Тема Квадратные трёхчлены

Теорема Виета для квадратных трёхчленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела квадратные трёхчлены

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85147

Найдите все значения параметра $a,$ при которых у уравнения

2 2 x − (2a +1)x+ a + 2= 0

существуют ровно два различных корня, которые отличаются ровно в два раза.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Одно из условий можем сразу назвать: корни точно должны быть! А если один из них равен t, то чему будут равны второй корень, сумма корней, произведение корней?

Подсказка 2

Все это можем легко найти! Наверняка Вы уже догадались, какую теорему можем применить :)

Подсказка 3

Чтобы найти подходящие значения параметра, можем избавиться от переменной t с помощью двух уравнений (выражаем из одного и подставляем во второе!). Найдите решения полученного уравнения и проверяйте, подходят ли они под поставленное в самом начале условие.

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратное при всех значениях параметра. Пусть $t$ и $2t$ — два его различных корня. Тогда дискриминант уравнения положителен и выполнена теорема Виета:

( 7 (| 2 2 ||||a > 4 ||{D = (2a+ 1) − 4(a + 2)> 0 ||{ 2a + 1 |t+ 2t= 2a+ 1 ⇔ |t= --3-- ||(t⋅2t= a2+ 2 |||| 2 |(t2 = a-+-2 2

Из второго и третьего уравнений системы получаем

a2− 8a+ 16= 0 ⇒ a= 4

Найденное $a$ удовлетворяет условию $D > 0.$

Тогда при $a= 4$ получаем уравнение $x2− 9x+ 18= 0$ с корнями $x1 = 3,x2 = 6,$ отличающимися в два раза.

Ответ:

$a = 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все равенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Определено, что уравнение квадратное и найдено при каких $a$ оно имеет решение	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85154

При каких $a$ сумма квадратов корней уравнения $x2− ax+ a− 2= 0$ минимальна?

Показать ответ и решение

Квадратное уравнение имеет решение при неотрицательном значении дискриминанта:

x2+ax+ a− 2= 0; 2 D= a − 4(a− 2); D= a2− 4a+8 =(a− 2)2+ 4> 0.

$D> 0,$ следовательно, уравнение имеет два корня для любого значения $a.$ По теореме Виета:

x1+ x2 = a; x1⋅x2 = a− 2.

Для суммы квадратов корней получим:

S = x21+x22 =(x1+ x2)2− 2x1 ⋅x2; S = a2− 2(a− 2) =a2− 2a+ 4=(a− 1)2 +3.

Наименьшее значение для этой суммы получим при $a= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#97390

Решите уравнения, не вычисляя дискриминант:

(a) $5x2− 121x+ 116= 0;$

(b) $x2− 22x+ 120= 0;$

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что $x= 1$ является корнем данного уравнения, так как $5 − 121+ 116= 0.$ Так как по теореме Виета произведение корней равно $116 5 ,$ то второй корень уравнения равен $116- 116- 5 :1= 5 .$

(b) Заметим, что $− (12+10)= −22$ и $12⋅10 =120.$ Тогда по обратной теореме Виета числа 12 и 10 являются корнями данного уравнения.

(c) Число $− 1$ является корнем данного уравнения, так как $3− 78+ 75 =0.$ По теореме Виета произведение корней равно $75 3-,$ откуда второй корень равен $75 − -3 .$

Ответ:

(a) $1,$ $116- 5$

(b) $12,$ $10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#97393

Найдите числа $p$ и $q,$ если известно, что они являются корнями уравнения $x2+px+ q = 0.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ p =− (p +q) q =pq

( ⌊ { p =0 { q =− 2p |{ q[ = −2p || q =0 q(p− 1)=0 ⇐⇒ |( q = 0 ⇐⇒ ||⌈ { p =1 p= 1 q =− 2

Итак, либо $p =0$ и $q = 0,$ либо $p= 1$ и $q = −2.$

Ответ:

$(0,0),(1,−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97394

Пусть $x 1$ и $x 2$ — корни уравнения $2x2 − 7x− 3= 0.$ Не решая это уравнение, составьте другое квадратное уравнение, корнями которого являются числа $x1− 2$ и $x2− 2.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = 7= 3,5 1 2 2$ и $x ⋅x = − 3 = −1,5. 1 2 2$ Пусть числа $x − 2 1$ и $x − 2 2$ являются корнями квадратного уравнения $2 x + px+ q = 0.$ Тогда по теореме Виета:

p= − ((x1− 2)+ (x2 − 2))=− (x1+x2)+ 4= −3,5+ 4= 0,5

q =(x1− 2)(x2− 2) =x1⋅x2− 2x1− 2x2+ 4= x1⋅x2− 2(x1+ x2)+ 4= −1,5 − 2⋅3,5+4 =− 4,5

Итак, искомое уравнение $x2+ 0,5⋅x− 4,5= 0.$

Ответ:

$2x2+ x− 9= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97395

Не вычисляя корней уравнения $3x2+ 8x− 1=0,$ найдите $x x3 +x x3. 12 2 1$

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = − 8 1 2 3$ и $x ⋅x = − 1. 1 2 3$ Заметим, что

( 8)2 ( 1) 70 x21+ x22 =(x1+ x2)2− 2x1x2 = − 3 − 2 − 3 = -9

Распишем искомое выражение:

x1x32+x2x31 = x1x2(x21+ x22)= − 1 ⋅ 70-= − 70 3 9 27

Ответ:

$− 70 27$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31156

Найдите числа $p$ и $q,$ если известно, что они являются корнями уравнения $x2+px+ q = 0.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если так вышло, что p и q - корни уравнения, то что что можно сделать с ними, чтобы получить некоторые уравнения на них?

Подсказка 2

Верно, подставить вместо х. Тогда при подстановке, выйдет, что вот этот квадратный трехчлен будет равен 0. И мы получим систему, в которой две переменные и два уравнения. Значит, сможем ее решить.

Подсказка 3

Если подставить q, то выходит, что q(q+p+1)=0. Остается рассмотреть два случая, подставить во второе уравнение значения q и сделать обратную проверку, так как в теории могло быть так, что p=q, но уравнение которое получается при таких значениях имеет два различных корня.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая: $p= q$ и $p⁄= q$ .

Если $p= q$ , то должно выполняться $2 2 p + p +p= p(2p +1)= 0$ .

Значит, либо $p= q = 0$ , либо $1 p =q =− 2.$ В первом случае наше уравнение выглядит как $2 x =0$ и подходит. А во втором случае уравнение $2 1 1 x − 2x− 2$ имеет корни $1 {1;−2}$ и не подходит.

Если $p⁄= q$ , то у нас должно быть два различных корня квадратного уравнения, значит, должна быть выполнена теорема Виета:

p+ q = −p pq = q.

Из второго равенства следует, что либо $q =0$ и тогда из первого $p =−p =0$ , либо $p =1$ и тогда из первого $q = −p− p= −2$ . Случай $p =q =0$ мы уже проверяли, а в другом случае наше уравнение выглядит как $2 x + x− 2= (x+ 2)(x− 1)$ и тоже подходит.

Ответ:

$(p= 0;q =0)$ или $(p =1;q = −2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#75443

Даны квадратные трёхчлены $x2 +ax+ b$ , $x2+cx+ d$ и $x2+ ex +f$ . Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх:

a2 +c2− e2 ----4----> b+d − f; c2+-e2−-a2- 4 > d+f − b; e2-+a2−-c2-> f + b− d. 4

Источники: Школьный этап - 2020, Москва, 10.6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте начнём с условия на то, что любые два из квадратных трёхчленов имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Что мы тогда можем сказать про кол-во корней каждого них? А сколько всего различных корней в совокупности этих трёх квадратных уравнений?

