Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#88268Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ решением неравенства

2 2 2 x − (a − 2a− 3)x+ a +2 ≤0

является отрезок $[2;3]?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами парабола — что можно сказать про её график? Куда направлены ветви такой параболы?

Подсказка 2

Нужно разобраться с условием на f(2) и f(3): какими должны быть эти значения, чтобы решением был именно отрезок [2; 3]? Ещё, конечно, можно поставить условие на дискриминант, но может оно нам и не необходимо?

Показать ответ и решение

Рассмотрим множество функций

2 2 2 fa(x) =x − (a − 2a− 3)x +a + 2

При каждом фиксированном $a$ это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. При этом она может выглядеть как (1) $(D = 0),$ (2) $(D > 0)$ или (3) $(D< 0):$

$PIC$

Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок $[2;3],$ необходимо, чтобы парабола выглядела как (2), то есть необходимо выполнение следующих условий:

(| 2 2 2 ||{ D =(a − 2a − 3) − 4(a + 2)> 0 || fa(2)= 0 |( fa(3)= 0 ( |||{ (a2− 2a− 3)2− 4(a2+ 2)> 0 a2− 4a − 12= 0 |||( a2− 3a − 10= 0 ( { (a2− 2a− 3)2− 4(a2+ 2)> 0 ( a= −2

Заметим, что при $a= −2$ неравенство $(a2− 2a − 3)2− 4(a2+2)> 0$ выполняется, так как оно равносильно $1> 0.$ Следовательно, получаем

a ∈{−2}

Замечание.

Первое условие системы можно считать избыточным в том смысле, что дискриминант автоматически положителен при условии $f (2)= f (3)= 0, a a$ поскольку квадратный трехчлен имеет два корня $x = 2$ и $x =3.$

Ответ:

$a ∈{−2}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#88702Максимум баллов за задание: 7

Пусть $z,u,v$ — положительные числа. При каких ограничениях на $z,u,v$ существует конечное число положительных целых чисел $(x,y),$ удовлетворяющих неравенству

y x vu < z?

Источники: САММАТ - 2024, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как работать с неравенством в таком виде, попробуем его хоть как-то преобразовать. Что можно сделать с обеими частями?

Показать ответ и решение

Прологарифмируем это неравенство:

lnv+ ylnu< xlnz =⇒ ylnu< xln z− lnv.

получили неравенство для линейной функции.

Для того, чтобы пары $(x,y)$ были целыми положительными числами, график должен располагаться в первой четверти так, как это показано на рисунке, а интересующая нас область — заштрихована.

$PIC$

Пусть $lnu >0$ , тогда имеем $y < lnzx− lnv lnu lnu$ (эта ситуация изображена на рисунке). Если $ln u> 0$ , $u > 1$ , то $− lnv->0 lnu$ и $lnv> 0 lnz$ , откуда $0< v < 1$ и $0< z < 1$ .

Случай $ln u< 0$ при любых $lnz$ и $ln v$ задаёт неограниченную область изменения $(x,y)$ , он не реализуем по условию задачи.

Ответ:

$u >1,0< v < 1,0 <z <1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#88877Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 x − ax +2 =0

имеет корни, причём все корни лежат на интервале $(0;3).$

Показать ответ и решение

Положим $f(x)= x2− ax+ 2.$

Во-первых, по условию, $f(x)$ имеет корни, следовательно, дискриминант $2 D =a − 8$ неотрицателен. Таким образом, $√- |a|≥ 2 2.$

Во-вторых, старший коэффициент $f(x)$ равен 1, следовательно, ветви параболы, которую она задает, направлены вверх. Заметим, что парабола, имеющая ветви вверх, принимает отрицательные значения при тех и только тех значениях аргумента, которые лежат строго между ее корнями. В этом случае, парабола имеет вид:

$PIC$ $PIC$

Так, $f(x)$ не может принимать неположительные значения в точках 0 и 3. Иными словами, $f(0)= 2> 0$ и $f(3)= 9− 3a+ 2> 0,$ то есть $a< 11. 3$

В-третьих, необходимо, чтобы каждый из корней лежал в интервале $(0,3),$ для этого, при условии $11 a< -3 ,$ достаточно, чтобы вершина парабола имела абсциссу $xв,$ значение которое лежало бы на отрезке от 0 до 3. Cледовательно, парабола имеет вид:

$PIC$

Таким образом, $0< a <3, 2$ то есть $0< a< 6.$

Объединяя множество значений, полученных в каждом из предыдущих пунктов: $√- 11 2 2≤ a< -3 .$

Ответ:

$[2√2;11) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#89612Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых сумма квадратов корней уравнения

2 x − ax+ a+ 7= 0

равна $10$ .

