раз обратим внимание на выражение под корнями. Видим, что под одним корнем у нас 3-x, а под другим x-3. А что вообще хорошо бы сделать, когда в выражении участвуют корни?

Подсказка 3

Точно, давайте запишем ограничение на них, ведь они должны быть больше нуля. Что же у нас получается? В одном случае x≥3, а в другом x≤3. Но тогда решение найдено, победа!

Показать ответ и решение

Выпишем условия ОДЗ

{ 15− 2x − x2 ≥0 x− 3≥ 0

{ (3− x)(x+ 5)≥ 0 x≥ 3

{ −5 ≤x ≤3 x≥ 3

x= 3

Получаем единственное возможное решение. После подстановки убеждаемся, что оно подходит.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#43618

Решите неравенство

∘ -2--- ∘ --2---------3 x − 1≤ 5x − 1− 4x− x

Показать ответ и решение

Обе части неравенства неотрицательны, так что можем возвести в квадрат, учитывая ОДЗ на неотрицательность каждого подкоренного выражения:

∘ ----- ∘ ------------- x2− 1≤ 5x2− 1− 4x− x3

2 2 3 0 ≤x − 1≤ 5x − 1 − 4x− x

{ (x+ 1)(x− 1)≥0, x(x− 2)2 ≤ 0

x∈(−∞; −1]∪{2}

Ответ:

$(−∞;− 1]∪ {2}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91543

Решите неравенство

x2 +4x+ 4 √x2+-8x+-16 -2x+-12--≤ 1− ---x-+4----

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x⁄= −4, − 6$

√x2+-8x+16- |x+ 4| 1− ---x+-4----=1 −-x+-4

Значит, если $x +4 ≥0$ , то

√---------- x2+-4x-+4-= (x-+2)2≤ 1− -x2+-8x+-16-= 0 2x+ 12 2(x+ 6) x+ 4

Так как $(x+ 2)2 ≥ 0$ и $x+ 6≥ 2$ , то это возможно только, если $x= −2$ .

Значит, если $x +4 <0$ , то

x2+ 4x +4 (x +2)2 √x2+-8x+-16- -2x+-12--= 2(x+-6) ≤ 1−---x+-4----= 2

√-- √-- x2−-20= (x−--20)(x+--20≤ 0 2x+ 12 2(x+6)

Число $x− √20< x+ 4< 0$ всегда. Значит, $x∈ [−√20,−4)∪ (−∞, −6)$ .

Ответ:

$(−∞;− 6)∪[− √20;− 4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92084

Решите неравенство

∘x2(10−-x2) ----x------≤2x+ 5.

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что $x =0$ нам не подходит, а также что $|x|≤ √10$ . Разберем несколько случаев:

Если $x > 0$ , то неравенство переписывается, как
$∘------ 10− x2 ≤ 2x+5$
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому если верно это неравенство, то верно и неравенство, полученное из данного возведением в квадрат, но новое неравенство верно для всех положительных чисел. С учетом того, что $|x|≤ √10$ , получаем $(0,√10]$ .
Если $− 2.5≤x < 0$ , то правая часть исходного неравенства неотрицательна, а левая - не положительна, поэтому неравенство верно.
Если же $x< −2.5$ , то обе части неравенства не положительны, поэтому с учетом того, что $|x|≤ √10$ , можно возвести неравенство в квадрат, сменив знак на противоположный
$2 2 √-- 10− x ≥4x + 20x +25,x ∈[− 10,− 2.5) x2+ 4x +3 ≤0$
Откуда $x ∈[−3,− 1]∩[−√10,− 2.5) =[−3,− 2.5).$

Итого наш ответ — объединение всех случаев, то есть $[−3;0)∪ (0;√10].$

Ответ:

$[−3;0)∪ (0;√10]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32857

Решите неравенство

------1----- -------2------ √x2-− x-− 2− 2 ≤ √x2-+14x+-40− 4.

Источники: ПВГ-2018, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь надо записать ограничения на икс, так как подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Теперь можно заметить, что в одной части в числителе 1, а в другой 2, для чего так сделано?

Подсказка 2

Перенесём всё налево и попробуем привести дроби к общему знаменателю. Тогда в числителе -4 сократится с (-2) * (-2). Так вот зачем взяли такие числители! Осталось дорешать неравенство обобщённым методом интервалов. То есть найти нули числителя и знаменателя, отметить их на числовой прямой, причём выколоть нули знаменателя, расставить знаки на каждом промежутке, взять нужные промежутки.

Подсказка 3

Не забыли про ограничения? Их нужно пересечь с полученным множеством!

Показать ответ и решение

ОДЗ задаётся четырьмя условиями:

2 x − x− 2= (x +1)(x− 2)≥ 0,

(x +1)(x − 2)⁄= 4,

x2 +14x+ 40 =(x+ 4)(x+ 10)≥0,

x2+ 4x +40⁄= 16;

пересекая которые, получаем

x ∈(−∞; −12)∪ (− 12;−10]∪[−4;− 2)∪ (−2;− 1]∪ [2;3)∪ (3;+∞ )

Приведём дроби из условия к общему знаменателю

√-2-------- √-2------ -√-2x-+-14x-+40√−-22-x-−-x−-2-- ≤0 ( x − x− 2− 2)( x +14x+ 40− 4)

Знак разницы неотрицательных чисел (в данном случае корней из каких-то выражений) совпадает со знаком разницы их квадратов, потому что разность квадратов раскладывается в произведение разности этих чисел (знак которой нам и надо понять) и суммы этих чисел (которая и так неотрицательна, так что не влияет на знак). Поэтому неравенство равносильно:

x2+-14x-+40−-4(x2−-x−-2) ---3(x−-8)(x+-2)--- (x2− x− 6)(x2+ 14x +24) ≤0 ⇐ ⇒ (x − 3)(x+ 2)2(x+ 12) ≥0

Откуда по методу интервалов $x ∈(−∞; −12)∪ (−2;3]∪[8;+ ∞)$ .

Пересекаем с ОДЗ $(−∞;−12)∪(−12;−10]∪ [− 4;−2)∪ (−2;−1]∪[2;3)∪(3;+∞ )$ и получаем ответ.

Ответ:

$(−∞;− 12)∪ (− 2;−1]∪ [2;3)∪ [8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#67702

Решите неравенство

∘ √------- ∘ --------√----- x+ 1− 2+ x+ 82− 18 x +1 >5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим какие-то не очень приятные корни... Так под корнем ещё один корень. Давайте попробуем облегчить себе жизнь хоть немного. Видим, что под обоими большими корнями есть общий корень. Какое тогда действие напрашивается сделать?

Подсказка 2

Верно, давайте сделаем замену t=√(x+1), где t — неотрицательный. Далее после преобразований получим выражение с модулем и корнем. С первого взгляда не совсем понятно, что с этим теперь делать... Но не можем ли мы снова сделать замену корня?

Подсказка 3

Конечно можем, ведь тогда t легко выражается через замену. Остаётся теперь только аккуратно решить это квадратное неравенство с модулем и совершить обратные замены. После чего мы и получим решение для x.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=√x-+-1≥ 0$ , получим