Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#32514Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b$ , при которых система уравнений

{ (x2 +1)b= y+ cos2x; 2|sinx|+ |y|=2

имеет единственное решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Переменная х есть только в квадрате, в функции косинуса и под модулем. Какое свойство системы сразу можем заметить?

Подсказка 2

Подумайте, в какой ситуации может быть нечетное количество пар решений и какое число тогда точно должно быть на месте х в паре?

Подсказка 3

Теперь можем найти, при каких значениях параметра оно является решением вместе с некоторым значением y! Но не забывайте, что при этих значениях параметра могут быть и другие решения, так что необходима дополнительная проверка.

Подсказка 4

Для проверки одного из значений стоит использовать периодичность тригонометрических функций. А второе можно победить с помощью различных оценок триг. величин и остальных переменных из уравнений!

Показать ответ и решение

Заметим, что если $(x,y)$ решение, то и $(−x,y)$ решение. Значит, $x= 0$ и если $(x= 0, y = y ) 0$ — решение, то

b= y0+1

1 +|y0|= 2

Из второго уравнения $y0 =±1$ , откуда $b= 0$ или $b =2$ .

Теперь решений точно будет нечётное число. Но надо отдельно проверить, при каких значениях параметра решение единственно.

Если $b= 2$ , то $2(x2+ 1) =y+ cos2x$ . Левая часть хотя бы $2$ , а $cos2x≤ 1$ . Значит, $y ≥ 1$ . С другой стороны, $2|sinx|+ |y|= 2$ , следовательно, $|y|≤ 1$ . Отсюда $y = 1$ и $2≤ 2(x2+ 1)=y +cos2x ≤2$ , поэтому единственное решение $x= 0$ , $y = 1$ .

Если $b= 0$ , то

{ 0 =y+ cos2x; 2|sinx|+ |y|= 2

И если $(x,y)$ — решение, то $(x+ 2π,y)$ — тоже решение. Так что решений уже больше, чем одно.

Ответ:

$2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#32515Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ система

{ x4− (a − 1) √a-+3-y+ a4 +2a3− 9a2− 2a+ 8= 0; y = √a-+3⋅x2

имеет ровно три различных решения?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на переменную х и на степени, в которых она входит в уравнения. Какое свойство системы сразу можем заметить?

Подсказка 2

Подумайте, в какой ситуации может быть нечетное количество пар решений и какое число тогда точно должно быть на месте х в одной из пар?

Подсказка 3

Теперь можем найти, при каких значениях параметра оно является решением вместе с некоторым значением y! Но не забывайте, что при этих значениях параметра количество решений в целом может быть разным, так что необходима дополнительная проверка.

Показать ответ и решение

Если $(x,y)$ решение, то и $(−x,y)$ тоже решение. Всего решений должно быть нечетное число, откуда в одном из них $x= 0$ . Так как $√ ---- 2 y = a+3 ⋅x$ , то в этом решении $y = 0$ . Значит,

4 3 2 a + 2a − 9a − 2a+8 =0.

Разложим на множители:

a4+2a3− 9a2 − 2a+ 8= (a − 1)(a3+ 3a2− 6a− 8)=

= (a− 1)(a +1)(a2+ 2a− 8) =

= (a − 1)(a+ 1)(a+ 4)(a− 2)=0 ⇐⇒ a∈ {−4;±1;2}

Теперь решений точно будет нечётное число. Но надо отдельно проверить, при каких значениях параметра решений ровно три.

Раз мы знаем, что $a4+2a3− 9a2− 2a+ 8= 0$ , то нам нужно решить систему:

{ √---- x4−√(a-− 1) a+ 3y = 0; y = a +3x2

Отсюда $a≥ −3$ и $x4− (a− 1)(a+ 3)x2 =0$ . Значение $a =− 4$ не подходит, потому что $√---- a+ 3$ будет не определён.

Если $a= −1$ , то $x4+ 4x2 =0$ и решение только одно: $x= y = 0$ .

Если $a= 1$ , то решение только одно: $x = y = 0$ .

Если $a= 2$ , то $x4− 5x2 = 0$ и решения $x= y = 0$ и $√- x= ± 5$ и $√- y =5 5$ .

Ответ:

$2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#32516Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ и $b$ каждое решение уравнения $(x+y)2 = a x−y$ удовлетворяет уравнению $x= b y$ ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь хочется подумать об ОДЗ, так как в обоих уравнениях есть знаменатели. Подойдёт ли нам пара (x, y), являющаяся решением первого уравнения, которая не входит в ОДЗ второго уравнения?

Подсказка 2

Нет, не подойдёт, потому что тогда не все решения первого уравнения являются решениями второго. Тогда рассмотрим отдельно случай y = 0, который не входит в ОДЗ второго уравнения, чтобы найти заведомо не подходящие значения a.

