Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 161#32517Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

6 6 2 sin x+ cos x+ a⋅sin2x≥ a

выполняется для всех действительных $x$ .

Источники: ДВИ - 2021, вариант 213, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала хочется избавиться от шестых степеней, причём 6 - чётное число. Можно ли как-то получить сумму 2k-ых степеней синуса и косинуса? Довольно классическим способом является возведение основного тригонометрического тождества в степень k, тогда получим нужную сумму, а также некоторое количество слагаемых, которые нужно вычесть из обеих частей полученного равенства. В данном случае возведём ОТТ в куб и выразим сумму шестых степеней.

Подсказка 2

После преобразований останется 1 - 3/4 sin²(2x). Тогда можно сделать замену t = sin(2x), получив квадратичную функцию от t, причём для определённости перепишем так, чтобы старший коэффициент был положительным. Как теперь можно переформулировать задачу? Если неравенство должно выполняться для любых иксов, то должно выполняться для всех t от -1 до 1. Тогда главный вопрос: в каком случае у параболы с ветвями вверх на всём некотором отрезке принимаются неположительные значения?

Подсказка 3

На самом деле, это верно в том и только том случае, если этот отрезок лежит между корнями (может быть, концы совпадают с корнями). А как записать условие на то, что отрезок лежит между корнями? Это значит, что на концах отрезка принимаются неположительные значения. Запишем систему из двух неравенств, и найдём подходящие значения a!

Показать ответ и решение

По формуле суммы кубов

6 6 2 2 4 2 2 4 sin x+ cos x =(sin x+ cos x)(sin x − sin xcos x+cos x)=

2 2 2 2 2 3 2 = (sin x +cosx) − 3sin xcosx =1 −4 sin 2x,

После замены $t= sin2x ∈[−1,1]$ можно переписать неравенство в виде

3 2 2 2 2 1 −4t + at≥a ⇐ ⇒ 3t− 4at+4(a − 1)≤ 0

Перед нами парабола, ветви которой направлены вверх, тогда выполнение неравенства для любого $t∈ [−1,1]$ эквивалентно тому, что корни лежат по разные стороны от этого отрезка (в том числе, быть может, на концах отрезка). А значит, тому, что неравенство выполнено в точках $±1$ :

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

{ 3− 4a +4a2− 4≤0 3+ 4a +4a2− 4≤0

( [1−√2 1+√2] { a ∈[--2√,-2--√-] ( a ∈ −1−2-2,−1+2-2

Пересекая отрезки, получаем ответ.

Ответ:

$[1− √2 −1+ √2] --2--;---2---$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 162#33369Максимум баллов за задание: 7

Пусть $M$ - фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек $(x;y)$ таких, что существует пара вещественных чисел $a,b$ , при которых выполняется система неравенств

{ (x− a)2+ (y− b)2 ≤ 2 2 2 a + b ≤min(2a +2b;2)

Найдите площадь фигуры $M$ .

Источники: Физтех-2021, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам нужно найти площадь, то в любом случае надо понять, какой будет график. Начнём "причёсывать" задачу. Как можно равносильно преобразовать условие с минимумом?

Подсказка 2

Верно, можно переписать условие на минимум в виде системы, когда каждое из них больше, чем выражение слева. В итоге, получится система из трёх уравнений. У нас есть квадраты и удвоенные произведения. Как тогда хорошо бы записать уравнения и что представляют их графики?

Подсказка 3

Ага, можно собрать полные квадраты и увидеть, что у нас получаются уравнения трёх кругов. Давайте строить их в плоскости (a; b), а x и y тогда будут выступать в роли параметров. Два круга у нас с фиксированными центрами, а один — нет. Как же теперь нам нужно переформулировать условие задачи через график?

Подсказка 4

Верно, это значит, что все три круга должны иметь по крайней мере одну общую точку. Теперь вам нужно рассмотреть предельные случаи, когда будет пересечение всех кругов. Пусть начало координат точка A и противоположная ей B на границе второго круга, а пересечение кругов C и D. Какое дополнительное построение теперь можно сделать, чтобы легко увидеть крайние случаи и понять, какое множество в итоге (x;y)?

Подсказка 5

Да, давайте отразим относительно точек пересечения A и B. Не забываем, что радиус у всех наших кругов одинаковый. Осталось только понять, как удобнее всего описать наше множество. Здесь будет полезно рассмотреть круги с центрами A и B и удвоенным радиусом, а ещё круги с нашим радиусом и центрами C, D. По итогу, множество M будет объединение секторов. Осталось только посчитать их площадь, и победа!

Показать ответ и решение

Второе неравенство равносильно системе неравенств

{ a2+b2 ≤ 2a+ 2b a2+b2 ≤ 2

Значит, исходная система равносильна следующим:

(|{ (x − a)2+ (y− b)2 ≤2, a2+b2 ≤ 2a+ 2b, |( a2+b2 ≤ 2

(|{ (a− x)2+ (b− y)2 ≤2 (a− 1)2+ (b− 1)2 ≤2 |( a2+ b2 ≤2

Множества точек, задаваемых этими неравенствами на плоскости $(a;b) (x$ и $y$ при этом выступают в роли параметров), - это круги $ω1,ω2,ω3$ радиуса $√- 2$ с центрами $P(x;y),B (1;1),A(0;0)$ соответственно. Условие задачи означает, что полученная система должна иметь решение относительно $(a;b)$ , то есть все три круга должны иметь по крайней мере одну общую точку.

$PIC$

Пусть окружности, ограничивающие $ω2$ и $ω3$ , пересекаются в точках $C$ и $D$ (тогда треугольники $ABC$ и $ABD$ - равносторонние). Пересечение кругов $ω2$ и $ω3$ есть фигура $F$ , представляющая собой совокупность двух меньших сегментов этих кругов, ограниченных хордой $CD$ . Тогда фигура $M$ состоит из всевозможных точек $(x;y)$ , находящихся на расстоянии не более $√2$ от фигуры $F$ . (Это совокупность всех кругов радиуса $√2$ , центры которых принадлежат фигуре $F$ .)

Пусть точки $P$ и $Q$ симметричны точкам $A$ и $B$ (соответственно) относительно точки $C$ ; точки $T$ и $R$ симметричны точкам $A$ и $B$ (соответственно) относительно точки $D$ .

