Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#98819Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

4 2 a(4− sinx) − 3+cos x+a >0

выполняется для всех $x.$

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

--3− cos2-x- a > 1+(4− sinx)4

Обозначим правую часть за $f(x).$ Заметим, что требование $a >f(x)$ при любом $x$ означает

a> maxf(x).

Ясно, что при всех $x$

3− cos2x≤ 3,|4− sinx|≥ 3,

поэтому

3 f(x)≤ 1+34,

причём равенство достигается, например, при $x = π2.$ Поэтому

maxf(x)= 3- 82

Ответ:

$( 3-;+∞) 82$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#101395Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение $|x − 5|x||= a(x+ 4)$ имеет ровно одно решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если мы попробуем изобразить графики на координатной плоскости, то что на рисунке будет представлять собой решения уравнения?

Подсказка 2

Попробуйте рассмотреть левую часть уравнения при разных значениях x. Что представляет из себя график этой функции при x > 0 и x < 0?

Подсказка 3

Подумайте, что какую линию представляет из себя функция y = a(x+4). Заметьте, как изменяется положение функции на координатной прямой при изменении a?

Подсказка 4

Попробуйте рассмотреть количество точек пересечения двух графиков при различных a. Будет удобно представить различные рассматриваемые варианты графически.

Показать ответ и решение

Рассмотрим графики функций

f(x)= |x − 5|x|| и g(x)= a(x+ 4)

Точки пересечения этих графиков и будут решением уравнения.

Сначала построим график функции $f(x) :$

Если $x≥ 0,$ то

f(x)= |x − 5|x||= |x − 5x|= 4x

Если же $x <0,$ то

f(x)=|x+ 5|x||= |x+ 5x|= −6x

$PIC$

Заметим, что $g(x)= a(x+ 4)=ax+ 4a$ — это прямая $ax,$ смещённая на 4 единицы влево вдоль оси $OX.$ То есть график функции $g(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(−4;0),$ а от параметра $a$ зависит угол наклона прямой.

Найдем точку пересечения прямых $g(x)$ и $y =4x :$

ax+ 4a =4x

x= -4a- 4− a

-16a- y = 4x= 4− a

Отсюда следует, что при $a∈[0;4)$ прямые пересекаются не ниже оси абсцисс, а, значит, при таких значениях $a$ график $g(x)$ пересекает правую часть графика $f(x).$

Теперь найдем точку пересечения прямых $g(x)$ и $y = −6x:$

ax+ 4a= −6x

4a x = −6−-a

-−24a y = −6x= −6 − a

Отсюда следует, что при $a ∈(−∞; 6)∪ [0;+∞ )$ прямые пересекаются не ниже оси абсцисс, а, значит, при таких значениях $a$ график $g(x)$ пересекает левую часть графика $f(x).$

Рассмотрим расположение графиков в зависимости от значения $a:$

При $4< a.$ При таких значениях $a$ график $g(x)$ будет пересекать прямую $y = −6x$ выше $OX,$ а прямую $y =4x$ — ниже, то есть графики $g(x)$ и $f(x)$ будут иметь ровно одну точку пересечения.

$PIC$

При $a= 4.$ При этом значении прямые $g(x)$ и $y = 4x$ параллельны, то есть не имеют точек пересечения, а прямые $g(x)$ и $y =− 6x$ пересекаются в точке $(−1.6;9.6),$ что выше $OX,$ а, значит, $g(x)$ и $f(x)$ имеют ровно одну точку пересечения.

$PIC$

При $0< a< 4.$ В этом случае прямая $g(x)$ пересекает и левую, и правую часть графика $f(x),$ откуда $g(x)$ и $f(x)$ имеют две точки пересечения.

$PIC$

При $a= 0.$ График $g(x)$ — горизонтальная прямая, совпадающая с прямой $OX,$ поэтому $g(x)$ и $f(x)$ имеют единственную точку пересечения — точку $(0;0).$

При $− 6< a< 0$ $g(x)$ перескает прямые $y = 4x$ и $y = −6x$ ниже оси асбцисс, поэтому не имеет общих точек с $f(x).$

$PIC$

При $a= −6$ прямые $g(x)$ и $y = −6x$ параллельны, то есть не имеют точек пересечения, а прямые $g(x)$ и $y =4x$ пересекаются ниже $OX,$ а значит $g(x)$ и $f(x)$ не имеют общих точек.

$PIC$

Наконец, при $a< −6$ прямая $g(x)$ пересекает $y = 4x$ ниже $OX,$ а $y =− 6x$ — ниже, а, значит, $g(x)$ и $f(x)$ имеют ровно одну точку пересечения.

$PIC$

Итак, мы получили, что графики $g(x)$ и $f(x)$ имеют ровно одну точку пересечения при $a ∈(−∞; −6)∪{0}∪[4;+ ∞).$

Ответ:

$(−∞; −6)∪{0}∪[4;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#134573Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $α,$ при каждом из которых уравнение

x 2 |2[tgα]− 1| =[tgα]+ 2

имеет рациональное решение $x.$ Здесь $[t]$ — целая часть числа $t.$

Источники: ПВГ - 2024, 10.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будет удобно ввести замену b = [tgα].

Подсказка 2

Рассмотрите решения полученного после замены уравнений при b = 0 и при натуральном b. Сделайте выводы о представлении числа x дробью.

Подсказка 3

Попробуйте подставить отрицательный x и натуральное b. Обратите внимание, как себя ведут левая и правая части в связи с монотонностью при натуральном b.

Подсказка 4

Заметьте, что выполняется неравенство b² + 2 > 2b - 1 ≥ 1

Подсказка 5

Можем считать, что x = d/q, где d и q — натуральные числа, откуда b² + 2 и 2b - 1 имеют общие делители. Введите систему, в которой представьте b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения некоторых чисел.

Подсказка 6

Попробуйте получить какие-то замечания относительно представления чисел b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения. Для этого исключите b из левой части.

Подсказка 7

Домножьте выражение с b² + 2 на 4, а выражение с 2b - 1 — на 2b + 1. Потом вычтите второе из первого. Проанализуруйте полученное выражение, основываясь на делимости.

Подсказка 8

И b² + 2, и 2b - 1 представимы в виде степени некого простого числа.