Подсказка 3

Теперь попробуем понять, что вообще нужно. Пусть у первого уравнения есть решения. Много ли вообще их может быть? Можно заметить, что и в числителе, и в знаменателе во все слагаемые переменные входят в первой степени, это напоминает однородные уравнения. С помощью этого замечания понимаем, что если (x, y) - решение, то (xt, yt) - тоже решение при ненулевом t. Тогда взяв t = 1/y, получим решение (x/y, 1). Что тогда можно заметить?

Подсказка 4

Что если относительно x/y у первого уравнения есть решение, то оно должно быть единственное, которое как раз и будет равняться b. В противном случае хотя бы одно из решений относительно x/y не будет равняться b. Тогда рассмотрим случай a ≥ 0 и поймём, когда уравнение имеет одно решение.

Подсказка 5

Осталось рассмотреть случай a < 0. Но при отрицательных значениях а первое уравнение из условия не имеет решений. Подходит ли этот случай, то есть содержатся ли элементы пустого множества решений в множестве решений второго уравнения? Осталось объединить все случаи и записать ответ!

Показать ответ и решение

Если $a <0$ , то решений у первого уравнения нет, поэтому каждое решение удовлетворяет второму уравнению при любом $b$ (про элементы пустого множества можно утверждать всё, что угодно, ведь их нет. Это пример того, что импликация из неверной предпосылки всегда истинна).

Если $a= 1,$ то у первого уравнения есть решение $x= 1,y =0$ , которое не удовлетворяет второму уравнению из-за того, что знаменатель обращается в ноль. Это значение параметра не подходит.

Теперь рассмотрим $a⁄= 1$ . Тогда $x +y ⁄=x − y ⇐⇒ y ⁄= 0$ . Ещё $x+ y ⁄= −(x − y) ⇐⇒ x⁄= 0$ . С учётом $y ⁄=0$ :

x +y 2y 2 x-− y =1 +x-− y = 1+ x−-1 y

Если $a= 0$ , то первое уравнение равносильно $y = −x⁄= 0,$ так что любое его решение удовлетворяет $xy = b$ при $b=− 1$ и только при нём.

Если $a> 0,a ⁄=1$ , то первое уравнение равносильно

1+ --2--=± √a ⇐⇒ x =1 + -√2---- xy − 1 y ± a− 1

Таким образом, при рассматриваемых значениях $a$ мы уже не сможем подобрать такое $b = xy$ , чтобы ему удовлетворяли все решения, ведь при каждом $a∈(0;+∞ )∖{1}$ получаются два различных значения для $b.$

Ответ:

$(a< 0,b ∈ℝ) или (a =0,b= −1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#32518Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнения

2 sin3x= asinx +(4− 2|a|)sin x

sin3x+ cos2x= 1+ 2sinxcos2x

равносильны?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие на равносильность подразумевает, что если число является корнем одного, то оно является корнем другого. В первом уравнении есть параметр, а во втором его нет, поэтому имеет смысл начать решение именно с него. sin(3x), как и cos(2x), можно выразить через sin(x), попробуем сделать это и дорешать полученное второе уравнение.

Подсказка 2

Итак, получили sin(x) = 0 или sin(x) = 1/2. С учётом условия, можем подставить эти корни в первое уравнение, чтобы найти необходимое условие на параметр a, то есть найдём все a, которые могли бы подойти, другие точно не подойдут.

Подсказка 3

Подставив sin(x) = 1/2 получим условие |a| = a, то есть a ≥ 0. Значит, отрицательные a не подходят. Тогда можем раскрыть модуль и работать с полученным уравнением. Выразив sin(3x) через sin(x), останется многочлен от sin(x) третьей степени, однако два корня уже знаем: это 0 и 1/2. Тогда найдём третий корень.

Подсказка 4

Получаем третье условие: sin(x) = (a - 3)/2. Вспоминаем, что нам вообще нужно: корни второго подходят под первое уравнение, значит, осталось проверить только то, что корни первого подходят под второе. А значит, нужно найти такие a, при которых третье условие на синус либо совпадает с условиями из второго уравнения, либо даёт пустое множество иксов (а это равносильно тому, что (a - 3)/2 не попадает в область значений синуса).

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение

3 2 3 2 1 3sinx − 4sin x +1− 2sin x =1+ 2sinx − 4sin x ⇐⇒ sinx = 2sin x⇐⇒ sinx= 0,sin x= 2

Заметим, что с учётом $3 sin3x =3sinx− 4sin x$ первое уравнение является условием на многочлен от $sinx$ вида

4sin3x+ (4− 2|a|)sin2x+ (a − 3)sinx =0

Одним корнем будет $sinx= 0$ , а другим, лежащим на промежутке $[−1,1]$ должен быть $1 sinx= 2$ , то есть

1 1 a− 3 2 +(4− 2|a|)⋅4 + -2--= 0⇐⇒ 1+ 2− |a|+ a− 3 =0 ⇐⇒ a≥ 0

То есть мы можем вынести $( ) sinx sinx − 12$ и получить

( 1) sinx sin x− 2 (4sinx − 2a+ 6)=0

Последним решением будет $sinx = a−23$ , возможны два случая

Этот корень лежит на отрезке $[−1,1]$ , тогда он должен совпадать с $0$ или $12$ , откуда $a= 3$ или $a =4$ .
Корень лежит вне отрезка, то есть $a−23> 1⇐ ⇒ a> 5$ или $a−32-< −1⇐⇒ a < 1$ .