А само множество $M$ есть объединение следующих четырёх секторов (центральный угол всех секторов меньше $∘ 180$ ):

сектор $PAT$ круга с центром в точке $A$ и радиуса $AP$
сектор $QBR$ круга с центром в точке $B$ и радиуса $BQ$
сектор $PCQ$ круга с центром в точке $C$ и радиуса $CP$
сектор $RDT$ круга с центром в точке $D$ и радиуса $DT$

Заметим, что первые два сектора пересекаются по ромбу $ACBD$ , и никаких других пересечений между секторами нет. При этом первые два сектора равны между собой, и последние два сектора также равны между собой. Таким образом, площадь фигуры $M$ равна

SM = SPAT + SQBR +SPCQ +SRDT − SACBD =

√- √- √- =2 ⋅ π(2-2)2+ 2⋅ π(-2)2-−-3⋅(√2)2 = 3 6 2

√- =6π − 3

Ответ:

$6π− √3$

Критерии оценки

Изображено множество точек (в плоскости (𝑎; 𝑏), удовлетворяющих второму неравенству системы – 2 балла; указано (или изображено, описано) множество решений первого неравенства – баллы не добавляются; верно описан способ построения фигуры 𝑀 (например, совокупность кругов заданного радиуса, центры которых лежат в некотром множестве), но сама она построена неверно – 1 балл; изображена фигура 𝑀 – 3 балла; найдена её площадь – 2 балла. Если фигура 𝑀 изображена неверно, нахождение площади не оценивается, и за задачу ставится не более 3 баллов. Если фигура 𝑀 представляет собой пересечение двух кругов с центрами 𝐴 и 𝐵 радиусов 2𝐴𝐵, за задачу ставится 3 балла (при этом не играет роли, найдена ли площадь)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 163#48861Максимум баллов за задание: 7

При каких $a$ уравнение $arcsin(cosx)=cos(arcsin(x− a))$ имеет единственное решение?

Источники: Росатом - 2021, 11.5, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Внимательно посмотрим на левую часть. С аркфункциями работать не хочется, поэтому нужно от них избавиться. Нам намного удобнее работать с выражением arccos(cos(x)). Попробуйте привести всё к нему в левой части.

Подсказка 2

Отлично! Левая часть равна π/2 - arccos(cos(x)). Теперь взглянем на правую часть. Тут также хочется избавиться от тригонометрических функций. Обозначьте arcsin(x - a) как за угол α и воспользуйтесь тем, что sin(α) = x - a.

Подсказка 3

Так, теперь мы получили, что левая часть равна √(1 - (x-a)^2). Попробуем изобразить графики полученных функций.(Заметьте, что левую часть можно рассматривать только на отрезке [-π;π], ведь у неё период 2π).

Подсказка 4

Нам нужно только одно решение. То есть можно смотреть только на a от -π до π, а потом записать ответ с периодом 2π. Теперь всего лишь осталось посмотреть, как наша полуокружность движется в зависимости от a, и найти точки, где одно пересечение.

Показать ответ и решение

Изобразим график $y = arcsincosx$ на $[−π,π]$ . Сама функция имеет период $2π$ , поэтому на остальной прямой график будет повторяться

$PIC$

Теперь посмотрим на график правой части $∘ --------2 y = cosarcsin(x− a)= 1− (x− a)$ , который будет полуокружностью

$PIC$

Например, графики будут расположены так при $a0 =− π$

$PIC$

С ростом параметра $a$ оранжевый график перемещается вправо. Достаточно рассмотреть значения $a ∈[−π,π]$ , поскольку оранжевый график может пересекать не более одного “уголка” синего графика (помним про периодичность). Остаётся найти те значения параметра, при которых изменяется количество общих точек на $[−π,π]$ .

Первое такое значение будет в момент первого пересечения при движении оранжевого графика вправо

$PIC$

Заметим, что правая точка оранжевого графика соответствует $x= a+ 1$ , откуда

a+ 1= − π ⇐⇒ a1 =− π − 1 2 2

При дальнейшем движении решение будет только одно вплоть до положения

$PIC$

когда решений становится два. Левая точка оранжевого графика соответствует $x= a− 1$ , откуда

π π a− 1= −2 ⇐⇒ a2 =− 2 +1

Дальше решения будет два вплоть до положения, когда произойдёт касание

$PIC$

Поскольку касательная имеет коэффициент наклона $− 1$ , то на полуокружности это точка $1 1 (a− √2,√2)$ (учитывая смещение на $a$ из центра координат). При этом точка касания лежит на прямой $π y =x + 2$ (левая часть уголка), откуда

1 1 π π √- √2-= a− √2 + 2 ⇐ ⇒ a3 =− 2 + 2

Далее решений не будет вплоть до касания с противоположной стороны уголка в симметричной точке $a4 =− a3 = π2 − √2$ , где решение будет одно. Далее вплоть до $a5 = −a2 = π2 − 1$ решений два. Потом от неё до $a6 = π2 + 1$ решение единственное, а после до $a7 = π$ решений нет.

В итоге для единственности подойдут

a ∈[a1,a2)∪(a5,a6]∪{a3,a4}

Остаётся учесть период и написать ответ.

Ответ:

$[− π− 1+ 2πk,− π + 1+2πk)∪ (π − 1+2πk,π+ 1+ 2πk]∪{− π+ √2+ 2πk,π − √2-+ 2πk} , k∈ ℤ 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 164#77781Максимум баллов за задание: 7

Числа $a,b,c$ таковы, что каждое из двух уравнений $x2+ bx+a =0$ и $x2+ cx+ a= 1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше $− 1.$ Найдите наименьшее значение $a.$

Источники: Ломоносов - 2021, 11.3 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если сначала не очень понятно, что вообще делать, то давайте вспомним теорему, которая связывает корни многочлена и его коэффициенты!

Подсказка 2

Верно, это теорема Виета! Чему равно произведение корней у первого и второго уравнения и как дальше искать нужные нам a?

Подсказка 3

Да, у первого уравнения произведение корней равно а, у второго — a-1. Теперь вспоминаем, что корни отрицательные и различные у каждого уравнения и при этом a и a-1 — разной чётности. Тогда какое число хочется найти первым делом?