Подсказка 9

Пусть p — общий простой делитель b² + 2 и 2b - 1. Найдите его точное значение и сделайте выводы о представлении b² + 2 и 2b - 1 в виде произведения.

Подсказка 10

Найдите точные значения b² + 2 и 2b - 1, пользуясь свойствами делимости. Проделайте аналогичные рассуждения для b < 0.

Показать ответ и решение

Положим $b= [tgα]$ . Тогда уравнение принимает вид

x 2 (|2b − 1|) = b + 2, b∈ℤ

Нужно найти все целочисленные значения $b,$ при которых существует рациональное решение $x.$

При $b= 0$ решений нет. Рассмотрим вначале натуральные $b.$ Тогда поскольку при любом натуральном $b$

2 b + 2> 2b− 1 ≥1,

то можем считать, что в представлении $x= dq$ числа $d$ и $q$ натуральные. Значит, числа $b2+2$ и $2b− 1$ имеют одни и те же простые делители.

Пусть $p$ — общий простой делитель этих чисел, тогда

{ b2+ 2= pN 2b− 1= pM

для натуральных $N$ и $M.$ Исключая $b$ из левых частей уравнений этой системы, получаем

9= 4(b2+2)− (2b− 1)(2b+ 1) =(4N − (2b+1)M)p

Значит, $(4N − (2b+ 1)M )$ — натуральное, а $p$ — делитель $9,$ т.е. $p= 3.$ Поэтому

{ b2 +2= pm 2b− 1= pk

для натуральных $m$ и $k,$ где $m > k.$ Так как

( ) 9= 4 b2+2 − (2b− 1)(2b+ 1) =

( ) ( ) = 4⋅3m − 3k+ 2 ⋅3k = 3k 4 ⋅3m −k− 3k − 2 ,

а $4⋅3m−k− 3k− 2$ не делится на $3,$ то $k= 2$ и $m = 3,b=5,x= 32.$ Для отрицательных $b$ решение проводится почти аналогично. Положим $c= −b.$ Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:

(2c+ 1)x = c2+ 2, c∈ ℕ

Случай $c=1$ понятен, поскольку решение $x= 1.$ Пусть теперь $c$ натуральное и больше $1.$ Аналогично предыдущему показывается, что в представлении $d x= q$ числа $d$ и $q$ натуральные. Опять предположив, что $p$ — общий простой делитель этих чисел, получим

{ c2+ 2= pN 2c+ 1= pM

и также сделаем вывод, что $p= 3.$ Поэтому

{ 2 m c +2= 3 2c+1= 3k

для натуральных $m$ и $k,$ где $m > k.$ Так как

m−k k 4⋅3 − 3 + 2

не делится на $3,$ а

(2 ) m ( k ) k k( m−k k ) 9= 4c + 2 − (2c− 1)(2c+ 1)= 4⋅3 − 3 − 2 ⋅3 =3 4⋅3 − 3 + 2 ,

то $k= 2$ и $4⋅3m −2− 32+ 2= 1$ или $4⋅3m −2 = 8,$ но последнее уравнение не имеет натуральных решений. Поэтому все решения описываются уравнениями: $[tga]= −1$ и $[tga]= 5,$ решив которые приходим к ответу.

Ответ:

$a ∈[− π + πn;πn) ∪[arctg5+ πn;arctg6+πn),n∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#63742Максимум баллов за задание: 7

Укажите все значения параметра $a,|a|<1$ , при которых множество решений неравенства

|cost−-a|−-sint ||cost− 34|| >0

для $t∈(0;π)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.

Источники: ОММО-2023, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сделаем естественную вещь в таком не очень хорошем параметре. У нас есть синус и косинус с одинаковым аргументом. Тогда попробуем сделать замену sin(t)=y и cos(t)=x. Какие условия тогда у нас будут?

Подсказка 2

Верно, тогда у нас получается система из 4 условий: основное тригонометрическое тождество, ограничение на t, ОДЗ знаменателя и само исходное неравенство. Тогда как теперь можно сформулировать вопрос задачи и найти а?

Подсказка 3

Ага, получается, что нам удовлетворяют все решения системы, где точки лежат на полуокружности и ниже, чем график y = |x− a|, который двигается вдоль оси х в зависимости от а. Осталось только определить, когда получается два непересекающихся отрезка в решении и найти из графика граничные точки для а.

Показать ответ и решение

Пусть $x =cost,y = sint$ . Тогда, с учётом допустимых значений $t$ , неравенство равносильно системе

(| x2+ y2 =1 |||{ y > 0 | 3 |||( x⁄= 4 y < |x − a|

Решения этой системы - точки на полуокружности $x2+ y2 = 1,y > 0$ , лежащие ниже графика функции $y = |x− a|$ .

$PIC$

При изменении параметра $a$ график функции $y =|x− a|$ перемещается вдоль оси $x$ . При значениях $a$ , близких к $− 1,$ в качестве множества решений имеем $3$ непересекающихся интервала. При значениях $a$ , близких к $1,$ получается $2$ интервала.

Крайнее положение графика, при котором получается два интервала, изображено на рисунке:

$PIC$

Координаты точки $M$ пересечения окружности и прямой $y = x− a$ равны

3 ∘ -------- √7- xM = 4,yM = 1− (3∕4)2 =-4-

Так как $34 − a =yM$ , то $√- a= 3−47$ .

Таким образом, ответом является множество $[ √- ) 3−47,1 .$

Ответ:

$[3−√7,1) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#63743Максимум баллов за задание: 7

Дано действительное число $t$ , отличное от $0,1,− 1,1 2$ и $2.$

Решите уравнение

(x2 − x +1)3 (t2 − t+ 1)3 -x2(x-− 1)2-=-t2(t−-1)2--

Ответ может зависеть от $t.$

Источники: ОММО-2023, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте представим, что мы раскрыли скобки и избавились от знаменателей, что мы получим?

Подсказка 2

Мы получим уравнение 6-й степени! А значит, у него точно не больше 6 корней. Тогда есть соблазн попробовать угадать эти 6 корней...

Подсказка 3

Легко видеть, что t - корень. Какие замены можно попробовать сделать, чтобы найти ещё немного корней?

