Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#85347Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 2+ |2x +2||= a

имеет нечетное количество решений?

Показать ответ и решение

Построим график функции $f(x)=x − 2+ |2x +2|$ , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в $3$ и $4$ четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При $x≤ −1$ получаем $f(x)= x− 2 − (2x+ 2)= −x − 4$

При $x> −1$ получаем $f(x)= x− 2+2x+ 2= 3x$

$PIC$

Найдём значения параметра $a$ , при которых прямая $y =a$ пересекает график $f(x)$ в нечетном числе точек.

При $a< 0$ пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При $a= 0$ получаем $2$ решения.

При $0< a< 3$ получаем $4$ решения.

При $a= 3$ получаем $3$ решения.

При $a> 3$ получаем $2$ решения.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#99230Максимум баллов за задание: 7

Точку случайно бросают на отрезок $[6;11]$ и пусть $k$ — получившееся значение. Найти вероятность, что корни уравнения

( 2 ) 2 k − 2k − 15 x +(3k− 7)x+ 2= 0

удовлетворяют условию $x ≤ 2x. 1 2$

Источники: Газпром - 2023, 11.5 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то связать корни с коэффициентами в квадратном уравнении. Можно попытаться воспользоваться дискриминантом, но получится ли красиво выразить корни? Как тогда работать с корнями иначе?

Подсказка 2

Воспользуйтесь теоремой Виета. Можно попробовать понять,при каких k у нас один корень будет ровно в 2 раза больше второго!

Подсказка 3

Один корень в два раза больще второго при k = 23/3.

Подсказка 4

Так как мы решаем неравенство для корней, то можно воспользоваться методом интервалов для k!

Подсказка 5

Вероятность надо считать, используя подходящий отрезкок!

Показать ответ и решение

По теореме Виета:

{ x +x =--7−3k- 1 2 k2−22k−15 x1⋅x2 = k2−2k−15

Найдём значение $k$ при условии, что $x =2x 1 2$ , а затем воспользуемся методом интервалов:

{ 3x = -7−3k--, 22 k2−2k2−15 2x2 = k2−2k−15

({ x2 = --7−3k--, ( 2 3(k2−12k−15) x2 = k2−2k−15

(7− 3k)2 1 9(k2−-2k−-15)2 = k2−-2k−-15

Так как $k2− 2k− 15 >0$ для $k∈ (−∞;−3)∪ (5;+∞ )$ , умножив обе части равенства на квадрат этого выражения, получим

(7− 3k)2 2 2 2 23 ---9--- =k − 2k− 15⇔ 9k − 42k+ 49= 9k − 18k− 135⇔ 24k= 184⇔ k= -3 .

Изобразим на числовой оси полученное значение $k$ , и проверим, какая часть оси удовлетворяет условию $x1− 2x2 ≤ 0.$

Значит, условие $x1 ≤ 2x2$ выполняется для $23 k≤ -3$ . Тогда $23−6 1 P = 311−6-= 3.$

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#140631Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ для каждого из которых найдется значение параметра $b,$ при котором система

{ ax− y+ 10b= 0 ((x +8)2+y2− 1)(x2+ y2− 4)≤ 0

имеет ровно 2 решения.

Источники: Физтех - 2023, 10.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим неравенство системы. Его левая часть обращается в ноль на окружностях $(x+ 8)2+ y2 = 1$ и $x2+y2 = 4.$ Внутри каждой из окружностей один из множителей в левой части положителен, а второй –– отрицателен. В области вне окружностей оба множителя положительны. Таким образом, неравенство определяет совокупность двух кругов $Ω$ и $ω$ с центрами в точках $O(0;0)$ и $Q(−8;0)$ с радиусами $2$ и $1$ соответственно. Первое уравнение системы определяет прямую $y = ax +10b$ с угловым коэффициентом $k= a.$ При фиксированном значении $a$ –– при фиксированном угле наклона и при $b∈ℝ$ получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом $k =a.$

Чтобы система имела ровно $2$ решения, прямая должна касаться обоих кругов. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю равен угловому коэффициенту общей касательной к окружностям. В этом случае за счёт выбора параметра $b$ можно подобрать такое положение прямой, что она касалась обеих окружностей.

