Тема Квадратные трёхчлены

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела квадратные трёхчлены

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120557

Пусть $x ,x 1 2$ — корни квадратного трехчлена $f(x)= x2− 2x− 1,$ а $x ,x 3 4$ — корни квадратного трехчлена $g(x)= x2 − 3x− 1.$ Найдите все возможные значения выражения $3 3 (g(x1)) f(x3)+ (g(x2))f (x4).$

Источники: Бельчонок - 2025, Вариант 1, 11.1(см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы найти выражение g(x₁), было бы хорошо выразить g через f! Аналогично и с g(x₂).

Подсказка 2

Итак, найти нам нужно -x₁³ x₃ - x₂³x₄. А в каких формулах встречается произведение корней?

Подсказка 3

Воспользуйтесь теоремой Виета, чтобы через формулы сокращенного умножения выразить нужную нам сумма!

Показать ответ и решение

Заметим, что $g(x)= f(x)− x.$ Так как $f(x )= f(x )= g(x )= g(x )= 0, 1 2 3 4$ легко получаем $g(x )=− x, 1 1$ $g(x )=− x, 2 2$ а также $f(x3)=x3,$ $f(x4)= x4.$

Поэтому исходное выражение

3 3 3 3 A =(g(x1))f(x3)+ (g(x2)) f(x4)= −x1x3− x2x4

Его несложно вычислить прямой подстановкой корней; однако, можно поступить иначе.

Пусть $B = −x3x − x3x . 1 4 23$ Заметим, что

x1x2 =x3x4 = −1

x + x = 2 1 2

x3+ x4 = 3

x31+x32 =(x1+ x2)3− 3x1x2(x1+x2)= 8+ 6= 14

x23+ x24 = (x3+ x4)2− 2x3x4 =9 +2 =11

x61+ x62 =(x31+ x32)2− 2x31x32 =196+ 2= 198

Далее,

3 3 A+ B =− (x1+ x2)(x3+ x4) =−14⋅3 =−42

6 6 3 3 2 2 AB = (x1+x2)x3x4 +x1x2(x3+ x4)=− 198− 11= −209

Поэтому $A$ и $B$ — корни квадратного уравнения $x2+42x− 209=0$ (обратная теорема Виета). Корни этого уравнения $− 21+5√26-$ и $− 21− 5√26.$

Осталось отметить, что если переобозначить, допустим, корни трёхчлена $f(x) :$ $x1$ через $x2,$ а $x2$ через $x1,$ то значения $A$ и $B$ поменяются местами. Это значит, что искомое значение выражения $A$ может принимать оба указанных выше значения.

Ответ:

$− 21± 5√26$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125085

Квадратный трёхчлен $f(x)= ax2+ bx+ c$ имеет два различных вещественных корня $x 1$ и $x . 2$ Известно, что $f(x + x)= 2025. 1 2$ Чему может равняться $c?$

Источники: Всеросс, РЭ, 2025, 10.1 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

При виде суммы корней вы сразу должны подумать о теореме Виета. Её же некоторым образом можно выразить через коэффициенты трёхчлена.

Подсказка 2:

Как насчёт того, чтобы подставить это выражение в трёхчлен, вдруг получится что-нибудь интересное?

Показать ответ и решение

Первое решение. По теореме Виета $x + x = − b. 1 2 a$ Значит,

( b) ( b)2 ( b) b2 b2 f(x1+ x2)= f −a = a⋅ − a + b⋅ −a +c = a-−-a +c= c.

Тогда из условия следует, что $c=2025.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. График $y = f(x)$ симметричен относительно прямой $x= x1+2x2$ — вертикальной прямой, проходящей через вершину параболы. Поэтому для любых двух значений $x= t1,$ $x = t2$ таких, что $t1+t22= x1+2x2,$ будет выполнено $f(t1)= f(t2).$ В частности, $f(x1+ x2)=f(0).$ Но $f(0) =c.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение. Подставим $x1+ x2$ в квадратный трехчлен:

f(x1+ x2)=a(x1+x2)2+ b(x1+ x2)+ c= ax2+2ax1x2+ax2+ bx1+bx2+ c 1 2

= (ax21+ bx1+c)+ (ax22+ bx2+c)+ 2ax1x2− c= f(x1)+f(x2)+(2ax1x2− c).