Подсказка 4

Верно, а и a-1 должны быть положительными и при этом, так как корни различны, то a и a-1 не являются квадратами и простыми числами. А какое минимальное натуральное число является нечётным и при этом произведением двух других чисел, отличных от 1 и -1?

Подсказка 5

Да, это число 15.

Показать ответ и решение

По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно $a$ , произведение корней второго уравнения равно $a− 1$ . Ввиду того, что корни целые и меньше $− 1$ , их произведение больше $1$ , поэтому каждое из двух последовательных чисел $a − 1$ и $a$ является произведением двух различных целых чисел, больших $1$ (откуда $a> 1$ ).

Заметим, что $a$ и $a− 1$ не могут быть простыми числами, иначе один из корней — $1$ . Они так же не могут быть квадратами простых чисел, так как иначе либо корни совпадают и равны $√- a$ , либо один из них равен $1.$

Выпишем первые 15 натуральных чисел и вычеркнем все простые и квадраты простых. Останутся $6,8,10,12,14,15.$ Из них мы можем взять в качестве $a$ только число 15, так как в оставшихся случаях $a− 1$ будет вычеркнуто. Тогда

x2+bx+ a= (x+ 3)(x+ 5)= x2+ 8x+ 15

2 2 x + cx+ a− 1=(x+ 2)(x+ 7)= x +9x+ 14

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 165#77783Максимум баллов за задание: 7

Укажите, при каких значениях параметра $a$ уравнение имеет решение:

2(4x−x2−4) √ - ( 4x−x2−3) 2cos 2 = 5a − 3sin 2

Источники: САММАТ - 2021, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В глаза бросается выражение, которое следует заменить переменной t. Тогда сразу становится понятно, какие тригонометрические формулы использовать при преобразовании для упрощения уравнения.

Подсказка 2

Заменим t:=2^(4x-x^2-3) , после чего применим формулу понижения степени. Теперь имеем равенство, слева от которого сумма синуса и косинуса с коэффициентами, а справа - число. Как можно решать такие уравнения?)

Подсказка 3

При помощи дополнительного угла! Поделим обе части на 2 и сделаем замену - что получится?

Подсказка 4

cos(pi/3 - t) = (5a-1)/2. При каких a оно имеет решения? Вспоминаем про ОДЗ!

Подсказка 5

Нужный косинус находится в полуинтервале (1/2;1]! Теперь-то мы можем оценить a)

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 24x−x2−3,t> 0,$ уравнение примет вид:

2 t √ - 2cos2 = 5a − 3sint,

откуда следует:

√- √- 1+ cost= 5a− 3sint⇒ cost+ 3sint= 5a− 1,

1 √3 5a− 1 π π 5a− 1 2cost+ 2-sint =--2-- ⇒ cos3 cost+ sin3 sint= --2--,

( ) cos π − t = 5a−-1. 3 2

Данное уравнение может иметь решение при $− 1 ≤ 5a−21-≤1,$ но не все значения параметра $a$ , удовлетворяющие этому ограничению, подходят, поскольку

0< t= 24x−x2−3 = 21−(x−2)2 ≤ 2

и, следовательно, $π π π − 3 <t− 3 ≤2 −-3.$

Заметим, что $π 1< 3 <2,$ следовательно $π π 0 <2− 3 < 1< 3.$ Выделяя $( π π] − 3;2 −3$ на тригонометрическом круге (см. рисунок), видим, что при $( ) 12 < cos t− π3 ≤ 1,t∈ (0;2].$

Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если

12 < 5a−2-1≤ 1⇒ 25 < a≤ 35.

$PIC$

Ответ:

$(2;3] 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 166#90866Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

|x|− arcsin x+ b⋅(arccosx+|x|− 1)+ a= 0

при любом значении $b$ имеет хотя бы одно решение.

Источники: ПВГ - 2021, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы имеем не очень приятное выражение одновременно с x, arccos(x) и arcsin(x). Попробуйте немного улучшить вид нашего уравнения: выразить arcsin(x) через arccos(x), оставить всё, что связано с переменной x в левой части, а всё остальное перекинуть в правую.

Подсказка 2

Ясно, что обычными алгебраическими преобразованиями задачу не решить. А также мы имеем сильное ограничение на x в силу ОДЗ. Попробуйте оценить левую часть и понять, какие значения может принимать правая при любых b.

Подсказка 3

Итак, мы получили, что левая часть меньше π, а правая почти всегда может быть сколь угодно большим числом за счёт параметра b. Тогда нам нужно сделать так, чтобы b никак не мог менять правую часть. В каком же случае это выполняется?

Подсказка 4

Да, верно! Когда числитель правой части равен 0. Осталось лишь показать, что в этом случае всегда найдется корень.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $|x|≤ 1$

Мы знаем, что $( π π) arcsinx∈ − 2,2$ , $arccosx∈ (0,π)$ и $π arccosx+ arcsin x= 2$ . Значит,

π |x|+arccosx− 2 +b⋅(arccosx +|x|− 1)+ a= 0

π − 1 − a arccosx +|x|− 1= 2-b+-1-

Заметим, что если $π2 − 1− a⁄= 0$ , то правая часть может быт сколь угодно большим числом (так как $b$ любое), а левая часть $arccosx+ |x|− 1< π+ 1− 1=π$ ?!

Значит, если при любом значении $b$ есть хотя бы одно решение, то $a = π2 − 1$ . Тогда есть решение $x= 1$ для любого $b$ .

Ответ:

$π − 1 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 167#92350Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

(∘ -------2- ∘--------2)(∘----2 ∘ -------2)(∘ ---2- ∘ -------2) 3+2x − x − 3 − 2x− x a − x − 3− 2x− x a− x − 3+ 2x − x = 0

имеет ровно одно решение.