Пусть $A$ и $B$ —- точки касания этой прямой с $ω$ и $Ω$ соответственно. Проведём общую внутреннюю касательную $AB$ к окружностям, имеющую положительный наклон. Пусть $ℓ$ — прямая, параллельная $AB$ и проходящая через точку $Q;$ пусть также $ℓ∩ OB =H,$ $∠HQO =φ$ ( $QH ∥AB,$ поэтому $φ$ –– угол наклона общей внутренней касательной). Так как $OQ = 8$ и

HO =HB + BO = QA +BO = 1+ 2= 3

Тогда из прямоугольного треугольника $HOQ$ имеем

∘ --------- √-- QH = OQ2− HO2 = 55

HO 3 tanφ= QH- = √55

Аналогично рассматриваем случай общей внешней касательной. Пусть $C$ и $D$ — точки касания с $ω$ и $Ω$ соответственно, $CD$ — общая внешняя касательная с положительным наклоном. Опускаем из точки $Q$ перпендикуляр $QT$ на радиус $DO$ большей окружности. Тогда $ψ =∠OQT$ и есть угол наклона общей внешней касательной. Имеем $OT =OD − QC = 1,$ а также

∘ --------- QT = OQ2− OT 2 =√63

OT 1 tanψ = QT =-√-- 3 7

Так как подходят и положительные, и отрицательные значения наклона, окончательно получаем $a= ± √355-$ или $a =± 3√17-.$

Ответ:

$±√-3-, 55$ $± -1√- 3 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#31148Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 (a− 2)x + 2(a− 2)x +2= 0

не имеет корней.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы имеем задачу с квадратным трехчленом и коэффициент перед x^2 является переменной, то что первым делом нужно сделать?

Подсказка 2

Конечно, проверить может ли он быть равен нулю, и что будет, если он равен 0. В данном случае, если он равен 0, то выходит, что и перед х коэффициент равен 0, а значит выходит уравнение 2=0, которое корней не имеет. Но если а не равно 2, то что делать? Когда квадратное уравнение не имеет корней?

Подсказка 3

Да, квадратное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда его дискриминант меньше 0. Осталось решить это неравенство и получить ответ!

Показать ответ и решение

Если $a =2$ , то уравнение превращается в $2= 0$ — корней ней, значит, $a= 2$ нам подходит.

Если $a⁄= 2$ , то перед нами квадратный трёхчлен. У него нет корней тогда и только тогда, когда его дискриминант меньше нуля.

Дискриминант трёхчлена из уравнения равен

2 4(a− 2) − 8(a− 2)= 4(a− 2)(a − 4),

значит, нам подойдут $a∈ (2;4)$ .

Ответ:

$[2;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#31152Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ сумма квадратов двух различных корней уравнения

2 x − 4ax +5a= 0

равна $6$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В нашем квадратном трехчлене все коэффициенты выражены в явном виде через а или константы, а также у нас есть условие на корни. На что нам задача тогда может намекать?

Подсказка 2

Конечно, на теорему Виета (ой, то есть Тибета), но вот проблема. В задаче фигурирует не сумма, не произведение корней, а сумма их квадратов… Ну и ну… А может не все так плохо и можно как то выразить сумму квадратов через сумму и произведение? Попробуйте это сделать.

Подсказка 3

Да, действительно, можно выразить сумму квадратов как квадрат суммы минус удобное произведение! Значит, осталось через теорему Виета написать наше условие про сумму квадратов, в явном виде, выраженное через а. После этого останется только подставить найденные а-шки и понять, есть ли два различных корня при каждом из значений.

Показать ответ и решение

По теореме Виета $x + x = 4a 1 2$ и $x x = 5a 1 2$ . Значит,

2 2 2 2 6 =x1+ x2 = (x1+x2) − 2x1x2 = 16a − 10a

2 2 16a − 10a− 6= 2(8a − 5a− 3)= 2(a − 1)(8a+ 3)= 0.

Проверим, что $a= 1$ и $a= − 3 8$ подходят. Проблема может быть в том, что когда мы подставим одно из этих значений, у нашего уравнения не будет двух различных корней.

(а) Если $a =1$ , то уравнение $x2− 4x+ 5= 0$ не имеет корней, так как дискриминант равен $16− 20= −4$ .