Так как $x1$ и $x2$ —– корни, то $f(x1)=f(x2)=0,$ а по теореме Виета $x1x2 = ca,$ получаем, что $f(x1+ x2)= f(x1)+ f(x2)+ (2ax1x2− c)= 0+ 0+ 2c− c= c.$

Ответ:

2025.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125179

Даны три функции

f(x)= (x +a )(x2+b x+ 6) , 1 1 ( 2 1 ) f2(x)= (x +a2)(x +b2x+ 8), f3(x)= (x +a3) x2+b3x+ 12

(здесь $a1,b1,a2,b2,a3,b3$ — положительные числа).

Для каждого действительного $x$ выполняется условие $f1(x)=f2(x) =f3(x).$ Найдите значение суммы $a1+ b1+a2+ b2+ a3 +b3.$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из того, что функции тождественные, можем получить определённые выводы. Посмотрим на первый множитель в каждой из функций. Какие корни в совокупности получаются из них?

Подсказка 2

Получаем, что у каждого из выражений корни -a₁, -a₂, -a₃. При этом, так как это максимально возможное число корней у многочленов третьей степени, то это единственные корни в каждом из выражений (причём они различны, подумайте, почему). Теперь хотим использовать теорему Виета со знанием этой информации в контексте вторых множителей.

Подсказка 3

Отсюда уже довольно просто находятся сначала а₁, а₂, а₃, а потом и b₁, b₂, b₃. Если столкнулись с проблемами на этапе применения теоремы Виета, то просто перемножьте все результаты, которые вы оттуда получили, и найдите сначала х₁ * х₂ * х₃.

Показать ответ и решение

Так как значения в каждой точке у функций совпадают, то $f =f = f . 1 2 3$ Тогда уравнение $f(x)= 0 1$ имеет отрицательные корни $x1 = −a1, x2 = −a2, x3 = −a3,$ и это три разных корня, так как если бы линейные множители в двух тождественно равных функциях были бы одинаковыми, то совпадали бы и квадратичные множители, а по условию задачи это не так.

Поэтому из теоремы Виета для каждого из квадратичных множителей следует:

x2 ⋅x3 =6, x1⋅x3 = 8, x1⋅x2 = 12

Перемножим три равенства, получим, что $(x x x)2 = (6⋅4)2, 1 2 3$ тогда из отрицательности корней следует, что $x xx = −24. 12 3$ Поэтому

−24 −24 −-24 x1 = 6 =−4, x2 = 8 = −3, x3 = 12 = −2.

Тогда $a1 =4, a2 = 3, a3 = 2,$ а по теореме Виета ищутся $b1 =3 +2= 5, b2 = 4+ 2= 6, b3 =4 +3= 7.$

Тогда ответ: $a1+ a2+ a3+b1+ b2 +b3 = 4+ 3+2 +5+ 6+ 7= 27.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126187

Найдите все значения параметра $a,$ при которых корни уравнения $x2 − (a2− a)x +a− 5= 0$ являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии, а корни уравнения $2 (3 2) 4 2 6 4x − a − a x+ 2a +2a − a − 4 =0$ являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.

Источники: Физтех - 2025, 10.5 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть дана арифметическая прогрессия xₙ с разностью d. Выразите её пятый, шестой, третий и восьмой члены.

Подсказка 2

Заметьте, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Подсказка 3

Вспомните теорему Виета.

Подсказка 4

У Вас получится несколько возможных значений a. Найдите при каждом a пятый, шестой, третий и восьмой члены прогрессии и оцените через них d.

Показать ответ и решение

Пусть дана арифметическая прогрессия $x n$ с разностью $d,$ тогда ее пятый член — $x + 4d, 1$ шестой член — $x + 5d, 1$ третий член — $x1+ 2d,$ восьмой член — $x1 +7d.$ Заметим, что сумма пятого и шестого совпадает с суммой третьего и восьмого.

