Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 181#91344Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ y = |x− √a|+ √a− 2, (|x|− 4)2 +(|y|− 3)2 = 25

имеет ровно три решения.

Источники: Физтех - 2020, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберёмся с уравнением без параметра. Похоже на обычное уравнение окружности, но с модулями, наложенными на переменные. Подумайте, как модули влияют на график?

Подсказка 2

При подстановке x = -x и y = -y уравнение не меняется, значит, график будет симметричен относительно обеих осей Ox и Oy. При построении не потеряйте точку (0;0), которая принадлежит всем четвертям.

Подсказка 3

Что касается первого уравнения системы, достаточно раскрыть модуль, чтобы понять, что это два луча, выходящих из точки (√a; √a-2). Попробуйте определить, сколько пересечений с графиком второго уравнения может иметь каждый из лучей поотдельности.

Подсказка 4

Луч, являющийся частью прямой y = x-2, ни при каких a не попадает в полуплоскость x < 0, значит, может иметь либо одно, либо ни одного пересечения с графиком второго уравнения системы. Но там, где луч y = x-2 не дает решений, там и второй луч тоже не будет пересекать график. Остается только найти такие a, при которых второй луч дважды пересечёт график.

Подсказка 5

Луч прямой y = 2√a–x–2 будет дважды пересекать график второго уравнения системы в трёх случаях: 1) проходит через точку (0;0); 2) проходит через точку (0;6); 3) касается дуги окружности во второй четверти.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно инвариантно относительно замены $x$ на $− x$ и/или $y$ на $− y$ . Это означает, что множество точек, задаваемых этим уравнением, симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти (включая её границы), раскрывая модули, мы получаем $2 2 (x− 4)+ (y− 3) = 25$ . Это уравнение задаёт окружность с центром (4; 3) радиуса 5. В первой четверти лежит дуга этой окружности и точка (0; 0). Отображая эту дугу симметрично относительно начала координат и обеих координатных осей, получаем множество точек, задаваемых вторым уравнением (см. рисунок).

$PIC$

Геометрическое место точек, заданных первым уравнением, представляет собой совокупность двух лучей $l2$ и $l1$ с началом в точке $(√a,√a− 2)$ соответствующие $y =x − 2$ и $y = 2√a− x− 2$ . Отметим, что луч $l2$ является частью прямой $y =x − 2$ при любом $a$ и не пересекается с полуплоскостью $x< 0$ . Этот луч либо пересекает график второго уравнения системы в точке (8; 6), либо не пересекает его вовсе. Последний случай не подходит, т.к. при нём луч $l1$ пересекает график второго уравнения не более чем в двух точках. Таким образом, для того чтобы система имела три решения, необходимо, чтобы луч $l1$ пересекал график второго уравнения два раза, а луч $l2$ — один раз.

Рассмотрим положения луча $l1$ при различных $a$ . Если $a ∈(0;1)∪ (1;16)$ , луч $l1$ пересекает только дугу окружности, лежащую во второй четверти (назовём её $ω$ ). Если $a= 1$ , луч $l1$ дополнительно проходит через точку $(0,0)$ и имеет два пересечения с графиком второго уравнения. Если $a =16$ , луч $l1$ проходит через точку $(0;6),$ принадлежащую графику второго уравнения, а также пересекает дугу $ω$ .

Значение, соответствующее касанию $ℓ 1$ и $ω$ , можно найти, например, так. Пусть $Q(−4;3)$ — центр окружности, содержащей дугу $ω,P$ — точка касания $ℓ 1$ и $ω$ . Так как угловой коэффициент $ℓ 1$ равен $− 1,$ то угловой коэффициент радиуса $QP$ равен $1,$ откуда следует, что координаты точки $P$ — это $( π π ) − 4+ 5cos4;3+ 5sin 4$ . Поскольку луч $ℓ1$ с уравнением $y =$ $√- √- − (x− a)+ a− 2$ проходит через точку $P$ , получаем

5 √- 5 3+ √2-= 2 a+ 2− √2,

откуда

( √- )2 a= 5-2+-1 2

При $( ( 5√2+1)2) a∈ 16; -2---$ луч $l1$ пересекает график второго уравнения трижды: дважды он пересекает дугу $ω$ , а один раз —- дугу, лежащую в первой четверти. При $a= (5√2+1)2 2$ луч $l1$ касается дуги $ω$ и пересекает дугу окружности в первой четверти (это значение параметра найдено ниже). Наконец, при $(5√2+1)2 a> --2--$ луч $k1$ может пересечь только дугу окружности, лежащую в первой четверти, и общее количество точек пересечения графиков не превосходит двух.

Ответ:

$1,16,(5√2+1)2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 182#100192Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

-----------1---------- √- √x2-+2x-+5+ √x2+-6x+-18-≤ a

выполняется при всех значениях $x.$

Источники: ПВГ - 2020, 11.5 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как нам нужно, чтобы неравенство выполнялось при всех x, то какое крайнее значение левой части стоит рассмотреть? При каком знаменателе оно достигается?

Подсказка 2

Рассмотрите наибольшее значение левой части. Для этого нужно минимизировать знаменатель;) Можно пробовать его преобразовать так, чтобы найти геометрическую интерпретацию знаменателю.

Подсказка 3

Представьте подкоренные выражения в виде суммы квадратов. Каков геометрический смысл суммы корней?

Подсказка 4

Это сумма расстояний от двух точек до некоторой одной! А когда она достигает наименьшего значения?

Подсказка 5

Когда точки лежат на одной прямой ;)

Показать ответ и решение

Так как знаменатель функции

-----------1---------- f(x)= √x2-+2x+-5+ √x2+-6x+18-

равен

∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x +1)2+22+ (x +3)2+32

и всегда положителен, то наибольшему значению функции соответствует наименьшее значение знаменателя. При этом функцию $∘ ---------- ∘ ---------- g(x)= (x+ 1)2+ 22+ (x+3)2+ 32$ можно трактовать как сумму двух расстояний: от точки $(x;0)$ до точки $A(−1;2)$ и от точки $(x;0)$ до точки $B(−3;− 3)$ . Мы специально выбрали точки так, что они лежат по разные стороны от оси абсцисс, тогда наименьшее значение суммы достигается в точке пересечения прямой $AB$ и оси абсцисс. Это будет точка $x= − 95$ , но вычислять ее нет необходимости, так как наименьшее значение функции просто равно длине отрезка

∘-------------- AB = (3− 1)2+ (3 +2)2 = √29.