Источники: ДВИ - 2021, вариант 214, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

В уравнении встречаются три разных корня, два из них без параметра, значит, их графики сразу можно начертить. А вот третий график будет изменяться при разных значениях а. Чтобы понять, какие значения параметра а подходят, не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 3− 2x− x2 ≥ 0 |||{ | 3+2x− x2 ≥ 0 |||( a− x2 ≥0

(|| (x +1)2 ≤ 4 ||{ || (x − 1)2 ≤ 4 ||( x2 ≤ a

Видно, что если $a< 0,$ то решений нет, поэтому пусть $a ≥0.$

( ||| x∈ [−3;1] |{ ||| x∈ [−1;3] |( x∈ [− √a;√a]

Получаем, что $x$ принадлежит пересечением отрезков $[−1;1]$ и $[ √ -√-] − a; a .$

Заметим, что

2 2 2 3±2x − x = 2 − (x∓ 1)

Стало быть, графики функций $√3-+2x−-x2$ и $√3−-2x−-x2-$ — верхние половины окружностей радиуса 2 с центрами в точках $(1,0)$ и $(−1,0)$ соответственно. График же функции $√a−-x2$ — верхняя половина окружности радиуса $√a$ с центром в точке $(0,0).$ Первые две полуокружности имеют одну общую точку — $(0,√3-).$

$PIC$

Рассмотрим несколько случаев: 1) При $a <1$ третья полуокружность первые две не пересекает и решение будет одно.

$PIC$

2) При $1≤ a≤ 5$ третья полуокружность пересекает первые две в точках с абсциссами из отрезка $[−1;1].$

$PIC$

3) При $a= 3$ точки пересечения совпадают.

$PIC$

4) При $a> 5$ третья полуокружность либо пересекает первые две в точках с абсциссами по модулю большими 1, либо не пересекает вообще.

$PIC$

Стало быть, решение будет единственным при $a∈ [0;1)∪ {3} ∪(5;+∞ ).$

Ответ:

$[0;1)∪{3}∪ (5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 168#94198Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости рассматриваются параболы вида $f(x)= 2020ax2− 2020ax+ 1$ , относительно которых известно, что $|f(x)|≤1$ при $0 ≤x ≤1$ . Найдите наибольшее возможное значение параметра $a$ .

Источники: САММАТ - 2021, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала давайте заметим, что коэффициенты при x и x² у нас одинаковые по модулю и отличаются по знаку. Что мы тогда можем сказать про график этого трёхчлена?

Подсказка 2

Мы можем сказать, что он симметричен относительно 1/2, так как принимает в 0 и в 1 одинаковые значения. При этом и в нуле, и в единице у него значение 1. Как тогда выглядит наша парабола и как нам максимизировать а?

Подсказка 3

Так как наша парабола на отрезке от 0 до 1 не меньше -1 и не больше 1, то она направлена ветвями вверх, а значит, нам остаётся только сделать так, чтобы самая нижняя точка параболы была не ниже -1.

Показать ответ и решение

Так как $f(0)= f(1)= 1$ , то график симметричен относительно прямой $x= 0,5$ . Тогда $f(0,5) =1− 2020a 4$ . Учитывая, что $|f(x)|≤ 1$ , приходим к выводу, что наибольшее возможное значение параметра $a$ достигается при

2020a f(0,5)= 1− --4--=− 1

2020a --4--=2

2020a= 8

2 a= 505-

Ответ:

$-2- 505$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 169#95857Максимум баллов за задание: 7

В зависимости от параметра $a> 1$ найдите решение системы

({ √x2−-1∘y2−-1= a2− 1 (x−a)2 (x)logxy−1 ( y = y

Источники: Звезда - 2021, 11.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если a > 1, какие ограничения можно наложить на x, y из первого уравнения? А о чем нам говорит ОДЗ?

Подсказка 2

x, y > 1. Попробуем решить второе уравнение. Слева и справа у нас степень, которую хотелось бы "вынести". Как тогда можно преобразовать обе части?

Подсказка 3

Прологарифмируем второе уравнение по основанию y! Чему равен (x-a)²? Давайте оценим обе части!

Подсказка 4

Правая часть равенства неотрицательна, а левая — неположительна! Осталось понять, когда же такое возможно ;)

Показать ответ и решение

При $a> 1$ из первого уравнения получим, что $|x|> 1,|y|>1.$ При этом из второго уравнения $x >0,y > 0.$ Поэтому обе переменные больше единицы.

Логарифмируем второе уравнение по основанию $y ⁄=1$ :

2 (x)logx y−1 logyy(x−a) = logy y

( ) (x − a)2 = (logx y− 1)logy x y

2 ( ) (x− a) = (logxy− 1)logyx − 1

2 −-(logx-y− 1)2 (x− a) = logx y

Левая часть заведомо неотрицательна, а правая неположительна, ведь $logx y > 0$ при $x >1,y > 1.$

Значит, возможно только $x− a= 0,logxy = 1.$ Откуда получаем решение системы $x =y =a$ и убеждаемся, что оно подходит в первое уравнение.

Ответ:

$(a;a)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 170#96826Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin4φ- cos4φ- sin2x + cos2x = 1

при всех значениях параметра $φ.$

Источники: Миссия выполнима - 2021, 11.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ! А что, если обозначить квадраты синусов за a и t и выразить нужное нам выражение через них?

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю и выделения полного квадрата в числителе приходим к дроби, равной единице! Что тогда можно сказать о квадратах синусов?

Подсказка 3

Квадраты синусов равны! Осталось лишь аккуратно учесть ОДЗ ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения определяется условием $sin2 x⋅cos2x⁄= 0$ , т.е. $x⁄= πk,k∈ℤ. 2$ Введем $a =sin2φ$ и $t=sin2x.$ После подстановки получим:

sin4φ cos4φ a2 (1− a)2 sin2x-+ cos2x-=-t + -1− t-=

2 2 2 2 2 = a-(1−-tt()1+−(1t)−-a)t= a-−t−2att+2-t= (a−-t)t−+t2t− t-= 1

Следовательно, $a= t⇔ sin2φ= sin2x⇔ x = ±φ+ πn,n ∈ℤ.$ При $φ ⁄= πk2 ,k∈ ℤ$ решение $x$ принадлежит ОДЗ уравнения, а при $φ = π2k,k ∈ℤ$ решений нет.

Ответ:

При $φ⁄= πk,k∈ ℤ 2$ решение $x= ±φ +πn,n ∈ℤ$ ; при $φ = πk,k ∈ℤ 2$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 171#101394Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной на координатной плоскости $xOy$ линиями

x x 2 2 y = 2 +1, y = 2 − 1, x= a− 1− a, x= a − 3a+ 1,

равна $16?$

Источники: ШВБ - 2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, что из себя представляют линии x = a - 1 - a² и x = a² - 3a + 1

Подсказка 2

Да, это действительно будут просто вертикальные прямые. Теперь попробуйте визуализировать: что будет представлять собой фигура, ограниченная заданными прямыми?