Показать ответ и решение

Запишем теорему Виета для данного уравнения:

{ x + x = a x1x =2a+ 7 1 2

Выразим $x2+x2 1 2$ через $x1+ x2$ и $x1x2$ .

x2+x2= (x +x )2− 2x x = a2− 2(a+ 7)=a2− 2a− 14 1 2 1 2 1 2

По условию сумма квадратов корней равна $10,$ тогда запишем уравнение для $a$

a2− 2a − 14= 10⇒ a2− 2a− 24= 0

Решая последнее уравнение, получаем:

[ a =− 4 a =6

Проверим, что при найденных значениях корни действительно существуют.

(a) $a= −4:$

[ x2+ 4x+ 3=0 ⇒ x= −1 ⇒ x2+ x2= 10 — верно x= −3 1 2

(b) $a= 6:$

x2 − 6x+ 13= 0 ⇒ D < 0 ⇒ a = 6 не подходит

Ответ:

$a =− 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#90180Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ система

{ 2|x|+ |x|= y+x2+ a x2+ y2 = 1

имеет единственное решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что примечательного в этой системе в связи с переменной х? Тогда в каких случаях решений системы может быть нечётное количество?

Подсказка 2

Мы однозначно нашли значение х, подстановкой мы можем найти 2 возможных значения у и соответствующие им значения а. Но стоит проверить, будет ли в этих случаях решение системы единственным?

Подсказка 3

Для одного из значений параметра мы можем подбором найти более чем одно решение системы. Для второго попробуйте сделать оценку каждой из переменных, чтобы доказать однозначность решения!

Показать ответ и решение

Заметим, что если $(x ,y ) 0 0$ — решение системы, то $(−x ,y ) 0 0$ — тоже решение системы. Тогда решение может быть единственным только при $x = 0.$

Подставим $x =0$ в систему:

{ 0 22+ 0=2 y+ 0+ a 0 + y = 1

Откуда

⌊ { a= 2 || y = −1 || { a= 0 ⌈ y = 1

Значит, единственное решение системы может быть получено только при $a= 0$ или $a= 2.$ Сделаем проверку.

При $a= 2$ у системы не единственное решение.

{ 2|x|+ |x|= y+x2 +2 x2+ y2 = 1

Например, среди решений системы — $(0,−1),(1,0).$

При $a= 0$ решение системы единственно.

{ 2|x|+ |x|= y+ x2 x2 +y2 = 1

Из второго равенства получаем, что $x≤ 1,y ≤ 1.$ Тогда

2|x| ≥ 1≥ y

|x|≥ x2

Значит, равенство $2|x|+ |x|= y+ x2$ возможно только при выполнении условий:

|x|=x2 и 2|x| = 1= y

То есть $y = 1.$ И с учётом второго равенства $x =0.$ Решение, действительно, единственное.

Ответ:

$a =0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#90181Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b$ , при которых уравнение

2 2 b x − btg(cosx)+ 1= 0

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что в уравнении фигурируют х² и cos(x), что мы можем сказать об этих функциях?

Подсказка 2

Конечно это чётные функции! Ну тогда если x = t — решение уравнения, какое ещё значение х будет нам подходить?

Подсказка 3

x = -t тоже будет являться решением! Но если решение должно быть только одно, получается, что оба этих корня должны совпасть, то есть t должно равняться -t, тогда какое число точно должно быть корнем уравнения?

Подсказка 4

Значит, у нас не должно быть никаких корней кроме нуля! Тогда мы можем подставить 0 и найти b) Только не забудьте убедиться в том, что при найденном b у нас действительно нет никаких дополнительных корней

Показать ответ и решение

Предположим, что $x= 0$ не является решением. Тогда решений чётное число, поскольку если есть решение $x =t,$ то есть и решение $x =− t.$ Противоречие с условием о единственном решении.