Поэтому наибольшим значением функции $f(x)= g1(x)$ является $√129$ . Значит,

√a≥ √1- 29

a≥ -1 29

Ответ:

$( 1-;+∞) 29$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 183#100193Максимум баллов за задание: 7

Андрей выбирает случайным образом целое число $a$ из отрезка $[−5;6]$ и после этого решает уравнение

3 2 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x +a+ 2= 0.

Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых как минимум два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибается.

Источники: ПВГ - 2020, 11.4 (pvg.mk.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию становится понятно, что нам всё же придется искать корни кубического уравнения. Давайте тогда попробуем для начала найти хотя бы один из них. Попробуем разложить на множители выражение из условия.

Подсказка 2

Здорово, теперь мы знаем, что -1 — точно корень, вне зависимости от a. Получается, что нам хотелось бы добиться, чтобы у оставнегося квадратного уравнения был как миниму 1 целый корень, отличный от -1.

Подсказка 3

После деления выражения на (x+1) выразите a через выражения с x. Так как мы хотим добиться целого x, имеет смысл выделить целую часть.

Подсказка 4

Вспомните, что a тоже целое! Каким тогда будет x, если он присутствует в дроби 8/(3x-1)?

Подсказка 5

Если х целое, оно будет обязательно делителем 8. Отсюда несложно разобрать случаи a.

Показать ответ и решение

Так как

3 2 ( 2 ) 3x − (3a− 4)x − (2a− 3)x+ a+ 2= (x+ 1) 3x − (3a − 1)x+ a+2 ,

то $x= −1$ будет корнем при всех $a$ . Решим в целых числах уравнение

2 3x − (3a− 1)x+ a+ 2= 0

Его удобно записать в виде $a(3x− 1)=3x2+ x+ 2$ или

3x2+ x+ 2 x(3x− 1)+ 23(3x− 1)+ 83 2 8 a = -3x−-1--= -------3x-− 1------ =x + 3 + 3(3x−-1)

Поэтому $3a =3x+ 2+ 38x−-1$ , и значит, $3x− 1$ равно одному из чисел $±1,±2,±4,±8$ . В итоге получаем целые решения: $x =1$ , если $a =3; x =3$ , если $a= 4; x =0$ , если $a= −2; x =− 1$ если $a= −1$ .

Таким образом, при всех $a$ , кроме а равному $3,4,− 2$ и -1 , исходное уравнение имеет один целый корень $x =− 1$ а других целых корней не имеет.

При $a= 3$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =1$ и корень $x= 53$ .

При $a= 4$ уравнение имеет целые корни $x =− 1,x =3$ и корень $x= 23$ .

При $a= −2$ уравнение имеет целые корни $x= −1,x =0$ и корень $x= − 73$ .

При $a= −1$ уравнение имеет два корня: $x= −1$ и $x =− 13$ .

Поэтому три различных корня, из которых два будут целыми, получаются в 3 случаях из 12. Вероятность равна $312 = 14$ .

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 184#102477Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел

3 x + 3x +a − 9

a+25−x− 3x− 1

положительно.

Источники: Ломоносов - 2020, 11.5 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути задача сводится к тому, что если на координатной плоскости нарисовать верикальную прямую, то верхняя из точек её пересечения с графиками функций из условия должна быть выше оси абцисс. Какой тогда крайний случай такой прямой стоит рассмотреть?

Подсказка 2

Рассмотрите случай, когда она попала в точку пересечения графиков функций из условия! Где должна располагаться это точка?

Подсказка 3

Точка перечения графиков из условия должна располагаться выше оси абцисс! Можем попробовать её угадать ;)

Показать ответ и решение

Функция $f(x)= x3+3x+ a− 9$ строго возрастает, а $g(x)= a+ 25−x − 3x−1$ — убывает. Поэтому указанное в задаче требование на параметр $a$ означает, что точка пересечения графиков этих функций лежит выше оси абсцисс, т.е. их значение в корне $x =2$ (угадываемом) уравнения

3 5−x x−1 x + 3x +a − 9= a+ 2 − 3

положительно, т.е.

3 1 a+ 2 − 3 > 0

a> −5

Ответ:

$(−5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 185#105072Максимум баллов за задание: 7

Наудачу выбирают число $a$ из $[−6;6].$ Определите вероятность того, что уравнение

2 2 x − 2(a+ 1)x+ a − 9= 0

имеет два отрицательных корня.

Источники: Газпром - 2020, 11.3 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое условие для квадратного уравнения помогает считать количество корней? Когда есть два корня? Давайте попробуем представить себе, как будет выглядеть график нашего уравнения, если у него два отрицательных корня?

Подсказка 2

Запишем условие на дискриминант! А что можно сказать про значение трёхчлена в нуле?

Подсказка 3

Значение трёхчлена в нуле должно быть больше нуля! Но ведь такое возможно и при двух положительных корнях... какое ещё условие можно записать на коэффициенты?

Подсказка 4

Можно записать условие на коэффициент при x! Тогда остается лишь решить систему из трёх уравнений относительно a ;)

Показать ответ и решение

Найдем возможные значения параметра $a$ , при котором уравнение $x2 − 2(a+1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня из решения системы неравенств:

( 2 2 |{ 4(a2 +1) − 4(a − 9)> 0, |( a − 9>0, 2(a +1)< 0;

(| 8a+ 40> 0, { (a− 3)(a+ 3)>0, |( a +1 <0;

(|{ a> −5, (a− 3)(a+3)> 0,a∈[−5;−3] |( a< −1;

Вероятность того, что уравнение $x2 − 2(a+ 1)x+ a2− 9 =0$ имеет два отрицательных корня, равна отношению длины промежутка $[−5;− 3]$ к длине промежутка $[−6;6],$ т.е. вероятность равна $16.$

Ответ:

$1 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 186#105233Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b,$ при котором для любого значения параметра $a∈[−2;1]$ неравенство

2 2 2 a +b − sin 2x− 2(a+ b)cos2x− 2>0

не выполняется хотя бы для одного значения $x.$

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения, связанные с x, являются тригонометрическими функциями, так что полезно сделать замену cos 2x = y. Тогда мы знаем, какие значения принимает y, и при этом избавились от косинусов.