Ответ:

$[0;1)∪{3;4}∪(5;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#32533Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ (x2+ 1)a+(b2+ 1)y = 2; a+bxy+ x2y = 1

имеет решение для любого значения параметра $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала разберёмся с условием. Что значит, что при любом b система имеет решения? То есть при фиксированном a мы всегда можем подобрать такие x и y, что система верна. Сразу что-то выразить не получается. Тогда можно попробовать подставить "хорошее" значение b, чтобы найти необходимое условие на a. Другие значения a не подойдут, так как тогда при выбранном значении b система не будет иметь решения. Какое же значение хочется взять?

Подсказка 2

Попробуем взять b = 0, так как в этом случае в первом уравнении ничего не зависит от y. Первое уравнение превращается в (x² + 1)^a = 1, когда такое возможно? В двух случаях: когда единицу возводим в произвольную степень или когда положительное число возводим в нулевую степень. Это условие задаёт совокупность: x = 0 или a = 0, и теперь эти значения можно подставить во второе уравнение.

Подсказка 3

Получили необходимое условие на a: a = 0 или a = 1. Осталось их проверить, то есть подставить в исходную систему и найти решения для любого b. Для проверки мы можем либо указать решение (x,y) при любом b, чтобы доказать, что этот случай подходит, либо подобрать значение b, при котором решений нет, тем самым доказывая, что случай не подходит.

Показать ответ и решение

В частности, система должна иметь решение для $b=0$ , то есть

⌊ { x= 0 { (x2+ 1)a = 1 || a= 1 2 ⇐ ⇒ || { a+ x y = 1 ⌈ a=2 0 x y = 1

При $a= 0$ мы получим систему

{ (b2 +1)y = 1 bxy+x2y = 1

При $b⁄= 0$ обязательно $y = 0$ , откуда невозможно равенство во втором уравнении. Если же $a= 1$ , то

{ { x2+ 1+(b2+1)y = 2 x2+ (b2+ 1)y =1 1+ bxy +x2y = 1 ⇐ ⇒ bxy+x2y =0

В этой системе для произвольного $b$ решением всегда будет пара $(0,0)$ .

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#32705Максимум баллов за задание: 7

Найдите все $a$ , при которых система

{ x− by +az2 = 0; 2bx +(b− 6)y− 8z =8

имеет решение относительно $(x,y,z)$ для любого $b$ .

Показать ответ и решение

Выразим $x$ из первого уравнения и подставим во второе:

( 2) ( 2 ) 2 2b by− az + (b− 6)y− 8z = 8⇐ ⇒ 2b + b− 6y =2abz +8z+ 8 (3)

Если мы найдем такие $a$ , что уравнение (3) имеет решения $(y,z)$ при любом $b$ , то, опять-таки при любом $b$ можно будет найти $x$ по формуле $x =$ $by− az2$ , т.е. система решается относительно всех переменных при любом $b$ . Обратно, если система имеет решение $(x,y,z)$ при любом $b$ , то пара $(y,z)$ при том же $b$ будет решением уравнения (3).

Значит, мы должны найти такие $a$ , что уравнение (3) имеет решения относительно $(y,z)$ при любых $b$ . Однако, при $2 3 2b + b− 6⁄= 0⇐ ⇒ b⁄= −2,b ⁄= 2$ уравнение (3) имеет решение - можно положить $z = 0$ и $--8--- y = 2b2+b−6$ . Если $b=− 2$ , то получаем уравнение (4) $2 2 − 4az+ 8z+ 8= 0⇐⇒ az − 2z− 2 =0$ , которое имеет решение при $1 D ≥ 0⇐⇒ 1+ 2a≥ 0⇐⇒ a≥− 2$ . Аналогично, при $3 b= 2$ получается уравнение

3az2 +8z+ 8= 0,

которое имеет решение при $16− 24a≥ 0⇐⇒ a ≤ 2 3$ . Мы доказали, что если $a$ удовлетворяет условию задачи, то $a∈ [− 1,2] 2 3$ . Обратно, если $a$ принадлежит этому отрезку, то при $b⁄= −2,3 2$ решение (3) уже было указано, а при $b$ , равному одному из этих чисел оба квадратных уравнения (4) и (5) имеют решения. Их и надо взять в качестве $z$ , а $y$ можно выбрать произвольно.

Ответ:

$[− 1;2] 2 3$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#33517Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

∘ ---√------- a+ a+ sinx= − sinx

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала, стоит сделать логичную замену t=sin(x). Логична она, потому что здесь есть только синус(то есть, если бы был еще и косинус, то было бы намного неприятнее заменять t=sin(x)). Ну и возвести в квадрат дважды, потому что работать с корнями вообще не понятно как.