Подсказка 4

Левая дробь не меняется при замене x на 1-x и на 1/x, поэтому получаем новые корни, какие? Попробуйте набрать как можно больше.

Подсказка 5

Теперь лишь остаётся доказать, что при данных ограничениях на t шесть корней, которые вы нашли, всегда различные.

Показать ответ и решение

Докажем два утверждения:

если $x 0$ - решение уравнения, то и $1 − x 0$ также решение; действительно,

( ) (1− x0)2− (1− x0)+1 3 (x20− x0+ 1)3 -(1−-x0)2((1−-x0)− 1)2 =-x2(x0−-1)2- 0

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

если $x0$ - решение уравнения, то и $1x- 0$ также решение; действительно,

( )3 (1∕x0)2− (1∕x0)+ 1 (x20− x0+1)3 -(1∕x0)2((1∕x0)− 1)2-=-x20(x0−-1)2-

поэтому если второе равняется $2 3 (tt−2(tt−+11))2$ , то и первое - тоже.

Заметим теперь, что $t$ - точно корень исходного уравнения. Тогда, корнями являются также числа $1∕t,1− t$ , а тогда и $11−t,1− 1−1t = t−t1,1− 1t = t−t1$ .

Можно показать, что при данных ограничениях на $t$ получившиеся 6 чисел - различны. Кроме того, исходное уравнение при $x ⁄=0,x⁄= 1$ равносильно уравнению 6 -й степени, которое не может иметь больше 6 корней. Значит, найденные числа и есть все корни.

Ответ:

$t,1,1 − t,-1,-t-,t−1 t 1− tt−1 t$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#63949Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

({ -1-- -1-- logx3 + logy3 = 1; ( y =3 − ax

не имеет решений?

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.5 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем одз и преобразуем первое уравнение по свойствам логарифма! Как можно теперь выразить y через x?

Подсказка 2

Если вышло, что log_3(xy) = 1, то все верно) Тут мы получаем, что xy = 3, то есть y = 3/x. Давайте подставим во второе уравнение. Какие значения а мы теперь должны найти?

Подсказка 3

Мы должны найти все такие а, что полученное уравнение не имеет положительных корней, которые отличаются от 1 и 3. Наше уравнение выглядит как 3/x = 3 - ax. Домножим на x и получим ax^2 -3x + 3 = 0. Какие случаи стоит рассматривать?

Подсказка 4

Для начала можем посмотреть на a = 0, тогда уравнение не квадратное. С этим случаем легко разобраться. Со случаем a!=0 вот что можно делать: либо у него нет корней, либо они есть, либо они отрицательные, либо положительные корни - 1 или 3)

Показать ответ и решение

Область допустимых значений переменных задается условиями

x> 0,x⁄= 1,y >0,y ⁄= 1.

Из первого уравнения получаем

log3x+ log3y = 1

откуда $xy = 3$ .

Подставив $y = 3x$ во второе уравнение, получим

ax2− 3x+ 3= 0

Мы должны найти все такие $a$ , при которых это уравнение не имеет положительных корней, отличных от 1 и 3.

Если $a= 0$ , то $x= 1$ единственный корень. Но $x⁄= 1$ .

Если же $a ⁄=0$ и дискриминант $D = 9$ - $12a$ отрицателен, то действительных корней нет вообще.

Итак при $a∈ {0}∪(34,+∞ )$ исходная система решений не имеет. При $a ≤ 34$ хотя бы один положительный корень у квадратного уравнения есть, поскольку сумма корней и их произведение имеют одинаковый знак. Если же один из корней равен 3, то $a = 23$ и уравнение $23x2− 3x+ 3= 0$ имеет также корень $x= 32$ , а исходная система имеет решение $(32;2).$

Ответ:

${0}∪(3,+∞ ) 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#64115Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ при которых существует ровно одна пара действительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ (x2− xy+ y2)(x2− 36)≥ 0, |x− 2+ y|+|x− 2 − y|≤ a?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём с первого неравенства. Рассмотрите скобку (х² - хy + y²) и попробуйте представить её как сумму двух квадратов. Что мы в такой ситуации можем сказать про знак этой скобки?

Подсказка 2

Итак, первое неравенство мы можем уже решить — запишите равносильную ему совокупность.

Подсказка 3

Исследуем теперь второе неравенство: тут понадобится рассмотреть несколько случаев и честно пораскрывать модули. Запишите решения второго неравенства, в зависимости от параметра.

Подсказка 4

Осталось обработать систему: в каких случаях решения первого и второго неравенства будут иметь только одну общую точку?

Показать ответ и решение

Посмотрим внимательно на первое условие.

2 2 2 2 x − xy+ y = (x− 0.5y) + 0.75y

Значит, из первого условия следует, что либо $x= y = 0,$ либо $|x|≥ 6.$

Теперь посмотрим внимательно на второе неравенство. Заметим, что левая часть неравенства может раскрываться 4 способами:

|x− 2+ y|+|x− 2 − y|= 2x− 4

|x− 2 +y|+ |x− 2− y|= −2x+ 4

|x− 2 +y|+ |x− 2− y|= 2y

|x− 2+ y|+ |x − 2− y|= −2y

В первом случае $x − 2 ≥|y|≥ 0,$ значит, $a≥ 2x− 4 =|2x− 4|≥ |2y|.$

В втором случае $− x +2 ≥|y|≥ 0,$ значит, $a≥ −2x+ 4= |2x− 4|≥|2y|.$

В третьем случае $y ≥ 2− x$ и $y ≥ x− 2,$ значит, $y ≥|2− x|$ и $a≥ 2y = |2y|≥|2x− 4|.$

В четвертом случае $y ≤ 2− x$ и $y ≤x − 2,$ значит, $y ≤ |2 − x|≤ 0$ и $a≥− 2y = |2y|≥|2x − 4|.$

Итого, $|2y|≤ a$ и $|2x− 4|≤ a$ это решение второго неравенства.

Если $a≥ 8,$ то $x= 6$ и $y ∈[−16;16]$ подходят и значит решений больше 1.

Если $a< 4,$ то $|2x− 4|<4$ , $− 4< 2x− 4< 4$ и $0< x< 4,$ но в таком случае $x$ не подходит под первое условие.