Подсказка 3

Попробуйте вспомнить, какие есть формулы площади параллелограмма. Какая из них может помочь нам решить задачу, учитывая, что длина одной из сторон — постоянная величина?

Подсказка 4

Учитывая, что у нас фиксированная площадь и одна из сторон так же фиксирована, значит существует и единственное возможное значение длины высоты, опущенной к этой стороне. Попробуйте представить высоту как выражение, зависящее от параметра a.

Показать ответ и решение

Рассмотрим и нарисуем графики функций $f(x)= x +1 2$ и $g(x)= x− 1: 2$

$PIC$

Так как мы работаем в плоскости $xOy,$ то $x= a− 1 − a2$ и $x= a2− 3a +1$ являются вертикальными линиями, двигающимися вдоль $Ox$ при изменении $a.$ Получается, что мы должны рассматривать площадь параллелограмма.

Так как $f(x)$ и $g(x)$ не зависят от параметра $a$ , то мы можем воспользоваться формулой $S = a⋅h,$ где $a$ — длина прямой, ограниченной нашими функциями, а $h$ — расстояние между вертикальными линиями.

$PIC$

Заметим, что $a$ мы можем очень легко найти:

a= f(0)− g(0)= 2

По условию:

16= 2⋅h =⇒ h =8

Так же $h$ можно представить как:

h= |a − 1− a2− a2 +3a− 1|=|− 2a2 +4a− 2|

Осталось лишь найти корни уравнения, когда $h = 8:$

2 |− 2a + 4a− 2|= 8

2 2(a− 1) =8

[ a =− 1 a= 3

Ответ:

${−1; 3}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 172#101475Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ 7a− 30cost+3 ≤0 5sint+ a+ 1+ |cost|+ |5cost−-4|= 0 2 2cost 5cost− 4

имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a.$

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С тригонометрическими функциями работать неприятно, а в рамках таких нетривиальных равенств даже больно. Давайте замену x = 5cos t, y = 5sin t. Чтобы замена была равносильной, добавим в систему третьей уравнение x²+y²=25.

Подсказка 2

Давайте обратим внимание на второе равенство. Предлагается рассмотреть три случая: x < 0, 0 < x < 4, 4 < x. В каждом из этих случаев второе уравнение превращается в нечто простое.

Подсказка 3

В каждой в третье уравнение можно вместо y подставить его выражение через a и изобразить область первого неравенства и третьего равенства в осях xa. Дальше останется аккуратно понять, при каких a будут решения.

Показать ответ и решение

Сделаем следующие замены: $x =5cost,y = 5sint,x2+y2 =25.$

Имеем

(| |{ 7a−1 6x|x+| 3≤|x−0,4| ||( y+ a+ 22 + 2x2 + x−4 = 0, x + y = 25.

Система распадается на совокупность трёх систем:

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a − 6x+ 3≤ 0, { x> 4,y =− a− 2, ⇔ { x> 4,y = −a− 2, |( x2 +y2 = 25, |( x2 +(a+ 2)2 = 25.

(| 7a− 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { 0< x< 4,y =− a,⇔ { 0< x< 4,y =− a, |( x2+y2 = 25, |( x2+a2 = 25.

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { x< 0,y = −a+ 1 ⇔ { x< 0,y =− a+1, |( x2 +y2 = 25, |( x2+ (a− 1)2 = 25.

В системе координат $Oxa$ изобразим решение системы

(|| 7a − 6x+ 3≤ 0 ||{ ⌊ x> 4,x2+ (a+2)2 = 25 || |⌈ 0< x< 4,x2+a2 =25 ||( x< 0,x2+ (a− 1)2 = 25

$PIC$

$1)$ Имеем решение $∘ --------2- x= 25− (a+ 2) при a∈ (− 5;1).$

Тогда

∘------------ cost= 1− ((a+ 2)∕5)2

y = −a− 2

sint= −(a+ 2)∕5

Откуда получается, что

t=− arcsin((a +2)∕5)+ 2πn, n∈ Z

При записи же ответа через $arccos$ нужно учитывать знаки $sint= −(a+ 2)∕5$ , т.е. $\text{[math]}$ при $a∈ (− 5;−2]$

∘------------ t =arccos 1 − ((a +2)∕5)2+ 2πn,n ∈Z

а при $a∈ (−2;1)$ имеем

∘------------ t=− arccos 1− ((a+ 2)∕5)2+ 2πn,n∈ Z

$2)$ Имеем решение $√ ------ x = 25− a2$ при $a∈ (− 5;−3)$ . Тогда

∘-------2 cost= 1− (a∕5)

y = −a

sint= −a∕5

Откуда получается, что

t= − arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘-------- t=arccos 1 − (a∕5)2+ 2πn,n ∈Z

3) Имеем решение $---------- x= −∘ 25 − (a− 1)2$ при $a∈ (−4;−3]$ . Тогда

∘ ------------ cost= − 1− ((a− 1)∕5)2

y = −a+ 1

sint= −(a− 1)∕5

Откуда получается, что

t= π+ arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘ -----------2 t= π− arccos 1− ((a− 1)∕5) +2πn,n∈ Z

Ответ:

$a ∈(−5;1)$

$1)$ при $a∈ (− 5;−4]$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$2)$ при $a∈ (− 4;−3)$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn,$ $t3 =π +arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n ∈Z;$

$3)$ при $a= −3$ имеем $t1 = arcsin(1∕5)+ 2πn,t2 = π− arcsin(4∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$4)$ при $a∈ (− 3;1)$ имеем $t1 = − arcsin((a+2)∕5)+2πn, n ∈Z.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 173#32702Максимум баллов за задание: 7

Найдите все положительные значения параметра $a$ , при которых уравнение

( 2+x 1−x ) ( 2−x 1+x ) log2−x a +2a + x− 1 + log2+x a +2a − x− 1 = 2

имеет ровно одно решение (относительно $x)$ .