Подсказка 2

У нас получилось уравнение 4 степени относительно t. Дааа, такое нам не решить. Но есть одна хитрость - решить его относительно а(если получится, то получим разложение на две скобки), ведь относительно а перед нами квадратное уравнение.

Подсказка 3

Получили разложение (a-t^2+t)(a-t^2-t-1)=0. Когда мы второй раз возводили в квадрат, то добавили к ОДЗ условие: t^2-a>=0. Значит, как минимум, оно точно должно выполняться. Осталось рассмотреть два случая(когда каждая из скобок равна 0) и с помощью оценок на синус, получить два подходящих значения а.

Показать ответ и решение

Так как в левой части выражение хотя бы $0$ , то $sinx ≤0$ . Значит, для неотрицательности подкоренного $a+ sinx≥ 0$ требуется $a ≥0$ .

Возведём в квадрат:

√ ------- 2 a+ sinx= sin x− a

Возведём еще раз в квадрат и заменим $sinx$ на $t$ (в конце надо будет проверить, что $t2− a≥ 0$ , чтобы не потерять условие неотрицательности правой части при возведении в квадрат). Получаем

4 2 2 t − 2at + a − a − t= 0

a2− a(1+ 2t2)+t4− t=0

Перед нами квадратное уравнение относительно $a$ . Значит, можно посчитать его дискриминант $4t4+4t2+ 1− 4t4+ 4t= (2t+ 1)2 =⇒ a= 2t2+1±2(2t+1)$ или разложить уравнение на множители как $(a− t2+ t)(a− t2− t− 1)= 0$ .

Теперь проверяем условие $t2 − a≥ 0$ :

Если $a= t2− t$ , то $t2 − a =t≥ 0$ . В силу $t= sinx ≤0$ , получаем, что подходит только $t= 0$ и $a= 0$ .

Если $a= t2+ t+ 1$ , то $t2− a= −t− 1≥ 0$ . Поскольку $− t− 1= − sinx − 1 ≤0$ , то подходит только $t= −1$ и $a= 1$ .

Ответ:

${0;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#33518Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

√---- log2(x − a)< 1− x

имеет ровно одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте перенесем все в правую часть и рассмотрим полученную функцию! Из каких функций состоит она?

Подсказка 2

Корень и логарифм - непрерывные функции, значит их разность - тоже непрерывна на области определения. Но может ли непрерывная функция быть строго положительной в ровно одной точке?

Показать ответ и решение

Пусть у неравенства существует решение $x= t$ , то есть $a< t≤ 1$ и $√1-−-t− log (t− a)> 0 2$ . Логарифм и корень — непрерывые функции, поэтому их разность $√ ---- f(x)= 1− x − log2(x− a)$ тоже непрерывна на области определения. По теореме о сохранении знака непрерывной функции существует $𝜀> 0$ (с учётом области определения функции $f(x)$ ), такое что $f(x)> 0$ при $x∈ (t− 𝜀;t+ 𝜀)$ . То есть если существует решение $x= t$ строгого неравенства $f(x)> 0$ , то оно уже не будет единственным.

Ответ:

таких значений $a$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#33521Максимум баллов за задание: 7

При каждом значении параметра $a∈ [−2;2]$ решите уравнение

|x− a− 1|+ |x − a|= sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим сразу же ограничение на правую часть, тогда что можем сказать про левую часть? Само по себе ограничение на левую часть нам ничего не даст, но что будет, если вынесем “-” в одном из модулей и пристально посмотрим на эти модули?

Подсказка 2

Верно, по неравенству треугольника получим, что сумма модулей вовсе будет равна 1! А значит мы можем получить решение как и для левой части уравнения, так и для правой части. Останется лишь применить условие про значения а и найти решение при каждом а!

Показать ответ и решение

Запишем первое подмодульное с другим знаком, от этого уравнение из условия не поменяется $|1− (x− a)|+ |x − a|= sinx$ . Заметим, что правая часть не больше единицы, поэтому и левая часть должна быть не больше единицы. Но по неравенству треугольника $|1− (x− a)|+ |x − a|≥ |1− (x− a)+ (x− a)|= 1$ . Значит, левая часть должна быть в точности равна единице, то есть $|1− (x− a)|+ |x − a|= 1 ⇐⇒ 1− (x− a)≥ 0 и x − a ≥0 ⇐⇒ a≤ x≤ a+ 1$ . Cоответственно единице должна быть равна и правая часть уравнения, то есть $π sinx= 1 ⇐⇒ x= 2 +2πk,k∈ℤ$ .

Вспомним условие, что $− 2 ≤a ≤2$ , и оценим, каким может быть $k$ .

Если $k≥ 1$ , то $π x≥ 2 + 2π > 4> a+ 1$ , что не соответствует $a≤ x≤ a+1$ .

Если $k≤ −1$ , то $π x≤ 2 − 2π <−4 <a$ , что не соответствует $a ≤x ≤a+ 1$ .