Подсказка 2

У нас получается парабола от y с ветвями вверх. Нас интересует её минимум на отрезке: он будет или на границе отрезка, или в вершине параболы. Это позволяет получить какие-то системы неравенств.

Подсказка 3

Теперь задачу можно изобразить на графике в осях aOb, поскольку у нас как раз 2 параметра. Тогда значения параметров, для которых существует хотя бы один плохой y, лежат внутри пересечения графиков.

Подсказка 4

Нас интересуют такие b, что весь отрезок [-2; 1] будет лежать в области внутри графиков. Осталось подставить крайние значения для a и получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть $y =cos2x, y ∈ [−1;1].$ Тогда:

2 2 2 a + b − sin 2x − 2(a+ b)y− 2> 0

2 2 2 a +b − 1+y − 2(a+b)y− 2> 0

y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2 − 3> 0

Найдем при каких $a$ и $b$ неравенство выполняется для любых $y ∈[−1;1].$ Рассмотрим функцию

f(x)= y2− 2(a+ b)y +a2+ b2− 3

Ее графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $y0 =− −2(2a⋅+1b)= a+ b.$ Рассмотрим три случая местоположения вершины относительно отрезка $[−1;1]:$

{ { { a+ b≤ −1 (1) −1< a+ b< 1 (2) a+ b≥1 (3) f(−1)>0 f(a +b)> 0 f(1)> 0

{ { { a+ b≤− 1 (1) −1 <a +b< 1 (2) a+ b≥ 1 (3) (a +1)2+ (b+ 1)2 > 4 ab< −1,5 (a− 1)2+ (b − 1)2 > 4

На координатной плоскости $aOb$ изобразим множество точек $(a,b),$ удовлетворяющих всем трём условиям. Точки, для которых неравенство не выполняется хотя бы для одного $y ∈ [−1;1]$ , лежат внутри области, ограниченной графиками. Проверим область на замкнутость:

$PIC$

Точки пересечения графиков $(a+1)2+ (b+ 1)2 =4$ и $a+ b= −1:$

(a+ 1)2+ (−1− a+1)2 = 4

2a2+ 2a− 3= 0

⌊ − 1− √7 || a= ---2√-- ⌈ a= −-1+--7 2

Точки пересечения графиков $ab= −1,5$ и $a+ b= −1:$

a⋅(− 1− a)= −1,5

2 −a − a + 1,5= 0

⌊ √ - a= −-1−--7 ||⌈ 2√ - a= −-1+--7 2

Аналогично проверяем точки пересечения графиков с $a +b= 1.$ Точки совпадают, значит, область замкнутая.

В итоге, точки, для которых неравенство $y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2− 3> 0$ не выполняется хотя бы для одного $y ∈[−1;1],$ образуют замкнутую область, граница которой состоит из графиков двух окружностей и гиперболы, граница включается. Для решения задачи необходимо найти такие значения $b,$ при которых точки $(a,b)$ попадают в получившуюся область для любых $a∈ [−2,1].$ Такие значения $b$ образуют отрезок $[b1;b2].$

$b1$ найдем, подставив $a= 1$ в уравнение гиперболы. $b2$ найдем, подставив $a= −2$ в уравнение окружности $2 2 (a+ 1)+ (b+1) = 4.$ Получаем $[ √ - ] −1,5; 3− 1 .$

Ответ:

$[−1,5;√3− 1]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 187#120056Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки целочисленных параметров $a,b$ и $c$ , при каждой из которых система уравнений

{ ax+ 2y +cz = c; 3x+by+ 4z = 4b

не имеет решений.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм... А много ли случаев, когда система линейных уравнений может не иметь решений? Посмотрите внимательно на левые части каждого из уравнений. Чем они похожи?

Подсказка 2

Какое условие должно выполняться, если коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны, но при этом решений у системы нет?

Подсказка 3

Да! Пропорциональность для свободных членов не должна выполняться! Теперь запишем в систему все необходимые условия, которые мы получили. Помним, что все переменные целые. Какое замечание может свести задачу к разбору нескольких случаев?

Подсказка 4

Заметим, что 2/b — целое. Значит b — делитель двойки. Осталось только разобрать 4 случая и проверить, что они действительно подходят под все условия задачи!

Показать ответ и решение

Система двух линейных уравнений не имеет решений тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны друг другу, но при этом не пропорциональны свободным членам. Отметим также, что невозможен случай, когда коэффициенты при одной из переменных обращаются в ноль в обоих уравнениях. Вообще говоря, это существенное замечание. Например, система уравнений $x+ z = −7$ и $3x+3z =− 8$ не имеет решений. Получаем

a 2 c c 3 = b =4 ⁄= 4b

Из первого равенства следует, что $ab =6,$ а из второго — что $bc= 8.$ Так как числа $a, b$ и $c$ целые, отсюда следует, что число $b$ является делителем двойки. Таким образом, возможны четыре варианта

b= 1 ⇒ a= 6, c= 8 b= −1 ⇒ a =− 6, c= −8 b= −2 ⇒ a =− 3, c= −4 b= 2 ⇒ a= 3, c= 4

Из них подходят все, кроме первого — тогда нарушается неравенство. Итак, условию задачи удовлетворяют три тройки целых чисел $(−6;−1;− 8),$ $(−3;−2;− 4),$ $(3;2;4).$

Ответ:

$(−6;−1;− 8), (−3;−2;− 4), (3;2;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 188#31159Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства

∘ -------2---- (x+ 2) ax+x − x − a≥ 0

найдутся два решения, разность между которыми равна $4$ ?

Источники: Физтех-2019, 9.6, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, а каким вообще должно быть подкоренное выражение? Да, оно должно быть больше нуля! Давайте, разложим его на множители, как оно будет выглядеть? Какие значения должен принимать x, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным?