Пятый и шестой члены прогрессии — корни первого уравнения, третий и восьмой — корни второго уравнения, тогда можем вычислить их суммы по теореме Виета:

a3− a2 a2− a= --4---

14a(a− 1)(a− 4)= 0

a ∈{0;1;4}

Если $a= 0,$ то корнями первого уравнения являются числа $√- ± 5,$ а второго — $± 1.$ Тогда $√- |d|= |x6− x5|= 2 5$ и $5|d|= |x8− x3|=2,$ но это невозможно, следовательно, $a= 0$ не подходит.

Если $a= 1,$ то корнями первого уравнения являются числа $± 2,$ а корнями второго — $± 1. 2$ Тогда $|d|= |x6− x5|= 4$ и $5|d|= |x8− x3|=1,$ следовательно, $a= 1$ не подходит.

Если $a= 4,$ то корнями первого уравнения являются числа $6± √37,$ а корнями второго — $6± 5√37.$ Эти числа являются членами арифметической прогрессии с $x5 = 6− √37$ и $d= 2√37,$ поэтому $a= 4$ подходит.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85147

Найдите все значения параметра $a,$ при которых у уравнения

2 2 x − (2a +1)x+ a + 2= 0

существуют ровно два различных корня, которые отличаются ровно в два раза.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из условий можем сразу назвать: корни точно должны быть! А если один из них равен t, то чему будут равны второй корень, сумма корней, произведение корней?

Подсказка 2

Все это можем легко найти! Наверняка Вы уже догадались, какую теорему можем применить :)

Подсказка 3

Чтобы найти подходящие значения параметра, можем избавиться от переменной t с помощью двух уравнений (выражаем из одного и подставляем во второе!). Найдите решения полученного уравнения и проверяйте, подходят ли они под поставленное в самом начале условие.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратное при всех значениях параметра. Пусть $t$ и $2t$ — два его различных корня. Тогда дискриминант уравнения положителен и выполнена теорема Виета:

( 7 (| 2 2 ||||a > 4 ||{D = (2a+ 1) − 4(a + 2)> 0 ||{ 2a + 1 |t+ 2t= 2a+ 1 ⇔ |t= --3-- ||(t⋅2t= a2+ 2 |||| 2 |(t2 = a-+-2 2

Из второго и третьего уравнений системы получаем

a2− 8a+ 16= 0 ⇒ a= 4

Найденное $a$ удовлетворяет условию $D > 0.$

Тогда при $a= 4$ получаем уравнение $x2− 9x+ 18= 0$ с корнями $x1 = 3,x2 = 6,$ отличающимися в два раза.

Ответ:

$a = 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все равенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Определено, что уравнение квадратное и найдено при каких $a$ оно имеет решение	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85154

При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x2− ax+ a− 2= 0$ минимальна?

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном значении дискриминанта:

x2+ax+ a− 2= 0; 2 D= a − 4(a− 2); D= a2− 4a+8 =(a− 2)2+ 4> 0.

$D> 0,$ следовательно, уравнение имеет два корня для любого значения $a.$ По теореме Виета:

x1+ x2 = a; x1⋅x2 = a− 2.

Для суммы квадратов корней получим:

S = x21+x22 =(x1+ x2)2− 2x1 ⋅x2; S = a2− 2(a− 2) =a2− 2a+ 4=(a− 1)2 +3.

Наименьшее значение для этой суммы получим при $a= 1.$

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#97390

Решите уравнения, не вычисляя дискриминант:

(a) $5x2− 121x+ 116= 0;$

(b) $x2− 22x+ 120= 0;$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы можем воспользоваться теоремой Виета, чтобы решать квадратные уравнения, не вычисляя дискриминант. Но для пунктов (а) и (с) это будет не очень просто, так как там сумма и произведение корней — не целые. Тогда для этих пунктов попробуем просто руками поискать какое-нибудь решение!

Подсказка 2

Попробуйте подставить 1 и -1 в уравнения в пунктах (а) и (с). Что получится?

Подсказка 3

Верно, 1 — корень уравнения из пункта (а), -1 — из пункта (с). А после того, как мы нашли один корень, второй легко найти с помощью той же теоремы Виета.