Источники: ДВИ - 2020, вариант 201, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на уравнение – тут сумма двух очень похожих друг на друга логарифмов, при этом требуется ровно одно решение – это может навести на мысль использовать соображения симметрии

Подсказка 2

Выражение симметрично относительно замены х на -х! Значит, нечетное число корней (в частности, один корень) может быть только в том случае, когда х = 0 – решение, таким образом Вы можете найти те значениях а, при которых это условие выполняется, остается только проверить: правда ли при конкретной ашке корень будет только один

Показать ответ и решение

Заметим, что выражение симметрично относительно замены $x↔ − x$ (логарифмы меняются местами), откуда единственным решением может быть только $x =0$ (иначе число решений чётно). А $x =0$ является решением при

2 2 log2(a + 2a− 1)+ log2(a +2a− 1)=2

2 a + 2a − 1= 2

a= 1 или a= −3

Поскольку $a> 0$ по условию, то отпадает $a= −3$ . Проверим, есть ли решения кроме $x = 0$ , при $a= 1$ :

log2− x(1+ 2+ x− 1)+ log2+x(1 +2− x− 1)=2

При замене $t=log2−x(2+ x)$ мы получаем уравнение $t+ 1t = 2$ , которое выполняется только при $t=1$ , то есть $2− x= 2+ x$ . Так что решение только $x= 0.$ Заметим, что $x= 0,$ не противоречит ОДЗ уравнения. Действительно, при подстановке получаем $2− 0 =2$ и $2+ 0= 2,$ что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 174#33591Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ |y− 3 − x|+ |y− 3+ x|= 6 (|x|− 4)2+ (|y|− 3)2 =a

имеет ровно два решения.

Источники: Физтех-2020, 11.5, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберёмся с первым уравнением. Для этого можно, например, рассмотреть области знакопостоянства модулей и в каждой из областей найти решения.

Подсказка 2

Если рассмотреть прямые, в которых модули обращаются в ноль, получим две прямые и 4 области. В каждой из них несложно найти решение, раскрыв модули!

Подсказка 3

В итоге мы получаем некоторый квадрат, теперь нам нужно найти его пересечения с окружностями, что получаются из второго уравнения. Что интересного можно сказать о получившемся квадрате?

Подсказка 4

Он полностью лежит над осью Y, поэтому во втором уравнении можно опустить модуль y. Осталось разобрать случаи того, какой же a, чтобы посмотреть на окружности, получающиеся во втором уравнении ;)

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые $y− 3− x= 0$ и $y − 3+ x= 0$ . Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка $(0;−10)$ . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения $y− 3− x$ и $y− 3+x$ отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид $− (y− 3− x)− (y− 3+ x)=6$ , откуда $y = 0$ . C учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках $A(3;0)$ и $D(−3;0)$ . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата $K$ с вершинами в точках $A(3;0),B(3;6),C(−3;6)$ и $D (− 3;0)$ . Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью $y < 0$ , поэтому можно считать, что $y ≥0$ . С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде $(|x|− 4)2+ (y− 3)2 = a$ (опустив модуль у переменной $y)$ . Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через $Φ(a)$ . Если $a <0$ , у уравнения нет решений. При $a= 0$ оно задаёт две точки $(4;3)$ и (-4;3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату $K$ , система не имеет решений, и значение $a= 0$ не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю $a >0$ .

$PIC$

При $x≥ 0$ уравнение принимает вид $(x− 4)2+ (y − 3)2 = a$ , и мы получаем окружность радиуса $√a$ с центром в точке $(4;3)$ (или её часть, лежащую в полуплоскости $x≥ 0$ , если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены $x$ на $(−x)$ , множество $Φ (a)$ симметрично относительно оси $y$ . Таким образом, $Φ(a)$ есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси $Oy.$

Если $0< a< 1$ , график $2 2 (|x|− 4) +(y− 3) = a$ не пересекает квадрат $K$ , и система уравнений не имеет решений. Если $a =1$ , система уравнения имеет два решения - точки $X (3;3)$ и $Y (− 3;3)$ . Если $a∈ (1,10]$ , дуга окружности $2 2 (x− 4)+ (y− 3) = a,x ≥0$ пересекает отрезок $AB$ дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси $y$ , образуют 4 различных решения системы. Если $a ∈(10,25)$ , дуга окружности $2 2 (x − 4) + (y− 3) =a,x≥ 0$ пересекает отрезки $DA$ и $CB$ в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оy, образуют 4 различных решения системы. Если $a =$ 25 , система уравнений имеет два решения - точки $(0;0)$ и $(0;6)$ . Наконец, если $a> 25$ , дуга окружности $2 2 (x− 4) +(y− 3) = a,x≥ 0$ не пересекает стороны квадрата $K$ и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при $a= 1$ и $a= 25$ .

Ответ:

${1,25}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 175#34204Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

22 2 2 ( 2 2) 2x y +x y+ xy +(1− a)x + y − a(x+ y+2)= 0

имеет ровно одно решение (относительно $(x,y)$ ).

Источники: ДВИ - 2020, вариант 204, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть у нас есть какое-то решение (x₀, y₀), можем ли мы утверждать, что есть ещё какое-то решение?

Подсказка 2

Если (x₀, y₀) — решение, то (y₀, x₀) — тоже решение! С учётом этого, что можно сказать о количестве решений? В каком единственном случае их может быть нечётное количество?

Подсказка 3

Получается, необходимо, чтобы выполнялось равенство х = у. Подставьте это в исходное уравнение и решите получившееся уравнение относительно х. Каким должно быть а, чтобы это решение было единственным?

Подсказка 4

Пока что мы не можем говорить, что при найденных значениях параметра а исходное уравнение тоже имеет единственное решение. Стоит подставить и проверить это!

Подсказка 5

Попробуйте разбить на слагаемые выражение так, чтобы каждое из них точно было неотрицательным! Тогда мы с лёгкостью сможем определить решения.

Показать ответ и решение

Если пара $(x,y)$ — решение, то и пара $(y,x)$ — также решение. Стало быть, единственное решение обязано иметь вид $(x,x)$ . Тогда $( 4 3 2 ) 2 x + x +(1− a)x − a(x+1) = 0$ , то есть $2 2 2 2 x (x − a)+ x(x − a)+ x − a =0$ , откуда

( 2 )( 2 ) x − a x + x+ 1 = 0.