(б) Если $a =− 3 8$ , то уравнение $x2− 3x− 15= 0 2 8$ будет иметь 2 различных корня, так как дискриминант равен $(3)2 + 15 >0 2 2$ . Дальше можно было бы посчитать корни или применить обратную теорему Виета.

2 2 2 2 x1 +x2 = (x1+x2) − 2x1x2 = 16a − 10a= 6

Последнее равенство верно, так как $a$ является корнем уравнения $16a2− 10a =6$ .

Ответ:

$− 3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#31155Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ сумма квадратов различных корней уравнения $x2− ax+a +1 =0$ больше $1$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понимаем, что перед нами квадратное уравнение) У нас присутствуют какие-то ограничения, связанные с корнями... Тогда для начала попробуем понять, какие же условия на количество корней следуют из условия задачи и как их учесть?

Подсказка 2

Нам нужно 2 различных корня, поэтому следует записать условие на положительность дискриминанта! Благодаря этому мы
получим какие-то ограничения на a) Теперь хочется обратиться напрямую к условию...как же удобно записать сумму квадратов корней?

Подсказка 3

С помощью теоремы Виета! (x_1)^2 + (x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2*(x_1)*(x_2). А сумму и произведение корней можно записать через a, тогда сможем, использовав условие, наложить на a еще какие-то ограничения! Осталось пересечь две получившихся области)

Показать ответ и решение

В этой задаче мы хотим двух вещей: чтобы у уравнения были два различных корня и чтобы сумма их квадратов была больше единицы.

Первое условие равносильно тому, что дискриминант $2 2 2 √ - √- a − 4(a+ 1) =a − 4a− 4= (a− 2) − 8= (a− 2− 2 2)(a+ 2− 2 2)$ должен быть больше нуля.

Значит $√- √- a ∈(−∞,2 − 2 2)∪ (2+ 2 2,+∞ )$ .

Теперь рассмотрим сумму квадратов корней. Она равна

x21 +x22 = (x1+x2)2− 2x1x2 = a2− 2(a+ 1)=a2− 2a− 2= (a− 1)2 − 3.

Значит условие $2 2 x1+x2 > 1$ равносильно (если корни есть) условию $2 (a − 1) > 4$ или $a ∈(−∞,− 1)∪ (3,+∞ )$ .

Осталось пересечь две получившихся области и получить

√ - a ∈(−∞,− 1)∪(2+2 2,+∞ )

Ответ:

$(−∞,− 1)∪(2+2√2,+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#31275Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ корни уравнения

2 x +2(a− 2)x− 4a+ 5= 0

различны и оба больше $− 1$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Нам нужно 2 различных корня, поэтому следует записать условие на положительность дискриминанта! Благодаря этому мы
получим какие-то ограничения на a) Теперь хочется обратиться напрямую к условию...как мы умеем записывать условие того, что корни больше/меньше чего-то?

Подсказка 3

Обратить внимание на ветви параболы и сделать вывод о том, левее или правее от -1 находится вершина параболы? А еще понять, какое значение парабола принимает в -1!) Тогда мы сможем наложить еще ограничения на a и пересечь области!

Показать ответ и решение

Для наличия двух различных корней нужна положительность дискриминанта, то есть $0 <D ∕4= (a− 2)2 − (−4a+ 5)=a2− 1 ⇔ |a|>1$

Оба корня больше $− 1$ , если по оси абсцисс вершина параболы $x= 2− a$ находится правее точки $x= −1$ (тогда $3> a$ ) и значение параболы в точке $x= −1$ больше нуля: $2 (−1) +2(2− a)− 4a+ 5>0 ⇔ 10− 6a >0$ .

Ответ:

$(−∞;− 1)∪(1;5) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#31276Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ один корень уравнения $ax2+ 2x+2a+ 1= 0$ меньше $1$ , а другой больше $1$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы не знаем, какой типа уравнения перед нами, поэтому какой-то случай мы разберем отдельно, а пока будем считать, что перед нами квадратное уравнение) У нас присутствуют какие-то ограничения, связанные с корнями... Тогда для начала попробуем понять, какие же условия на количество корней следуют из условия задачи и как их учесть?

Подсказка 2

Нам нужно 2 различных корня, поэтому следует записать условие на положительность дискриминанта! Благодаря этому мы
получим какие-то ограничения на a) Теперь хочется обратиться напрямую к условию...как мы умеем записывать условие того, что корни больше/меньше чего-то?