Подсказка 2

Да, подкоренное выражение разложится как: (x-1)(a-x). Тогда, чтобы оно было неотрицательным, x должен принимать значение, которое находится на отрезке между 1 и a! Как записать условие, что найдутся два корня, разность между которыми равна 4?

Подсказка 3

Да, нам нужно, чтобы |a-1| ≥ 4. То есть, первый случай: a≥5; второй случай: a ≤ -3. Могут ли возникнуть дополнительные ограничения на a?

Подсказка 4

Да, потому что при a ≤ -3, корни лежат на отрезке [a;1]! Получается, что меньший корень будет не больше 3 ⇒ меньший корень в точности равен a(чтобы всё выражение обращалось в ноль). А что можно сказать про больший корень?

Подсказка 5

Верно, больший корень равен a+4. Но в таком случае, корень будет равен нулю только при a = -3. Значит (x+2) ≥ 0 ⇒ (a+6) ≥ 0. То есть, a ≥-6

Показать ответ и решение

Выражение под корнем раскладывается как $(x − 1)(a − x)$ . Значит корни находятся между $1$ и $a$ , поэтому если их разность $4,$ то либо $a ≥5$ , либо $a≤ −3.$

Если $a≥ 5$ , то корни $x= 1$ и $x= 5$ нам подходят, так как корень будет определен и будет неотрицательным и $x+ 2$ будет положительным.

Если $a≤ −3$ , то корни будут лежать в отрезке $[a, 1]$ . Так как один из корней будет меньше другого на $4,$ то меньший корень будет не больше $− 3.$ Значит, если мы его подставим, то $x +2< 0$ и $√--------2--- ax+ x− x − a≥ 0$ . Единственный случай, когда их произведение будет $≥0$ , если $√--------2--- ax+ x− x − a= 0$ . Отсюда меньший корень равен $a$ . Тогда больший корень равен $a+ 4$ и $∘------- (a+ 6) −4(a+ 3) ≥0$ . Отсюда либо $a =−3$ , либо $a <− 3$ и $a ≥− 6$ .

Ответ:

$[−6;− 3]∪ [5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 189#33672Максимум баллов за задание: 7

Окружность, центр которой лежит на прямой $y = b$ , пересекает параболу $y = 3x2 4$ хотя бы в трёх точках; одна из этих точек - начало координат, а две из оставшихся лежат на прямой $3 y = 4x+ b$ . Найдите все значения $b$ , при которых описанная конфигурация возможна.

Источники: Физтех-2019, 11.6, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала разграничим случаи для b, потому что как минимум расположение графиков будет отличаться. Теперь стоит ввести обозначения центра окружности (a; b), точек пересечения прямой и окружности (x_1; y_1) и (x_2; y_2). Но у нас окружность ещё пересекается с осью ординат. Какие же координаты этой точки?

Подсказка 2

Верно, её координаты (0; 2b), так как образуется равнобедренный треугольник. Но нам же надо найти значения b для возможной конфигурации. Причём у нас есть по сути две хорды в окружности. Глядя на вашу картинку, о каком факте из планиметрии полезно вспомнить?

Подсказка 3

Да, это теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Одно произведение мы уже знаем, отлично. Теперь нужно найти отрезки второй хорды. Попробуем опустить перпендикуляры из точек (x_1; y_1), (x_2; y_2) на оси координат. Теперь у нас есть прямоугольные треугольники. Получается, чтобы выразить гипотенузу нам нужен только угол. А не знаем ли мы его? Вспомните о том, что значит коэффициент возле прямой на графике.

Подсказка 4

Верно, мы знаем тангенс угла наклона, а значит и сможет выразить отрезки через x_1 и x_2. Но так как окружность и прямая пересекаются, то их уравнения можно приравнять и найти произведение x_1x_2 через b. Отлично, этот случай разобран. Случай b=0 быстро исключается. Осталось только понять, почему случай b<0 не подходит вовсе и такого не может быть. Вспомните, что прямая пересекает хорду в середине и может иметь с окружностью не более 2 точек пересечения.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим сначала $b> 0$ . Обозначим начало координат через $O(0;0)$ , центр окружности через $Q (a;b)$ (так как он лежит на прямой $y =b$ , его ордината равна $b)$ ; точки пересечения прямой с параболой через $A(x1;y1)$ и $B (x2;y2)(x1 < 0,x2 >0)$ . Пусть также $T(0;b)$ — точка пересечения данной прямой с осью ординат, $C$ — точка пересечения окружности с осью ординат, отличная от $O$ .

Треугольник $QOC$ равнобедренный $(QO = QC$ как радиусы), $QT$ — его высота, следовательно, $QT$ также и медиана, $CT =OT$ , поэтому точка $C$ имеет координаты $(0;2b)$ . Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AH$ на ось ординат. Тогда $∠TAH$ есть угол наклона прямой, его тангенс равен $34$ . Отсюда $cos∠TAH = 45,AT = cosA∠HTAH-= 54AH = − 5x41$ . Аналогично находим, что $BT = 5x42$ .

$AB$ и $OC$ — две хорды данной окружности. По теореме о пересекающихся хордах $CT ⋅OT =$ $AT ⋅BT$ , т.е. $b⋅b= − 5x41⋅ 5x42$ . Абсциссы $x1$ и $x2$ точек пересечения прямой $y = 34x+ b$ и параболы $y = 34x2$ определяются уравнением $3x2 = 3x +b ⇐⇒ x2− x− 4b= 0 4 4 3$ . По теореме Виета $x1x2 = − 4b 3$ . Значит, $b2 = − 25⋅(− 4b) ⇐ ⇒ b2 = 25b 16 3 12$ , откуда $b= 25 12$ .

Значение $b= 0$ не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид $y = 3x 4$ , т.е. проходит через начало координат.

$PIC$

При $b< 0$ (естественно, мы рассматриваем только те $b$ , при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа $x1$ и $x2$ положительны. Точка $T$ является серединой отрезка OC (сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит, что точка $T$ — середина хорды $OC$ , т.е. лежит внутри окружности. С другой стороны, точки $A$ и $B$ лежат на окружности, поэтому $AB$ является хордой этой окружности, а точка $T$ лежит на продолжении хорды $AB$ , т.е. вне окружности. Получаем противоречие, и этот случай невозможен.

