Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром → .05 Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#113664Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ существует $b$ такое, что уравнение

2 2 sin bsinx+ cos bcosx =a

не имеет решений?

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно преобразовать выражение в левой части?

Подсказка 2

Примените метод вспомогательного аргумента, введя f(b) = √(sin⁴b + cos⁴b).

Подсказка 3

Воспользуйтесь тем, что косинус по модулю не превосходит единицу.

Показать ответ и решение

Пользуясь методом вспомогательного аргумента, приходим к уравнению

a= f(b)cos(x− f(b)),

где

∘ --4-----4- f(b)= sin b+ cos b

Если $| a-|≤ 1 f(b)$ при любых $b,$ то найдётся, например, решение $x= f(b)+ arccos-a. f(b)$ А если же при каком-то $b$ выполнено $| a-|> 1, f(b)$ то у уравнения решений нет, так как косинус по модулю не больше единицы.

Неравенство $|a|>|f(b)|=f(b)$ выполнено хотя бы при каком-то $b,$ если $|a|>minf(b).$

∘ ---1--2-- -1- |a|> min 1− 2sin 2b= √2.

В итоге получаем, что $( 1) ( 1 ) a∈ −∞;− √2- ∪ √2;+∞ .$

Ответ:

$(−∞;− 1√-) ∪( 1√-;+∞ ) 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#38891Максимум баллов за задание: 7

Учительница Мария Ивановна готовит задания для урока математики. Она хочет в уравнении $-1-+ -1-= 1 x+a x+b c$ вместо $a$ , $b$ и $c$ поставить три различных натуральных числа, чтобы корни уравнения были целыми числами. Помогите ей: подберите такие числа и решите уравнение.

Источники: Школьный этап - 2016, Москва, 11.4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, если мы еще «методом пристального взгляда» не подобрали такие коэффициенты, то стоит привести все к общему знаменателю, так как в таком виде непонятно как работать с уравнением и его корнями. Чтобы были целые корни, нужен как минимум, дискриминант равный квадрату целого числа, так как если он не равен квадрату целого, то корни будут иррациональными.

Подсказка 2

Ну вот мы нашли дискриминант. Он получился (a-b)^2 + (2c)^2. И это должно быть квадратом. Хмм… То есть, сумма квадратов - это квадрат. Интересно. Но ведь мы же знаем примеры таких чисел и это…

Подсказка 3

Верно, пифагоровы тройки. Тогда давайте начнем с первой такой тройки - (3,4,5). Значит, a - b = 3, c = 2. Тогда корни уравнения будут выражения (2с - a - b +-5)/2 = (4 - a - b +- 5)/2. Нам нужно, чтобы выражение делилось на 2, значит, нужно, чтобы а и b были разной четности. Пусть тогда это 3 и 6. Осталось проверить, что они подходят под ОДЗ и записать ответ!

Показать ответ и решение

Проверим, что числа $a =6$ , $b= 3$ и $c= 2$ подойдут. Уравнение будет иметь вид: $-1-+ -1-= 1 x+6 x+3 2$ . Его корнями будут числа $x =0$ и $x =− 5$ .

Первое решение.

Если привести всё к общему знаменателю и перемножить по правилу пропорции, то мы получим квадратное уравнение: $2 x + (a+b− 2c)x+ (ab− ac− bc)= 0$ . Это означает, что у уравнения должно быть два корня. Можно подобрать их исходя из того, что дискриминант $2 2 (a− b)+ (2c)$ должен быть точным квадратом (если мы хотим получить целые корни). В этом помогают пифагоровы тройки, например $2 2 2 3 + 4 =5$ и можно выбрать $c= 2$ , $a− b=3$ . В таком случае $2c−a−b±5 4−a−-b±5- x1,2 = 2 = 2$ . Если $a =6$ , $b= 3$ , то получаем те же решения $x1 = 0$ , $x2 = −5$ . Можно подставлять другие тройки, например, $2 2 2 5 + 12 =13$ и для них будут параметры $a =7$ , $b= 2$ и $c= 6$ , а корнями уравнения будут $x= 5$ и $x= −8$ .

Второе решение.

Также можно попробовать сделать один корень равным нулю и подобрать $a,b,c$ так, чтобы выполнялось равенство $1a + 1b = 1c$ . Довольно известным является равенство $12 + 13 + 16 = 1$ , поэтому стоит попробовать тройку $c= 2$ , $b= 3$ , $a= 6$ . Более того, в силу теоремы Виета, сумма корней равна $2c−a2−b$ , а поэтому если $a+ b$ чётно, то сумма корней будет целым числом, а значит, если один корень целый (например, $0$ ), то и второй корень тоже будет целым.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#80579Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b$ , для каждого из которых найдется число $a$ такое, что система

{ x= |y − b|+ 3 x2+ y2 +32=ba(2y − a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите квадраты во втором уравнении.