Подсказка 3

Мы понимаем, что у нас 2 варианта расположения ветвей параболы, которые зависят от знака a. Тогда следует их разобрать по отдельности и записать условие на значение функции в 1.

Подсказка 4

В случае ветвей вверх значение в 1 должно быть меньше 0, в случае ветвей вниз f(1) > 0. Остается с помощью этих неравенств дать ограничения a и пересечь получившиеся области, не забыв про дискриминант :)

Показать ответ и решение

Сразу отбросим $a= 0$ , поскольку в этом случае всего один корень. Далее пусть $f(x)=ax2+ 2x+ 2a +1 =a(x− x)(x− x ) 1 2$ , где корни лежат по разные стороны от $1$ , если $a> 0$ , то это эквивалентно $f(1)= a+ 2+ 2a +1= 3a+ 3< 0⇐⇒ a < −1$ , если же $a< 0$ , то $f(1)> 0⇐ ⇒ a> −1$ , в итоге подходит только $a∈ (−1,0)$ . Осталось проверить условие наличия корней $2 D1 = 1− a(2a+1)= 1− 2a − a >0 ⇐⇒ a∈ (− 1,1∕2)$ .

Ответ:

$(−1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#31282Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x2− ax +2= 0$ имеет решения, лишь одно из которых удовлетворяет условию $1 <x <3$ ?

Показать ответ и решение

Для $D =a2− 8≥ 0$ нужно $|a|≥ 2√2-$ , пусть $f(x)=x2 − ax+ 2$ , всего возможны три случая:

1.: Есть всего один корень, то есть $a= ±2√2 =⇒ x= ±√2-∈(1,3)$ — единственный корень, тогда $a =2√2$ нам подходит, далее считаем $|a|> 2√2$ .
2.: Один из корней лежит на $(1,3)$ , а другой вне отрезка $[a,b]$ , что эквивалентно $f(1)⋅f(3)< 0$ , поскольку можно представить $f(x)$ в виде $f(x)= (x − x1)(x− x2)$ , где $x1 ∈(1,3),x2 ∈(−∞,1)∪ (3,+∞ )$ , если же это не так, то выражение будет либо нулём, когда есть корень $1$ или $3$ , либо положительно, так оба корни будут либо на интервале, либо вне интервала $(1,3)$ . То есть в этом случае $(1− a+2)(9 − 3a+ 2)= (3− a)(11− 3a)< 0$ , то есть $a∈ (3,11∕3)$ .
3.: Один из корней равен $1$ или $3$ , а второй лежит на интервале, если корень равен $1$ , то второй равен $2$ (их произведение равно 2), откуда $a =1 +2 =3$ , иначе второй корень равен $2∕3$ , он не лежит на интервале $(1,3)$ и не подходит, то есть $a =3$ .

Ответ:

${2√2}∪ [3,11) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#31914Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ из неравенства $2x+ a< 2$ следует неравенство $x< −2$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте о том, что значит фраза, что из одного неравенства следует другое?

Подсказка 2

Показать ответ и решение

По определению, неравенство Б является следствием неравенства А (или из неравенства А следует неравенство Б), если каждое решение неравенства А является также решением неравенства Б; иными словами, множество решений неравенства А содержится в множестве решений неравенства Б. По условию из $2−a x < 2$ следует $x< −2$ , тогда должно быть $2−a 2 ≤−2$ , так что $a ≥6$ . Случай равенства подходит, потому что тогда неравенства будут эквивалентны, так что естественно каждое из них является следствием другого.

Ответ:

$[6;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#31915Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ неравенства $2x +a <3$ и $x − 4a< −1$ равносильны?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неравенства называются равносильными тогда, когда множества их решений совпадают. Найдите множество решений каждого из неравенств!

Подсказка 2

Множества решений неравенств должны совпадать. Найдите такие а, при которых это выполнимо!

Показать ответ и решение

Напомним, что два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Иными словами, равносильные неравенства являются следствиями друг друга. По условию $3−-a x < 2 ⇐⇒ x < 4a − 1$ , тогда $3−a 2 = 4a− 1$ , так что $a =5∕9$ .

