Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 241#51340Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система уравнений

({|x− 1|+ |x+ 1|− 2y = 0 2 2 ( x +y − 2ay+2a= 1

имеет ровно три различных решения.

Источники: Физтех-2010, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два похожих модуля — явный намёк на графический метод!

Подсказка 2

Второе уравнение даст нам окружность, какие граничные случаи надо рассмотреть?

Подсказка 3

Выясните, при каких a окружность касается каждой из прямых первого уравнения.

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое уравнение системы можно записать в виде

( { 1, |x|≤ 1 y = (|x|, |x|> 1

Второе уравнение системы преобразуется к виду $x2+ (y− a)2 = (a− 1)2$ и является уравнением окружности с центром в точке $(0;a)$ и радиусом $|a− 1|$ . Эта окружность при любом значении $a$ проходит через точку $A (0;1)$ и касается прямой $y =1.$ Если $a <1,$ то окружность лежит ниже прямой $y =1,$ и данная система в этом случае имеет единственное решение $(0;1).$ При $a =1$ окружность вырождается в точку $A,$ т. е. в этом случае система тоже имеет единственное решение $(0;1).$ Если же $a >1,$ то окружность расположена выше прямой $y = 1,$ и система кроме решения $(0;1)$ будет иметь ещё два решения (симметричных относительно прямой $x= 0)$ в том случае, когда окружность касается прямых $y = x$ и $y = −x.$ Это означает, что система

{ y =x x2+ (y− a)2 = (a− 1)2

имеет единственное решение, т. е. уравнение $x2+ (x − a)2 = (a − 1)2$ имеет единственный корень. Это уравнение можно записать так $2x2− 2ax +2a− 1= 0,$ откуда $D = 4a2− 8(2a− 1)= 4(a2− 4a +2)= 0,$ т. е. $a =2± √2.$ Так как $a> 1,$ то получаем $a =2+ √2.$

Ответ:

$2+ √2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 242#79185Максимум баллов за задание: 7

Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений

{ x− y2− a =0 x2− y+a =0

имеет единственное решение.

Источники: Физтех - 2009, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие у нас стандартные методы решения системы? Сложить, перемножить, выразить. Попробуем первый способ. Ого, ушла а-шка, и более того, наше выражение разложилось на множители. Значит, либо x = y, либо x + y + 1 = 0. Чему теперь равносильно условие на одно решение, если х линейно выразился через у?

Подсказка 2

Тому, что суммарно, при подстановке вместо y — х и -(x + 1), во второе (или первое, это не так важно) уравнение системы, получалось ровно 1 решение. Как нам этого добиться?

Подсказка 3

Верно, посчитаем дискриминанты. Один из них должен быть равен нулю, а второй меньше нуля (так как общих корней у уравнений нет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

2 2 x − y + x− y = 0

x= y или x+y +1 =0

Получаем, что система из условия равносильна

⌊ { y = x || x2− x+a =0 ||⌈ { y = −1− x x2+ x+1 +a =0

в силу линейной связи между $x,y$ одно решение должна иметь совокупность

[ x2− x+ a= 0 x2+ x+ 1+ a= 0

Дискриминант первого уравнения равен $1− 4a,$ у второго же он меньше: $1 − 4a− 4.$ Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении $a$ не будет корней):

1− 4a =0

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены $(x,y)$ на $(y,x)$ . То есть если есть решение $(x0,y0)$ , то решением также будет пара $(y0,x0)$ — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было $(x,x):$

2 x − x+ a= 0

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

1− 4a =0

При таком значении параметра получаем систему

{ x− y2 − 1 = 0 x2− y +4 1 = 0 4

Вычитая, получаем

( 1)2 ( 1)2 x− 2 + y− 2 =0

Единственное решение уравнения — это пара $(11) 2;2$ . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое $a$ подходит.

Ответ:

$1 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 243#80046Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ x2+y2+ 31≤ 8(|x|+ |y|) x2+y2− 2y = a2− 1

имеет хотя бы одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первом уравнении есть намек на круги, как нам будет удобнее работать с модулем?

Подсказка 2

Представьте x² как |x|².

Подсказка 3

А снизу просто окружность с фиксированным центром, осталось рассмотреть их взаимное расположение.