Подсказка 2

Получим (x - 6)² + (y - a)² = 4. Что это за график?

Подсказка 3

Это окружность с центром в точке (6;a) и радиусом 2. А что за график в первом уравнении?

Подсказка 4

Это повернутый на 90° по часовой стрелке график модуля, смещенный вправо на 3/b. А когда он не будет иметь пересечений с окружностью?

Подсказка 5

Когда 3/b > 8, так как окружность по x не достигает точек, больших 8. Рассмотрите обратный случай.

Подсказка 6

Можно ли подобрать какой-нибудь конкретный y (возможно, выраженный через параметр), при котором точно найдется хотя бы одно решение?

Подсказка 7

Возьмите y = b + 8 - 3/b. Какие еще b осталось рассмотреть?

Подсказка 8

В случае с 3/b мы пока рассматривали только смещения направо, то есть, положительные b.

Показать ответ и решение

Перепишем второе уравнение системы следующим образом:

2 2 2 x − 12x+36+ y − 2ay +a = 4

2 2 2 (x − 6) + (y− a) =2

$PIC$

Это окружность с центром $(6;a)$ и радиусом 2. Первое уравнение системы представляет собой повернутый на $∘ 90$ по часовой стрелке график $y = |x|$ с вершиной по $y$ в точке $b,$ который cдвигается по оси $x$ на $3 b.$ Так как центр окружности находится в точке $(6,a),$ и ее радиус — 2, она не достигает по $x$ значений, больших 8, следовательно, если сдвинуть график модуля за прямую $x= 8,$ мы получим 0 решений. Учтите, что при смещении вправо $3 b > 0,$ следовательно, $b> 0.$

( 3 |{ b >8 |( b> 0

3 0< b< 8

Рассмотрим остальные случаи. Пусть $3 b ≤ 8$ и $b> 0,$ тогда $3 b≥ 8,$ график находится правее $x =0,$ а также имеет хотя бы одну точку на прямой $x =8.$ Следовательно, можно подобрать $a,$ при котором окружность также будет через нее проходить. Заметим, что для данной точки будет верно $3 y = b+ 8− b,$ поскольку, подставив это выражение в первое уравнение, мы получим

|| 3 || 3 x= ||b+8 −b − b||+ b

А так как $3b ≤ 8,$ то

x= 8

Пусть $3 b ≤ 8$ и $b< 0.$ Верно, что $3 b <0,$ тогда график модуля смещен левее $x =0$ и имеет 2 точки пересечения с $x= 8,$ следовательно, можем подобрать $a,$ при которых окружность пройдет по крайней мере через одну из этих точек. В последнем случае имеем $3b > 8$ и $b <0,$ неравенства не пересекаются.

[ ) b∈ (− ∞;0)∪ 38;+∞

Ответ:

$(−∞;0)∪ [3;+∞) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#73722Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие $a$ и $b,$ что $|a|+ |b|≥ 2√- 3$ и при всех $x$ выполнено неравенство

|a sinx+ bsin2x|≤1

Источники: ММО-2014, задача 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для упрощения рассуждений можно рассмотреть какие-то определенные a и b. Например, если они одного знака, то сумма их модулей равна модулю их суммы(а если разного знака?).

Подсказка 2

У нас есть неравенство, которое верно для всех x. Значит, можно найти какое-то удобное значение x, чтобы выражение в неравенстве стало похожим на модуль суммы a и b.

Подсказка 3

Число 2/√3 как бы намекает, какие значения х стоит попробовать.

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай, когда числа $a$ и $b$ имеют один знак. В этом случае $|a|+|b|= |a+b|.$ Пусть $x= π. 3$ Тогда $2x= 2π,sinx= sin2x= √3 3 2$ и $√3 √3 1 ≥|asinx+ bsin2x|=|a+ b| 2 =(|a|+ |b|) 2 ≥1.$ Отсюда получаем, что $√2 |a|+|b|= 3,$ а в точке $π x= 3$ функция $f(x)= asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $π x= 3$ является точкой экстремума для функции $f(x)$ и $′π f(3)= 0.$ Имеем

π π 2π a− 2b f′(3)= acos3 + 2bcos-3 =--2--= 0

Следовательно, $a= 2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= 2√3,$ получаем, что возможны лишь два варианта $a= 34√3,b= 3√23-$ или $a =− 3√43-,b= − 3√23.$