Тогда $x = 0$ является решением:

2 b ⋅0− btg(cos0)+ 1= 0

1-- b= tg1

При этом значении $b$ у уравнения

b2x2+ 1= btg(cosx)

решений не просто нечётное число, а ровно единственное, поскольку при $-x-2 x⁄= 0 (tg1) + 1> 1,$ а $tg(cosx) tg1 tg1 < tg1 = 1$ в силу монотонности тангенса и области значений косинуса.

Ответ: ctg 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#90316Максимум баллов за задание: 7

Определите все значения параметра $a$ , при каждом из которых три различных корня уравнения

3 ( 2 ) 2 x + a − 9ax + 8ax− 64 =0

образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти корни.

Показать ответ и решение

Если корни $b,bq,bq2$ существуют, то по теореме Виета должно выполняться

(| b+ bq +bq2 = 9a − a2 |||{ | b2q +b2q2+b2q3 =8a |||( b3q3 =64

(|| b+ bq+bq2 = 9a− a2 ||{ || bq(b+ bq+bq2)=8a ||( bq = 4

Подставим первое и третье равенство во второе, получим необходимое условие на $a :$

4(9a− a2)=8a

a2− 7a= 0

[ a= 0 a= 7

Сделаем проверку, подставив найденные значения $a$ в условия и найдя корни полученных многочленов

$a =0$
$x3− 64= 0$

$x= 4$
Получаем единственный корень, значит, $a= 0$ не подходит.
$a =7$
$x3− 14x2+56x− 64= 0$

$(x− 2)(x− 4)(x− 8)= 0$
Получаем три корня, значит, $a= 7$ подходит.

Ответ:

$a =7$ , корни уравнения $2;4;8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#90689Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 3|+ |x − 2|= a

имеет бесконечно много решений?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Смотрим на левую часть уравнения: узнаём корыто, да ещё и с плоским дном, и радостно бежим рисовать его на графике (конечно, представив его как кусочно-заданную функцию).

Подсказка 2

Смотрим на правую часть графика и ещё больше радуемся, там только один параметр, а значит мы получим обычную горизонтальную прямую (1).

Подсказка 3

Теперь дело осталось за малым: смотрим, как движется наша прямая и хитро подмечаем, что бесконечное количество решений возможно только если прямая (1) совпадает с дном корыта. Если прямая (1) ниже дна – нет решений, выше – только два решения.

Подсказка 4

Мы знаем, какая прямая задаёт его дно: наш ответ готов!

‌

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение левой части $y = |x − 3|+ |x − 2|,$ раскроем модули и представим ее в кусочном виде:

(| ||{ 5− 2x, x≤ 2 y = | 1, 2< x< 3 ||( 2x − 5, x≥ 3

Это «корыто» с углами в точках $(2;y(2))= (2;1)$ и $(3;y(3))= (3;1).$ Построим его график.

$PIC$

Уравнение правой части $y = a$ задает произвольную горизонтальную прямую. Единственный случай, в котором эта прямая имеет с корытом бесконечное количество точек пересечения, достигается при $a= 1,$ когда горизонтальная прямая содержит отрезок дна корыта.

Ответ:

$a ∈{1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Верно найдено значение $a =1,$ но при этом нет обоснования нахождения значения параметра $a$	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#90690Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( { y = 3|x|+ |2x − 4| ( y = 2|x − 1|+ 2x+ a

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изобразим графики функций f(x) = 3|x| + |2x-4| и g(x) = 2|x-1| + 2x. А теперь подумаем, как из графика y = g(x) получается график y = g(x) + a?