Ответ:

$25 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 190#39867Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

( 2 2) (2 2) log3 2x − x +2a− 4a + log1∕3x + ax− 2a = 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых меньше $1$ ?

Источники: ОММО-2019, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сперва замечаем, что логарифмы можно привести к одному основанию, например, к 3. Тогда их можно развести в разные стороны и из монотонности логарифма можно сделать вывод о равенстве подлогарифмических выражений. Всё ли мы учли?

Подсказка 2

Не-а, обязательно не забываем записать условие на положительность одного из этих выражений! Дальше уже из системы находятся корни. Что надо для них проверить?

Подсказка 3

Правильно, могут ли они совпадать? Оказывается, да, при a = 1/3. Тогда это значение параметра не берём в ответ. Теперь можно подставить найденные корни в систему, решить её, а потом ещё учесть условие на сумму квадратов!

Показать ответ и решение

Уравнение эквивалентно

( 2 2) ( 2 2) log3 2x − x+ 2a− 4a = log3 x + ax − 2a ⇐⇒

{ x2+ax− 2a2 > 0 { (x +2a)(x− a)> 0 2x2 − x+ 2a− 4a2 =x2+ ax− 2a2 ⇐ ⇒ (x − 2a)(x+ a− 1)= 0

То есть корнями будут $x =2a,x= 1− a$ . Корни различны, потому $a⁄= 1 3$ , осталось подставить их в неравенство

{ (2a+2a)(2a− a)> 0 { a⁄= 0 (1− a+2a)(1− a− a)> 0 ⇐⇒ a∈ (− 1,12)

Осталось учесть условие на сумму квадратов

( ) 4a2+ 1− 2a+ a2 < 1 ⇐⇒ a∈ 0,2 5

Ответ:

$(0;1 )∪( 1;2) 3 3 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 191#45587Максимум баллов за задание: 7

Найдите значения параметра $a$ , при которых у системы уравнений

{ x2+y2 = 26(y sin2a− x cos2a) x2+y2 = 26(y cos3a− xsin3a)

существуют два решения $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ такие, что расстояния между точками $P (x1;y1)$ и $Q (x2;y2)$ равно $10.$

Источники: Физтех-2019, 11.6, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а какую фигуру на координатной плоскости задают эти уравнения? Что нужно сделать, чтобы мы смогли узнать расположение этой фигуры на плоскости?

Подсказка 2

Да, эти уравнения задают окружность, чтобы получить её центр и радиус нужно выделить полные квадраты! Тогда, какие точки на этих окружностях являются решением нашей системы?

Подсказка 3

Верно, это точки пересечения! При этом нам нужно, чтобы расстояние между точками было равно 10, а радиус каждой окружности равен 13. А что если окружности совпадают, то есть их центры находятся в одной точке, подойдет ли нам этот случай?

Подсказка 4

Да, этот случай подойдет! Ведь, радиус больше 10, значит найдутся две точки, расстояние между которыми ровно 10. Осталось разобраться со случаем, когда окружности пересекаются в точках P и Q. Какую фигуру задают центры окружностей и точки их пересечения?

Подсказка 5

Да, это ромб! Тогда, мы знаем, что сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех сторон ромба! Осталось только вспомнить, что расстояние между точками можно найти как: корень из суммы квадратов разности их координат!

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты

{ (x +13cos2a)2+ (y− 13sin2a)2 =169, (x +13sin3a)2+(y− 13cos3a)2 =169.

Каждое из этих уравнений задаёт окружность радиуса 13; у первой из них центром является точка $A (−13cos2a;13sin2a)$ , а у второй - точка $B(−13sin3a;13cos3a)$ .

Если эти уравнения задают одну и ту же окружность, то на этой окружности найдутся точки на расстоянии 10 друг от друга, поскольку диаметр окружности больше $10$ . Окружности совпадают в случае, когда у них одинаковые центры. Получаем

{ cos2a =sin3a { cos2a+ cos(π+ 3a)= 0, { 2cosπ+10acos π+2a-=0, sin2a= cos3a ⇔ cos3a+ cos(2π+ 2a)= 0 ⇔ 2cosπ+410acos π−42a-=0. 2 4 4

Эти равенства выполняются, если либо $cosπ+10a= 0 4$ , либо $cos π+2a-=cosπ−2a= 0 4 4$ . В первом случае получаем $a= π-+ 2kπ-,k ∈ℤ 10 5$ . Во втором случае $α= π +2πn =− π+ 2πk,n,k∈ ℤ 2 2$ , здесь решений нет.

Пусть теперь рассматриваемые окружности различны и пересекаются в точках $P$ и $Q$ . Тогда четырёхугольник $AP BQ$ - ромб. Известно, что в любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх сторон, откуда $AB2 + PQ2 = 4AP2$ . Так как мы хотим, чтобы точки $P$ и $Q$ располагались на расстоянии 10 друг от друга, $PQ =10$ , поэтому $AB2 + 100= 4⋅169,AB = 24$ . Итак, необходимо, чтобы расстояние между центрами окружностей $A$ и $B$ было равно 24. Отсюда

∘ ----------------2-----------------2 (−13sin3a+ 13cos2a)+ (13 cos3a− 13sin2a) = 24⇔

⇔ 338− 338sin3acos2a− 338 sin2acos3a= 576⇔ 338sin5a= −238⇔

k+1 ⇔ a= (−-1)5---arcsin111699 + k5π,k∈ℤ

Ответ:

$(−1)k+1arcsin119-+ kπ,-π+ 2πk, k∈ ℤ 5 169 5 10 5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 192#47236Максимум баллов за задание: 7

Сколько существует значений параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 4a + 3xlgx +3lg x= 13algx+ ax

имеет единственное решение?

Источники: Ломоносов-2019, 11.7 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уж слишком ужасно выглядит наше уравнение. Если оно не раскладывается на скобки, то вообще не понятно как его решать. Давайте поверим в то, что оно раскладывается на два множителя. Т.к. у нас есть произведения x*lgx и x*a, но при этом нету x², скорее всего в одной скобке должны быть слагаемые lgx и a, а в другой lgx, a и x...

Подсказка 2

Действительно, наше выражение раскладывается в (3*lgx-a)(x+lgx-4a)=0. Тогда решения нашего уравнения получаются из решений двух уравнений 3*lgx=a и x+lgx=4a. Что особенного можно сказать про функции f(x)=3*lgx и g(x)=x+lgx?

Подсказка 3

Верно, они обе строго возрастают и пробегают все действительные значения при x>0. Это значит, что существуют единственные c и d такие, что f(c)=a и g(d)=4a. Значит, решения нашего уравнения- это в точности точки c и d, а мы хотим, чтобы решение было единственным. Когда такое может случится?

Подсказка 4

Нам нужно, чтобы c=d ⇒ 3*lgc=a и с+lgc=4a ⇒ 10^(a/3)+a/3=4a. Осталось лишь найти количество корней уравнения h(a)=10^(a/3)-11/3a=0. Как будем это делать?

Подсказка 5

Нетрудно видеть, что производная функции h(a) один раз обращается в нуль, который является точкой минимума. Значит, в силу непрерывности и неограниченности на бесконечностях нашей функции, она два раза пересечет прямую y=0.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$ . Заметим, что левую часть уравнения можно разложить на скобки

(3lgx − a)(x +lgx− 4a)= 0

Решениями этого уравнения будет объединение решений $f(x)= 3lgx =a ⇐ ⇒ lgx= a,x= 10a∕3 3$ и $g(x)= x+ lgx = 4a$ . Заметим, что обе функции монотонно возрастают на ОДЗ и принимают все действительные значения, потому оба уравнения имеют единственное решение при каждом значении параметра. Но тогда решения уравнений должны совпадать, то есть

a a a 11 103 + 3 =4a ⇐⇒ h(a) =103 − 3 a =0

Осталось найти количество решений этого уравнения. Поскольку $′ 1 a 11- h(a)= 3ln 10 ⋅103 − 3$ имеет единственный нуль, который является точкой минимума, а также $1∕3 11 11 h(1)= 10 − 3 < 3− 3 < 0$ (то есть она принимает отрицательные значения), то уравнение $h(a)= 0$ имеет два решения. Это следует из того, что функция $h$ не ограничена на $±∞$ , поэтому по каждую сторону от точки минимума будет пересекать прямую $y = 0$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 193#49600Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a − 2 log4x +3ax+ 2a = 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше $4?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пока у нас есть логарифмы нам не очень удобно работать. Давайте заметим, что 2log₄x=log₂x, поэтому нам нужно решить уравнение вида log₂a=log₂b ⇒ a=b. Тогда у нас остается квадратное уравнение относительно x. Нельзя ли у него угадать корни?

Подсказка 2

Давайте преобразуем наше уравнение: x²+(1-a)x-2a(1+a). Тогда из теоремы Виета нетрудно заметить корни -(1+a) и 2a. Сумма их квадратов равна 5a²+2a+1. Нам нужно, чтобы она была больше 4. Какие решения нам это дает?

Подсказка 3

Верно, a < -1 и a > 3/5! Кажется, что мы уже решили нашу задачу, но мы забыли учесть ОДЗ логарифма. Подставьте наши корни -(1+a) и 2a в уравнение x²+3ax+2a² и найдите a, при которых эти значения будут больше 0!

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

( 2 ) (2 2) log2 2x +(2a+ 1)x− 2a = log2x +3ax+ 2a

2 2 2 2 2 2x + (2a +1)x− 2a =x + 3ax+ 2a ⇐ ⇒ x + (1− a)x− 2a− 2a = 0 ⇐⇒

(x+a +1)(x − 2a)= 0 ⇐⇒ x= 2a,x= −a − 1

Чтобы корни были различны, нужно $2a⁄= −a− 1 ⇐⇒ a⁄= − 13$ . Условие на сумму их квадратов

4a2+ a2+2a+ 1= 5a2+2a +1> 4 ⇐⇒ 5a2+2a− 3> 0 ⇐⇒ (a+1)(5a − 3)> 0

То есть $a< −1$ или $a> 35$ . Остаётся учесть ОДЗ. В силу равенства логарифмов достаточно написать условие на положительность только для одного из аргументов (проверить, что для решений $2a,− a− 1$ оно положительно)

(2a)2+ 3a⋅2a+2a2 > 0 ⇐⇒ a⁄= 0

(a+ 1)2− 3a(a+1)+ 2a2 = −a+ 1> 0 ⇐ ⇒ a < 1

В итоге $3 a∈ (−∞, −1)∪(5,1).$

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(3;1) 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 194#80267Максимум баллов за задание: 7

Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение

|| sin21(2a)|| || −4tg(3a)|| ( -π)2( -π) ||x− 2 ||+ |x− 2 |+a a +12 a− 12 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По-видимому, нормальным решением уравнения здесь и не пахнет... Когда кажется, что все печально, в голову приходит супер-мысль: вспомнить про метод оценки! У нас слева стоит сумма двух модулей и какое-то выражение. Тогда рассчитывать на решения стоит тогда, когда это выражение неположительное...

Подсказка 2

Оно неположительно, когда 0≤a≤π/12 или a=-π/12. У нас имеется сумма двух модулей, поэтому очень хочется воспользоваться неравенством |x|+|y|≥|x-y|...

Подсказка 3

В силу монотонности синуса 1/sin²2a≥1/sin²(π/6)=4 при a∈(0;π/12], а также -4tg3a<0. Поэтому модуль разности наших модулей будет больше 15. Покажите, что при a∈(0;π/12] выражение a(a+π/12)²(a-π/12) не будет превосходить 1 и доведите решение до конца!

Показать ответ и решение

Решение может существовать только если

{ π-} ( π-] a ∈ − 12 ∪ 0; 12

поскольку иначе левая часть уравнения или не определена, или строго положительна.

При $π a= − 12-$ уравнение имеет вид

2|x− 16|=0

Следовательно, при $-π a= −12$ получаем решение $x= 16.$

Если $( π-] a∈ 0;12 ,$ то

--1-- 2 sin2(2a) > 16, 2−4tg(3a) < 1

Поэтому минимум функции

||| sin12(2a)||| || −4tg(3a)|| f(x)= |x − 2 |+ |x − 2 |

не меньше $15.$ С другой стороны абсолютное значение выражения

( ) ( ) g(a)= a a+ -π 2 a− π- 12 12

на полуинтервале $(0; π12)$ заведомо не больше $1 :$

|g(a)|< a(a+ π-)3 < 1 12

Поэтому при $a∈(0; π-] 12$ решений нет.