Значит, может быть только $k= 0$ , соответственно $π x =-2$ . Только такое решение может быть при $− 2 ≤a ≤2$ . И при этом всё равно оно является решением для тех значений параметра, чтобы $0 ≤x− a≤ 1$ , то есть $π π − 2 = x− 1≤ a≤ x= 2$ . Осталось проверить, что $[π2 − 1$ ; $π2]$ принадлежит отрезку $[−2;2]$ и записать ответ.

Ответ:

при $a ∈$ [ $π− 1 2$ ; $π 2$ ] $x= π 2$ ;

при $π π a∈ [−2;2 − 1)∪(2;2]$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#34205Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

-2x2 x2− 1 2 5 21+x + acos x +a =4

имеет единственный корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение очень противное, поэтому давайте здесь поищем красоту! Если х является решением, то какое еще значения будет являться решением?

Подсказка 2

Да, 1/x ! Значит останется найти решения x и при каких а эти решения будут единственными!

Подсказка 3

Отлично, получили значение а= -3/2 и а = 1/2. В первом случае, случае аргумент второго слагаемого очень интересно ведет себя в окрестности х=0, попробуйте этим воспользоваться, чтобы проанализировать количество решений!

Подсказка 4

Во втором же случае попробуйте оценить первое слагаемое снизу и выяснить в какой точке оно принимает данное значение! Отсюда оценка и на количество решений данного уравнения.

Показать ответ и решение

Подставим $1∕x$ вместо $x$ ( $x⁄= 0$ из ОДЗ)

--2x-- -2∕x--- --2x- x2− 1 1∕x2− 1 1−-x2 x2−-1 1+ x2 → 1+1∕x2 = x2+ 1, x → 1∕x = x = − x

Но поскольку $( 2 ) 2 cos − x-−x1 = cosx−x1$ , то левая часть не меняется и если $x$ — решение, то и $1∕x$ — решение.

У уравнения может быть один корень только в случае, если $x= 1∕x$ , то есть $x= ±1$ обязательно будет решением.

$x =1$ — решение. Тогда
$21+a +a2 = 5 ⇐ ⇒ a2+ a+ 3 =0 4 4$
Решений относительно $a$ нет, $x= 1$ не может быть решением.
$x =− 1$ — решение. Здесь
$2−1 +a+ a2 = 5 ⇐⇒ a2+ a− 3= 0 ⇐⇒ a= − 3 ,a = 1 4 4 2 2$
Пусть $a = 1 2$ . В этом случае
$12+xx2 1 x2−-1 2 + 2cos x = 1$
Рассмотрим $x → 0$ снизу. Тогда первое слагаемое будет близко к единице, а аргумент второго будет возрастать к бесконечности, поскольку в знаменателе почти $0$ , а в числителе почти $− 1$ . Сам косинус при этом будет непрерывно колебаться между $− 1$ и $1$ , тогда сумма будет колебаться между $1 − 12 ⋅1= 12$ и $1 + 12 ⋅1= 32$ с небольшой погрешностью, то есть будет проскакивать значение $1$ , откуда решений больше одного.
Пусть $a =− 3 2$ . Получим
$-2x-- 3 x2− 1 21+x2 −2 cos--x-- =−1$
Заметим, что $-2x2-∈[−1,1] 1+x$ , поскольку $2|x|≤1 +x2$ , откуда $212+xx2 ≥ 1 2$ , равенство достигается только при $x =− 1$ . Тогда
$-2x2 3 x2− 1 1 3 21+x − 2cos--x--≥ 2 − 2 = −1$
И равенство достигается только при $x= −1$ .

Ответ:

$− 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#34669Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых сумма

( 2 ) ( 2 ) loga cos x+ 1 +logacos x+ 5

равна $1$ хотя бы при одном значении $x$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что в силу неотрицательности квадрата аргументы обоих логарифмов не меньше единицы. Тогда при $0 <a <1$ в силу монотонного убывания логарифмической функции оба слагаемых будут не больше $loga1= 0$ , так что в сумме единица получиться не может. При $a <0$ или $a= 1$ выражение просто не определено. А вот при $a> 1$ функция $fa(t) =loga(t+1)+ loga(t+ 5)$ монотонно возрастает на рассматриваемом отрезке $[0;1]$ и в силу непрерывности принимает все промежуточные значения между $fa(0)= loga5$ и $fa(1)= loga12$ . Поэтому для наличия хотя бы одного решения относительно $t$ , а затем и относительно $x$ , необходимо и достаточно $5 ≤a≤ 12.$

Ответ:

$[5;12]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#37110Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a$ , при которых система

{ x2+y2 = 4 a(x4 +1)= y+ 2− |x|

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Если существует решение системы (пара чисел) при $x= x 0$ , то существует и решение, в котором $x= −x 0$ . Нечётное количество решений может быть только в случае, когда есть решение с $x= 0$ :

{ a2= y+2 =⇒ a= 0 или a= 4 y =4

Пусть $a= 4$ . Тогда $4(x4+ 1)+ |x|= y+ 2$ , при этом из второго уравнения $y ≤2 =⇒ y+ 2≤ 4$ , однако $x4+ 1≥ 1$ и $4(x4+1)+ |x|≥ 4$ . Равенство же достигается только на паре $(0,2)$ , которая и будет единственным решением.