Подсказка 2

Конечно же! График y = g(x) + a получается сдвигом графика функции y = g(x) вертикально на а единиц (вверх/вниз). Теперь остаётся лишь понять, когда такие графики имеют одну точку пересечения, и задача уничтожена

Показать ответ и решение

Пусть $f(x) =3|x|+|2x− 4|,$ $g(x)= 2|x− 1|+2x.$ Тогда

( |||{ −5x +4, при x< 0 ({ f(x)= x+ 4, при 0≤ x ≤2 g(x)= 2, при x < 1 ||| ( 4x − 2, при x ≥ 1 ( 5x− 4, при x> 2

Тогда график функции $y = h(x)= g(x)+ a$ получаем сдвигом графика функции $y = g(x)$ вертикально на $a$ единиц (вверх/вниз). Необходимо, чтобы график функции $y = f(x)$ (корыто с наклонным дном) и график функции $y = h(x)$ (уголок) имели одну общую точку.

Изобразим графики:

$xyy6241234320 =ррррррреееееееfшшшшшшш(x.......)$

Одно решение система имеет, когда правая ветвь уголка $y = 4x− 2+ a$ проходит через точку $(2;6):$

6= 4⋅2− 2+ a ⇔ a = 0

Заметим, что правая ветвь уголка не параллельна правой ветви корыта, следовательно, при $a > 0$ они пересекаются, то есть всегда дают одну общую точку. На рисунке изображены другие положения уголка относительно корыта, при которых количество общих точек равно 0, 2, 3 или 4.

Ответ:

$a ∈{0}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Выполнен необоснованный переход к результату	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#90691Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

|1− x|+|3x− 2|= 2a− ax

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой части мы имеем сумму двух модулей. А значит, мы можем легко изобразить график этой функции, представив её как кусочно-заданную. Теперь осталось разобраться с выражением справа.

Подсказка 2

Да это же просто прямая с фиксированной точкой (2; 0). И параметр a меняет лишь угол наклона этой прямой. Осталось лишь посмотреть, как движется наша прямая в зависимости от a, и отметить случаи, когда всего одно пересечение.

Показать ответ и решение

Решим задачу графически. Левая часть представляет из себя кусочно-заданную функцию, а правая часть — это семейство прямых, проходящих через точку $(2;0).$ Параметр $a$ меняет лишь угол наклона этой прямой. Изобразим графики.

$PIC$

Из графиков видно, что единственное решение будет в трех случаях:

$1)$ Если график прямой $2a− ax$ проходит через точку $(23;13).$ Тогда получаем, что

2a− a ⋅ 2= 1 =⇒ a= 1 3 3 4

$2)$ Если график прямой $2a− ax$ имеет меньший или равный угловой коэффициент, чем у прямой $y = −4x+ 3$ , так как иначе будет пересечение с $y = −4x+ 3$ . Тогда получаем, что

k= −4 =⇒ −a ≤−4 =⇒ a≥ 4

$3)$ Если график прямой $2a− ax$ имеет больший угловой коэффициент, чем у прямой $y = 4x− 3,$ иначе пересечения не будет. Получаем, что

k= 4 =⇒ − a> 4 =⇒ a< −4

Ответ:

$(−∞; −4)∪{1} ∪[4;∞ ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#90692Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

{y = 4x+ a 2 |y|= x − 2x

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое уравнение системы — это прямая, которая движется вверх-вниз в зависимости от параметра a. Чтобы построить график второго уравнения, можно отразить параболу y = x^2 - 2x по оси OX.

Подсказка 2

Опускаем прямую y = 4x, проверяя количество корней. В какой-то момент прямая коснётся графика, и с этого момента нужно быть внимательным, чтобы учесть все случаи и не взять лишнее в ответ.

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

( y = 4x+ a |||{ 2 x[ − 2x2≥ 0 |||( y = x −22x y = − x + 2x

Решим задачу графически. Пусть $S$ — множество точек плоскости $xOy,$ являющихся решением совокупности при условии $x2− 2x ≥0.$ Тогда необходимо найти такие $a,$ при которых прямая $y = 4x+ a$ имеет 2 общие точки со множеством $S.$ Изобразим множество $S$ и ключевые положения прямой $y = 4x + a$ (обозначим ее за $l$ ).

$xyyy((((11201234==))))x−2x−2 2+x2x$

Если $ai$ — значение параметра, соответствующее положению $(i),$ то нам подходят

a∈ (− ∞;a1)∪ (a2;a3)∪(a4;+ ∞ ).