Если $a> 0$ , то $x= ±√a$ , так что решений больше одного. При $a< 0$ решенений нет, поскольку вторая скобка всегда положительна. Чтобы решение было единственным, необходимо $a =0$ . Тогда исходное уравнение принимает вид

2 2 2 2 2 2 2x y + xy +xy + x +y = 0.

Левая часть равна $x2(y2 +y+ 1)+ y2 (x2+ x+ 1)$ . Каждое из слагаемых неотрицательно и строго больше нуля при ненулевых переменных, стало быть, решение имеет вид $x= y = 0$ и оно, действительно, единственное.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 176#39866Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 x + a|x− a|=8x − 15

имеет решение. Для каждого из найденных значений укажите число решений уравнения.

Источники: ПВГ-2020

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что надо заметить в этой задаче, — это то, что, кажется, она нормально не решается аналитически. Значит, наверное, можно решить её графически! Если сделать одно преобразование, станет понятно, почему и как задача решается графически!

Подсказка 2

Конечно, надо оставить слагаемые с параметром в одной части уравнения, а остальные перекинуть в другую. Тогда в одной части образуется уравнение параболы, а в другой — понятный график модуля! Построим график параболы, а также подумаем, как меняется график модуля при изменении параметра. Может, это натолкнёт нас на интервалы для параметра, которые стоит рассматривать...

Подсказка 3

При a < 0 ветви у модуля идут вниз, а при увеличении параметра они постепенно поднимаются вверх и становятся всё ближе друг к другу! Кроме того, при увеличении параметра вершина модуля (a; 0) движется по оси абсцисс вправо. Тогда ключевыми точками будут a = 0, a = 3 и a = 5. Осталось только рассмотреть интервалы для параметра и в каждом из них узнать наличие решений, а также их количество :)

Показать ответ и решение

Уравнение можно переписать так:

2 a|x− a|= −x +8x− 15

График правой части представляет собой параболу $y =− x2+8x− 15$ ветвями вниз, пересекающую ось $Ox$ в точках $(3;0)$ и $(5;0)$ . Рассмотрим теперь график левой части $y = a|x− a|$ при разных значениях параметра.

$a <0$ . Имеем «галочку» ветвями вниз с вершиной в точке $(a;0)$ , правая ветка которой при данных значениях параметра пересекает параболу дважды.
$a =0$ . Горизонтальная прямая, совпадающая с осью $Ox.$ Пересечение нашли выше, получаем также два решения.
$0 <a <3$ . Ветви «галочки» направлены вверх, но только правая ветвь $x ≥a$ пересекается с параболой, поэтому решения есть только в случае
$a(x− a)= −x2+ 8x − 15,x− a≥0$

$x2+x(a− 8)+(15− a2)= 0,x ≥a$
Необходимо и достаточно проверить $x≥ a$ для меньшего корня, тогда будет выполнено и для большего
$8− a− ∘5a2−-16a-+4 ≥2a$

$∘ ---------- 8− 3a≥ 5a2 − 16a+ 4$

$(|{ 8− 3a≥0 5a2− 16a+ 4≥ 0 |( 64− 48a+ 9a2 ≥ 5a2− 16a+4$

$( 8 ||{ a≤ 3( 8−2√11] [8+2√11 ) || a∈ 0;--5---∪ ---5--;3 ( 4a2− 32a+ 60≥ 0 ⇐ ⇒ a∈(−∞, 3]∪ [5,+∞ )$
После пересечения остаётся только $( √--] a∈ 0;8−-2511-,$ потому что $√-- 8+25-11-> 8∕3.$
$a =3,a= 5$ . В каждом случае ровно одно решение, поскольку коэффициенты наклона ( $3$ и $5$ ) больше модулей наклона касательных в $x= 3$ и $x= 5$ , которые равны $1.$
$3 <a <5$ . Здесь ветви направлены вверх и каждая пересекает дугу параболы выше оси абсцисс, то есть всегда два решения.
$a >5$ . Решаем аналогично $0 <a <3$ , здесь $x≤ a$ , потому что пересекать может только левая ветка галочки.
$2 2 x − (a+ 8)x+ 15+ a = 0$
Решения могут быть только при неотрицательном дискриминанте
$[ √-- √--] − 3a2+ 16a+4 ≥0 ⇐ ⇒ a ∈ 8−-2-19,8+-2-19 3 3$

$( 8+2√19] a∈ 5,--3----$
Проверим $x ≤a$ для большего корня (для меньшего тогда тоже выполнится)

$8+ a+∘ −3a2+-16a-+4≤ 2a ⇐⇒ ∘−-3a2-+16a+-4≤ a− 8$
Должно быть $a≥ 8$ , но уже это неверно для полученного полуинтервала для неотрицательного дискриминанта. В итоге в этом случае решений нет.

Ответ:

$a ∈(−∞; 8−2√11]∪ [3;5] 5$ :

При $8−2√11 a= ---5--,a =3,a= 5$ решение одно,

при прочих найденных решений два.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 177#64397Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условиям $a≥ b≥ c≥ 1,a−1+ b−1+c−1 = 1$ . Известно, что при некотором положительном $x$ выполняется равенство

c+x a+x-= c− 2.

Найдите все возможные значения $b.$

Источники: Вместо ЕГЭ - 2020, вариант 202, задача 7 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте приведём равенство к тому виду, чтобы все слагаемые с х оказались в левой части, а остальное — в правой. Попробуйте оценить значение правой части

Подсказка 2

Для того, чтобы оценить выражение в правой части, вынесите ас за скобочки и примените данные в условии соотношения относительно a, b, c. Опираясь на них же, попробуйте оценить сверху значение с

Подсказка 3

Что можно сказать о решении уравнения, если с < 3? Тогда мы можем однозначно отыскать значение с. А возможны ли при таком значении с строгие неравенства в соотношении a ≥ b ≥ c? Сделайте вывод!