Рассмотрим теперь случай, когда числа $a$ и $b$ имеют разные знаки. В этом случае $|a|+|b|= |a − b|.$ Пусть $x = 2π3-.$ Тогда $√- 2x= 4π3 ,sinx= − sin2x=-32$ и $√- √- 1≤ |asinx+ bsin2x|=|a− b|-32 =(|a|+ |b|)-32 ≥1.$ Отсюда получаем, что $|a|+ |b|= √23,$ а в точке $x = 2π3-$ функция $f(x)=asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $x= 2π3$ является точкой экстремума функции $f(x)$ и $f′(2π3 )= 0.$ Имеем:

f′(2π-)=acos2π+ 2bcos 4π-= −a−-2b= 0 3 3 3 2

Следовательно, $a= −2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= √2 3$ получаем, что возможны лишь два варианта: $a= −-4√-,b= -2√- 3 3 3 3$ или $a =-4√-,b= −-2√-. 3 3 3 3$

Проверим, что четыре найденные пары значений удовлетворяют условию задачи. Действительно, $|a|+ |b|= √2. 3$ Функция $f(x)$ принимает свои наибольшее и наименьшее значения в таких точках $x,$ для которых $f′(x)= 0.$ Найдём такие точки $x.$ Имеем:

f′(x)= acosx +2bcos2x =a(cosx ±cos2x)= 0

где знак в скобках выбирается положительным, если $a$ и $b$ одного знака, и отрицательным иначе. Следовательно, во всех точках экстремума функции $f(x)$ имеем $|cosx|= |cos2x|.$ Значит, при таких $x$ выполнено также равенство $|sinx|= |sin2x|.$ Отсюда $|sin2x|= |sin x||cosx|$ и либо $sinx= 0,$ либо $|cosx|= 12.$ В первом случае $f(x)= 0,$ во втором $|sin√32 |,|sin 2x = √23|$ и

√- √- |f(x)|≤ |a|-3+ |b|-3-=1 2 2

Таким образом, во всех точках экстремума функции $f(x),$ а следовательно, и во всех вообще точках $x,$ имеем $|f(x)|≤1.$

Ответ:

$a =± √4-,b= ± √2 3 3 33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#51338Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b,$ для каждого из которых существует число $α,$ такое, что уравнение

2 x +(sinα +3cosα)x+b =0

имеет действительное решение.

Источники: Физтех-2011, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Это квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

2 (sinα +3cosα) − 4b≥ 0

2 (sin α+ 3cosα) ≥ 4b

Мы хотим чтобы для любого $b$ существовал $α$ , что равносильно

4b≤ max((sinα +3cosα)2)= maxf(α) α α

Используем формулу вспомогательного угла

√--( -1- -3- ) √-- ( -3-) sinα +3cosα= 10 √10sinα + √10cosα = 10sin α+ arcsin√10- =⇒

( ) f(α)= 10sin2 α +arcsin√3- ≤10 и равенство достигается, откуда 10

4b≤ 10 ⇐⇒ b≤ 5 2

Ответ:

$(−∞; 5] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#79185Максимум баллов за задание: 7

Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений

{ x− y2− a =0 x2− y+a =0

имеет единственное решение.

Источники: Физтех - 2009, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие у нас стандартные методы решения системы? Сложить, перемножить, выразить. Попробуем первый способ. Ого, ушла а-шка, и более того, наше выражение разложилось на множители. Значит, либо x = y, либо x + y + 1 = 0. Чему теперь равносильно условие на одно решение, если х линейно выразился через у?

Подсказка 2

Тому, что суммарно, при подстановке вместо y — х и -(x + 1), во второе (или первое, это не так важно) уравнение системы, получалось ровно 1 решение. Как нам этого добиться?

Подсказка 3

Верно, посчитаем дискриминанты. Один из них должен быть равен нулю, а второй меньше нуля (так как общих корней у уравнений нет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

2 2 x − y + x− y = 0

x= y или x+y +1 =0

Получаем, что система из условия равносильна

⌊ { y = x || x2− x+a =0 ||⌈ { y = −1− x x2+ x+1 +a =0

в силу линейной связи между $x,y$ одно решение должна иметь совокупность

[ x2− x+ a= 0 x2+ x+ 1+ a= 0

Дискриминант первого уравнения равен $1− 4a,$ у второго же он меньше: $1 − 4a− 4.$ Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении $a$ не будет корней):

1− 4a =0

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены $(x,y)$ на $(y,x)$ . То есть если есть решение $(x0,y0)$ , то решением также будет пара $(y0,x0)$ — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было $(x,x):$

2 x − x+ a= 0

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

1− 4a =0

При таком значении параметра получаем систему

{ x− y2 − 1 = 0 x2− y +4 1 = 0 4

Вычитая, получаем

( 1)2 ( 1)2 x− 2 + y− 2 =0

Единственное решение уравнения — это пара $(11) 2;2$ . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое $a$ подходит.