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что $x= 1$ является корнем данного уравнения, так как $5 − 121+ 116= 0.$ Так как по теореме Виета произведение корней равно $116 5 ,$ то второй корень уравнения равен $116- 116- 5 :1= 5 .$

(b) Заметим, что $− (12+10)= −22$ и $12⋅10 =120.$ Тогда по обратной теореме Виета числа 12 и 10 являются корнями данного уравнения.

(c) Число $− 1$ является корнем данного уравнения, так как $3− 78+ 75 =0.$ По теореме Виета произведение корней равно $75 3-,$ откуда второй корень равен $75 − -3 .$

Ответ:

(a) $1,$ $116- 5$

(b) $12,$ $10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#97393

Найдите числа $p$ и $q,$ если известно, что они являются корнями уравнения $x2+px+ q = 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что корни приведенного квадратного уравнения равны его коэффициентам. А какая теорема связывает корни трёхчлена с его коэффициентами?

Подсказка 2

Верно, теорема Виета! Распишите её для нашего уравнения и решите получившуюся систему:)

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ p =− (p +q) q =pq

( ⌊ { p =0 { q =− 2p |{ q[ = −2p || q =0 q(p− 1)=0 ⇐⇒ |( q = 0 ⇐⇒ ||⌈ { p =1 p= 1 q =− 2

Итак, либо $p =0$ и $q = 0,$ либо $p= 1$ и $q = −2.$

Ответ:

$(0,0),(1,−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#97394

Пусть $x 1$ и $x 2$ — корни уравнения $2x2 − 7x− 3= 0.$ Не решая это уравнение, составьте другое квадратное уравнение, корнями которого являются числа $x1− 2$ и $x2− 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая теорема помогает нам сделать какие-то выводы о корнях квадратного уравнения, не решая его?

Подсказка 2

Да, теорема Виета! Распишите теорему Виета для данного квадратного уравнения и для искомого:)

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = 7= 3,5 1 2 2$ и $x ⋅x = − 3 = −1,5. 1 2 2$ Пусть числа $x − 2 1$ и $x − 2 2$ являются корнями квадратного уравнения $2 x + px+ q = 0.$ Тогда по теореме Виета:

p= − ((x1− 2)+ (x2 − 2))=− (x1+x2)+ 4= −3,5+ 4= 0,5

q =(x1− 2)(x2− 2) =x1⋅x2− 2x1− 2x2+ 4= x1⋅x2− 2(x1+ x2)+ 4= −1,5 − 2⋅3,5+4 =− 4,5

Итак, искомое уравнение $x2+ 0,5⋅x− 4,5= 0.$

Ответ:

$2x2+ x− 9= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#97395

Не вычисляя корней уравнения $3x2+ 8x− 1=0,$ найдите $x x3 +x x3. 12 2 1$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можем разложить требуемое значение на множители!

Подсказка 2

Раз нельзя напрямую считать корни, то осталось только выразить через теорему Виета получившееся разложение!

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = − 8 1 2 3$ и $x ⋅x = − 1. 1 2 3$ Заметим, что

( 8)2 ( 1) 70 x21+ x22 =(x1+ x2)2− 2x1x2 = − 3 − 2 − 3 = -9

Распишем искомое выражение:

x1x32+x2x31 = x1x2(x21+ x22)= − 1 ⋅ 70-= − 70 3 9 27

Ответ:

$− 70 27$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31156

Найдите числа $p$ и $q,$ если известно, что они являются корнями уравнения $x2+px+ q = 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если так вышло, что p и q - корни уравнения, то что что можно сделать с ними, чтобы получить некоторые уравнения на них?

Подсказка 2

Верно, подставить вместо х. Тогда при подстановке, выйдет, что вот этот квадратный трехчлен будет равен 0. И мы получим систему, в которой две переменные и два уравнения. Значит, сможем ее решить.

Подсказка 3

Если подставить q, то выходит, что q(q+p+1)=0. Остается рассмотреть два случая, подставить во второе уравнение значения q и сделать обратную проверку, так как в теории могло быть так, что p=q, но уравнение которое получается при таких значениях имеет два различных корня.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая: $p= q$ и $p⁄= q$ .

Если $p= q$ , то должно выполняться $2 2 p + p +p= p(2p +1)= 0$ .