Подсказка 2

Да, у каждого из них по 2 различных корня, а у трёх вместе - 3. Давайте тогда обозначим их за x₁, x₂, x₃ и как-то распределим их между нашими уравнениями без ограничения общности и наконец-то воспользуемся теоремой Виета, чтобы заменить каждый из коэффициентов a, b, c на выражения с x₁, x₂, x₃.

Подсказка 3

После преобразований мы получим квадратные уравнения относительно какого-то из корней. Для примера, из первого неравенства получится: x₂² - (x₁+x₃)x₂ + x₁x₃ > 0, можем ли мы сразу сказать, какие корни у этого квадратного трёхчлена? А когда оно верно?

Подсказка 4

Да тут же снова теорема Виета, остаётся проделать такие же шаги для других неравенств, сделать правильный вывод и радоваться доказательству!

Показать доказательство

Понятно, что каждый трёхчлен имеет по два различных корня, пусть первый трёхчлен имеет корни $x 1$ и $x 2$ , тогда со вторым он имеет общий корень $x1$ , с третьим — $x2$ . Общий корень второго и третьего трёхчленов обозначим $x3$ . Выразим в первом неравенстве коэффициенты через корни соответствующих трёхчленов по теореме Виета: $(x1+x2)2+(x2+x3)2−(x1+x3)2- 4 >x1x2+ x2x3 − x1x3$ . После тождественных преобразований получим $2 x2− (x1+x3)x2+x1x3 > 0$ . Оно справедливо, когда $x2$ не лежит между $x1$ и $x3$ . Аналогично для выполнения двух других неравенств необходимо, чтобы $x1$ не лежал между $x2$ и $x3$ , $x3$ не лежал между $x1$ и $x2$ . Но среди чисел $x1,x2,x3$ нет равных чисел, значит всегда какое-то одно находится между двумя другими, а два других — нет. Таким образом, выполнено ровно два неравенства из трёх приведённых.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31048

Даны квадратные трехчлены

$2 f1(x)=x − ax+ 2$ , $2 f2(x)= x +3x+ b$ , $2 f3(x)= 3x +(3− 2a)x+ 4+ b$ и $2 f4(x) =3x + (6 − a)x+ 2+2b.$

Пусть разности их корней равны соответственно $A,B,C$ и $D$ , и при этом $|A|⁄= |B |.$

Найдите соотношение $C2−D2- A2−B2 .$

(значения $A,B,C,D,a,b$ не заданы)

Источники: Физтех-2019, 11.1, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а давайте подумаем, чему равна разность между корнями любого квадратного трёхчлена.

Подсказка 2

Да, она равна отношению корня из дискриминанта к старшему коэффициенту! Попробуйте выписать разность корней для каждого из уравнений.

Подсказка 3

А теперь, давайте посмотрим на дробь, значение которой надо найти и просто подставим найденные разности в это выражение!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $2 αx +βx +γ$ — квадратный трёхчлен с неотрицательным дискриминантом $T$ . Тогда его корни определяются формулой $−-b±√T- x1,2 = 2a$ , поэтому $||−b+-√T−(−b−√T)|| |x2− x1|= | 2a |=$ $√T- |a|$ . Применяя эту формулу четыре раза, получаем

∘----- √----- 1∘ --------------- 1∘ --------------- A = a2− 8,B = 9− 4b,C = 3 (3− 2a)2− 12(4 +b),D = 3 (6− a)2 − 12(2+b)

Отсюда следует, что $1(( ) ( )) 1( ) C2 − D2 = 9 4a2− 12a− 12b− 39 − a2− 12a− 24b +12 = 3 a2 +4b− 17$ , $A2− B2 =a2+ 4b− 17$ . Сократить на $a2 +4b− 17$ можно, поскольку $A2− B2 ⁄= 0$ по условию. Значит, искомое отношение равно $13$ .

Второе решение.

Если у нас есть квадратное уравнение $ax2+ bx+ c$ , у которого $2$ корня, то по теореме Виета $x1+ x2 = − ba$ и $x1x2 = ca$ . Тогда $( ) (x1− x2)2 = ba 2− 4ac$ . Применим это к нашей задаче.