Ответ:

$1 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#100195Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары $(x,y)$ , при каждой из которых для чисел

∘----3---- y y u= 4+ x − 9x− x − 3 и v = 2− x− 3

справедливы все три следующих высказывания сразу:

если $|u|>|v|,$ то $u >0,$

если $|u|<|v|,$ то $0 >v,$

а если $|u|= |v|,$ то $u> 0> v.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как можно переписать вопрос задачи?

Подсказка 2

Например, первое высказывание равносильно u > v.

Показать ответ и решение

Если $|u|>|v|$ , то $u >0 ⇐ ⇒ u >v$ ,

если $|u|<|v|$ , то $0 >v ⇐ ⇒ u >v$ ,

а если $|u|= |v|$ , то $u> 0> v ⇐⇒ u> v$ .

Поэтому одновременное выполнение всех трёх высказываний задачи равносильно следующему:

⌊ { | |u|> |v|, ||| { u> 0, || |u|< |v|, ||| { 0> v, ⌈ |u|= |v|, u> 0> v

⌊ { |u|>|v|, || || { u >v, ||| |u|<|v|, || { u >v, ⌈ |u|=|v|, u >v

u> v

∘ --------- 4+x3 − 9x> 2

4+ x3− 9x >4

[ −3< x< 0, x> 3.

Замечание. Тот же результат можно получить графически, если отдельно для каждой из трёх систем рассматриваемой совокупности изобразить на координатной плоскости множество точек ( $u,v$ ), удовлетворяющих этой системе, а затем взять объединение всех трёх построенных множеств.

Ответ:

подходят пары $(x,y),$ такие что $x ∈(−3;0)∪ (3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#75444Максимум баллов за задание: 7

Найдите все $x$ , при которых уравнение

2 2 2 x + y +z + 2xyz =1

(относительно $z$ ) имеет действительное решение при любом $y$ .

Источники: Всеросс., 2004, РЭ, 10.5(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение относительно z является квадратным. И нам нужно, чтобы оно имело решение. Тогда попробуйте рассмотреть дискриминант этого уравнения. Получается ли что-нибудь хорошее?

Подсказка 2

Ага, он раскладывается на 2 скобки с x и y. У нас же должно быть решение при любом y, то есть дискриминант неотрицательный. Какой же знак или значение должна иметь скобка с иксом, чтобы это условие выполнялось?

Подсказка 3

Если скобка отрицательная, то найдётся такой y, при котором дискриминант отрицательный. Если же скобка положительная, то снова получается аналогичная ситуация. Значит, остаётся единственный вариант для x² -1, когда наше уравнение имеет решение. Победа!

Показать ответ и решение

Уравнение относительно $z$ является квадратным, а значит, для наличия действительного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант, равный $2 2 2 2 4x y − 4y − 4x + 4$ , был неотрицательным, то есть $2 2 (x − 1)(y − 1)≥0$ . Если скобочка $2 x − 1$ положительна, то при $y =0,5$ условие не выполняется. Если $2 x − 1$ отрицательно, то при $y = 100$ снова не выполняется. Если же $2 x − 1 =0$ , то есть $x =±1$ , то неравенство справедливо при любом $y$ .

Ответ:

$±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#78979Максимум баллов за задание: 7

Числа $x ≤0,y > 0$ — решения системы уравнений

({ 2 2 10p−-p2 3x2 − 8xy− 3y2 = 14p0−2p+9 ; ( x − 5xy+ 6y = 4p2+9,

$p$ — параметр. При каких $p$ выражение $2 2 x + y$ принимает:

(a) наибольшее значение;

(b) наименьшее значение?

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать систему. Что есть схожего у уравнений? Как можно преобразовать левую часть каждого?

Подсказка 2

Левую часть каждого можно разложить на множители, а правые части отличаются домножением на p. Что интересного можно заметить при таком преобразовании? Что хочется с этим сделать?

Подсказка 3

Есть совпадающие скобки, поэтому попробуем поделить одно уравнение на другое. Тогда мы выразим р. А что можно сделать, чтобы благодаря первоначальной системе уравнений найти связь одной из переменных х и у с р? Пока что у нас в каждом уравнении есть все три переменные, как можно избавиться от одной из них?