Положение (1): прямая $l$ касается параболы $2 y = x − 2x$ в точке с абсциссой больше 2. Тогда уравнение

x2− 2x =4x +a1 x2− 6x+ 9 =a1 +9 2 (x − 3) = a1+ 9

имеет единственное решение, если $a1+ 9 =0,$ то есть $a1 = −9.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(3;3).$

Положение (2): точка $(2;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅2 + a2 a2 = −8

Положение (3): точка $(0;0) ∈l,$ значит,

0= 4 ⋅0 + a3 a3 = 0

Положение (4): прямая $l$ касается параболы $y = −x2+ 2x$ в точке с абсциссой меньше 0. Тогда уравнение

2 −x + 2x= 4x+ a4 x2 +2x +1 = −a4+ 1 (x +1)2 = 1− a4

имеет единственное решение, если $1 − a4 = 0,$ то есть $a4 = 1.$ При этом значении параметра получаем, что точкой касания является точка $(−1;−3).$

Следовательно, нам подходят значения параметра

a∈ (−∞; −9)∪ (− 8;0)∪ (1;+∞ ).

Ответ:

$a ∈(−∞; −9)∪ (−8;0) ∪(1;+ ∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#90946Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ и $b$ неравенство

-22x−1-- b <164x−4x+5 ≤ a

выполняется для всех действительных $x$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем замену t = 2x - 1, посмотрим, как теперь выглядит показатель степени, можем ли мы как-то его оценить?

Подсказка 2

Для знаменателя можно применить неравенство о средних, тогда как раз сразу видно, в каком диапазоне чисел лежит весь показатель! Ну а теперь несложно определить, какие значения может принимать 16 в данной степени

Показать ответ и решение

Пусть $t= 2x− 1.$ Рассмотрим функцию

-t--- f(t)= t2+ 4.

Так как

√--- t2+ 4≥ 2 4t2 =4|t|,

то

1 t 1 −4 ≤ t2-+4-≤ 4.

Значения $± 14$ достигаются при $t= ±2.$ Следовательно, множество значений функций

2x−1 t g(t)= 164x2−4x+5-= 16t2+4

есть отрезок $[ ] 12;2$ .

Ответ:

$a ≥2,b< 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#91149Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых неравенство

| 2 2 | |3sin x+ 2asinxcosx+cos x+ a|≤ 3

выполняется для любых значений $x.$

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное неравенство, используя формулы для синуса и косинуса двойного угла, а также основное тригонометрическое тождество

| 2 | |2sin x+ asin(2x)+ 1+ a|≤ 3

|− cos(2x)+a sin(2x)+ 2+a|≤ 3

Воспользуемся методом дополнительного аргумента, пусть $( ) φ =2x − arccos √-a--- , a2 +1$ тогда

||∘ -2--- || | a + 1sinφ+ 2+ a|≤3

({ √a2+1-sinφ+ 2+ a≤ 3 √----- ( a2+1 sinφ+ 2+ a≥ −3

( ||{ sin φ≤ √1−2-a- a + 1 ||( sin φ≥ −√-52− a a + 1

Так как при фиксированном $a$ выражение $( ) φ= 2x− arccos √-a--- a2+ 1$ может принимать любые значения, то система будет выполняться для любых значений $x$ тогда и только тогда, когда

(| -1−-a- |{ √a2+-1 ≥1 ||( -−5−-a √a2+-1 ≤−1

( 2 2 { 1− 2a+a ≥a + 1 ( 25+ 10a+ a2 ≥ a2+1

( |{ a≤ 0 |( 12 a≥ − 5

[ ] a∈ − 12;0 5

Ответ:

$[− 12;0] 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#91169Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ |y|+|x|=a; y = x2 +1

имеет два различных решения.

Показать ответ и решение

Изобразим фигуры, задаваемые уравнениями системы, в зависимости от $a.$ Первое уравнение — это квадрат с диагональю равной $2a,$ второе уравнение — парабола.