Показать ответ и решение

Перепишем данное равенство как

(c− 3)x =c +2a− ac

Заметим, что

( −1 −1 ) c+2a− ac= ac a + 2c − 1 ≥

≥ ac(a−1+ b−1+ c−1 − 1)= 0

При этом

3c−1 ≥ a− 1+b−1+ c−1 = 1,

то есть $c≤ 3$ . Следовательно, если $c− 3⁄= 0$ , решение уравнения $(c− 3)x= c+ 2a− ac$ единственно и неположительно. Но по условию оно имеет положительное решение. Стало быть, $c= 3$ . Но тогда $a= b= c=3$ , поскольку, если $a> c$ , то

a−1+ b− 1+c−1 < 3c−1 = 1,

что противоречит условию. Стало быть, $b= 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 178#73596Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ уравнение $x3− 11x2+ ax− 8 =0$ имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Источники: ОММО-2020, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним теорему, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами! Теперь надо подумать, как выразить корни уравнения друг через друга при условии, что они образуют геометрическую прогрессию

Подсказка 2

Да, надо использовать теорему Виета и написать систему, которая связывает уравнения и коэффициенты! А ещё три корня выражаются друг через друга: x₁ = b, тогда x₂=bq, x₃=bq². Уже из этого мы можем явно найти второй корень, который равен bq!

Подсказка 3

Верно, второй корень равен 2. Если переобозначить, то первый корень равен 2/q, а третий 2q. Таким образом, опять-таки с помощью теоремы Виета, можно найти a (по теореме Виета a равно сумме попарных произведений корней)

Подсказка 4

Верно, мы получим, что a = 4*(1+q+1/q). А множитель, который равен скобке, можно явно найти из уравнения на сумму корней уравнения!

Показать ответ и решение

Пусть мы нашли такой $a$ , что он подходит, и у нас есть $3$ корня. Тогда можно воспользоваться теоремой Виета для кубического уравнения:

( |{ x1 +x2+ x3 = 11 |( x1x2+ x2x3 +x1x3 = a x1x2x3 = 8.

Не умаляя общности, $x1 < x2 < x3$ . По условию корни образуют геометрическую прогрессию, это значит, что найдутся такие $b,q ⁄= 0$ , что $x = b 1$ , $x = bq 2$ , $x = bq2. 3$ Тогда из $xx x = 8 1 2 3$ получаем, что $b3q3 =8$ , откуда $bq = x =2. 2$ Выразим $x 1$ и $x 3$ при $x = 2 2$ : $x = 2 1 q$ , $x = 2q. 3$

Подставим $x = 2 1 q$ , $x = 2q 3$ в первое уравнение:

2 q + 2+ 2q =11,

2(1q +1+ q)= 11, (∗)

2 2q − 9q+2 =0.

Решим квадратное уравнение $2q2− 9q +2= 0.$ $D = 92 − 4⋅2⋅2> 0,$ это значит, что $q,x1,x2,x3$ найдутся. Найдём $a$ :

a= xx + x x +x x = x xx ( 1-+ 1-+-1)= 1 2 2 3 1 3 1 23 x1 x2 x2

q 1 1 1 11 = 8⋅(2 + 2 + 2q)= 4(q+ 1+ q)= 4⋅2-= 22.

Воспользовались $(∗)$ в предпоследнем действии.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 179#80456Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях $a$ точка с координатами $(sina;sin3a)$ симметрична точке с координатами $(cosa;cos3a)$ относительно прямой с уравнением $x +y =0?$

Источники: Росатом - 2020, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В каком случае две точки симметричны прямой y = -x? Какие условия можно записать на их координаты?

Подсказка 2

Чтобы точки были симметричны относительно прямой y = -x, ордината одной из них должна быть противоположна по знаку абциссе другой точки! Тогда задача сводится к решению системы. Как было бы удобнее искать, при каких a косинус равен синусу?

Подсказка 3

Используя формулы приведения, можно свести задачу к равенству косинусов!

Подсказка 4

После того, как мы решим одно из уравнений, можно будет подставить его решения в другое и проверить, какие новые условия нужно навесить на серии, чтобы получить уже решения системы ;)

Показать ответ и решение

Две точки $A(x,y)$ и $B(x′;y′)$ симметричны относительно прямой $x+ y = 0$ , если $x′ = −y,y′ =− x$ . Это приводит к системе:

{ sina= − cos3a sin3a= − cosa

Решим первое уравнение системы:

sin a= − cos3a → cos3a= sin(−a)= cos(π +a) → 2 [ π ∗ 3a= π2 +a +2πm → a= 4π + πmπn-(∗)∗ π a= −8 + 2 ( ) 3a= − 2 − a+2πn

Подставляем (*) во второе уравнение системы:

(3π ) (π ) sin 4-+ 3πm = − cos 4 + πm → 3π π √2 √2 (−1)m sin-4 = −(−1)m cos 4 →-2-⁄= − 2--

Серия (*) решений не содержит. Подставляем $(∗∗)$ во второе уравнение системы:

( 3π 3πn) ( π πn) sin − 8 + 2 = − cos −8 + 2 → (3π 3πn) (5π πn ) sin 8 − 2 = sin 8 − 2

[ 3π- 3πn- 5π πn [ π 83π-− 3π2n-= 83π-− 2πn+ 2πs → 4 =− πn +2πs 8 − 2 = 8 + 2 + 2πk n= −k

Вторая серия содержит любые целые $n,$ поэтому серия (**) подходит.

Ответ:

$− π + πn,n∈ Z 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 180#86473Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система уравнений

{ a2− 2ax− 6y+ x2 +y2 = 0; (|x|− 4)2 +(|y|− 3)2 = 25

имеет ровно два решения.

Источники: Физтех - 2020 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. При $x≥ 0,y ≥0$ оно принимает вид $(x− 4)2+ (y− 3)2 = 25,$ и мы получаем часть окружности радиуса $5$ с центром в точке $(4;3)$ , лежащую в первой четверти. При замене $x$ на $− x$ множество точек заданное уравнением системы, симметрично относительно оси ординат, а при замене $y$ на $− y$ — относительно оси абсцисс. Значит, график уравнения состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат $(0;0).$

Первое уравнение перепишем в виде $2 2 (x− a)+ (y− 3) = 9.$ Оно определяет окружность радиуса $3$ с центром в точке $(a;3).$ В зависимости от значения $a$ центр окружности перемещается по прямой $y = 3.$

$PIC$

Система имеет два решения тогда и только тогда, когда эта окружность имеет ровно две общие точки с множеством, заданным вторым уравнением. Это возможно при $a ∈(−12;− 6)∪ {0} ∪(6;12)$

Ответ:

$(−12;− 6)∪{0}∪(6;12)$

Следующая подтема