Если $a∈ [4;8)$ , то есть решение $x =y =0,$ но других решений нет, так как если бы было другое решение, то у него $|x|≥ 6$ и значит $|2x− 4|≥ |2x|− 4 ≥8> a.$ Значит такие $a$ подходят.

Ответ:

$[4;8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#64374Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых имеет единственное решение система

{ (x2+1)a =y − cosx; sin4x+ |y|= 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть у нас есть какое-то решение (x₀, y₀), можем ли мы утверждать, что есть ещё какое-то решение?

Подсказка 2

Если (x₀, y₀) — решение, то (-x₀, y₀) — тоже решение! Каким тогда должен быть x? Какие выводы можно сделать из того, что такой x подходит?

Подсказка 3

Единственное решение должно иметь вид (0, у₀)! Подставив х = 0 в систему, мы можем найти значения а, которые нам могут подойти. А как проверить, подходят ли нам найденные значения?

Подсказка 4

Нужно подставить найденные a и напрямую найти решения! Нужно лишь исключить такие a, при которых мы случайно найдем лишние решения.

Показать ответ и решение

Если система имеет решение $(x,y ), 0 0$ то решением также является пара $(−x ,y). 0 0$ Единственное решение может иметь вид только $(0;y ), 0$ тогда проверим, когда $x= 0$ подходит:

{ a= y− 1 =⇒ a =− 2,a= 0 |y|= 1

Теперь нужно выяснить, при каких из этих значениях $a$ пара со значением $x= 0$ будет единственным решением исходной системы.

При $a= 0$ получим $y =cosx$ , тогда во второе подойдёт $x = π 2$ , то есть $a= 0$ не подходит.

Если же $a =− 2$ , то из первого $y = cosx − 2− 2x2 ≤ −1$ , где равенство достигается только при $x= 0$ . Осталось заметить, что из второго уравнения $|y|≤1$ , потому подойдёт только $y = −1$ и $x =0$ .

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#64607Максимум баллов за задание: 7

Для каких $a$ неравенство

(2 ) loga1+1 x +2|a| > 0

выполнено при всех $x?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём с ОДЗ! После этого попробуем решить логарифмическое неравенство классическим способом: рассматривая случаи разных значений основания.

Подсказка 2

В каких случаях неравенство вида х² > t выполнено при любых х? А может ли при всех х выполняться неравенство вида х² < t? Подставьте на место t наши выражения, зависящие от а, и сделайте вывод!

Показать ответ и решение

В область допустимых значений указанного неравенства входят только $a >− 1,a⁄= 0$ . Если $a> 0$ , то основание логарифма меньше единицы и исходное неравенство эквивалентно $2 x + 2|a|<1$ . Последнее неравенство обязано выполняться при любых $x$ , чего никак не может быть: можно взять, например, $x= 1$ и получить неравенство $|a|< 0$ . Значит, ни одно $a >0$ не годится.

Теперь рассмотрим $− 1 <a <0$ . Тогда при любых $x$ должно быть выполнено $2 x + 2|a|> 1$ . При любых $x$ имеем $2 x + 2|a|≥2|a|$ , так что для выполнения неравенство достаточно $2|a|> 1⇐ ⇒ −1<$ $1 a <− 2$ , ведь тогда $2 x + 2|a|≥2|a|> 1$ и неравенство верно. С другой стороны, это условие является необходимым, ведь неравенство должно быть выполнено в частности при $x =0.$

Ответ:

$(−1;− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#64956Максимум баллов за задание: 7

Найти все $a$ , при которых для любого $b$ система

{ 2(1+ |y|)a +(b2− 2b+ 2)x =3 xy(x+ b− 1)=2a2− 3a+1

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Раз у нас условие должно выполняться для любого $b,$ то подставим "удобные"(при которых уравнения упрощаются) значения $b.$

Например, при $b= 1$ первое уравнение принимает вид: $a (1+|y|) = 1$ . Тогда

либо

2 1+ |y|= 1 =⇒ y =0 =⇒ 2a − 3a+ 1= 0

либо

2 a =0 =⇒ x y = 1

и есть решения (например $(1,1)$ ).

Мы поняли, что при $b= 1$ система может иметь решение только при $a =0$ или $2a2− 3a+ 1= 0 ⇐⇒ a∈ {0,5;1}$ . Теперь нужно проверить, при каких из этих значениях $a$ система будет иметь решение для любого $b.$ Задача свелась к перебору трёх значений, остальные заведомо не подходят, ведь условие будет выполнено не для любого $b$ (например, не будет выполнено для $b= 1$ ).

1.: $a =0$ . Тогда из первого уравнения $(b2− 2b+ 2)x =1$ . Для $b$ , при которых $b2− 2b+2⁄= 1$ получим, что $x =0.$ Тогда второе уравнение обращается в $0= 1.$ Такое $a$ нам не подходит.
2.: $1 a = 2;a =1.$ Тогда второе уравнение обращается в $xy(x+b − 1)= 0$ . Заметим, что пара $(0;0)$ является решением системы. Такие $a$ нам подходят.

Ответ:

$1;1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#65621Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ 2x− 2y− 2= ||x2+ y2− 1|| y =a(x− 1)

имеет более двух решений.

Показать ответ и решение

Эту задачу неприятно решать алгебраически, поскольку у нас есть знак модуля. С другой стороны, легко понять, как построить график каждого уравнения. Тогда давайте решим эту задачу графически. Второе уравнение представляет из собок пучок прямых, проходящих через точку (1;0). А первое уравнение равносильно системе:

( [ 2 2 |{ 2x− 2y− 2= x +2y −2 1, |( 2x− 2y− 2= −x − y +1, 2x − 2y− 2≥ 0.

Теперь перепишем первые два условия в другом виде, поделим на 2 третье условие:

(| [ (x− 1)2+ (y +1)2 = 1, { (x+ 1)2+ (y − 1)2 = 5, |( x− y− 1≥ 0.

Первое условие задает окружность с центром (1; -1) и радиусом 1, второе - окружность с центром (-1; 1) и радиусом $√5-$ , а третье - область «не выше» прямой $y = x− 1.$ Тогда график первого уравнения выглядит так:
$PIC$

Тогда нам нужно найти $a$ , при которых пересечения графиков обоих графиков есть хотя бы 3.