Ответ:

$5∕9$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#31916Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ система

{ x+ ay = 2; 3x− 2y =6

имеет бесконечное множество решений?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда у нас у системы из двух линейных уравнений получается бесконечное число решений?

Подсказка 2

Да, когда одно из двух уравнений получается из второго умножением на какое-то число. У нас известны числовые коэффициенты перед х в обоих уравнениях, а значит, мы можем определить, на какое число нужно домножить уравнение!

Показать ответ и решение

Решений будет бесконечное число, если второе уравнение получается умножением первого на $3$ , то есть при $a =− 2∕3$ . Если же это не так, то в комбинации $3⋅(1)− (2)$ останется ненулевой коэффициент только перед $y$ , то есть $y = 0$ , а $x$ определяется однозначно, так что решение всего одно.

Ответ:

$− 2∕3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#31917Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при которых для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 7x +6 <0$ , необходимо, чтобы выполнялось неравенство $|x− 3|<a.$

Подсказки к задаче

Пояснение

1. для (1) достаточно (2) означает, что из (2) следует (1)
(1) <= (2)
второе является достаточным, но не факт, что необходимым

2. для (1) необходимо (2) означает, что из (1) следует (2)
(1) => (2)

3. а тут (2) это необходимое условие
поэтому всё-таки второе должно покрывать первое
то есть без второго первое никак не может быть правдой
второе необходимо для первого
если второе не покрывает первое, то оно не так необходимо, без него можно обойтись

Подсказка 1

Найдите множество решений каждого из неравенств! Множество решений второго уравнения будет зависеть от а, не пугайтесь, это нормально! И подумайте о том, что значит необходимость выполнения второго неравенства

Подсказка 2

Необходимость выполнения второго означает, что для всех решений первого неравенства второе точно выполнено (то же самое, что если второе не выполнено, то и первое не выполнено, это и означает, что второе неравенство необходимо для первого). Что тогда можно сказать про решения второго неравенства?

Подсказка 3

Верно, решения второго неравенства должны полностью покрывать множество решений первого неравенства. Осталось лишь найти такие значения а, при которых это достигается!

Показать ответ и решение

Решением первого неравенства является $x∈ (1,6)$ . Необходимость выполнения второго означает, что для всех решений первого неравенства второе точно выполнено (то же самое, что если второе не выполнено, то и первое не выполнено, это и означает, что второе неравенство необходимо для первого). Тогда решения второго неравенства должны полностью покрывать множество решений первого неравенства. У второго неравенства решением является либо точка при $a= 0$ , либо интервал $(3− a;3+a)$ при $a> 0$ , так что имеем условия $6≤ 3+ a$ и $3− a≤ 1$ , пересекая которые, получаем ответ: $a ≥3$ .

Ответ:

$[3,+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#31918Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $b$ уравнение

4 2 √ - √ - 2 √- bx +b + (2 + 2)b+ 2 2= b(b+ 2)+4x

имеет бесконечно много корней?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как должно выглядеть линейное уравнение, чтобы у него было бесконечно много решений?

Подсказка 2

Верно! Оно должно сводиться к виду 0х = 0. Найдите значения параметра, при которых это выполнимо!

Показать ответ и решение

Перед нами линейное уравнение относительно $x$ . У него бесконечно много корней тогда и только тогда, когда оно выглядит, как $0⋅x= 0$ , то есть

{ b4− 4= 0 2 √- √ - 2 √ - b + (2+ 2)b+2 2− b (b+ 2)= 0

{ b= ±√2 (b− 2)(b+ 1)(b+ √2)=0

b= −√2-

Ответ:

$− √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#31919Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2+ cos11x− cos3x− sin11x+ sin3x= acos14x

имеет ровно одно решение?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выглядит жутко страшно. Но на что нам обычно при решении параметров может намекать фраза "ровно одно решение"?

Подсказка 2

Ага, на чётность (в общем случае симметрию) или периодичность, в общем можно подумать в сторону свойств функций, а не решать в лоб.

Подсказка 3

Вы ещё здесь? Ладно, пусть какое-то число является решением. Прибавьте к нему 2π и подставьте в уравнение. Всё, делаем вывод, господа и господамы!

Показать ответ и решение

Воспользуемся симметрией уравнения за счёт периодичности тригонометрических функций.