Ответ:

$x =16$ при $a= −-π; 12$

при остальных значениях $a$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 195#90130Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары вещественных чисел $(a,b)$ , при которых неравенство

4 4 4 2 2a(x+ 2) +9b(x − 2) ≥ x +24x + 16

справедливо для всех вещественных $x$ .

Источники: ДВИ - 2019, задача 6 (cpk.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перекинем все в одну сторону и попробуем привести неравенство к виду k(x+2)⁴ + t(x-2)⁴ ≥ 0, какие условия хочется записать на k и t?

Подсказка 2

Если неравенство выполняется при всех х, то оно должно выполняться и для х = 2 и х = -2, таким образом мы получаем ограничения на t и k. Подумайте, нужны ли нам еще какие-то условия, или этого уже достаточно?

Показать ответ и решение

Заметим, что $(x +2)4+(x− 2)4 =2(x4+ 24x2 +16)$ . Стало быть, исходное неравенство можно переписать как

( 1) 4 ( 1) 4 2a− 2 (x+ 2) + 9b− 2 (x− 2)≥ 0.

Подставляя $x= 2$ и $x= −2,$ получаем $2a− 12 ≥0$ и $9b− 12 ≥ 0.$ Остаётся заметить, что при выполнении этих ограничений наше неравенство выполняется для всех $x.$ Следовательно, искомые значения параметров $a$ и $b$ описываются неравенствами $a ≥ 14,b≥ 118.$

Ответ:

$a ≥ 1,b≥ 1 4 18$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 196#101396Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x)= p(x)$ , где

||x2−-6x+-9 4x2− 5x|| f(x)=|| 3− x + x ||, p(x)= |x+ a|,

имеет одно решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли как-то сократить f(x)? (Не забудьте про ОДЗ!)

Подсказка 2

Попробуйте изобразить на координатной плоскости, что из себя представляют графики f(x) и p(x)? В каком случае исходное уравнение имеет только одно решение?

Подсказка 3

Да, уравнение будет иметь одно решение, если наши графики пересекаются лишь в одной точке. Учитывая то, как выглядят графики, при каких условиях они будут пересекаться лишь в одной точке?

Подсказка 4

Подумайте об "особых" точках графиков. Может, как-то помогут выколотые из-за ОДЗ точки или вершина?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)$ и преобразуем её:

ОДЗ:

{ x⁄= 3 x⁄= 0

f(x)= |3− x+ 4x− 5|= |3x − 2|

Тогда, если нарисовать наши графики с учётом ОДЗ, получится:

$PIC$

Чтобы уравнение $f(x)= p(x)$ имело одно решение, графики должны пересекаться только в одной точке. Такое возможно, когда $p(x)$ пересекает $f(x)$ в вершине или проходит через выколотые точки.

⌊ |2 | | |3 + a|= 0 ⌈ |0+a|= 2 |3+a|= 7

⌊ | a= − 23 || a =±2 |⌈ a= 4 a= −10

Ответ:

${−10,− 2,− 2,2,4} 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 197#113664Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ существует $b$ такое, что уравнение

2 2 sin bsinx+ cos bcosx =a

не имеет решений?

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать выражение в левой части?

Подсказка 2

Примените метод вспомогательного аргумента, введя f(b) = √(sin⁴b + cos⁴b).

Подсказка 3

Воспользуйтесь тем, что косинус по модулю не превосходит единицу.

Показать ответ и решение

Пользуясь методом вспомогательного аргумента, приходим к уравнению

a= f(b)cos(x− f(b)),

где

∘ --4-----4- f(b)= sin b+ cos b

Если $| a-|≤ 1 f(b)$ при любых $b,$ то найдётся, например, решение $x= f(b)+ arccos-a. f(b)$ А если же при каком-то $b$ выполнено $| a-|> 1, f(b)$ то у уравнения решений нет, так как косинус по модулю не больше единицы.

Неравенство $|a|>|f(b)|=f(b)$ выполнено хотя бы при каком-то $b,$ если $|a|>minf(b).$

∘ ---1--2-- -1- |a|> min 1− 2sin 2b= √2.

В итоге получаем, что $( 1) ( 1 ) a∈ −∞;− √2- ∪ √2;+∞ .$

Ответ:

$(−∞;− 1√-) ∪( 1√-;+∞ ) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 198#34206Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x2−2ax+a2 2 2 3 2 3 = ax − 2a x+ a +a − 4a+ 4

имеет ровно одно решение.

Источники: ОММО-2018, номер 8, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень хочется подсократить выражение, поэтому давайте сделаем замену t=x-a (повлияет ли это на количество решений?). Тогда что интересного можно заметить в обеих частях уравнения?

Подсказка 2

Конечно же симметрию! Если t - это решение, то -t тоже является решением! Отсюда получается и единственное значение t, которое должно быть решением уравнения! Осталось проанализировать, при каких именно значениях а, это решение будет единственным.

Подсказка 3

Получили а=1 и а=3. В первом случае попробуйте оценить 3^x снизу, чтобы выяснить количество решений для данного уравнения.
P. S. производная в помощь!

Подсказка 4

Во втором же случае удобно перебрать значения в нескольких точках, чтобы сделать вывод о количестве решений для данного уравнения!

Показать ответ и решение

Обозначим $x− a$ через $t$ . Заметим, что количество решений уравнения от такой замены не меняется. Тогда исходное уравнение приобретёт вид

t2 2 2 3 =at +a − 4a+ 4.

Заметим, что выражения в обеих частях не меняются при замене $t$ на $− t$ , поэтому нечётное число решений (в частности, ровно одно решение), это уравнение может иметь только если $t =0$ является его корнем:

0 2 3 = a⋅0+a − 4a+ 4,

т.е. $a2− 4a+ 3= 0$ , откуда $a= 3$ или $a= 1$ . Итак, кроме этих двух чисел, никакие другие значения параметра $a$ не могут удовлетворять условию.