Подсказка 4

Попробуем найти х/у! Тогда можно будет выразить одну переменную через другую и найти

Подсказка 5

x/y=(2p+1)/(p-3). Как можно оценить р, используя условия на х и у? Теперь, при помощи условия и найденной связи между х и у, мы можем найти квадраты!

Подсказка 6

Сумма квадратов равна (5p^2-2p+10)/(7*(4p^2+9)). Осталось лишь найти экстремумы такой функции на промежутке привычным способом)

Показать ответ и решение

Данная система имеет вид

$pict$

Разделив первое уравнение на второе (это можно сделать, т.к. $x≤ 0,y > 0,$ следовательно $x− 2y < 0$ и $x− 3y <0$ ), получим $3x+y x−2y =p.$ Отсюда

x 2p+1 y = p−-3 ,

(2)

где $− 12 ≤ p< 3,$ т.к. $xy ≤ 0.$ Подставив соотношение $(2)$ в уравнение $(1)$ получаем

x2 =-(2p+-1)2-, y2 =-(p-− 3)2, 7(4p2+ 9) 7(4p2+ 9)

откуда

2 2 5p2− 2p+-10 x + y = f(p)= 7(4p2+ 9)

Исследовав функцию $f(p)$ на максимум и минимум при $[ ) p∈ − 12,3$ получаем, что

fmax = 7-(p= − 1), fmin = 1 (p= 1) 40 2 7

Ответ:

(a) $1 − 2$

(b) $1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#104742Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ являются решениями системы уравнений

{ −x +ay = 2a ax− y = 3a− 5,

где $a$ — параметр. Какое наименьшее значение принимает выражение $x2+ y2$ ? При каком $a$ это происходит?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В одном уравнении коэффициент а при x, в другом — при y. Это может намекать на некоторое преобразование системы, которое может связать x и y.

Подсказка 2

Сложите два уравнения и разложите части на множители. Что можно сказать о y и x?

Подсказка 3

Получилось, что y = 5 - x. Тогда мы можем найти x через a.

Подсказка 4

Итак, теперь у нас и y, и x выражены в виде дробей с a, и нам нужно минимизировать их сумму квадратов. А чему она равна?

Подсказка 5

Сумма квадратов есть (13a² + 20a + 25)/(a+1)². Как мы умеем искать минимумы у выражений?

Подсказка 6

Будем искать минимум через производную!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения системы и вынесем общие множители, получим

(a− 1)(x+ y)= 5(a− 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a⁄= 1,$ тогда $y = 5− x,$ подставим это во второе уравнение системы

ax− (5− x)= 3a − 5

(a +1)x= 3a

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a⁄= −1,$ тогда

x= -3a- a+ 1

Следовательно,

y = 5− x = 2a-+5 a+ 1

В итоге выражение, которое нужно минимизировать, примет вид

x2+ y2 =--9a2--+ 4a2+-20a+-25= 13a2+20a+-25 (a+1)2 (a+ 1)2 (a+1)2

Исследуем его с помощью производной

6(a− 5) (a+-1)3 =0

a= 5

Посмотрев на порядок смены знака производной с минуса на плюс при переходе через эту точку, можно сказать, что это точка минимума. В этой точке выражение равно $25 -2 .$

Проверим, что выражение не принимает значения меньше при $a∈ (− ∞;−1).$ Для этого выделим целую часть

13a2+-20a+-25- -12-− 6a (a +1)2 = 13 +(a+ 1)2

Так как $a∈ (−∞;−1),$ то $12− 6a > 0,$ тогда

12− 6a 13+ (a+-1)2-> 13

То есть выражение не принимает значения, которые не больше 13, на промежутке $(−∞;−1).$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a= −1,$ тогда исходная система примет вид

{ − x− y = −2 − x− y = −8

Видно, что система не имеет решений.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a= 1,$ тогда исходная система примет вид

{ −x +y = 2 x− y = −2

Видно, что система равносильна уравнению

y = x+ 2

Тогда выражение примет вид

x2+ y2 = x2+ (x +2)2 = 2x2+ 4x+ 4

Наименьшее значение парабола с ветвями вверх принимает в вершине, в данном случае наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $2< 252 ,$ то в итоге наименьшее значение выражения $x2+ y2$ для заданной в условии системы равно 2, достигается оно при $a =1.$

Ответ:

$2$ при $a= 1$

Предыдущая подтема

Следующая подтема