Теперь $a =0$ . Рассмотрим $y = 0$ . Тогда система примет вид

{ |x|= 2 x2 =4

И подходит $x= ±2$ , то есть в данном случае решений больше одного.

Ответ:

$4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#39357Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ |x|+|x− 2|− 2y = 0; x2− 2x+ y2− 2ay =− 2a

имеет ровно три различных решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, второе уравнение с x^2 и y^2 имеет большие шансы на становление уравнением окружности! Давайте попробуем переписать его в таком виде. На этом моменте полезно понять, что за объекты (графики) у вас даны в задаче и порисовать первое и второе уравнение. Пытаемся понять, что от нас хотят в условии.

Подсказка 2!

Ага, вывели уравнение окружности. Заметим, что наше уравнение симметрично, относительно замены х-1 на 1-х! Подставим тогда х = 1...

Подсказка 3!

Получаем, что (1, 1) - всегда решение! Попробуем снова порисовать графики и понять, что на некотором отрезке это будет единственное решение. Для этого оценим у через первое уравнение. Попробуем его оттуда выразить.

Подсказка 4!

Да, попробуем доказать, что на отрезке [0,2] это единственное решение. Тогда надо найти еще 2 где-то вне отрезка! Мы уже поняли основную идею, осталость аккуратно записать условия в системы и решить!)

Показать ответ и решение

Второе уравнение можно переписать как $(x− 1)2+ (y− a)2 = 1− 2a+a2 =(a− 1)2$ , это уравнение окружности с центром в $(1,a)$ и радиусом $|a− 1|$ .

Уравнение симметрично относительно замены $x− 1$ на $1− x$ , а при подстановке $x= 1$ в систему обнаруживаем, что пара $(1;1)$ является решением системы при любых значениях параметра.

Нарисуем графики наших уравнений при разных $a$ .

$PIC$

Заметим, что $y = |x|+|2−x|≥ 1 2$ , поэтому если $a≤ 1$ , то

2 2 2 2 2 2 (a− 1) = (x− 1) + (y − a) ≥ (x− 1) +(a− 1)≥ (a− 1)

и решение у системы только $(1,1).$

Других решений, кроме $(1;1)$ на отрезке $[0,2]$ для $x$ не может быть, так как в таком случае $y = 1$ и опять $(x− 1)2+ (a− 1)2 = (a − 1)2$ .

Значит, есть по одному решению при $x> 2$ и при $x< 0$ (из симметрии). То есть система

(| x− 1= y, { (x− 1)2+ (y− a)2 = (a − 1)2, |( x >2

должна иметь одно решение.

Заметим, что при $a >1$ эта система имеет одно решение только тогда, когда окружность касается прямой. Иначе если точек пересечений больше одной, то для обеих верно, что $y > 1$ , так как $a >0$ и поэтому $x> 2$ .

Окружность касается прямой, если они пересекаются в одной точке, так что уравнение $y2+ (y − a)2 = (a − 1)2 ⇐ ⇒ 2y2− 2ay+2a− 1= 0$ имеет одно решение относительно $y$ . Дискриминант этого уравнения равен нулю при $a2− 2(2a − 1)= 0 ⇐⇒ a= 2± √2$ .

С учётом $a> 1$ остаётся $a= 2+ √2.$ Это значение $a$ подходит под предыдущие условия и при $x <0$ у системы получится тоже одно решение по симметрии.

Ответ:

$2+ √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#39788Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых корни $x,x 1 2$ уравнения $x2+ax+ 1= 0$ существуют и удовлетворяют условию

( x1)2 (x2)2 5 x2 + x1 <2

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Сначала разбираемся с простым условием о существовании двух корней! Какое условие это накладывает на а?

Подсказка 2!

2) Да-да, теперь нам осталось выразить левую часть нашего второго условия - дроби с корнями, по теореме Виета, через известные нам выражения на корни! То есть x1+x2 и x1x2

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решения существуют, если дискриминант $2 a − 4$ неотрицателен, то есть $|a|≥ 2$ .

По теореме Виета $x1+ x2 = −a$ и $x1x2 = 1$

( x )2 ( x )2 x4+ x4 1x2- + x21 = (1x1x2)22 = (x1+x2)4− 4x1x32− 6x21x22− 4x31x2 =

=(−a)4− 4x22− 6x1x2 − 4x21 = a4− 4(x1+ x2)2+ 2x1x2 = a4− 4a2 +2< 5 2

Значит, нужно решить неравенство $2a4− 8a2 − 1 <0$ . Получаем $a2 < 2+ 3√ 2$ . Значит $a∈ (−∘2-+-√3,∘2-+√3-) 2 2$ . Осталось пересечь с условием $|a|≥2$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Можно заметить, что если $(x1)2 = t x2$ , то нам было дано условие $t+ 1< 5 t 2$ . Оно выполняется при $t∈ (1,2) 2$ . Тогда $∘ x1----- 4√- x1 = x2(x1x2)= ± t$ ( $x1x2 = 1$ ).