Показать ответ и решение

Запишем первое неравенство системы в виде

2 2 (|x|− 4)+ (|y|− 4) ≤ 1

Этому неравенству удовлетворяет множество $E$ - объединение четырёх кругов $C1$ , $C2$ , $C3$ и $C4$ радиуса 1 с центрами соответственно в точках $O1(4;4),O2(4;− 4),$ $O3(−4;4)$ и $O4(−4;−4).$ Запишем второе равенство системы в виде

2 2 2 x + (y− 1) =a

При $a⁄= 0$ это уравнение окружности $L$ с центром в точке $O (0;1)$ радиуса $|a|.$ Соединим точку $O$ и точки $O1$ и $O2$ прямыми $ℓ1$ и $ℓ2.$ Пусть $A1$ и $B1−$ точки пересечения $ℓ1$ с окружностью $L1$ (с центром $O1$ радиуса 1), а $A2$ и $B2−$ точки пересечения $ℓ2$ с окружностью $L2$ (с центром $O2$ радиуса 1). Имеем $OO1 =5$ , $OO2 = √25+-16-=√41-$ , $OA1 = 4$ , $OB1 = 6$ , $OA2 =√41-− 1$ , $OB2 = √41+ 1$ При $4≤ |a|≤6$ окружность $L$ пересекается с кругами $C1$ и $C3,$ а при $√41-− 1 ≤$ $≤|a|≤√41-+1$ окружность $L$ пересекается с кругами $C2$ и $C4.$ Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если $|a|$ принадлежит либо отрезку $I1 = [4,6],$ либо отрезку $I = [√41− 1,√41+ 1]. 2$ Так как $4< √41− 1< 6< √41+ 1$ то объединение отрезков $I 1$ и $I 2$ есть отрезок $[4,√41-+1].$

$PIC$

Ответ:

$4 ≤|a|≤ √41+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 244#100195Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары $(x,y)$ , при каждой из которых для чисел

∘----3---- y y u= 4+ x − 9x− x − 3 и v = 2− x− 3

справедливы все три следующих высказывания сразу:

если $|u|>|v|,$ то $u >0,$

если $|u|<|v|,$ то $0 >v,$

а если $|u|= |v|,$ то $u> 0> v.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно переписать вопрос задачи?

Подсказка 2

Например, первое высказывание равносильно u > v.

Показать ответ и решение

Если $|u|>|v|$ , то $u >0 ⇐ ⇒ u >v$ ,

если $|u|<|v|$ , то $0 >v ⇐ ⇒ u >v$ ,

а если $|u|= |v|$ , то $u> 0> v ⇐⇒ u> v$ .

Поэтому одновременное выполнение всех трёх высказываний задачи равносильно следующему:

⌊ { | |u|> |v|, ||| { u> 0, || |u|< |v|, ||| { 0> v, ⌈ |u|= |v|, u> 0> v

⌊ { |u|>|v|, || || { u >v, ||| |u|<|v|, || { u >v, ⌈ |u|=|v|, u >v

u> v

∘ --------- 4+x3 − 9x> 2

4+ x3− 9x >4

[ −3< x< 0, x> 3.

Замечание. Тот же результат можно получить графически, если отдельно для каждой из трёх систем рассматриваемой совокупности изобразить на координатной плоскости множество точек ( $u,v$ ), удовлетворяющих этой системе, а затем взять объединение всех трёх построенных множеств.

Ответ:

подходят пары $(x,y),$ такие что $x ∈(−3;0)∪ (3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 245#104257Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ строго между двумя корнями уравнения

2 2 ax + x+2a = 0

находится ровно один корень уравнения

2 2 ax +2x− 2a = 0

и строго между двумя корнями второго уравнения находится ровно один корень первого уравнения?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что, если a = 0?

Подсказка 2

Теперь поделим на a ≠ 0.

Подсказка 3

Что можно сказать о точках пересечения этих графиков?

Показать ответ и решение

Заметим, что $a= 0$ не является решением задачи, так как в этом случае каждое из уравнений имеет ровно один корень. Положим $a ⁄=0$ и, разделив каждое из уравнений почленно на $a$ , обозначим

2 x f(x)=x + a +2a g(x)= x2+ 2x− 2a. a

Пусть $x0$ — абсцисса общей точки графиков функций $y =f(x)$ и $y = g(x)$ .

$PIC$

Тогда, решив уравнение $f(x)=g(x)$ , найдем, что $x0 = 4a2$ .

Условие задачи будет выполнено в том и только в том случае, когда

f(x0) <0

( ) 2a 8a3+ 3 <0

( √- ) a∈ − 33;0 2

Ответ:

$(− 3√3;0) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 246#114021Максимум баллов за задание: 7

При каждом значении $a$ найдите все значения $x$ , удовлетворяющие уравнению

( (x +1)2 ) (x+ 1)2 log5 --x---− a = log5---x-- − log5a.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ и преобразуем правую часть по свойствам логарифма :)

Подсказка 2

Можно отбросить логарифмы и перейти к равенству выражений с x и a.