Если $a> 1,$

$PIC$

Если $a= 1,$

$PIC$

Если $a< 1,$

$PIC$

Видно, что система имеет два различных решения при $a> 1.$

Ответ:

$(1;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#96272Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ уравнение

2 cos2x+2cosx− 2a − 2a+ 1= 0

имеет ровно одно решение на промежутке $[0;2π)?$

Показать ответ и решение

Преобразуем наше исходное уравнение:

2 2 2⋅cosx +2 ⋅cosx− 2a − 2a= 0

cos2x +cosx− a2− a= 0

На участке $[0;2π)$ любое значение косинуса будет давать 2 значения угла, кроме точек $x= 0$ и $x= π$ . Разберем эти случаи.

Подставим в уравнение $x= 0:$

2− a2− a =0 =⇒ a= {−2;1}

(a) При $a =1 :$

cos2x +cosx− 1− 1 =0 =⇒ x= 0

(b) При $a =− 2:$

cos2x +cosx− 4+2 =0 =⇒ x= 0

Подставим в уравнение $x= π :$

1 − 1− a2− a= 0 =⇒ a ={−1;0}

При $a= −1 :$

cos2x+ cosx − 1+ 1= 0 =⇒ cosx= {−1;0}

Тогда получаем 2 решения, следовательно, $a =− 1$ не подходит.

Ответ: -2; 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#96273Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ система

{ ax2+ a− 1 =y − |sinx|; tg2 x+y2 =1

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Заметим, что если есть решение $(x; y),$ то и есть решение $(− x; y).$ Следовательно, для существования единcтвенного решения нужно, чтобы $x =0.$ Тогда, получаем:

{ a−2 1=y y =1

Тогда получаем два значения для $a:$

[ a= 0 a= 2

Проверим, что при данных параметрах $a$ действительно единственное решение.

(a) При $a =0 :$

{ − 1= y− |sinx| tg2x+ y2 = 1

{ y = |sinx|− 1 tg2x +sin2x − 2|sinx|+1 =1

tg2x +sin2x− 2|sinx|=0

Теперь заметим, что у нас осталось тригонометрическое уравнение, которое точно имеет решение $x =0.$ Но его решение будет периодическое, поэтому можно сразу сказать, что $x= 2π$ тоже решение. Получается есть как минимум ещё одно решение у системы, значит, $a= 0$ не подходит.

(b) При $a =2 :$

{ 2x2+ 2− 1= y− |sinx| tg2x+ y2 = 1

{ y = 2x2 +|sinx|+ 1 tg2x+ y2 = 1

2 2 2 tg x+ (2x + |sinx|+1) = 1

Первое слагаемое больше либо равно $0,$ второе слагаемое больше либо равно $1.$ Значит равенство достигается, при следующих условиях:

{ tg2x =0 (2x2+ |sinx|+1)2 = 1

Так как внутри скобок положительное значение, то случай $− 1$ не рассматривается.

{ x= πk, k∈ ℤ 2x2 +|sinx|+ 1=1

{ x= πk, k ∈ℤ 2x2+ |sin x|= 0

Во втором уравнении равенство достигается, когда из каждых слагаемых равно $0.$

{ x= πk, k ∈ℤ x= 0

Тогда получаем, что существует единственное решение $x =0.$ Следовательно, параметр $a= 2$ подходит.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#96274Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $b$ система уравнений

{ x2+y2 = 2; |y|− x =b

имеет ровно три решения?

Показать ответ и решение

Заметим, что если существует решение $(x, y),$ то пара $(x, −y)$ тоже будет решением. Тогда для того, чтобы было $3$ решения нужно, чтобы $y =0.$ Следовательно,

{ 2 2 √- x + 0 = 2 =⇒ x =± 2 b= −x

Тогда

{ x= −√2 { x= √2 b= √2 или b= −√2

Сделаем проверку, что при таких $b$ будет ровно 3 решения.

(a) При $b= −√2-$ получаем

{ x2+ y2 =2 |y|− x= −√2

{ |y|= x− √2 x2+ (x − √2)2 = 2

x2+ x2− 2√2x +2= 2

x(x− √2)= 0

Тогда $x = 0$ или $√ - x = 2.$ Но при $x =0$ получаем, что $√- |y|= − 2,$ чего не может быть. Значит, $√ - b= − 2$ не подходит.