Отсюда $√- a= 4t+ √14t-$ или $√- a= − 4t− 14√t$ . Заметим, что в первом случае $√- f(t)= t+ 1√t$ возрастает при $t> 1$ , убывает при $t∈ (0,1]$ и непрерывная. $∘ ------ f(12)= f(2)= 2+ 3√2$ и $f(1)= 2$ . Значит, при $t∈ (12,2)$ в первом случае $a∈ [2,214 +2− 14)$ . Аналогично во втором случае $a∈ (−(214 + 2− 14),− 2]$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Числа $∘---√3- 2+ 2$ и $14 − 14 2 +2$ равны, потому что

3 1 − 1 1 − 1 2+ √2-=22 +2 2 +2 ⋅24 ⋅2 4,

так как $1 1 √32 = √12-+ 2√2 = 22 + 2−2,$ а $1 1 2 =2 ⋅24 ⋅2− 4.$

Ответ:

$(− 4√2-− 1√-;−2]∪ [2; 4√2 + 1√-) 42 42$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#40728Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ (5− 2√6)x +(5+ 2√6 )x− 5a= y− |y|− 8, x2− (a− 4)y = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что $(5− 2√6)(5+ 2√6)= 1$ , поэтому если $(x, y)$ решение, то $(−x, y)$ тоже решение. Единственность решения может быть только в случае $x= 0$ .

{ 2− 5a =y − |y|− 8, (a − 4)y = 0

Значит, либо $y = 0$ и $2− 5a= −8$ , то есть $a= 2$ , либо $a= 4$ и $y− |y|+10= 0$ и $y = −5$ .

Если $a= 4$ , то $x= 0$ и у первого уравнения один корень, так как если $y ≥0$ , то $− 18= −8$ ?!, а если $y <0$ , то $− 18 =2y− 8$ и $y =− 5$ . Значит, в этом случае ровно один корень.

Если $a= 2$ , то либо $x= 0$ и $y = 0$ , либо $x > 0$ и $y <0$ , так как $x2 +2y = 0$ . Значит,

√ -x √ -x (5− 2 6) +(5+ 2 6) =2y+ 2

Заметим, что правая часть меньше $2$ , а правая хотя бы $2$ , так как $a+ 1≥ 2 a$ . Значит, при $a= 2$ тоже один корень.

Ответ:

${2;4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#41244Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 1 2 2x + 2x − x − a − 1= 0

имеет единственный корень.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

а входит только в первой степени, поэтому удобно будет перенести а направо и нарисовать получившееся уравнение в плоскости хОа!

Подсказка 2

Изобразим график функции а(x) = 2x³ + x²/2 - x - 1. Как можно изобразить график кубической функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Определим промежутки возрастания и убывания функции, посчитаем значение функции в точках перегиба. Осталось лишь "двигать" горизонтальную прямую, соответствующую разным значениям а, и искать ровно одно пересечение!

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=2x3+ x2− x− 1 2$ и построим её эскиз. Для этого возьмём производную: $f′(x)=6x2+ x− 1= 0 ⇐⇒ (3x− 1)(2x+ 1)=0.$ По знакам производной определяем промежутки возрастания и убывания функции:

$PIC$

Найдём $a∗ = f(13)= 227 + 118 − 43 = − 6554$ и $a∗ = f(− 12)= − 14 + 18 + 12 − 1=− 58.$ При $a< a∗$ и $a >a∗$ прямая $y = a$ пересекает график $y =f(x)$ ровно в одной точке, при других значениях параметра $a$ точек пересечения больше одной.

Ответ:

$(−∞;− 65)∪(− 5;+∞ ) 54 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#41245Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2x x cosx +2 cos 3 +3cos3 =a

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что слева у нас непрерывная функция, справа a. Чтобы существовало решение, нам нужно, чтобы a принадлежало множеству значений функции слева. Как это удобно учесть?

Подсказка 2

Чтобы a принадлежало множеству значений непрерывной функции, достаточно принадлежности a отрезку между максимумом и минимумом функции! По формуле тройного угла можно связать cos(x) и cos(x/3), а вместе с ними и cos(2x/3). Так как же найти максимум и минимум функции?

Подсказка 3

С помощью производной! Заменим cos(x/3) на t, осталось лишь найти точки экстремума f(t) = 4t³-3t +3/2 (2t²-1) + 3t

Показать ответ и решение

Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда $a$ принадлежит множеству значений функции в левой части уравнения. Но отметим, что это непрерывная функция, поэтому принимает все значения между своими максимумом и минимумом. Остаётся найти их.

После замены $x cos3 = t∈[−1,1]$ получаем задачу исследования

3 3 2 3 2 3 f(t)= 4t− 3t+ 2(2t − 1)+ 3t=4t + 3t − 2

на отрезке $[− 1;1]$ .