Подсказка 3

(a-1)(x+1)² = a²x. Нам нужно при каждом a искать какие-то x. А чем является это равенство относительно x?

Подсказка 4

Почти всегда равенств является квадратным уравнением относительно x, которые мы умеем решать ;) Осталось лишь учесть, что x должен удовлетворять ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| (x+ 1)2 ||||| ---x-- − a >0 ||{ (x+-1)2 || x >0 ||||| a> 0 |( x⁄= 0

a> 0, x> 0, (x+-1)2 >1 ax

На ОДЗ по свойствам логарифмов уравнение равносильно

(x+-1)2− a= (x+-1)2 x ax

2 2 (a − 1)(x +1) = ax

Если $a= 1,$ то уравнение не имеет решений. Иначе получаем квадратное уравнение (так как $a⁄= 0),$ корни которого равны

⌊ x =a − 1 |⌈ 1 x = a− 1

Условие $x> 0$ выполняется при $a> 1$ для обоих корней. Условие $2 (x+1ax)-> 1$ тоже выполнено при $a >1,$ так как из уравнения $(a− 1)(x+ 1)2 = a2x$ получаем

(x+-1)2 = -a--= 1+ -1--> 1 ax a− 1 a− 1

Ответ:

при $a > 1:$ $a− 1, -1- a−1$

при $a≤ 1:$ решений нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 247#31977Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ существует единственное решение системы

{ x2+y2 =4; (x − 3)2+ (y+ 4)2 =a

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем о том, сколько решений может иметь второе уравнение системы в зависимости от а. Мы можем найти такие а, при которых у нас не будет решений и эти а в ответ точно не пойдут. Для остальных а мы можем подумать о том, как будут выглядеть графики

Подсказка 2

При положительных а у нас есть графики двух окружностей, подумайте над тем, когда у нас может быть ровно одно решение?

Подсказка 3

Верно, одно решение у нас в случае касания окружностей! Найдите значения а, при которых это происходит и останется лишь проверить, что происходит в случае, когда а=0!

Показать ответ и решение

При $a< 0$ второе уравнение не имеет решений. При $a =0$ второе уравнение имеет решение $x= 3,y = −4$ , которое не подходит под первое уравнение системы. Заметим, что при $a> 0$ перед нами две окружности: с центром $(0,0)$ радиусом $2$ и с центром в $(3,−4)$ радиусом $√ - a$ .

$PIC$

Нам нужно, чтобы у них была ровно одна точка пересечения, откуда две окружности касаются, то есть либо $------ √ 32+42 = 2+ √a$ (внешнее касание), либо $√32+-42-=√a − 2$ (внутреннее). Значит, $√a =3$ или $√a =7$ .

Ответ:

${9;49}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 248#51339Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a,$ при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x;y),$ удовлетворяющих системе уравнений

{ (x+ y2 − 1)(y− √6|x|) =0 2 2ay+x = 1+a

Источники: Физтех-2007, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что задачу было бы удобно решать графически. Что мы получим из первого уравнения?

Подсказка 2

Это будут график модуля и парабола, повернутая на бок. Второе уравнение даст нам прямую.

Подсказка 3

Рассмотрите точки пересечения модуля и параболы, а также точку касания параболы и прямой.

Показать ответ и решение

$PIC$

На координатной плоскости Оху рассмотрим ломаную $L$ , задаваемую уравнением $√- y = 6|x|,$ и параболу $Π$ , задаваемую уравнением $x +y2 = 1.$ Ломаная $L$ пересекается с параболой $Π$ в точках с абсциссами $x= − 12$ и $x = 13$ и положительными ординатами. Прямая $ℓ(a)$ , задаваемая уравнением $2ay+ x= 1+a2,$ касается параболы $Π$ в точке $( ) 1 − a2;a.$ Найдем $a> 0,$ при которых точка касания $ℓ(a)$ и $Π$ является точкой пересечения $L$ и $Π$ , то есть удовлетворяет уравнению $L$ . Имеем: $1− a2 =− 12$ при $∘-- a= 32$ и $1− a2 = 13$ при $a = ∘2. 3$

Разберём случаи

При $a> ∘ 3- 2$ или $a ∈(∘ 2;∘ 3) 3 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $∘ 2- a= 3$ и $∘-3 a= 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в двух различных точках, одна из которых является точкой касания $ℓ(a)$ и $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.