(b) При $√ - b = 2$ получаем

{ x2 +y2 =√2 |y|− x = 2

{ |y|= x− √2 x2+ (x +√2)2 = 2

x2+ x2− 2√2x +2= 2

x(x+ √2)= 0

Тогда $x = 0$ или $√- x =− 2.$ Следовательно, получаем 3 пары решений: $√ - √- √- (0; 2), (0;− 2), (− 2;0).$

Итого, подходит только $√- b= 2$ .

Ответ:

$b= √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#97391Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых сумма квадратов корней уравнения $x2+ ax− 2$ равна $12.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как применить теорему Виета здесь?

Подсказка 2

Нужно выразить сумму квадратов корней через известные нам по теореме Виета значения!

Показать ответ и решение

Пусть $x 1$ и $x 2$ — корни данного уравнения. По теореме Виета $x +x = −a 1 2$ и $x x = −2. 1 2$ Распишем сумму квадратов корней уравнения:

2 2 2 2 x1+x2 =(x1+ x2) − 2x1x2 = a + 4= 12

Отсюда $a2 = 8,$ то есть $a =− 2√2-$ или $a =2√2.$

Ответ:

$±2√2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#97392Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

2 (a− 3)x − 2ax+ 5a= 0

имеет решения и все решения этого уравнения положительные.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте подумаем, а что вообще перед нами за уравнение? На первый взгляд кажется, что квадратное. Но всегда ли оно таким будет?

Подсказка 2

Да, при а=3 коэффициент при х² зануляется, и уравнение становится линейным. Не забудьте рассмотреть этот случай отдельно! А если а не равно трём, то перед нами квадратное уравнение. Как узнать, есть ли у него корни?

Подсказка 3

Правильно, посчитав дискриминант! С помощью этого мы можем узнать, при каких а у нас вообще есть решения. А что делать с тем, что корни уравнения должны быть положительны? Просто посчитать их будет трудно — получатся дроби с корнями. Значит, нужно подумать о каких-нибудь свойствах этих корней. Например, что мы может сказать о сумме и произведении двух чисел, если они оба положительны?

Подсказка 4

Верно, и сумма, и произведение будут так же положительны! А с помощью какой теоремы мы можем узнать сумму и произведение корней квадратного уравнения, не находя сами корни?

Подсказка 5

С помощью теоремы Виета! Теперь вы можете написать все необходимые неравенства и решить их:)

Показать ответ и решение

Данное уравнение квадратного типа и вырождается в линейное при $a =3.$ Рассмотрим этот случай отдельно. Тогда уравнение примет вид

−2x+ 5= 0,

откуда $x =2,5 >0,$ следовательно, данное значение $a$ нам подходит.

Пусть $a⁄= 3.$ Тогда уравнение квадратное и дискриминант

2 D = 4a − 20a(a− 3)≥ 0,

откуда $a∈ [0;3,75].$

Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения были положительны, необходимо, чтобы их сумма и произведение были положительны. Следовательно, по теореме Виета:

(|| -2a-> 0 { a− 3 ||( -5a-> 0 a− 3 a ∈(−∞; 0)∪ (3;+∞ )

С учетом положительности дискриминанта получаем

a ∈(3;3,75]

В ответе не забудем рассмотренный ранее случай $a= 3.$

Ответ:

$[3; 3,75]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#98817Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ x2− x+ a≤ 0 x2+ 2x− 6a ≤0

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем неравенства:

(| a≤ −x2+ x= − (x− 1)2+ 1(1) { 2 4 |( a≥ x2+2x-= (x+1)2+1-(2) 6 6

Найдем точки пересечения парабол.

x2+2x-= −x2+ x 6

2 2 x + 2x = −6x +6x

7x2− 4x =0

x= 0 или x= 4 7

С помощью найденных точек пересечения понимаем, что параболы пересекаются правее вершины параболы (2). Следовательно, получаем эскиз графиков в плоскости $xOa$ выглядит так:

$PIC$

Решением системы неравенств является область между параболами, включая их границы (так как неравенства нестрогие). Понимаем, что $a =0$ подходит, а также подходит вершина второй параболы при

( )2 a= − 1 + 1= 1 2 2 4

Ответ:

$0; 1 4$

Следующая подтема