Возьмём производную по $t$ :

f′(t)= 12t2+ 6t=0 ⇐ ⇒ t∈ {0;− 12}

Остаётся подставить $t=− 1,t= − 12,t= 0,t= 1$ (максимум и минимум могут достигаться только в этих точках) и получить

fmin = f(− 1)=− 5,fmax =f(1)= 11 2 2

Ответ:

$[− 5;11] 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#41246Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система неравенств

( 3a+ 2x≥ x2, |{ √- |( a ≤2 x, 2a+ x≤ 5

имеет хотя бы одно решение, и укажите решения системы для каждого такого значения $a.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала заметим, что в каждом неравенстве можно оставить параметр в одной стороне, а всё остальное перенести в другую сторону. Почему это хорошо?.. А потому что теперь мы можем удобно изобразить задачу в плоскости xOa! Как тогда переформулировать задачу в терминах графиков?

Подсказка 2

Получается, что решения будут в области выше графика параболы, но ниже графиков прямой и корня! Эта область ограничена сверху точкой пересечения графиков прямой и корня, а снизу — вершиной параболы. Как теперь действовать?

Подсказка 3

Осталось просто найти координаты нужных точек и рассмотреть интервалы для параметра, в каждом из которых решение системы ищется одинаковым образом :)

Показать ответ и решение

Перепишем систему в более удобном для построения графиков виде:

(| x2−2x- |{ a≥ √ 3 =f(x) ||( a≤ 25−xx= g(x) a≤ 2 = h(x)

То есть нас удовлетворяет область выше графика $f(x)$ и ниже графиков $h(x)$ и $g(x)$ :

$PIC$

Легко видеть, что тогда решения будут при $a∈ [YA,YB]$ (ординаты точек, отмеченных на чертеже, здесь $A$ — вершина параболы). Осталось только найти эти координаты.

1 xверш = 1 =⇒ f(xверш)= f(1)= −3 = YA

√- √ - g(x)=h(x) ⇐⇒ 4 x= 5− x ⇐⇒ x= 1 =⇒ YB = 2 1= 2

Здесь единственность решения следует из того, что одна функция возрастает, а вторая убывает.

Теперь укажем решения системы для каждого $a$ .

При $1 − 3 ≤a ≤0$ это будет отрезок между корнями уравнения $f(x) =a$ , то есть $√----- x2− 2x − 3a= 0 ⇐⇒ x= 1± 1+ 3a.$

При $0≤ a≤ a∗$ это будет отрезок между корнем уравнения $a =g(x)$ и бОльшим корнем $a= f(x)$ , где $a∗$ это ордината точки пересечения $h(x)$ и $f(x)$ .

√--------- h(x)= f(x) ⇐⇒ 2(x2− 2x)= 3(5− x) ⇐ ⇒ 2x2− x− 15= 0 ⇐ ⇒ x = 1±--1+-4⋅2⋅15-= 1±-11- 4 4

Больший корень $x =3$ . Ордината $h(3)=f(3)= 1$ .

При $0≤ a≤ 1$ искомый отрезок это $[a2;1+√1-+-3a]. 4$

При $1≤ a≤ 2$ решением является отрезок между корнем $a= g(x)= 2√x$ и $a =h(x)= 5−-x 2$ . То есть между $x = a2- 4$ и $x =5− 2a.$

Ответ:

При $− 1≤ a≤ 0 3$ решение $[1− √1-+-3a;1+ √1+-3a]$

При $0≤ a≤ 1$ решение $a2 √----- [4 ;1+ 1 +3a]$

При $1≤ a≤ 2$ решение $a2 [4 ;5− 2a]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#42937Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ все решения неравенства

2 |x − a|≤ 3− x

образуют отрезок длины $1?$

Показать ответ и решение

Графически в координатах $xOy$ правая часть — парабола с вершиной $(0,3)$ и ветвями вниз, левая — галка с вершиной на $Ox$ , поэтому чтобы решения были отрезком, концы его должны быть общими точками графиков. В силу симметрии достаточно рассматривать $a≥ 0$ , сначала рассмотрим случай, когда одна ветка пересекает параболу в двух точках

$PIC$

−x+ a≤ 3− x2 ⇐ ⇒ x2− x+ a− 3≤ 0

Корни имеют вид $t,t+ 1$ , тогда $2t+ 1= 1 =⇒ t =0$ , откуда

a− 3= t(t+ 1)=0 =⇒ a= 3

Далее пусть вершина галки внутри параболы, тогда при $a≥ 0$ точка пересечения с параболой будет иметь абсциссу, большую единицы, поскольку $3 − 12 = 2$ — выше прямой $y =x$

$PIC$

Но тогда обе точки пересечения с параболой должны иметь положительные абсциссы, чтобы выполнилось нужное нам условие на разность $1$ . Однако такое невозможно (меньшая точка всегда имеет отрицательную), поэтому вершина уголка не может быть внутри параболы. Осталось вспомнить про симмметрию и записать ответ.