Далее найдём $( ∘ -) a1 ∈ 0; 23$ , при котором $ℓ(a1)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = −√6x$ . Получим $− 2a1 = −√16,$ т. е. $a1 = 21√6$ .

Аналогично ищем $a0 <0$ , при котором $ℓ(a0)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = √6x$ . Получаем $− 2a0 = 1√6$ , т. е. $a0 = − 1√- 26$ .

При $-- a∈ (-1√-;∘2) 2 6 3$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $a∈ (−-1√-;-1√-] 2 6 2 6$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в одной точке, не лежащей на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.
При $-1√- a≤ −2 6$ прямая $ℓ(a)$ не пересекается с $L.$ Следовательно, в этом случае система имеет ровно одно решение.

Осталось собрать те случаи, когда решения ровно два, и написать ответ.

Ответ:

$a= ∘ 2, a= ∘ 3, a∈ (−-1√-,-1√-] 3 2 2 6 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 249#47917Максимум баллов за задание: 7

При всех значениях параметра $a$ решите уравнение

ax+3 4x2−ax+9- 2x2+3 + 2 x2+3 = 10.

Источники: ПВГ-2006 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Какая некрасивая дробь в степени, еще и повторяется, давайте сделаем замену! t = 2^((ax + 3)/(x^2 + 3))

Подсказка 2!

Попробуйте понять, как представляется тогда второе слагаемое! Это 16/t!

Подсказка 3!

Осталось найти t и разобраться с вытекащим а)

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2axx+2+33-$ , тогда

4(x2+3) − ax+3 16 t+ 2 x2+3 ⋅2 x2+3 = 10 ⇐ ⇒ t+ -t =10

Получаем $t∈ {2;8} ⇐⇒ axx2++33 ∈ {1;3}$ , то есть у нас такая совокупность (два случая):

[ [ ax+3 =x2 +3 ⇐⇒ ax= x2 ax+3 =3x2+ 9 3x2− ax +6= 0

У первого уравнения могут быть решения $x =0,x= a$ , а у второго при $2 a ≥ 72$ есть решения $a±√a2−-72- x = ---6----$ . Важно заметить, что среди корней уравнений нет общих, потому что при подстановке $x =0$ или $x= a$ во второе уравнение его левая часть будет положительна, а не равна нулю. Тогда осталось учесть только совпадения корней в рамках каждого из уравнений и записать ответ.

Ответ:

при $|a|>6√2$ решения ${0;a;a+√a2−72;a−√a2−72} 6 6$ ;

при $√- |a|= 6 2$ решения $a {0;a;6}$ ;

при $√ - 0< |a|< 6 2$ решения ${0;a};$

при $a= 0$ решение только $x = 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 250#31629Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

||x− a|+2x|+4x =8|x+1|

не имеет ни одного корня.

Источники: Ломоносов-2005

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, придётся раскрыть один из модулей, естественно мы выберем наименее «страшный», который в правой части. Главная идея при раскрытии этого модуля — обратить внимание на коэффициент перед x, а также подумать, какой коэффициент перед x может быть в левой части!

Подсказка 2

Хм, в правой части по модулю он равен 8. А в левой части? Опа, а в левой при раскрытии модуля он по модулю не больше 7. Что это значит, учитывая, что нам нужно отсутствие решений?

Подсказка 3

Конечно, если перенести всё в одну сторону, то монотонность определяется только раскрытием модуля с коэффициентом 8. Можно схематично нарисовать график полученной кусочно-линейной функции. В какой точке получается ключевое значение?

Подсказка 4

x = -1 будет точкой экстремума, а наличие решений определяется тем, какой знак имеет функция в этой точке. Осталось только подставить x = -1 и решить неравенство для а!

Показать ответ и решение

Рассмотрим эквивалентное уравнение

8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|=0

Левая часть при каждом фиксированном параметре $a$ является кусочно-линейной функцией $f(x)= 8|x+ 1|− 4x− ||x− a|+ 2x|$ , характер монотонности которой определяется первым модулем $8|x +1|.$

При $x≤ −1$ коэффициент перед $x$ равен $− 8− 4± 1±2 <0,$ поэтому функция $f(x)$ является убывающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

При $x≥ −1$ коэффициент перед $x$ равен $8− 4± 1± 2>0,$ поэтому функция $f(x)$ является возрастающей, а её наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $4− ||1 +a|− 2|.$

Все значения больше $f(− 1)= 4− ||1+ a|− 2|$ достигаются, поэтому уравнение $f(x)= 0$ не имеет решений, если $0< f(−1),$ ведь тогда $0 <f(x)$ при любом $x.$

||a +1|− 2|− 4< 0 ⇔ |a+ 1|− 2∈ (−4,4)

|a+ 1|∈[0,6) ⇔ a +1∈ (−6,6) ⇔ a∈(−7;5)

Ответ:

$(−7;5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 251#47921Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

||2x-− 1|| |x|+ ||3x − 2||= a

имеет ровно три решения?