$PIC$

Заметим, что нам подходят только $a$ , при которых прямая будет лежать «между» красной и оранжевой прямой. Красная прямая касается окружности $2 2 (x+ 1) +(y− 1)= 5$ в точке (1;0), а оранжевая прямая - прямая, которая задается уравнением $y =x − 1.$ Найдем уравнение красной прямой. Пусть $O$ - центр окружности $2 2 (x+ 1)+ (y− 1) = 5$ , $A$ - точка с координатой (1;0), $B$ - точка с координатой (-1;0). Тогда треугольник $OAB$ - прямоугольный, по теореме Пифагора $√---- AB = 5 − 1 =2$

$PIC$

Так как $OA$ перпендикулярна к красной прямой, то $a =tg∠BOA = 2.$ Значит, ответ к задаче $a∈ (1;2)$

Ответ:

$(1;2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#66210Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $t$ , при которых система

{ x2 +y2 = 6t xy =t2− 4

имеет ровно два решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что пара (х₀; у₀) является решением системы, какие ещё пары появляются в этом случае? Влияет ли перестановка местами переменных на пару решений? А смена знака?

Подсказка 2

Итак, пара (х₀; у₀) даёт нам сразу 4 решения системы. Но в каком случае 4 решения превращаются в 2? Есть два варианта соотношений между х₀ и у₀, когда это возможно. Для каждого из них найдите подходящие значения t

Подсказка 3

Два из четырёх возможных значений отсекаются сразу, поскольку сумма квадратов никак не может быть отрицательной. Другие случаи можно разобрать подстановкой: ФСУ поможет нам решить систему!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $(x0,y0)−$ решение данной системы. Предположим, что $x0 ⁄= y0,x0 ⁄= −y0,$ тогда $(y0,x0)−$ тоже решение системы. Кроме того, так как хотя бы одно из чисел $x0,y0$ не равно $0$ (иначе бы $x0 =y0 =0),$ то возникают дополнительные пары $(−x0,−y0),(−y0,− x0).$ Но ведь должно же быть два решения, значит, $x0 = y0$ или $x0 =−y0.$ Тогда разберем случаи.

1.

$x0 = y0.$ Получим:

{ 2x20 =6t, x20 = t2− 4.

Значит,

2 3t= t − 4,

t2− 3t− 4= 0,

t= −1;4.

2.

$x0 = −y0.$ Имеем:

{ 2 2x02 = 6t,2 −x0 =t − 4.

Значит,

−3t= t2 − 4

2 t + 3t− 4= 0

t= 1;− 4.

Заметим, что нет гарантии того, что найденные значения $t$ будут подходить под условие задачи, так как мы нашли $t,$ при условии, что пара вида $(x0,x0)$ будет решением. Теперь проверим полученные значения $t.$

1.

$t= −1;−4.$ Тогда $x2+ y2 <0.$ Но $x2+ y2 ≥0,$ значит, такое $t$ не подходит.

2.

$t= 4.$ Система принимает вид:

{ x2 +y2 = 24 xy =12

Заметим, что из системы следует, что $2 2 2 (x− y) =x − 2xy+ y =24− 2⋅12= 0.$ Значит, $x =y.$ Тогда $2 x =12.$ Откуда имеет две пары $√- √ - √- √- (2 3,2 3);(−2 3,−2 3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

3.

$t= 1.$ Система принимает вид:

{ x2+ y2 =6 xy = −3

Заметим, что из системы следует, что $(x+ y)2 =x2+ 2xy+ y2 =6 − 2⋅3= 0.$ Значит, $x= −y.$ Тогда $x2 = 3.$ Откуда имеет две пары $(√3,−√3-);(− √3,√3).$ Значит, такое значение $t$ нам подходит.

Второе решение.
Решим задачу графически. Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $√ -- 6t$ или пустое множество (при $t< 0).$ Значит $t≥ 0.$ Второе уравнение задает гиперболу, либо совокупность прямых $x= 0,y =0 при t= −2;2.$ Тогда будет ровно $2$ решения, когда окружность касается гиперболы, то есть расстояние от начала координат до графика второго уравнения будет равно $√-- 6t.$

$PIC$

Пусть $(a,b)$ лежит на гиперболе, тогда

a⋅b= t2− 4.

Квадрат расстояния от начала координат до этой точки равно:

a2+ b2 = a2 + (t2− 4)2= (a− |t2− 4|)2+2|t2− 4|. a2 a

Тогда расстояние от начала координат до графика второго уравнения (наименьшее расстояние от начала координат до точки на графике второго уравнения) будет равно $∘ ------ 2|t2− 4|.$ Имеем:

------ ∘ 2|t2− 4|= √6t

2 2|t − 4|= 6t

|t2− 4|=3t

[ t2− 4= 3t t2− 4= −3t

[ t2− 3t− 4 =0 t2+ 3t− 4 =0

[ t= ±1 t= ±4

Так как $t≥ 0,$ то $t∈{1;4}.$

Ответ:

$1;4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#67588Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ для каждого из которых найдётся значение параметра $b,$ при котором система уравнений

{ ax+ 2y− 3b= 0 (x2+ y2 − 9)(x2+y2− 12x+ 32)= 0

имеет ровно 4 решения.

Источники: Физтех 2023, 1.4 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А что интересное мы видим? Правильно, во втором уравнении нет параметров! Поэтому давайте рассмотрим пока только его, возможно, получится что-то хорошее!

Подсказка 2

Да, это уравнение задаёт две окружности! Первая с центром (0;0) и радиусом 3, а вторая с центром (6;0) и радиусом 2. Так, а теперь, когда из второго уравнения мы получили всё что могли, нужно возвращаться к первому уравнению системы и думать, что делать с ним!

Подсказка 3

Конечно, поскольку окружности построены в осях X и Y, то из первого уравнения хочется выразить y и построить прямую! То есть, мы получим: y = -ax/2 + 3b/2. Изобразим эту прямую на графике, тогда в каком случае у нас будет 4 решения?

Подсказка 4

Верно, 4 решения будет тогда и только тогда, когда прямая пересекает каждую из двух окружностей! А какой случай полезно было бы рассмотреть, чтобы проще найти все значения параметра a?