A2 =a2− 8

B2 =9 − 4b

2 3−-2a 2 16+-4b- C =( 3 ) − 3

2 (6− a)2 4(2+ 2b) D = ---9-- − --3----

Условие, что $|A|⁄= |B |$ дает нам, что $a2− 8⁄= 9− 4b$ или $a2+ 4b− 17⁄= 0$ .

2 2 C2-− D2-= (3−92a)-−-16+34b−-(6−a9)-+-4(2+32b) = A2 − B2 a2− 8− 9+ 4b

(9−-12a-+4a2)− (48+-12b)− (36−-12a-+a2)+12(2+2b) = 9(a2 +4b− 17) =

2 = −512+3a-+-12b= 1. 9(a + 4b− 17) 3

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37805

Два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что каждый из них имеет по два корня и выполняются равенства

f(1)= g(2)

g(1)=f(2)

Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов.

Источники: Всеросс., 2019, РЭ, 9.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= x2 +ax+ b,g(x)= x2 +cx+ d$

По теореме Виета искомая сумма равна $− a− c.$

Запишем условие на равенство значений трёхчленов в заданных точках (подставим вместо $x$ соответствующее значение аргумента):

{ 1+ a+ b= 4+2c+ d =⇒ 3+a =− c− 3 ⇐ ⇒ − a− c =6 4+ 2a+ b=1 +c+ d

Ответ:

$6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#51859

Уравнение $x2+ax+ 5= 0$ имеет два различных корня $x 1$ и $x; 2$ при этом

2 250- 2 -250- x1+ 19x32 =x2+ 19x31.

Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: Физтех-2018, 10.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Чтобы получить два различных корня, дискриминант $D = a2− 20$ должен быть положителен, то есть $a2 > 20$ . Далее мы можем использовать теорему Виета, тогда $x1+ x2 = −a,x1x2 = 5$ . Теперь преобразуем равенство в условии

250 250 250(x1− x2)(x2+ x1x2+x2) x21− x22+ 19x3-−19x3= 0 ⇐⇒ (x1− x2)(x1+ x2)+-------19(x11x2)3-----2-= 0 2 1

Вынесем $x1 − x2 ⁄= 0$ , Выразим вторую скобку в числителе $x21+ x1x2+ x22 = (x1+x2)2− x1x2 = a2− 5$ , теперь подставим

−a+ 250⋅ a2−-5= 0 ⇐⇒ 2a2 − 10= 19a ⇐ ⇒ a = 10,a= − 1 19 125 2

Поскольку $a2 > 20$ , то остаётся только одно значение.

Ответ:

$a =10$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#78816

Квадратный трехчлен $x2+ bx+ c$ имеет два действительных корня. Каждый из трех его коэффициентов (включая коэффициент при $x2$ ) увеличили на $1.$ Могло ли оказаться, что оба корня трехчлена также увеличились на $1?$

Показать ответ и решение

Пусть $x ,x 1 2$ —корни уравнения $x2+ bx +c= 0.$ Тогда по теореме Виета

x1+ x2 = −b (1)

x1x2 =c (2)

Предположим, что утверждение задачи верно, тогда

x + 1+x + 1= − b+-1 (3) 1 2 2

c+-1 (x1+1)(x2+1)= 2 (4)

Подставим $(1)$ в $(3)$ и найдем $b= 5.$

Подставим $(1)$ и $(2)$ в $(4)$ и найдем $c= 9.$

Стало быть, искомый квадратный трехчлен, если он существует, имеет вид $2 x + 5x +9.$ Однако же дискриминант такого трехчлена отрицателен, а по условию он имеет два действительных корня. Значит, описанная в задаче ситуация невозможна.

Ответ:

Нет, не могло

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31047

Различные числа $a$ , $b$ и $c$ таковы, что уравнения $x2+ax+ 1= 0$ и $x2+ bx +c= 0$ имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения $2 x + x+a =0$ и $2 x + cx+ b=0$ . Найдите сумму $a+ b+ c$ .