Источники: Вступительные на химический факультет МГУ, 2005 год, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Для понимания происходящего в этой задаче попробуйте рассмотреть, на какие области эта функция делит плоскость!

Подсказка 2!

Да, это: x∈ (−∞,0) x ∈[0,1/2) x ∈[1/2,2/3) x ∈(2/3,+∞). Тогда проанализируем поведение функции на наших промежутках (Попробуйте понять монотонность, используя производную)

Подсказка 3!

Нам надо понять, когда наша функция пересекает прямую g(x) = a всего один раз! Для этого можно схематично изобразить функцию 9Так как перед этим вы ее проанализировали) и понять, какие точки - точки экстремума (в иных точках у нес будет 2 пересечения минимум)

Подсказка 4!

Альтернативная подсказка: Так как у вас в задаче просят нечетное число решений, попробуйте найти симметрию. То есть пусть х решение, тогда (какая-то дробь) будет тоже являться решением! Поразительно дробь похожа на само уравнение.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Разделим всю плоскость на промежутки по нулям модуля, обозначив $|2x−-1|- f(x)=|x|+ |3x− 2|$ .


Промежуток	$x∈ (−∞,0)$	$x ∈[0,12)$	$x ∈[12,23)$	$x ∈(23,+∞)$

Функция $f$ на нём	$− x+ 23xx−−12$	$x + 23xx−−12$	$x− 2x3x−−12-$	$x + 23xx−−12$

Производная $f′$	$− 1− (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$	$1+ (3x1−2)2-$	$1 −(3x−12)2$

Нули производной	всюду $<0$	$13$	всюду $> 0$	$1$

Поведение функции	убывает	выпукла	возрастает	вогнута

Область значений	$(1,+∞ ) 2$	$[1,2) 2 3$	$[1,+ ∞) 2$	$[2,+∞ )$

Итак, монотонная функция на своей области значений будет иметь ровно одну общую точку с любой горизонтальной прямой $g(x)=a$ , тогда как выпуклая или вогнутая — две точки, кроме точки экстремума, в которой общая точка будет ровно одна.

Используя полученные области значений, можно изобразить функции схематично или вручную пройти по всем границам промежутков... мы используем первый способ:

$PIC$

Нетрудно видеть, что интересующие нас значения $a∈{ 23,2}$ .

Второе решение.

В условии требуется нечётное число решений, так что хочется найти симметрию. Обозначим $f(x)= 23xx−−12$ . Внезапно заметим, что

f(f(x))= 223xx−−12 −-1=-2(2x−-1)− (3x−-2)-= 4x−-2−-3x-+2 =x 323xx−−12 − 2 3(2x− 1)− 2(3x− 2) 6x− 3− 6x +4

Поэтому если у уравнения существует решение $x =x0$ , то $x = 23xx00−−12$ тоже решение. Если для каждого такого $x0$ нет совпадений в паре $(x,f(x))$ , то решений чётное число. Так что для наличия трёх решений необходимо, чтобы среди них было такое $x =t$ , что $t= 23t−t−-12 =⇒ 3t2− 2t− 2t+1= 0 ⇐⇒ t∈ {1;13}.$

При $x =1$ получаем $a= 2$ , при $x = 13$ получаем $a= 23$ . При других значениях параметра ровно трёх решений быть не может.

Осталось проверить, что эти значения параметра подходят...

Интересный факт. Такая симметрия $x <− > f(x)$ сработала, потому что квадрат матрицы

( ) 2 −1 3 −2

равен

(1 0) 0 1

единичной матрице.

Ответ:

${2,2} 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 252#80594Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

9|x− 1|− 4x+ |3x− |x+a||=0

имеет хотя бы один корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о промежутках возрастания и убывания выражения в левой части?

Подсказка 2

Обратите внимание на коэффициенты при x. Посмотрите, какими они будут после раскрытия модулей различными способами.

Подсказка 3

Получаем, что точкой минимума является x = 1, какое условие надо наложить, чтобы был хотя бы один корень?