Подсказка 5

Да, нужно провести общую внутреннюю касательную(мы говорим именно про внутреннюю касательную, потому что только в этом случае окружности будут лежать по разные стороны от прямой)! Поскольку b отвечает только за параллельный перенос прямой, то мы делаем вывод: чтобы система могла иметь 4 решения, угловой коэффициент получившейся прямой должен быть по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей касательной! А как найти угловой коэффициент внутренней касательной?

Подсказка 6

Да, перенесем нашу касательную в начало координат! Тогда у образовавшегося прямоугольного треугольника мы знаем гипотенузу и катет, то есть легко можем найти второй катет! А дальше вспомним, что коэффициент наклона – это тангенс угла! Осталось найти тангенс и понять, когда |-a/2| меньше чем этот тангенс!

Показать ответ и решение

Второе уравнение системы равносильно совокупности

[ x2+y2− 9= 0 2 2 x +y − 12x+32 =0

[ x2+y2 = 9 (x − 6)2+y2 = 4

Эта совокупность задаёт две непересекающиеся окружности $Ω$ и $ω$ — с центрами в точках $O(0;0)$ и $Q(6;0)$ и радиусами $3$ и $2$ соответственно.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы:

ax +2y− 3b= 0

y =− ax+ 3b 2 2

Видим, оно определяет прямую с угловым коэффициентом $k= − a. 2$ При фиксированном значении $a$ — т.е. при фиксированном угле наклона — и при $b∈ ℝ$ получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом $k= − a. 2$

Чтобы система имела ровно $4$ решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра $b$ можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из окружностей дважды).

Проведём общую внутреннюю касательную $AB$ к окружностям (пусть $A$ и $B$ — точки касания этой прямой с $Ω$ и $ω$ соответственно). Пусть $l$ — прямая, параллельная $AB$ и проходящая через точку $O;$ пусть также $l∩QB = H,$ $∠HOQ = φ$ ( $OH ∥AB,$ поэтому $φ$ — угол наклона общей внутренней касательной). Так как

HQ = HB + BQ = OA+ BQ = 3+ 2=5,

а также $OQ = 6,$ то из прямоугольного $△HOQ$ имеем

∘ --------- √-- OH = OQ2− HQ2 = 11

Значит,

HQ- -5- tgφ = OH = √11

С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем $tgφ,$ откуда

|| a|| -5- |− 2|< √11

( 10 10) a ∈ − √11;√11

Ответ:

$(−√10;√10-) 11 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#69289Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|, |||{ ( ) ( ) | 22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0, |||( x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение $(x;y),$ где $x,y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a.$

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно заметить, что во втором уравнении системы слагаемые имеют похожий вид. Может, сделать так, чтобы первое слагаемое зависело только от x, а второе только от y...

Подсказка 2

Для этого умножим обе части уравнения на 2^(y-x-|a+2x|). Если каждый логарифм привести к основанию 3, то можно заметить, что оба слагаемых имеют вид f(n)=2ⁿlog₃(n²+1). Тогда наше уравнение имеет вид f(3-x-|a+2x|)=f(y). Что мы можем сказать про знаки чисел 3-x-|a+2x| и y?

Подсказка 3

Из первого уравнения системы видно, что y>=0, а из третьего, что 3-x-|a+2x|>=0. Как ведет себя функция f(n) при n>=0?

Подсказка 4

Можно заметить, что f(n) это произведение двух строго возрастающих функций 2ⁿ и log₃(n²+1) при t>=0. Тогда при t>=0 f(n) тоже будет строго возрастать. Как тогда переписать второе уравнение системы...

Подсказка 5

Второе уравнение системы равносильно тому, что y=3-x-|a+2x|. Подставив у в первое уравнение, мы видим, что оно имеет вид |u|+|v|=u-v, где u=a-3|x+1|+x+3 и v=a+2x. Когда достигается это равенство?

Подсказка 6

Когда u>=0 и v<=0. Тогда 3|x+1|-x-3<=a<=-2x. Попробуйте построить эту область в системе Oxa и понять, какие точки из нее нам подходят.

Подсказка 7

Нетрудно заметить, что если x и a- целые, то и y- целое. Отсюда следует, что осталось только найти все целые а, при которых существует единственный x такой, что точка (x, a) лежит в нашей области. Найдите их!

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2 log3(y + 1)=0

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2 log3(y +1)

3−x−|a+2x| ( 2 ) y 2 2 log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что $y ≥ 0.$ Из третьего уравнения системы $3− x − |a+ 2x|≥ 0.$

Введём функцию

t 2 f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при $t ≥0.$ Значит, тоже является строго возрастающей функцией при $t≥ 0.$ Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение $f(t),$

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим $u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все $u$ и $v$ такие, что

{ u≥ 0 v ≤ 0

{ a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0 a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе $Oxa$ построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

$PIC$

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка $(x,a)$ должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если $x$ — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если $a$ целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые $a,$ для которых будет только один такой целый $x,$ что точка $(x,a)$ лежит в закрашенной зоне на графике:

При $a= −2$ имеем решение $x= −1,y =0;$

При $a= −1$ имеем решение $x= −1,y =1;$

При $a= 1$ имеем решение $x =− 1,y = 3;$

При $a= 3$ имеем решение $x =− 2,y = 4;$

При $a= 4$ имеем решение $x =− 2,y = 5;$

При $a= 6$ имеем решение $x =− 3,y = 6.$

Ответ:

$a =− 2,x= −1,y = 0;$

$a= −1,x =− 1,y =1;$

$a= 1,x= −1,y = 3;$

$a= 3,x= −2,y = 4;$

$a= 4,x= −2,y = 5;$

$a= 6,x= −3,y = 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#70385Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a,$ при которых уравнение

--a2+x2-− 4x−-6a−-23-- √a2+-ax− 2x2−-2a−-x+1-= 0

имеет единственное решение.

Источники: САММАТ-2023, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами обычное уравнение f(x)/g(x) = 0, давайте вспомним, какой равносильный переход позволит нам работать отдельно с числителем и знаменателем. Какое условие поможет нам избавиться от корня?