Пусть уравнение имеет какое-то решение $x= x0$ , то есть уравнение при подстановке $x =x0$ обращается в тождество. Тогда $x =x0+ 2π$ тоже является решением, ведь при подстановке в уравнение значение всех тригонометрических функций не изменится и будет такое же, как для $x= x0$ , снова получится тождество. А раз так, то ровно одно решение уравнение иметь не может.

Ответ:

Ни при каких

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#31978Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

{ x2+ y2 = 8x − 37+ 10y; (x− 7)2+ (y− 9)2 = a2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте о том, какие у нас есть графики. И задайте себе вопрос, в каком случае у таких графиков может быть ровно одна общая точка!

Подсказка 2

Да, у нас две окружности, а значит одна общая точка может быть или в том случае, когда они касаются внутренним образом, или внешним! Найдите эти случаи!

Подсказка 3

И еще небольшая подсказка: окружности касаются тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно сумме или разности их радиусов!

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение:

2 2 2 2 x + y − 8x +37− 10y = (x− 4) +(y− 5)− 4= 0

2 2 (x− 4)+ (y− 5) = 4

При $a= 0$ второе уравнение имеет решение $x =7,y = 9$ , которое не подходит под первое уравнение системы. Заметим, что при $a> 0$ перед нами две окружности: с центром $(4;5)$ радиусом $2$ и с центром в $(7;9)$ радиусом $|a|.$

$PIC$

Условие, что $2$ окружности касаются, равносильно тому, что расстояние между центрами равно разности или сумме радиусов. Тогда либо $√ ------ 32 +42 = |a|− 2$ (внутреннее касание), либо $√------ 32+ 42 =2 +|a|$ (внешнее касание).

Итак, $|a|=3$ или $|a|= 7$ .

Ответ:

${−7;−3;3;7}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#31979Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

1 ||1 || 2ax+||x +2||= 2a

имеет хотя бы один корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте оставим модуль слева, а все остальное перенесем в правую часть уравнения и рассмотрим графики отдельно каждой части. Постройте их и посмотрите, когда у них есть хотя бы одна общая точка

Подсказка 2

Да, у нас есть гипербола с отражением и пучок прямых. Подумайте о том, будут ли прямые пересекать гиперболу при положительных, отрицательных а и при а равном 0!

Показать ответ и решение

Рассмотрим два графика $y = ||2+ 1|| x$ — гипербола с отражением, а также $y = − ax+ 2a 2$ — пучок, проходящий через точку $(4,0)$ .

$PIC$

Заметим, что при $a <0$ прямые будут пересекать асимптоту $y = 2$ гиперболы, потому пересекут и саму гиперболу. Если же $a≥ 0$ , то общая точка у прямых будет с отражённой частью гиперболы. То есть решение существует при любом $a.$

Ответ:

$a ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#31980Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

{ (y+ 8− x2)(2x+ |y|)= 0; 2 2ax − y =8+ a .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начинаем с того, что строим графики каждого из уравнений. Помните о том, что произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0!

Подсказка 2

Посмотрите на то, при каких х парабола пересекается с прямой. Сделайте выводы о том, при каких а этот случай дает нам решение!

Подсказка 3

Да, прямая всегда касается параболы (всегда одно решение у системы для пересечения прямой и параболы) и нам нужна ещё одна общая точка с “уголком”. Найдите случаи, когда она есть и уничтожьте задачу!)

Подсказка 4

Не забудьте рассмотреть случаи, когда прямая параллельна одной из сторон уголка!

Показать ответ и решение

Первое уравнение даёт объединение параболы $y = x2− 8$ и “уголка” $|y|=− 2x$ , второе при каждом фиксированном значении $a$ задаёт прямую $2 y = 2ax − 8− a$ . Пересечём этот график с параболой $2 2 x − 8= 2ax − 8− a ⇐⇒ x = a$ . Получается, что прямая всегда касается параболы (всегда одно решение у системы для пересечения прямой и параболы) и нам нужна ещё одна общая точка с “уголком”. Возможны два случая:

Касание происходит в общей точке параболы и “уголка”, эти точки определяются условиями $2 x − 8= −2x ≥0 =⇒ x= a= −4$ и $2 x − 8 =2x ≤0=⇒ x= a= −2$ .
Прямая проходит между такими положениями, которым соответствует модуль угла наклона, равный $2$ :

$PIC$

В самих положениях $2a =±2$ прямая параллельна сторонам “уголка”.
Между этими положениями общая точка будет ровно одна.
При $a< −1$ — две (кроме рассмотренных случаев $a= −2$ и $a= −4$ ).
При $a≥ 1$ — ни одной.