Значит, либо $p= q = 0$ , либо $1 p =q =− 2.$ В первом случае наше уравнение выглядит как $2 x =0$ и подходит. А во втором случае уравнение $2 1 1 x − 2x− 2$ имеет корни $1 {1;−2}$ и не подходит.

Если $p⁄= q$ , то у нас должно быть два различных корня квадратного уравнения, значит, должна быть выполнена теорема Виета:

p+ q = −p pq = q.

Из второго равенства следует, что либо $q =0$ и тогда из первого $p =−p =0$ , либо $p =1$ и тогда из первого $q = −p− p= −2$ . Случай $p =q =0$ мы уже проверяли, а в другом случае наше уравнение выглядит как $2 x + x− 2= (x+ 2)(x− 1)$ и тоже подходит.

Ответ:

$(p= 0;q =0)$ или $(p =1;q = −2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#75443

Даны квадратные трёхчлены $x2 +ax+ b$ , $x2+cx+ d$ и $x2+ ex +f$ . Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх:

a2 +c2− e2 ----4----> b+d − f; c2+-e2−-a2- 4 > d+f − b; e2-+a2−-c2-> f + b− d. 4

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 10.6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём с условия на то, что любые два из квадратных трёхчленов имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Что мы тогда можем сказать про кол-во корней каждого них? А сколько всего различных корней в совокупности этих трёх квадратных уравнений?

Подсказка 2

Да, у каждого из них по 2 различных корня, а у трёх вместе - 3. Давайте тогда обозначим их за x₁, x₂, x₃ и как-то распределим их между нашими уравнениями без ограничения общности и наконец-то воспользуемся теоремой Виета, чтобы заменить каждый из коэффициентов a, b, c на выражения с x₁, x₂, x₃.

Подсказка 3

После преобразований мы получим квадратные уравнения относительно какого-то из корней. Для примера, из первого неравенства получится: x₂² - (x₁+x₃)x₂ + x₁x₃ > 0, можем ли мы сразу сказать, какие корни у этого квадратного трёхчлена? А когда оно верно?

Подсказка 4

Да тут же снова теорема Виета, остаётся проделать такие же шаги для других неравенств, сделать правильный вывод и радоваться доказательству!

Показать доказательство

Понятно, что каждый трёхчлен имеет по два различных корня, пусть первый трёхчлен имеет корни $x 1$ и $x 2$ , тогда со вторым он имеет общий корень $x1$ , с третьим — $x2$ . Общий корень второго и третьего трёхчленов обозначим $x3$ . Выразим в первом неравенстве коэффициенты через корни соответствующих трёхчленов по теореме Виета: $(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x1+x3)2- 4 >x1x2+ x2x3 − x1x3$ . После тождественных преобразований получим $2 x2− (x1+x3)x2+x1x3 > 0$ . Оно справедливо, когда $x2$ не лежит между $x1$ и $x3$ . Аналогично для выполнения двух других неравенств необходимо, чтобы $x1$ не лежал между $x2$ и $x3$ , $x3$ не лежал между $x1$ и $x2$ . Но среди чисел $x1,x2,x3$ нет равных чисел, значит всегда какое-то одно находится между двумя другими, а два других — нет. Таким образом, выполнено ровно два неравенства из трёх приведённых.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#103182

У Коли есть квадратный трёхчлен $x2 +ax+ b.$ На одной стороне бумажки он написал его корни, а с другой стороны этой же бумажки — его коэффиценты $a$ и $b.$ Оказалось, что все написанные числа являются целыми и отличными от нуля. Затем он отдал эту бумажку Оле, которая, посмотрев на бумажку, сказала, что Коля скорее всего ошибся, так как на обеих сторонах бумажки написаны одни и те же числа, чего явно не может быть. Определите, действительно ли ошибся Коля или, если он всё-таки всё сделал правильно, то какие числа написаны на бумажке?

Источники: Турнир Ломоносова - 2020, 11.1 (см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим написанные на одной из сторон числа за a и b. Как тогда выглядит наш трёхчлен и какие равенства можно записать?

Подсказка 2

Попробуйте подставить в трёхчлен число b, равное свободному коэффициенту, и воспользоваться условием.