Подсказка 2

Мы получили какие-то страшные выражения, содержащие x^2 или a^2. В них часто спрятана формула окружности или произведение скобок с выражениями, с которыми удобно работать. Попробуйте понять, что спрятано в наших выражениях. Чтобы увидеть формулу окружности, стоит повыделять полные квадраты, а если вы считаете, что выражение получено перемножение некоторых скобок, то попробуйте решить квадратное уравнение относительно x или a.

Подсказка 3

Ура, теперь когда мы упростили исходную задачу, пора выбрать сторону: алгебра или геометрия? Давайте подумаем, сможем ли мы свести каждое наше выражение к некоторым геометрическим объектам, а сможем ли мы легко найти корни уравнения и подставить их в неравенство?

Подсказка 4

Перед нами же уравнение окружности (a-3)^2+(x-2)^2=36 и некоторые области, ограниченные прямыми (a-x-1=0 и a+2x-1=0), так давайте же попробуем нарисовать их в xOa.

Подсказка 5

Когда мы нарисовали нашу картинку, дать ответ уже совсем просто, ведь для каждой пары (x, a) мы можем точно сказать, подходит она нам или нет. Если мы зафиксируем какое-либо a_0, то есть будем жить в горизонтальной прямой a=a_0, то любое пересечение с нашим графиком даст нам решение (x, a_0). Остаётся понять, когда наша горизонтальная прямая имеет ровно 1 пересечение. Не забывайте думать про те области, в которых ваш график не нарисован, часто бывает, что мы не видим пересечения, просто потому что оно где-то далеко и мы его не нарисовали.

Показать ответ и решение

Область допустимых значений уравнения определяется неравенством

2 2 a + ax− 2x − 2a− x+ 1> 0

Выражение слева представляет собой квадратный трёхчлен относительно $a.$ Найдем его корни, получим

a2+ a(x − 2)− 2x2− x+ 1= 0⇒

D = (x− 2)2− 4⋅(− 2x2− x+ 1)= x2− 4x+ 4+ 8x2+4x− 4= 9x2 ⇒

a1 = 2−-x+3x-= x+1, a2 = 2− x-− 3x-=− 2x +1 ⇒ 2 2

a2+ a(x− 2)− 2x2− x +1= (a− x− 1)(a+2x − 1)

Поэтому неравенство равносильно неравенству

(a− x− 1)(a+ 2x− 1)> 0,

или совокупности систем неравенств

{ { a − x− 1> 0 или a− x− 1< 0 a +2x− 1> 0 a+ 2x− 1< 0

Первая система неравенств определяет область декартовой плоскости $Oxa$ — внутреннюю часть угла, расположенного выше прямых, а вторая — ниже прямых, определяемых уравнениями $a− x − 1 =0$ и $a+ 2x− 1= 0.$

$PIC$

Уравнение

a2+ x2 = 23 +4x+ 6a,⇒ a2− 6a+ x2− 4x− 23= 0⇒

a2− 6a+9 +x2− 4x+ 4− 36= 0,⇒ (a − 3)2+(x− 2)2 =36

определяет окружность с радиусом $R = 6$ и центром в точке с координатами $x= 2,$ $a= 3.$

Найдем точки пересечения этой окружности с найденными прямыми.

1.

${ 2 2 { 2 { 2 (a − 3) + (x− 2) =36 ⇒ 2(x− 2) =36 ⇒ (x − 2) = 18 ⇒ a− x− 1= 0 a= x+ 1 a= x+ 1$

${ √- x− 2= ±3 2 ⇒ x =2− 3√2,a = 3− 3√2 a= x+ 1 1 1$ , или $x = 2+3√2,a = 3+ 3√2 2 2$

2.

${ (a − 3)2+ (x− 2)2 =36 { (− 2x − 2)2+ (x− 2)2 =36 a+ 2x − 1 =0 ⇒ a= −2x+ 1 ⇒$

${ { 4x2+8x+ 4+ x2− 4x +4= 36 ⇒ 5x2+ 4x− 28=0 ⇒ x3 =− 14= −24 , a= −2x+ 1 a= −2x+1 5 5$ $a3 = 33= 63 5 5$ или $x4 = 2,a4 = −3$

Уравнение будет иметь единственное решение, если горизонтальная прямая с уравнением $y = a$ пересекает объединение двух дуг окружности, лежащих в двух указанных выше угловых областях только в одной точке (смотри рисунок). Таким образом, искомое множество значений параметра $a$ есть объединение $(− 3;3− 3√2)∪$ $(63;3+ 3√2]∪ {9} 5$

Ответ:

$(− 3;3− 3√2)∪ (63;3+ 3√2-]∪{9} 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#77205Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x2+2a2−2x− 3a−4 1 2 + loga2(|x− 1|+ 1)= 8

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ a ⁄=0, a ⁄=±1.

Преобразуем выражение:

(x−1)2+2a2− 3a−5 1 2 + loga2(|x− 1|+ 1)= 8.

Т.к. переменная и параметр находятся и в степени, и в логарифме, то обычного аналитического решения не придумать. Но в задаче спрашивается значение параметра, при котором существует единственное решение. Это наталкивает на мысль, что нужно использовать нестандартный метод решения. Попробуем найти симметрию в уравнении.

Если $x$ - решение этого уравнения, представим его в виде $x= 1+ t.$ Тогда если есть какое-то решение такого вида, то обязательно найдется другое решение вида $x= 1− t.$ Тогда можно выделить следующую симметрию:

{ x= 1+t, x= 1− t.

Тогда единственное решение достигается если

1+t= 1− t⇒ t= 0⇒ x= 1.

Тогда подставим $x= 1$ в уравнение, найдем параметр $a,$ и проверим что при полученных параметрах $a$ достигается единственное решение.

При $x= 1:$

22a2−3a−5+log2(1)= 1, a 8

2a2−3a−5 1 2 2 = 8 ⇒ 2a − 3a− 5 =− 3,

1 2a2− 3a− 2= 0⇒ a =2,a= −2.

Проверим, что при данных $a$ достигается единственное решение.

При $a= 2:$

(x−1)2−3 1 2 + log4(|x− 1|+ 1) =8

Первое слагаемое точно больше либо равно $1 8$ , второе слагаемое больше либо равно $0.$ Тогда слева чтобы достигалось равенство нужно чтобы $x$ равнялся $1.$ Единственное решение.

При $1 a= − 2 :$

2 1 2(x−1)−3 +log14(|x− 1|+ 1) =8,

2(x−1)2− 2− log4(|x − 1|+1)= 1. 4

Рассмотрим $x= 2, и x= 4:$

1 − 1 < 1,− при x= 2 2 4

7 1 2 − 2> 4,−при x= 4

Это означает, что есть решение между $2$ и $4$ , помимо решения $x= 1.$ Тогда это значение параметра не подходит, т.к. при данном значении не единственное решение уравнения.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#77209Максимум баллов за задание: 7

Найдите площадь фигуры, удовлетворяющей системе неравенств

(| |x|+ |y|≤3, { x2+y2 ≥3(2y − 2x− 3), |( (2x +y− 3)(x+ 5y+ 3)≤ 0.

Показать ответ и решение

Нарисуем графики неравенств в плоскости $xOy.$ Первое неравенство задает множество внутри квадрата со стороной $3.$ Распишем второе неравенство:

2 2 2 2 x + y ≥6y− 6x+ 9⇒ x + 6x +9 +y − 6y+9 ≥9

2 2 (x+ 3) + (y − 3) ≥ 9.

Второе неравенство задает множество точек вне окружности $(x +3)2+(y− 3)2 ≥ 9,$ с радиусом $R= 3.$ Чтобы нарисовать третье неравенство будем использовать метод областей:

[ 2x+ y− 3=0, ⌊ y =− 2x+3, x+ 5y+ 3=0 ⇒ ⌈ y = −x−-3 5

Нарисуем эти две прямые и методом областей найдем множество точек, удовлетворяющие третьем неравенству.

В итоге получаем следующую картинку:

$PIC$

Заметим, что нужна нам фигура это треугольник $△ABC$ без меньшего сегмента $AB.$ Вычислим площадь треугольника $△ABC :$

Высота треугольника совпадает со стороной квадрата и равняется $√ - 3 2.$ Длина отрезка $AB$ равняется $√- 3 2.$ Тогда площадь равняется $√ - √ - 3--2⋅3-2= 9. 2$

Вычислим площадь сегмента:

Угол $∠AOB = 90∘,$ радиус окружности $R = 3,$ тогда площадь сегмента $AOB$ равняется:

2 Sсектора = πR-∠AO∘B-⇒ Sсектора = 9π. 360 4

Тогда площадь сегмента это разность сектора $AOB$ и треугольника $△AOB$ и его площадь:

( ) Sсегмента = Sсектора− S△ABO = 9π− 3⋅3= 9 π− 1 . 4 2 4 2

Тогда искомая площадь равняется:

(π 1) ( π 3) S =S△ABC − Sсегмента = 9− 9 4 −2 = 9 − 4 + 2 .

Ответ:

$9( 3− π) 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#77213Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , для которых при любых вещественных $x$ , $y$ , $z$ выполнено

sin x+siny+ sinz− sinxsiny − siny sinz− sinzsinx+ sinx sinysinz ≤

|| ( π) ( π)|| ≤a |tg x+ 4 +ctg x+ 4 |.

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

( sinx= r,r∈[−1;1], |{ |( siny = s,s∈[−1;1], sinz = t,t∈ [− 1;1].

Тогда выражение примет вид:

|| ( π ) ( π)|| r +s+ t− rs− st− rt+ rst≤ a|tg x +4 + ctg x+ 4 |.

Добавим $− 1$ к обеим частям, чтобы разложить левую часть на множители:

|| ( π ) ( π)|| r+ s+t− rs− st− rt+ rst− 1≤ a|tg x +-4 + ctg x+ 4 |− 1,

| ( ) ( )| (r− 1)(s− 1)(t− 1)≤ a||tg x+ π +ctg x+ π ||− 1. 4 4

Сделаем оценку:

(| −2≤ r− 1≤ 0, { −2≤ s− 1≤ 0, ⇒ левая часть не больше 0. |( −2≤ t− 1 ≤0.

||tg(x+ π)+ ctg(x + π )||≥2, как сумма взаимно обратных. | 4 4 |

|| ( π) ( π )|| a|tg x+ 4 + ctg x+ 4 |− 1≤ 2a− 1.

Тогда чтобы выполнялось равенство, нужно чтобы правая часть равная была больше $0 :$

1 2a− 1≥ 0⇒ a= 2.

Докажем, что $a< 12$ не подходит:

x= 0,y = π,z = 0⇒ 0≤ a⋅|1+1|− 1, 2

2a− 1≥ 0⇒ a≥ 1. 2

Ответ:

$[1;+ ∞) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#78774Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y = x3− ax$ . Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y = −4x$ , а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.

Источники: Физтех-2023, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте заметим, что наша функция нечётная, а потому она центрально-симметрична. Если одна диагональ имеет угол наклона -4, а диагонали перпендикулярны, то какой угол наклона имеет другая диагональ?

Подсказка 2

Верно, с тангенсом 1/4. Если x₀ — абсцисса точки B, которая лежит в 4-ой четверти, то её ордината имеет значение -4x₀. При этом у точки квадрата, которая лежит в первой четверти, то её координаты это (4x₀, x₀). Что даёт нам тот факт, что мы знаем, что две точки лежат на графике x³ + ax? Что это значит для поиска площади?

Подсказка 3

Значит, можно подставить эти два значения в уравнение графика и поскольку точки принадлежат графику, то и подставив значения, мы получим равенство. Откуда можно найти и а, и х₀. А найти диагональ (чтобы найти площадь) совсем нетрудно, если мы знаем про нечётность функции (про симметричность координат противоположных точек)

Показать ответ и решение

Пусть $A$ и $B$ — вершины квадрата, лежащие в первой и четвёртой четвертях соответственно; $O$ — начало координат.

$PIC$

По условию точка $B$ лежит на прямой $y = −4x$ . Если $x0$ — абсцисса точки $B$ , то $x0 >0$ , а координаты точки $B$ — это $(x0;−4x0)$ . Так как точка $A$ получается из $B$ поворотом на $90∘$ против часовой стрелки вокруг точки $O,$ то её координаты $(4x0;x0)$ . Поскольку обе точки лежат на графике $y =x3− ax$ , получаем и решаем систему уравнений (учитываем, что $x0 ⁄= 0$ )