Показать ответ и решение

Функция

f(x)= 9|x− 1|− 4x+ |3x − |x+ a||

убывает при $x ≤1$ (так как при любом раскрытии модулей коэффициент при $x$ равен $− 9 − 4± 3± 1< 0$ ) и неограниченно возрастает при $x≥ 1$ (коэффициент при $x$ равен $9− 4±3 ±1> 0$ ), следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

f(1)≤ 0

−4+ |3 − |1+a||≤0

− 4≤3 − |1+a|≤ 4

−1≤ |1+ a|≤7

−7 ≤1+ a≤ 7

−8≤ a≤ 6

Ответ:

$[−8;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 253#75444Максимум баллов за задание: 7

Найдите все $x$ , при которых уравнение

2 2 2 x + y +z + 2xyz =1

(относительно $z$ ) имеет действительное решение при любом $y$ .

Источники: Всеросс., 2004, РЭ, 10.5(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение относительно z является квадратным. И нам нужно, чтобы оно имело решение. Тогда попробуйте рассмотреть дискриминант этого уравнения. Получается ли что-нибудь хорошее?

Подсказка 2

Ага, он раскладывается на 2 скобки с x и y. У нас же должно быть решение при любом y, то есть дискриминант неотрицательный. Какой же знак или значение должна иметь скобка с иксом, чтобы это условие выполнялось?

Подсказка 3

Если скобка отрицательная, то найдётся такой y, при котором дискриминант отрицательный. Если же скобка положительная, то снова получается аналогичная ситуация. Значит, остаётся единственный вариант для x² -1, когда наше уравнение имеет решение. Победа!

Показать ответ и решение

Уравнение относительно $z$ является квадратным, а значит, для наличия действительного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант, равный $2 2 2 2 4x y − 4y − 4x + 4$ , был неотрицательным, то есть $2 2 (x − 1)(y − 1)≥0$ . Если скобочка $2 x − 1$ положительна, то при $y =0,5$ условие не выполняется. Если $2 x − 1$ отрицательно, то при $y = 100$ снова не выполняется. Если же $2 x − 1 =0$ , то есть $x =±1$ , то неравенство справедливо при любом $y$ .

Ответ:

$±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 254#79184Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a$ , при которых система неравенств

{ x2+ 2x+a ≤0 x2− 4x− 6a ≤0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2004

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите каждое неравенство системы, первое из них приведите к виду а ≤ f(x), второе — к а ≥ g(x).

Подсказка 2

В системе координат хОа выполните построение графиков функций а = f(x), а = g(x).

Подсказка 3

Зафиксируйте область, которая соответствует решению неравенств. То есть определите, какие точки являются множеством решения для каждого из неравенств. ("Выше", "Ниже", "Не выше" или "Не ниже" параболы)

Подсказка 4

Стоит отметить, что множеством решений системы является область, удовлетворяющая обоим неравенствам, так как перед нами система.

Подсказка 5

Посмотрите, при каком а будет единственное решение. Для этого необходимо понять, при каких значениях параметра горизонтальная прямая будет иметь с выделенной областью ровно одну точку пересечения.

Показать ответ и решение

Перепишем исходную систему в виде

(| 2 {a ≤− x2 − 2x |(a ≥ x-− 4x 6

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.

Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы $f(x)= −x2− 2x.$
Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы $g(x)= x2− 4x. 6$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g.$ Ее координаты равны

x1 = − 2−⋅2(−1)-=− 1; a1 =f(−1)= 1

Так как $g(−1)= 5< 1= f(− 1), 6$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g.$

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g,$ включая границы.

Только горизонтальные прямые $l1 :a= 0$ и $l2 :a= 1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l2$ — касательная в вершине параболы $f,$ а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже $l1$ или выше $l2$ не будет иметь пересечений с множеством $S.$

Прямые между $l1$ и $l2$ будут иметь больше одной точки пересечения с $S.$

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

a∈ {0;1}

Ответ:

${0;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 255#79186Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x log7(7 − log7a)= 2x

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2004 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перепишем уравнение в более приятном виде: 7^x - log_7(a) = 7^2x (учитываем ли мы ОДЗ?). Здесь видно, что можно сделать замену t = 7^x и получить квадратное уравнение. Какие тогда у нас случаи возможны, если мы хотим, чтобы было ровно одно решение нашего исходного уравнения?

Подсказка 2

Верно, у нашего квадратного уравнения либо должен быть ровно 1 положительный корень, либо корни разных знаков (то есть 1 положительный, а другой неположительный). Первая ситуация понятно описывается на математическом языке. А как быть со второй? Какую систему условий надо сделать, ко второму случаю?