Подсказка 3

Нам нужно связать коэффициенты и корни, какая теорема может в этом помочь?

Подсказка 4

Воспользуйтесь теоремой Виета ;)

Показать ответ и решение

Действительно, несложно проверить, что у уравнения $x2+ x− 2$ корни это чилса $1$ и $− 2.$ Тогда решая такое уравненеие Коля с обеих сторон бумажки бы написал одну и ту же пару чисел.

Покажем, что ничего другого на бумажке написано быть не могло. Чтобы Коля всё сделал правильно с обеих сторон бумажки должны быть написаны числа $a$ и $b.$ Значит, $a$ и $b$ — суть корни уравнения $2 x + ax +b= 0.$ Подставляя $b$ в это уравнение получаем равенство $2 b + ab+b= 0,$ которое можно сократить на $b,$ так как все числа на бумажке ненулевые. Получаем $a+ b= −1.$ Но $a+ b$ по теореме Виета равно $− a,$ следовательно $a= 1.$ Откуда, подставляя его в полученное ранее равенство, находим $b= −2.$

Ответ:

Коля не ошибся. На бумажке были написаны числа $1$ и $− 2$ с обеих сторон.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31048

Даны квадратные трехчлены

$2 f1(x)=x − ax+ 2$ , $2 f2(x)= x +3x+ b$ , $2 f3(x)= 3x +(3− 2a)x+ 4+ b$ и $2 f4(x) =3x + (6 − a)x+ 2+2b.$

Пусть разности их корней равны соответственно $A,B,C$ и $D$ , и при этом $|A|⁄= |B |.$

Найдите соотношение $C2−D2- A2−B2 .$

(значения $A,B,C,D,a,b$ не заданы)

Источники: Физтех-2019, 11.1, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а давайте подумаем, чему равна разность между корнями любого квадратного трёхчлена.

Подсказка 2

Да, она равна отношению корня из дискриминанта к старшему коэффициенту! Попробуйте выписать разность корней для каждого из уравнений.

Подсказка 3

А теперь, давайте посмотрим на дробь, значение которой надо найти и просто подставим найденные разности в это выражение!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $2 αx +βx +γ$ — квадратный трёхчлен с неотрицательным дискриминантом $T$ . Тогда его корни определяются формулой $−-b±√T- x1,2 = 2a$ , поэтому $||−b+-√T−(−b−√T)|| |x2− x1|= | 2a |=$ $√T- |a|$ . Применяя эту формулу четыре раза, получаем

∘----- √----- 1∘ --------------- 1∘ --------------- A = a2− 8,B = 9− 4b,C = 3 (3− 2a)2− 12(4 +b),D = 3 (6− a)2 − 12(2+b)

Отсюда следует, что $1(( ) ( )) 1( ) C2 − D2 = 9 4a2− 12a− 12b− 39 − a2− 12a− 24b +12 = 3 a2 +4b− 17$ , $A2− B2 =a2+ 4b− 17$ . Сократить на $a2 +4b− 17$ можно, поскольку $A2− B2 ⁄= 0$ по условию. Значит, искомое отношение равно $13$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Если у нас есть квадратное уравнение $ax2+ bx+ c$ , у которого $2$ корня, то по теореме Виета $x1+ x2 = − ba$ и $x1x2 = ca$ . Тогда $( ) (x1− x2)2 = ba 2− 4ac$ . Применим это к нашей задаче.

A2 =a2− 8

B2 =9 − 4b

2 3−-2a 2 16+-4b- C =( 3 ) − 3

2 (6− a)2 4(2+ 2b) D = ---9-- − --3----

Условие, что $|A|⁄= |B |$ дает нам, что $a2− 8⁄= 9− 4b$ или $a2+ 4b− 17⁄= 0$ .

2 2 C2-− D2-= (3−92a)-−-16+34b−-(6−a9)-+-4(2+32b) = A2 − B2 a2− 8− 9+ 4b

(9−-12a-+4a2)− (48+-12b)− (36−-12a-+a2)+12(2+2b) = 9(a2 +4b− 17) =

2 = −512+3a-+-12b= 1. 9(a + 4b− 17) 3

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#37805

Два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что каждый из них имеет по два корня и выполняются равенства

f(1)= g(2)

g(1)=f(2)

Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов.