Пусть $a = 1$ . Тогда уравнение примет вид $3t2 = t2+ 1$ . Заметим, что $3x > xln3+ 1$ при $x >0$ (что можно доказать, например, взяв производные обеих частей и учтя значение в нуле). Тогда при $t⁄= 0$ получаем $3t2 >$ $t2ln3 +1 >t2+ 1$ . Итак, при $a =1$ уравнение имеет единственное решение.

Пусть $a = 3$ . Тогда уравнение примет вид $3t2 = 3t2+ 1$ . Заметим, что $31 = 3,3⋅1+ 1= 4$ , но $322 = 81$ , $3⋅22+ 1= 13$ , т.е. при $t= 1$ левая часть меньше правой, а при $t= 2−$ наоборот. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, уравнение имеет ещё хотя бы корень на интервале $(1,2)$ . Следовательно, $a= 3$ не удовлетворяет условию.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 199#45584Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x x x x 2 16 − 6⋅8 + 8⋅4 + (2− 2a)⋅2 − a + 2a− 1 =0

имеет ровно три различных корня.

Источники: ПВГ-2018, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое-то страшное уравнение дали... Давайте попробуем хоть что-то поделать с ним! Как говорится: "Дорогу осилит идущий" :)
Видим, что у нас степень везде х, а в основаниях степени двойки. Что тогда можно сделать, чтобы облегчить себе жизнь?

Подсказка 2

Верно, давайте просто заменим 2^x на t, где t>0, и будем уже для этого уравнения решать задачу. Понятно, что нам не дали бы такую бяку, если бы она не раскладывалась во что-то хорошее. Давайте попробуем это сделать. Видим, что двойку в одном слагаемом можем вынести. Получается удвоенное произведение. А не соберутся ли там хорошо полные квадраты? Тогда стало бы совсем легко.

Подсказка 3

Точно, там хорошо собирается разность квадратов, с которой дальше уже можно работать! Хм... Видим, что произведение двух скобок равно нулю. И в них параметр а входит везде в первой степени. Тогда каким способом можно добить эту задачу?

Подсказка 4

Да, можно графически порешать в плоскости tOa. Осталось только аккуратно построить графики и выяснить подходящие значения а.

Показать ответ и решение

После замены $t= 2x > 0$ нам требуется ровно три различных положительных корня от уравнения

4 3 2 2 t − 6t + 8t − 2(a − 1)t− (a− 1) = 0

2 2 2 2 2 (t − 3t) − (t+ a− 1) = 0 ⇐⇒ (t− 2t+a− 1)(t − 4t− a+ 1)=0

Первое решение.

Построим графики

a =− (t2− 2t− 1)= −(t− 1)2 +2,a= t2− 4t+1 =(t− 2)2− 3

в координатах $tOa$ и посмотрим, когда горизонтальная прямая пересекает части парабол в области $t> 0$ ровно в трёх точках:

$PIC$

Это происходит строго между прямыми, показанными на графике. Из представления парабол выше очевидно, что горизонтальными касательными к параболам являются прямые $a= 2$ и $a= −3$ . Пересекаются параболы при

2 2 2 −(t − 2t− 1)= t − 4t+ 1 ⇐⇒ 2t− 6t= 0 ⇐ ⇒ t∈ {0;3}

При $t= 0$ получаем

a= 0− 0+1

При $t= 3$ получаем

a =9− 12+ 1= −2

Второе решение.

Заметим, что в случае наличия корней у уравнений

t2− 2t+ (a− 1)= 0

t2− 4t− (a− 1)= 0

их произведения имеют разные знаки, поэтому всего быть $4$ положительных корней не может (иначе оба коэффициента были бы положительны по теореме Виета). А сумма же корней всегда положительна, поэтому двух отрицательных корней быть не может.

Значит, нужно обеспечить наличие двух корней у обоих уравнений. Это обеспечивается условием на положительность дискриминантов

4(1− a+ 1)>0,4(4+ a− 1)> 0

При $a= 1$ среди корней есть два нуля, а иначе за счёт теоремы Виета у одного будут два положительных корня, у другого — один положительный и один отрицательный.

Итак, имеем три положительных корня и один отрицательный. Стоит ещё проверить, могут ли положительные корни в разных скобках совпасть, то есть при одном и том же $t> 0$ верно

2 2 t − 2t+a − 1 =0,t − 4t− a+1 =0

Отсюда

2 4t− 2t= 2(1− a) ⇐ ⇒ t= 1− a =⇒ (1− a) − 3(1− a)= 0 =⇒ a= 1,a =−2

Эти значения исключим из ответа.

Ответ:

$(−3;−2)∪(−2;1)∪ (1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 200#51859Максимум баллов за задание: 7

Уравнение $x2+ax+ 5= 0$ имеет два различных корня $x 1$ и $x; 2$ при этом

2 250- 2 -250- x1+ 19x32 =x2+ 19x31.

Найдите все возможные значения $a$ .

Источники: Физтех-2018, 10.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию наше уравнение имеет два корня, какое ограничение мы должны наложить на а, чтобы это выполнялось?

Подсказка 2

Дискриминант должен быть положительным! Решая данное неравенство, получаем, что а² > 20. Хорошо бы получить еще какое-то условие на а, но у нас пока что есть только связь между корнями, а может быть у нас получится как-то связать корни с а?

Подсказка 3

Можем воспользоваться теоремой Виета! Попробуем преобразовать данное нам уравнение для корней таким образом, чтобы явно выделить произведение и сумму корней

Подсказка 4

Перенесём все в одну сторону и разложим каждую разность на множители. Заметим, что так как корни различны, х₁ - х₂ ≠ 0 и на эту скобку можно поделить уравнение. Воспользовавшись теоремой Виета, получаем уравнение для а, решая которое, получаем ответ) Только не забудьте проверить выполнение полученного нами ранее ограничения!

Показать ответ и решение

Чтобы получить два различных корня, дискриминант $D = a2− 20$ должен быть положителен, то есть $a2 > 20$ . Далее мы можем использовать теорему Виета, тогда $x1+ x2 = −a,x1x2 = 5$ . Теперь преобразуем равенство в условии