Ответ:

${−4;−2}∪ [−1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#31986Максимум баллов за задание: 7

Найдите, при каких значениях параметра $a$ для любого действительного $b$ найдется такое число $c$ , что система

{ bx− y = ac2; (b− 6)x+ 2by =c+ 1

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Параметры это фиксированные числа, а решениями системы являются пары $(x,y)$ . Оба уравнения системы на плоскости $xOy$ задают прямые (при $b= 0$ первое уравнение даёт горизонтальную прямую $2 y = ac$ , а второе — вертикальную $c+1 x= −6$ ; при $b= 6$ второе уравнение даст горизонтальную прямую; при других значениях это две наклонные). Прямые могут пересекаться, совпадать или быть параллельны (в последнем случае у системы решений не будет). Заметим, что параметр $b$ входит только в коэффициенты перед $x$ и $y$ , то есть регулирует угол наклона. Параметры же $a$ и $c$ отвечают за параллельный перенос (сдвиг) прямых.

Если число $b$ такое, что прямые пересекаются, то решение гарантированно будет. По условию же нужно, чтобы решение существовало при любых $b$ . Рассмотрим такие $b$ , при которых прямые параллельны или совпадают, то есть их угловые коэффициенты равны:

6− b b= -2b-

b=− 2,b= 3 2

Нужно подобрать такие значения $a$ , чтобы в том числе при таких $b$ прямые пересекались. А при найденных двух значениях $b$ они могут только совпадать. Проверим, когда это происходит:

В первом случае

{ −2x− y = ac2 2 1- −8x− 4y = c+1 =⇒ ∃c: 4ac − c− 1= 0⇐⇒ a= 0 или 1+ 16a≥ 0⇐⇒ a ≥− 16

Во втором

{ 3∕2⋅x− y =ac2 1 −9∕2⋅x+ 3y = c+1 =⇒ ∃c: 3ac2 +c+ 1= 0⇐ ⇒ a= 0 или 1− 12a≥ 0⇐⇒ a ≤12

Ответ:

$[−1∕16,1∕12]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#32513Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 x − 2asin(cosx)+a = 0

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Переменная есть только в квадрате и в функции косинуса. Какое свойство функции сразу можем заметить?

Подсказка 2

Подумайте, в какой ситуации может быть нечетное количество корней и какое число тогда точно должно быть корнем?

Подсказка 3

Теперь можем найти, при каких значениях параметра оно является корнем! Но не забывайте, что при этих значениях параметра могут быть и другие решения, так что необходима дополнительная проверка.

Подсказка 4

Для проверки значения параметра с синусом стоит оценить значения косинуса числом и сравнить величины sin(1) и sin(cos(x)) между собой.

Показать ответ и решение

Заметим, что

2 2 2 2 x − 2a sin(cosx)+a = (−x) − 2asin(cos(−x))+ a .

Значит, если $x$ — корень, то $− x$ — тоже корень. По условию корень один, значит, $x= −x =0$ обязательно должно быть решением. Тогда $− 2asin(1)+a2 = 0$ . Так что либо $a =0$ , либо $a= 2sin1$ .

Теперь решений точно будет нечётное число. Но надо отдельно проверить, при каких значениях параметра решение единственно.

Если $a= 0$ , то уравнение $x2 = 0$ имеет один корень.

Если $a= 2sin1$ , то в силу $cosx ∈[−1,1]$ замечаем, что $sin(cosx)≤sin 1$ . Тогда при подстановке в уравнение $2 2 2 0 =x − 2⋅2sin1⋅sin(cosx)+ (2sin1)≥ 0− 2⋅2sin1⋅sin1 +(2sin1) = 0$ . Значит, в неравенстве должно достигаться равенство. Поэтому если корень есть, то это только $x =0$ . А корень $x= 0$ подходит в уравнение.

Ответ:

${0;2sin1}$

Следующая подтема