Источники: Всеросс., 2019, РЭ, 9.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= x2 +ax+ b,g(x)= x2 +cx+ d$

По теореме Виета искомая сумма равна $− a− c.$

Запишем условие на равенство значений трёхчленов в заданных точках (подставим вместо $x$ соответствующее значение аргумента):

{ 1+ a+ b= 4+2c+ d =⇒ 3+a =− c− 3 ⇐ ⇒ − a− c =6 4+ 2a+ b=1 +c+ d

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#51859

Уравнение $x2+ax+ 5= 0$ имеет два различных корня $x 1$ и $x; 2$ при этом

2 250- 2 -250- x1+ 19x32 =x2+ 19x31.

Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: Физтех-2018, 10.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию наше уравнение имеет два корня, какое ограничение мы должны наложить на а, чтобы это выполнялось?

Подсказка 2

Дискриминант должен быть положительным! Решая данное неравенство, получаем, что а² > 20. Хорошо бы получить еще какое-то условие на а, но у нас пока что есть только связь между корнями, а может быть у нас получится как-то связать корни с а?

Подсказка 3

Можем воспользоваться теоремой Виета! Попробуем преобразовать данное нам уравнение для корней таким образом, чтобы явно выделить произведение и сумму корней

Подсказка 4

Перенесём все в одну сторону и разложим каждую разность на множители. Заметим, что так как корни различны, х₁ - х₂ ≠ 0 и на эту скобку можно поделить уравнение. Воспользовавшись теоремой Виета, получаем уравнение для а, решая которое, получаем ответ) Только не забудьте проверить выполнение полученного нами ранее ограничения!

Показать ответ и решение

Чтобы получить два различных корня, дискриминант $D = a2− 20$ должен быть положителен, то есть $a2 > 20$ . Далее мы можем использовать теорему Виета, тогда $x1+ x2 = −a,x1x2 = 5$ . Теперь преобразуем равенство в условии

250 250 250(x1− x2)(x2+ x1x2+x2) x21− x22+ 19x3-−19x3= 0 ⇐⇒ (x1− x2)(x1+ x2)+-------19(x11x2)3-----2-= 0 2 1

Вынесем $x1 − x2 ⁄= 0$ , Выразим вторую скобку в числителе $x21+ x1x2+ x22 = (x1+x2)2− x1x2 = a2− 5$ , теперь подставим

−a+ 250⋅ a2−-5= 0 ⇐⇒ 2a2 − 10= 19a ⇐ ⇒ a = 10,a= − 1 19 125 2

Поскольку $a2 > 20$ , то остаётся только одно значение.

Ответ:

$a =10$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#78816

Квадратный трехчлен $x2+ bx+ c$ имеет два действительных корня. Каждый из трех его коэффициентов (включая коэффициент при $x2$ ) увеличили на $1.$ Могло ли оказаться, что оба корня трехчлена также увеличились на $1?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии от нас хотят поработать с корнями и с коэффициентами квадратного трёхчлена. Какой теоремой хочется здесь воспользоваться?

Подсказка 2

Теорема Виета! Запишите её и воспользуйтесь условием.

Показать ответ и решение

Пусть $x ,x 1 2$ —корни уравнения $x2+ bx +c= 0.$ Тогда по теореме Виета

x1+ x2 = −b (1)

x1x2 =c (2)

Предположим, что утверждение задачи верно, тогда

x + 1+x + 1= − b+-1 (3) 1 2 2

c+-1 (x1+1)(x2+1)= 2 (4)

Подставим $(1)$ в $(3)$ и найдем $b= 5.$

Подставим $(1)$ и $(2)$ в $(4)$ и найдем $c= 9.$

Стало быть, искомый квадратный трехчлен, если он существует, имеет вид $2 x + 5x +9.$ Однако же дискриминант такого трехчлена отрицателен, а по условию он имеет два действительных корня. Значит, описанная в задаче ситуация невозможна.

Ответ:

Нет, не могло

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#31047

Различные числа $a$ , $b$ и $c$ таковы, что уравнения $x2+ax+ 1= 0$ и $x2+ bx +c= 0$ имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения $2 x + x+a =0$ и $2 x + cx+ b=0$ . Найдите сумму $a+ b+ c$ .

Источники: Всеросс., 2000, ЗЭ, 9.1(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнения имеют общий корень, попробуйте использовать это условие, подставив общий корень в каждое из уравнений. Можно ли выйти на второй корень с помощью первого?

Подсказка 2

Да, общий корень первых двух уравнений равен: (c-1)/(a-b). Чему равен второй корень первого уравнения?(посмотрите на его свободный член)

Подсказка 3

Верно, он равен (a-b)/(c-1). Тогда попробуйте подставить общий корень из второго условия! Что интересное мы обнаружим?

Подсказка 4

Да, мы обнаружим, что второй общий корень равен (a-b)/(c-1). То есть, у уравнения из первой пары и у уравнения из второй пары тоже есть общий корень! Давайте снова подставим его и найдем значение! И мы сможем найти сумму всех коэффициентов!

Показать ответ и решение

Пусть у первых двух уравнений общий корень $x 1$ . Тогда $(x2+ ax +1)− (x2+ bx +c)= 0 1 1 1 1$ и $x = c−-1 1 a−b$ (по условию $a⁄= b$ ). Тогда второй корень у уравнения $2 x + ax+ 1= 0$ по теореме Виета это $a−-b c−1$ . Отсюда $c⁄= 1$ . Посмотрим на оставшиеся уравнения.

Пусть у последних двух уравнений общий корень $x2$ . Тогда $2 2 (x2+ cx2+b)− (x2+ x2+ a)=0$ и $a−b x2 = c−1$ . Значит $x2$ корень $2 x + ax+ 1= 0$ и $2 x +x +a= 0$ . Отсюда $2 2 (x2+ ax2 +1)− (x2+ x2− a) =(a− 1)(x2− 1)= 0$ . Если $a= 1$ , то у уравнения $2 x + ax+ 1= 0$ нет корней ?! Значит $x2 = 1$ . Подставим 1 во все уравнения, где $x2$ корень и получим $2+ a= 0$ и $1+ b+c =0$ . Значит $a+ b+ c= −3$ .

Ответ:

$− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#75440

Найдите все пары квадратных трёхчленов $x2+ ax+ b$ , $x2+cx+ d$ такие, что $a$ и $b$ — корни второго трёхчлена, $c$ и $d$ — корни первого.

Источники: Всеросс., 1996, РЭ, 9.1(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Коэффициенты как-то связаны с корнями уравнения, очень сильно намекает на теорему Виета! Запишем её для обоих трёхчленов, получив систему из четырёх уравнений. Попробуем подставить одно в другое?

Подсказка 2

Очень удобно будет рассматривать случай произведения, так что выразим b с помощью d=ab и b=cd. Получается уравнение с тремя неизвестными. Осталось только аккуратно рассмотреть все случаи (помните, что случай b=0 нужно рассмотреть отдельно), подставить подходящие значения коэффициентов в трёхчлены, найти их корни и проверить, удовлетворяют ли они условию

Подсказка 3

Помните, что если два трёхчлена имеют одинаковый корень, то их разница тоже имеет этот же корень!

Показать ответ и решение

Запишем условие с помощью теоремы Виета: $a= −c− d$ , $b =cd$ , $c= −a− b$ , $d= ab$ . Из второго и третьего равенств следует, что $b= cab$ .

Если $b= 0$ , то $d= 0$ и $a =− c$ , тогда трёхчлены имеют вид $2 x + ax$ и $2 x − ax$ . Понятно, что они подходят к условию.

Пусть теперь $b⁄= 0$ , тогда в равенстве $b= cab$ на $b$ можно сократить. Получим $ac= 1$ . Из этого следует, что $1 b= d= −a − a$ . Таким образом, трёхчлены имеют вид $2 x + ax+b$ и $2 1 x + a ⋅x +b$ . Они оба имеют корень $b$ , значит этот же корень имеет их разность $1 ax− a ⋅x$ , то есть $1 ab= a ⋅b$ . $b$ ненулевое, значит $2 a = 1$ , откуда $a= ±1$ .