Подсказка 3

Верно, во-первых, D > 0, во-вторых, log_7(a) ≤ 0. Осталось решить систему, найти решения для первого случая и записать ответ!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно $7x − log a =72x 7$ (заметьте, что ограничение на аргумент логарифма учитывается, так как $72x > 0)$

При замене $x 7 =t$ требование единственности решения для $x$ равносильно требованию единственности положительного решения для $t$ у уравнения

2 t − t+ log7a= 0

Это возможно в двух случаях: либо уравнение имеет единственное решение $t >0 0$ , либо уравнение имеет два корня разных знаков.

В первом случае получаем $1− 4log a= 0, 7$ то есть $log a= 1. 7 4$ И тогда $t= 1> 0, 2$ поэтому $a= 714$ подходит.

Во втором случае существуют корни $t1$ и $t2$ при

1 D >0 ⇐ ⇒ 1− 4log7a >0 ⇐⇒ 0< a< 74

По теореме Виета $t1⋅t2 =log a, 7$ так что уравнение имеет ровно один положительный корень только при $log a≤0, 7$ то есть $0 <a ≤1.$

Ответ:

$(0;1]∪{√47-}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 256#33523Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

( 2 2 )√---- x − (a +8)x− 6a + 24a 3− x≤ 0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные на физический факультет МГУ, 2002, № 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём, как всегда с ограничений! Заметим, что одно решение у нас будет всегда, при любом значении а. Значит нам надо, чтобы других решений у неравенства не было.

Подсказка 2

Корень неотрицателен всегда. Какой должна быть первая скобка, чтобы у нас не появилось новых решений? Запишите соответствующее ограничение, не забывая что у нас есть ОДЗ.

Подсказка 3

Итак, нам необходимо, чтобы квадратный трёхчлен был неотрицателен на всей области определения, при том в 0 он может обращаться в одной единственной точке (подумайте, в какой именно!).

Подсказка 4

Рассмотрите трёхчлен в первой скобке, в каких случаях он принимает отрицательные значения? Заметим, что красивый дискриминант позволяет нам в явном виде выразить корни. Сделайте это и поставьте соответствующие условия на их значения! Осталось решить неравенство с модулем и получить ответ!

Показать ответ и решение

Заметим, что значение $x= 3$ является решением неравенства при любых значениях параметра. Значит, других решений быть не должно: при $3 − x >0$ первая скобка должна быть положительной.

Рассмотрим уравнение $2 2 x − (a +8)x− 6a + 24a= 0$ . Его дискриминант равен $2 2 2 2 D = (a +8) − 4(−6a + 24a)= 25a − 80a+ 64 =(5a− 8) .$

Из неотрицательности дискриминанта следует, что соответствующая квадратичная функция (первая скобка) принимает неположительные значения на отрезке между корнями (или только в вершине, если корень один). Нам требуется, чтобы при $x < 3$ эта первая скобка принимала только положительные значения, то есть первая скобка может быть неположительной только при $x≥ 3$ , значит, меньший корень должен лежать не левее, чем $3$ :

a +8− |5a − 8| ------2---- ≥ 3 ⇐⇒ a+2 ≥|5a− 8|

− a− 2 ≤5a− 8≤ a+ 2⇐⇒ 1 ≤a ≤ 5 2

Ответ:

$[1;5] 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 257#78772Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $a$ , при которых система

{ log(3− x+ y)+ 3= log (25 − 6x+ 7y), y +22 =(x− 2a)2+ a+ 22x.

имеет ровно два решения.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу после того, как мы преобразовали нашу систему к более приемлемому виду (а именно засунули тройку в логарифм и переписали вместе с ОДЗ систему) можно, к примеру, подставить значение y из первого уравнения во второе.

Подсказка 2

У нас получится система x > -4, (x - 2a)^2 = 3 - a. По условию нам нужно, чтобы было два решения. Как это можно переформулировать для полученной системы?

Подсказка 3

Это значит, что полученное квадратное уравнение должно иметь два различных корня, больших -4. Для этого нужен положительный дискриминант, вершина с абсциссой правее точки -4 и положительное значение функции в самой точке х=-4. Осталось решить эту систему и найти ответ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение системы по свойствам логарифмов равносильно $24− 8x+8y =25− 6x+ 7y >0,$ поэтому после приведения подобных получаем

( |{ y = 1+2x |( x− y < 3 2 y+2 =(x− 2a)+ a+ 2x

{ x> −4 (x − 2a)2 = 3− a

Чтобы исходная система имела ровно $2$ решения, нужно, чтобы полученная система имела $2$ решения, потому что $y =1+ 2x$ каждому $x$ соответствует ровно одна пара решений.