Источники: Всеросс., 2000, ЗЭ, 9.1(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнения имеют общий корень, попробуйте использовать это условие, подставив общий корень в каждое из уравнений. Можно ли выйти на второй корень с помощью первого?

Подсказка 2

Да, общий корень первых двух уравнений равен: (c-1)/(a-b). Чему равен второй корень первого уравнения?(посмотрите на его свободный член)

Подсказка 3

Верно, он равен (a-b)/(c-1). Тогда попробуйте подставить общий корень из второго условия! Что интересное мы обнаружим?

Подсказка 4

Да, мы обнаружим, что второй общий корень равен (a-b)/(c-1). То есть, у уравнения из первой пары и у уравнения из второй пары тоже есть общий корень! Давайте снова подставим его и найдем значение! И мы сможем найти сумму всех коэффициентов!

Показать ответ и решение

Пусть у первых двух уравнений общий корень $x 1$ . Тогда $(x2+ ax +1)− (x2+ bx +c)= 0 1 1 1 1$ и $x = c−-1 1 a−b$ (по условию $a⁄= b$ ). Тогда второй корень у уравнения $2 x + ax+ 1= 0$ по теореме Виета это $a−-b c−1$ . Отсюда $c⁄= 1$ . Посмотрим на оставшиеся уравнения.

Пусть у последних двух уравнений общий корень $x2$ . Тогда $2 2 (x2+ cx2+b)− (x2+ x2+ a)=0$ и $a−b x2 = c−1$ . Значит $x2$ корень $2 x + ax+ 1= 0$ и $2 x +x +a= 0$ . Отсюда $2 2 (x2+ ax2 +1)− (x2+ x2− a) =(a− 1)(x2− 1)= 0$ . Если $a= 1$ , то у уравнения $2 x + ax+ 1= 0$ нет корней ?! Значит $x2 = 1$ . Подставим 1 во все уравнения, где $x2$ корень и получим $2+ a= 0$ и $1+ b+c =0$ . Значит $a+ b+ c= −3$ .

Ответ:

$− 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#75440

Найдите все пары квадратных трёхчленов $x2+ ax+ b$ , $x2+cx+ d$ такие, что $a$ и $b$ — корни второго трёхчлена, $c$ и $d$ — корни первого.

Источники: Всеросс., 1996, РЭ, 9.1(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Коэффициенты как-то связаны с корнями уравнения, очень сильно намекает на теорему Виета! Запишем её для обоих трёхчленов, получив систему из четырёх уравнений. Попробуем подставить одно в другое?

Подсказка 2

Очень удобно будет рассматривать случай произведения, так что выразим b с помощью d=ab и b=cd. Получается уравнение с тремя неизвестными. Осталось только аккуратно рассмотреть все случаи (помните, что случай b=0 нужно рассмотреть отдельно), подставить подходящие значения коэффициентов в трёхчлены, найти их корни и проверить, удовлетворяют ли они условию

Подсказка 3

Помните, что если два трёхчлена имеют одинаковый корень, то их разница тоже имеет этот же корень!

Показать ответ и решение

Запишем условие с помощью теоремы Виета: $a= −c− d$ , $b =cd$ , $c= −a− b$ , $d= ab$ . Из второго и третьего равенств следует, что $b= cab$ .

Если $b= 0$ , то $d= 0$ и $a =− c$ , тогда трёхчлены имеют вид $2 x + ax$ и $2 x − ax$ . Понятно, что они подходят к условию.

Пусть теперь $b⁄= 0$ , тогда в равенстве $b= cab$ на $b$ можно сократить. Получим $ac= 1$ . Из этого следует, что $1 b= d= −a − a$ . Таким образом, трёхчлены имеют вид $2 x + ax+b$ и $2 1 x + a ⋅x +b$ . Они оба имеют корень $b$ , значит этот же корень имеет их разность $1 ax− a ⋅x$ , то есть $1 ab= a ⋅b$ . $b$ ненулевое, значит $2 a = 1$ , откуда $a= ±1$ .