Значит, нужно найти такие значения $a$ , при которых квадратное относительно $x$ уравнение

(x− 2a)2 = 3− a

имеет два различных корня $x1, x2 >− 4.$ Рассмотрим, когда график параболы $f(x)= x2− 4ax+4a2+ a− 3$ удовлетворяет условиям:

$PIC$

Необходимо и достаточно, чтобы

( |{ D > 0 | xв > −4 ( f(−4)= 16+16a+ 4a2 +a− 3> 0

Решив получившуюся систему, получаем ответ.

Ответ:

$(−1;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 258#94917Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее значение $a$ , при котором уравнение

3 2 x +5x + ax+ b=0

с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен $− 2$ .

Источники: Демо ЕГЭ 2002

Показать ответ и решение

Так как $x= −2$ является корнем, то получаем, что

3 2 (−2)+ 5⋅(−2)+ a⋅(−2)+b =0

−8+ 20 − 2a+ b= 0 =⇒ b= 2a− 12

Так как $x= −2$ является корнем, то в левой части уравнения можно вынести множитель $x+ 2.$ Тогда получаем:

x3+ 5x2+ax +b= 0 =⇒ (x+ 2)(x2+ 3x+ a− 6)= 0

По условию должно иметься $3$ различных решения. Значит, у $x2+ 3x+ a− 6$ есть $2$ различных корня. Значит, $D > 0.$

D = (− 3)2− 4(a− 6)= 33 − 4a> 0 =⇒ a< 33= 8.25 4

Так как по условию коэффициенты должны быть целыми, то будем перебирать целые $a.$

(a) При $a =8 :$

x3 +5x2+ 8x+4 =0 =⇒ (x+ 2)(x2 +3x+ 2)= 0

(x +1)(x+ 2)2 = 0

Тогда уравнение имеет только два различных корня.

(b) При $a =7 :$

x3 +5x2+ 7x+4 =0 =⇒ (x+ 2)(x2 +3x+ 1)= 0

D = (− 3)2− 4= 5> 0

Значит, при $a= 7$ имеем $3$ различных корня, один из которых $− 2.$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 259#76151Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $a$ , при которых уравнение $sinx= (4a− 2)2$ имеет корни, а числа $1−-4a- 27a4$ являются целыми.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Хм-м, когда данное уравнение будет иметь корни? Да, действительно, ведь мы знаем ограничение на левую часть равенства. Действительно, -1 ≤ sin(x) ≤ 1. Получается мы можем выделить отрезок, на котором будем рассматривать значения a, а про остальные значения параметра забыть.

Подсказка 2.

Что же делать теперь? Анализировать функцию с параметром! Давайте проанализируем функцию f(a) = (1 - 4*a) / (27*a⁴). Для того, чтобы определить какие значения она принимает, возьмём её производную, найдём минимум и максимум и поймём, что проверить надо всего несколько значений a.

Показать ответ и решение

Уравнение будет иметь корни тогда и только тогда, когда

2 || 1|| 1 1 3 (4a− 2) ≤1 ⇐⇒ ||a− 2||≤ 4 ⇐⇒ 4 ≤ a≤ 4

Далее исследуем функцию $f(a) = 1−274aa4$ на отрезке $[14,34]$

f′(a)= -4 ⋅ 3a-−5 1-=0 ⇐ ⇒ a = 1 27 a 3

Где $a= 13$ является точкой минимума. Отсюда $f$ может принимать только значения между $f(13)= −1$ и $max{f(14),f(34)}= 0$ . При этом значения эти достигаются только в точках $13$ и $14$ и нигде более функция целые значения принимать не может.

Ответ:

$1,1 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 260#105474Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2( 2x−x2) √- (2x−x2+1) 2cos 2 = a+ 3sin 2

имеет хотя бы одно решение.

Источники: Вступительные в МГУ - 1996 (см. pk.cs.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какая часть уравнения повторяется настолько, что её хочется заменить?)

Подсказка 2

Сделайте замену t = 2^(2x-x²). Как можно преобразовать квадрат косинуса?

Подсказка 3

Преобразуем квадрат косинуса по формуле понижения степени! А как мы решаем уравнения, где синус и косинус присутствуют только в первых степенях? ;)

Подсказка 4

Воспользуйтесь методом вспомогательного угла!

Подсказка 5

Получим уравнение, в одной части которого лежит sin(2t - π/6). А какие тогда есть ограничения на значения другой части? :)

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=22x−x2.$ Так как $2x− x2$ — это парабола с ветвями вниз, то максимум достигается в вершине, в данном случае при $x =1,$ тогда $t∈(0;2].$ Преобразуем наше уравнение: