Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31812

Найдите все значения параметра $a ∈[0;2π]$ , при каждом из которых система

(| 2 2 |{x + y +2z(x+y +z)− sina= 0 ||((x+1)sin2 a + y2√x-+a2√z +sin 3a= 0 2 2

имеет хотя бы одно решение $(x;y;z)$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение. Его можно переписать в виде

2 2 (x+ z) + (y +z) = sina

Так как сумма квадратов – величина неотрицательная, то необходимое условие существования хотя бы одного решения у первого уравнения: $sina ≥0$ . Заметим, что из равенства вида $A2+ A2+ ⋅⋅⋅+A2 = B2 1 2 n$ следует, что $|A |≤ |B| i$ , тогда из первого уравнения следует, что $|x +z|≤√sina≤ 1$ , $|y +z|≤ √sina≤ 1$ , то есть $− 1≤ x+z ≤1$ и $− 1≤ y+ z ≤ 1$ .

Из второго уравнения находим, что $x≥ 0$ , $z ≥ 0$ как подкоренные выражения.

Учитывая найденное, мы можем утверждать, что если у системы есть решение $(x;y;z)$ , то оно должно удовлетворять следующим условиям:

0≤ x≤ 1 − 2≤ y ≤ 1 0≤ z ≤ 1

Определим, какие ограничения на параметр $a$ накладывают найденные ограничения на неизвестные $x,y,z$ .

Из первого уравнения, как было сказано выше, следует, что $sin a≥0$ .

Так как $m2 ≥0$ , $∀m$ , и $√-- m ≥ 0$ , $m ≥0$ , то из второго уравнения получаем:

0= (x +1)sin2 a +y2√x +a2√z+ sin3a ≥sin2 a+ sin3a 2 2 2 2

Таким образом, значения параметра $a$ должны удовлетворять системе:

(|0 ≤a ≤2π ||||{ sina≥ 0 ||||| 3a a (sin2-+ sin22 ≤0

Так как $sin 3t= 3sin t− 4sin3t$ , то получим:

( ||||0≤ a≤ 2π |||||sina ≥0 |{ |||⌊ − 3 ≤ sina ≤0 ↔ a∈ {0;π;2π} ||||||| 4 2 ||(⌈sina= 1 2

Заметим, что при этих значениях параметра $sina= 0$ , следовательно, $x +z = y+ z = 0$ , следовательно, $x =y =z =0$ , и это решение удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, при $a ∈{0;π;2π}$ система имеет единственное решение $(0;0;0)$ , а при других $a$ решений нет.

Ответ:

$a ∈{0;π;2π}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#56543

Найдите все значения параметров $a$ и $b$ , при которых система

( ||{arctg-y⋅ xy-− 1 = a x2+ 1 xy +1 ||((y2− 1)2 +b =x

имеет ровно 5 различных решений.

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрична относительно замены $y$ на $− y.$ Действительно, во втором уравнении $2 2 (− y) = y.$ Левая часть первого уравнения при подстановке вместо $y$ выражения $− y$ не меняется:

arctg(−y) x− y − 1 − arctgy 1− xy arctgy xy − 1 -x2-+1--⋅x−-y +-1 =-x2+-1-⋅ 1+-xy = x2-+1-⋅xy +-1.

Таким образом, если система имеет решение $(x;y),$ то она также имеет и решение $(x;−y).$ Эти решения совпадают, если $y = − y,$ то есть при $y = 0.$ Следовательно, все решения, которые могут быть у системы, кроме решения $(x;0),$ разбиваются на пары: $(x;y)$ и $(x;−y).$ Таким образом, у системы может быть нечетное число решений только в том случае, если у нее нечетное число решений вида $(x;0).$ Следовательно, как минимум, система должна иметь решение, где $y =0.$

Найдем те $a$ и $b,$ при которых у системы есть нечетное число решений вида $(x;0).$ Пусть $y = 0 :$

(| (| ||{ 0= a ||{ a= 0 | 1+ b= x ⇔ | x= b+ 1 ||( x> 0 ||( x> 0

Следовательно, данная система будет иметь единственное решение $x> 0,$ если $b+ 1 >0,$ откуда $b> −1.$ Значит, при $a = 0,$ $b> −1$ исходная система имеет нечетное число решений (среди которых ровно одно решение с $y = 0$ ). Отберем такие пары $a$ и $b,$ при которых решений у системы не просто нечетно, а именно пять.

Пусть $a = 0,$ $b> −1.$ Тогда исходная система примет вид

⌊( ⌊ (| ||||{ y = 0 ( | ||{arctgy = 0 || x= b+ 1 ||{ arctgy⋅ xy-− 1 = 0 ||| |x >0 ||||||( x2+ 1 xy +1 ⇔ || ||((y2− 1)2+ b= x ⇔ ||( x> 0 ||((y2− 1)2 +b =x || ( ||||| x= 1 |⌈ {xy = 1 ||{ ((y2− 1)2+ b= x |⌈||| y ∈ ℝ ( (y2 − 1)2 = 1− b

Первая система имеет одно решение $(b+ 1;0).$ Определим, при каких значениях параметров вторая система имеет четыре решения. Значит, она должна иметь четыре решения относительно переменной $y.$ Следовательно, уравнение $(y2− 1)2 = 1− b$ должно иметь четыре решения. Это уравнение в принципе будет иметь решения, если $1− b≥ 0,$ то есть если $b ≤1.$ Тогда уравнение преобразуется в совокупность из двух уравнений

⌊ y2 = 1+ √1−-b ⌈ 2 √---- y = 1− 1− b

Значит, $b$ должно быть таким, чтобы каждое из этих двух уравнений имело два решения, причем решения одного уравнения не совпадают с решениями второго. Значит, нужно:

(| 1+ √1−-b⁄= 1− √1-−-b ||{ √---- | 1+ 1− b> 0 ⇔ 0< b< 1. ||( 1− √1−-b> 0

Таким образом, при $a= 0$ и $b ∈(0;1)$ исходная система имеет 5 решений.

Ответ:

$a ∈{0};b∈ (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103847

Для данного треугольника $ABC$ с соответствующими сторонами $a,b,c$ рассматривают уравнение $ax4+ bx= c$ . Докажите, что у этого уравнения ровно два корня, они разных знаков, причём отрицательный корень по модулю больше положительного.

Источники: БИБН - 2025, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче уравнение, у которого корни искать неприятно... но их можно изобразить! Какой графический смысл у корней?

Подсказка 2

Корни — это пересечения графиков! Поэтому имеет смысл изобразить параболу и прямую, у которых мы хотим найти пересечения!

Подсказка 3

Изобразите графики y = ax⁴, y = c - bx и найдите их пересечения — это и будут корни.

Подсказка 4

Для доказательства неравенства модулей используйте подобие треугольников ;)

Показать доказательство

Так как $a,b,c$ являются сторонами треугольника, то они положительны. Поэтому $y = ax4$ это парабола 4 степени ветвями вверх, а $y =c− bx$ это прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая проходит через точки $(0;c)$ и $c (b;0).$ Нарисуем графики:

$PIC$

Очевидно, что две данные функции имеют две точки пересечения. Обозначим их абсциссы за $x1 < 0< x2$ (уже очевидно из графика, что корни разных знаков), а ординаты за $y1$ и $y2.$ Из подобных прямоугольных треугольников видно, что $y1 > y2,$ поэтому

1√ -- 1√-- |x1|= a 4y1 < a 4y2 = |x2|

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#103998

При каких значениях параметра $a$ три различных параболы с уравнениями $y = ax2+ x+ 1; y = x2+ax+ 1; y = x2+ x+ a$ имеют общую касательную? (Точки касания не обязаны совпадать)

Источники: КФУ - 2025, 11.5 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть y = kx + b — касательная. Касание каждой параболы дает 3 уравнения на равенство функций, причем каждое уравнение имеет единственное решение. Какая система тогда получится?

Подсказка 2

У нас есть три уравнения ax² + x + 1 = kx + b, x² + ax + 1 = kx + b, x² + x + a = kx + b. Каждое из них из-за касания имеет единственное решение. Какие три условия тогда можно еще записать?

Подсказка 3

Верно! Условия на равенство дискриминантов нулю. Тогда выходит, что (1-k)² = 4a(1-b), (a-k)² = 4(1-b), (1-k)² = 4(a-b). Как решать такую систему?

Подсказка 4

Точно! Из первого и третьего уравнений легко получить, что b = 0 при любых a или a = 1 при любых b. Какой из двух случаев реализуется?

Подсказка 5

Конечно, a = 1 не подходит, так как тогда две из трех парабол в условии совпадают. Тогда b = 0. Что получится, если это подставить?

Показать ответ и решение

Пусть $y =kx+ b$ — касательная из условия. Выразим условия пересечения прямой $y$ с каждой из парабол:

2 2 2 ax + x+ 1= kx+b, x +ax+ 1= kx+ b, x +x +a= kx+ b

Так как прямая является касательной к каждой из них, значит, у каждого уравнения должно быть единственное решение, получаем систему, приравнивая дискриминант каждого уравнения к нулю:

(| (1− k)2 − 4a(1− b)= 0 { (a− k)2− 4(1− b)= 0 |( (1− k)2 − 4(a− b)= 0

(|{ (1− k)2 = 4a(1− b) (a− k)2 = 4(1− b) |( (1− k)2 = 4(a− b)

Из первого и третьего уравнений:

4a(1− b)= 4(a− b)⇒ a − ab= a− b⇒ ab= b

Отсюда возможно два случая:

[ b =0, для лю бого a a =1, для любого b

Значение $a= 1$ не подходит, так как тогда первая и третья параболы совпадают, что противоречит условию об их различии.

Так как $b= 0,$ верно:

{ (1− k)2 = 4a (a− k)2 = 4

{ (1− k)2 = 4a k =a∓ 2

Получаем 2 случая:

[ (3− a)2 = 4a, если k= a− 2 (1+ a)2 = 4a, если k= a+ 2

Решения: $a= 1$ при $k= 3,$ $a= 1$ при $k =− 1,$ $a= 9$ при $k =7.$

Из всех решений подходит только одно: $a= 9$ при $k= 7.$ Получаем единственное значение параметра: $a= 9.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#104254

При каких значениях $a$ уравнение

( 2) log5x +4 1− a log25x5− 2= 0

имеет два корня, расстояние между которыми больше $24 5$ ?

Показать доказательство

Допустимые значения $x$ определяются условиями

1 x> 0, x⁄= 25

Предполагая, что эти условия выполнены, и переходя к логарифмам по основанию 5, преобразуем уравнение к виду

( 2) log5x+ 4-1−-a--− 2 =0 2+ log5x

log2x− 4a2 =0 5

log5x= ±2a

x1 =52a, x2 = 5−2a

Если $a= 0$ , то $x1 = x2 = 1$ , а если $|a|=1$ , то одно из чисел $x1,x2$ равно $125$ . Поэтому значения $a= 0,a =− 1,a =1$ не удовлетворяют условиям задачи.

Пусть $a⁄= 0,|a|⁄= 1$ , тогда уравнение имеет два различных корня.

По условию $|x1− x2|> 254$ , т. е.

| | |52a− 5−2a|> 24 5

Если $a≥ 0$ , то $52a ≥ 5−2a$ и неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:

52a− 5−2a > 245 , (52a)2− 245 ⋅52a − 1 >0 (52a − 5)(52a+ 15)> 0, 52a > 5, откуда a> 12

Если же $a <0$ , то неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:

( ) ( ) 5(−2a− 52)a( > 245 ,) 52a2+ 254 52a− 1< 0 52a +5 52a− 15 < 0, 52a < 15, откуда a <− 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104258

Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ x2 +(2a− 2)x+ a2− 2a− 3= 0 ∘ -2-------2 ∘ -----2-------2 x + (y − a) + (x+ 4) + (y − a) = 4

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Левая часть второго уравнения есть расстояние между точками $A(0;a)$ и $B(−4;a)$ .

Поскольку расстояние между точками $A$ и $B$ равно 4, второе уравнение системы задает отрезок $AB$ , т. е. множество точек вида $(t;a)$ , где $− 4≤t ≤0$ .

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно $x$ , находим, что $x1 = −a− 1,x2 =− a+3$ . Таким образом, первое уравнение задает две вертикальных прямых на плоскости. Для того чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ровно одна из этих двух вертикальных прямых пересекала отрезок $AB$ .

Первая прямая пересекает $AB$ при $− 4≤ x1 ≤ 0$ , т. е. при $− 1 ≤a≤ 3$ ; вторая прямая - при $− 4≤ x2 ≤0$ , т. е. при $3≤ a≤ 7$ . Следовательно, система имеет ровно одно решение при $a∈ [− 1;3)∪(3,7]$ .

Ответ:

$[−1;3)∪ (3;7]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#104697

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2x x x 4 +5 ⋅4 =a ⋅4 + 6

имеет хотя бы один корень на отрезке $[1;1] 2$ .

Источники: ОММО - 2025, номер 7 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оперировать степенными функциями не очень удобно. Подумайте, можно ли что-то с ними сделать, чтобы сделать исходное выражение более приятным на вид? Как при этом изменится отрезок, на котором нам необходимо, чтобы был хотя бы один корень?

Подсказка 2

Да, замена действительно бы не помешала. Подумайте, может получится вывести какую-то зависимость между параметром и некой функцией от нашей замены?

Подсказка 3

С помощью зависимости можно было бы удостовериться, соответсвует ли каждому значению функции на нашем отрезке какое-то значение параметра. Попробуйте припомнить какой-нибудь метод, который позволит нам проанализировать, как себя ведет функция на заданном отрезке.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=4x$ и будем искать решения при $2≤ t≤4.$ Тогда уравнение принимает следующий вид:

2 t + (5− a)t− 6= 0

2 at= t+ 5t− 6

Так как $t⁄= 0,$ то

a= t+ 5− 6= f(t) t

Возьмем производную $f(t)$ и покажем, что функция возрастает

′ -6 f(t)=1 +t2 > 0

Так как $f(t)$ непрерывна и монотонно возрастает при $t∈ [2;4],$ то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения от $f(2)$ до $f(4).$

f(2)= 2+ 5− 6= 4 2

f(4)= 4+5− 6 = 7,5 4

Следовательно, нам подходят $a ∈[4;7,5].$

Ответ:

$[4;7,5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#119860

Найдите все положительные $a,$ при каждом из которых неравенство

x y a√xy a y +x + x+ y ≥ 2 +2

выполняется при всех положительных $x$ и $y.$

Источники: ПВГ - 2025, 11.5(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Две переменные — это слишком сложно. Возможно получится оставить только одну? Выражения x/y + y/x и √(xy)/(x+y) ведь так друг на друга похожи.

Подсказка 2

Итак, скорее всего вы свели неравенство к виду t² + a/t ≥ a/2 + 4, где t ≥ 2. Функция слева непростая, поэтому придется исследовать её с помощью производной.

Подсказка 3

В задаче требуется выполнение при всех x, y. Это значит, что минимум функции на [2; +∞) должен быть не меньше числа из правой части.

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство к виду

(x+y)2 √xy- a xy + ax+ y ≥ 2 +4

Теперь сделаем замену $t= x√+xyy ≥2.$ Тогда неравенство превращается в

t2+ a≥ a+ 4 t 2

Исследуем левую часть как функцию с помощью производной:

f(t)= t2+ a t

f′(t)= 2t− a- t2

Минимум достигается, когда $t3 = a∕2.$ Пусть $b= 3∘a∕2.$ При $t> b$ получаем $f′(t)>0,$ и функция возрастает. Причём $f(2)= a +4. 2$ Значит, если $b≤ 2(a≤ 16),$ то неравенство выполнится при всех $x, y,$ а если $b> 2,$ то не выполняется в $t= b,$ поскольку это точка минимума, $f(b)< f(2).$ Значит, ответом будет $a∈ (0,16].$

Ответ:

$(0;16]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#119902

Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств

(| (x2− 4x+5 − a)(x− a+1) |{ --------√9-− x------- >0 ||( logx2−54xa≤ 1

Источники: ШВБ - 2025, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким методом мы пользуемся в параметрах, чтобы избавиться от сложных выражений в логарифмах? Не забудьте про ОДЗ!

Подсказка 2

Применим метод рационализации!

Подсказка 3

Теперь наша система превратилась в что-то более понятное: появились симпатичные квадратные трёхчлены! Ну уж параболы мы рисовать умеем ;)

Подсказка 4

После того, как мы изобразим на плоскости xOa две параболы и прямую (и исследуем, где же они пересекаются), нам останется лишь вспомнить про ОДЗ и аккуратно разобрать случаи a (это вертикальная ось).

Показать ответ и решение

Учитывая все ОДЗ и применяя метод рационализации, наша система принимает следующий вид:

$pict$

Изобразим решение данной системы на плоскости $Oxa :$

$PIC$

Найдем точку $x< 9$ пересечения прямой $a= x+ 1$ и параболы $2 a= x-−54x.$
Приравняем выражения для $a:$

2 x-−-4x-= x+ 1 5

Умножим обе части на 5:

x2− 4x = 5x +5 ⇒ x2− 9x − 5= 0

Решим квадратное уравнение:

√------ √--- x = 9±--81+20-= 9±--101- 2 2

Учитывая условие $x< 9,$ выбираем меньший корень:

√--- √--- x= 9−--101, a =x +1 = 11−-101 2 2

Найдем корни уравнения $x2− 4x − 5a= 0.$
Преобразуем уравнение:

(x − 2)2 = 5a +4 ⇒ x = 2± √5a+-4 1,2

Найдем корни уравнения $(x − 2)2+ 1− a =0.$
Преобразуем уравнение:

(x− 2)2 =a − 1 ⇒ x1,2 = 2±√a-−-1, a≥ 1

Теперь просто начинаем идти по оси $Oa,$ анализируя решения:

$1)$ При $( √---) a∈ 0;11−2101$ решения лежат в объединении интервалов $x∈[2− √5a+-4;0)∪ (4;2+ √5a+-4]∪(5;9).$

$2)$ При $a∈ [11−-√101;1) 2$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(a− 1;0)∪(4;2+ √5a+4]∪ (5;9).$

$3)$ При $a= 1$ решения лежат в объединении интервалов $x∈ (4;5)∪(5;9).$

$4)$ При $a∈ (1;5]$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(4;5)∪ [2+ √5a+-4;9).$

$5)$ При $a∈ (5;6)$ решения лежат в объединении интервалов $√---- √---- [ √----- ) x ∈(2− a− 1;0)∪ (4;2+ a− 1)∪(a− 1;5)∪ 2+ 5a+ 4;9 .$

$6)$ При $a∈ [6;9)$ решения лежат в объединении интервалов $√---- √ ---- [ √ ----- ) x ∈(2− a− 1;0)∪ (4;2+ a− 1)∪ 2+ 5a+4;9 .$

$7)$ При $a∈ [9;10)$ решения лежат в объединении интервалов $√ ---- √ ---- x∈ (2− a− 1;0)∪(4;2+ a− 1).$

$8)$ При $a∈ [10;+∞ )$ решения лежат в объединении интервалов $x ∈(−1;0)∪ (4;5).$

$9)$ При $a≤ 0$ решений нет.

Ответ:

Ответ — конец решения

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#120848

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

2 3 a x− a =4ax− 3a− 3x +2

не имеет решений.

Показать ответ и решение

Заметим, что каким бы ни было значение параметра $a,$ перед нами будет линейное уравнение. Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть и слагаемые без $x$ — в другую (при этом $x$ сразу выносим за скобки):

2 3 x(a − 4a+ 3)= a − 3a+ 2

Разложим $a3− 3a+ 2$ на множители. Заметим, что $a =1$ и $a= −2$ — корни этого кубического трехчлена(например, сразу видно, что сумма коэффициентов равна $0$ и сразу должно наводить на корень единицу). Делением в столбик легко получить, что $a3− 3a+ 2=(a− 1)2(a+ 2).$ Ясно, что $a2− 4a +3= (a− 1)(a− 3).$ Тогда имеем

2 x(a− 1)(a− 3)= (a− 1)(a+ 2)

Если $a= 1,$ то уравнение превращается в равенство $0= 0,$ и в этом случае имеется бесконечно много решений. Пусть $a⁄= 1.$ Тогда уравнение имеет вид $x(a− 3)= (a− 1)(a+2).$ Если $a= 3,$ то уравнение превращается в равенство $0= 10,$ что неверно, и в этом случае решений нет. Пусть теперь ещё $a⁄= 3,$ тогда $x = (a−1)(a+2), a−3$ то есть уравнение имеет единственное решение. Итак, уравнение не имеет решений только в случае $a = 3.$

Ответ:

$a =3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#125114

Укажите наименьшее положительное значение $a,$ при котором неравенство

5− 1 x 2 x ≥ a+ sin2

не имеет ни одного решения $x >0.$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Оставим только a в правой части и исследуем функцию в левой. Сначала рассмотрим каждое из слагаемых.

Подсказка 2

Нетрудно заметить, что первое слагаемое монотонно возрастает к 2^(5-(+0)), а sin(2^x) принимает любые значения из области значений и существует сколь угодно большой x, при котором -sin(2^x) = 1. Какой вывод можно сделать о максимальном значении функции?

Подсказка 3

Когда определили максимальное значение, легко найти минимальное а, которое больше этого значения и, соответственно, минимальное а, при котором неравенство не выполняется (обратим внимание на то, что слева максимальное значение первого слагаемого 2^(5-(+0)), а не 2⁵).

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

5− 1 x f(x)= 2 x − sin2

Исследуем данную функцию. Имеем:

1.: $25− 1x$ — строго возрастающая к $25−0$ функция;
2.: $2x$ — неограниченно возрастающая функция, а, значит, найдутся сколько угодно большие $x,$ для которых выполняется равенство $sin 2x = −1.$

Тогда:

f(x)< 25+1 =33.

Значит, при $x> 0$ функция не принимает значений $a ≥33,$ а для любого $a< 33$ при некоторых достаточно больших $x> 0$ принимает значение, не меньшее $a.$

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#127231

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ |x− a|+|y− a|+ |a− x+ 1|+|a− y +1|≤ 2 y+2||x2− 2x− 3||= 6

имеет единственное решение.

Источники: ШВБ - 2025, 10.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте заметить похожие выражения в левой части верхнего неравенства.

Подсказка 2

Что можно сказать о |t - a| + |a - t + 1|?

Подсказка 3

Докажите, что данное выражение всегда больше либо равно 1.

Подсказка 4

При каких t достигается равенство?

Подсказка 5

При t ∈ [a; a+1] данное выражение равняется 1. Заметим, что в исходном неравенстве 2 таких выражения.

Подсказка 6

Изобразите решения в координатах Oax и поймите, какие точки нам интересны.

Показать ответ и решение

Перегруппируем слагаемые верхнего неравенства:

|x − a|+ |a− x+ 1|+ |y − a|+ |a− y+ 1|≤ 2

Рассмотрим следующее выражение:

|t− a|+ |a− t+ 1|

Докажем, что оно больше либо равно единицы для любых $a$ и $t:$

|t− a|+ |a− t+1|≥ 1

Пусть $t<a :$

−t+a +a− t+ 1≥ 1

t≤a

Пусть $a≤ t≤a +1:$

t− a+ a− t+ 1≥ 1

1≥ 1

Пусть $t>a+ 1:$

t− a− a+t− 1≥ 1

t≥ a+ 1

Итого получаем, что $t ∈(−∞;+ ∞)$ и от значения $a$ ничего не зависит. Кроме того, равенство достигается при $t∈[a;a +1].$ Тогда

|x − a|+ |a− x+ 1|+ |y − a|+ |a− y+ 1|≥ 2

По условию,

|x − a|+ |a− x+ 1|+ |y − a|+ |a− y+ 1|≤ 2

Тогда верхнее неравенство из системы превращается в равенство. Оно будет верно, только если

|x − a|+ |a− x+ 1|= 1

|y − a|+ |a− y+ 1|= 1

Данные равенства выполняются, если $x,y ∈ [a;a+ 1].$

Перепишем исходную систему:

(| a ≤x ≤a +1 { a ≤y ≤a+ 1 |( y =6− 2|x2− 2x− 3|

{ a ≤x ≤a +1 a ≤6− 2|x2− 2x− 3|≤ a+ 1

Изобразим решения неравенств системы в координатах $Oax.$ Для первого неравенства получим полосу, заключенную между двумя прямыми $a= x$ и $a= x− 1.$ Решение второго неравенства будет множество точек, лежащих между двумя кривыми $a= 6− 2|(x− 1)2− 4|$ и $a= 5− 2|(x − 1)2− 4|.$

$PIC$

Решение системы будет единственным в тех случаях, когда прямая, параллельная оси $Ox,$ пересекает множество решений системы в одной точке. Подходящими точками являются $A,B,C,D,O,E.$ Найдем точки пересечения прямых $a= x$ и $a= x− 1$ с кривыми $a =6− 2|(x− 1)2− 4|$ и $a =5 − 2|(x− 1)2 − 4|.$

{ a= 6− 2|(x− 1)2− 4| a= x

Раскрываем модуль и подставляем $a :$

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 12= 0

√--- x = 3±--105 4

Если $x∈ [−1;3]:$

2x2− 5x =0

x ={0;2,5}

Получим точки

( 3+ √105 3+√105) O = (0;0);E = ---4---;---4---

{ a= 5− 2|(x− 1)2− 4| a= x

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 11= 0

√-- x= 3±--97 4

Если $x∈ [−1;3]:$

x2− 5x − 1 =0

√-- x= 5±--33 4

Получим точку

( 3−-√97 3−-√97) B = 4 ; 4

{ a= 6− 2|(x− 1)2− 4| a= x− 1

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 13= 0

3± √113- x = ---4---

Если $x∈ [−1;3]:$

2x2− 5x+ 1= 0

5± √17 x= ---4--

Получим точки

( √--- √---) ( √ -- √--) A = 3−--113;−1−--113 ;D = 5-+--17;1+--17 4 4 4 4

{ 2 a= 5− 2|(x− 1) − 4| a= x− 1

Если $x∈ (−∞; −1)∪(3;+ ∞):$

2x2− 3x − 12= 0

√--- x = 3±--105- 4

Если $x∈ [−1;3]:$

2x2− 5x =0

x ={0;2,5}

Получим точку

C = (0;−1)

Мы получили все подходящие нам точки $A,B,C,D,O,E.$ Их координаты по $x$ равны $a$ или $a+1$ (в зависимоcти от того, с какой прямой пересечение). Тогда

{ −1− √113 3− √97 1+ √17 3+ √105} a∈ ----4---;--4---;−1;0;---4--;---4---

Ответ:

$−-1−-√113 4 ;$ $3−-√97 4 ;$ $− 1;$ $0;$ $1+-√17 4 ;$ $3+-√105 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#127264

Для каких $a$ неравенство

(2 ) loga1+1 x +2|a| > 0

выполнено при всех $x?$

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x2 +2|a|>0 ||||| ( { -1--> 0 ⇐⇒ { a> −1 |||| a+ 1 ( a⁄= 0 ||( -1--⁄= 1 a+ 1

На ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно:

( ) --1- − 1 (x2+ 2|a|− 1) >0 a +1

-a-- 2 a+ 1(x + 2|a|− 1)<0

При $a a-+1 >0$ графиком

a f(x)= a+-1(x2 +2|a|− 1)

является парабола с ветвями вверх, неравенство $f(x)< 0$ будет верным лишь при тех значениях $x,$ что лежат между корнями параболы, в случае если они есть; если же корней нет, неравенство не будет верным ни при каких $x.$ Так или иначе, такая ситуация нам не подходит.

При $--a- a +1 <0$ графиком

a 2 f(x)= a+-1(x +2|a|− 1)

является парабола с ветвями вниз, неравенство $f(x)< 0$ будет верным при всех $x,$ если дискриминант многочлена отрицателен.

−(2|a|− 1) <0

2|a|− 1> 0

1 |a|> 2

⌊ | a> 1 |⌈ 2 1 a< − 2

Пересечём результат с условием $a a-+1 < 0$ и ОДЗ, получим

( ) a ∈ −1;− 1 2

Ответ:

$(−1;− 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#128248

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

2 2a(x+ 1)− |x +1|+ 1= 0

имеет четыре различных корня.

Показать ответ и решение

При $a= 0$ получим

−|x +1|+ 1=0

Данное уравнение имеет не более 2 решений, следовательно, $a =0$ нам не подходит. Далее будем рассматривать квадратное уравнение.

Сделаем замену $t= |x+ 1|:$

2 2at − t+1 =0

Пусть теперь $t0$ какой-то из корней уравнения. При $t0 >0$ получим два различных $x.$ При $t0 =0$ получим один $x.$ При $t0 < 0$ не найдется соответствующих $x.$ Значит, исходное уравнение будет иметь 4 решения, если уравнение относительно $t$ даст нам два положительных корня. Пусть

f(t)= 2at2− t+1

Заметим, что

f(0)=0 − 0+ 1= 1

Следовательно, уравнение относительно $t$ будет иметь 2 положительных корня, если

( ||| D= 1− 8a> 0 { 1- |||( xв = 4a > 0 2a >0

( 1 |{ a< 8 |( a> 0

a ∈(0;1) 8

Ответ:

$(0;1 ) 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#31912

Найдите наименьшее значение параметра $a$ , при котором система

(| 2 3y 23y 2 {a− 8cos 8 − 2tg 8 = 2cos2x |(2π|1+|x||cos3y+ |x|⋅(πsin23y− 16− 2π)= 0

имеет хотя бы одно решение. Найдите решения системы при данном $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Сделаем замену $|x|= t$ , $cos3y = z$ , тогда уравнение примет вид

2 h(z)= πtz − 2π(1+ t)z+ t(π+ 16)= 0

Это уравнение при $t≥ 0$ должно иметь хотя бы одно решение $z ∈ [− 1;1]$ , причем эти значения $t$ и $z$ должны удовлетворять первому уравнению. Дискриминант уравнения $h(z)= 0$ :

2 Dh =− 4π(16t− 2πt− π)

Рассмотрим $Dh =0$ :

D = 4π(π +16)> 0 Dh

Следовательно, $Dh = 0$ имеет два нуля, причем, так как $Dh(0)< 0$ , то условию $t≥ 0$ удовлетворяет только один корень, назовем его $t0$ . Тогда при $t∈[0;t0]$ имеем $Dh ≥ 0$ , при $t∈ (t0;+ ∞)$ имеем $Dh < 0$ , значит, рассматриваем только $t∈[0;t0].$ Тогда $h(z) =0$ имеет один или два корня.

Обратим внимание, что абсцисса вершины параболы $z(верш) = |1+t|= |1+ 1|> 1 t t$ (так как $t≥ 0$ ), $h(0) >0$ , следовательно, чтобы хотя бы один корень удовлетворял условию $z ∈ [−1;1]$ , парабола $h= h(z)$ должна выглядеть следующим образом:

$PIC$

Поэтому только левый корень может удовлеторять условию $z ∈[−1;1]$ и для этого нужно, чтобы $h(1)≤ 0$ , откуда $π t≤ 8$ .

Так как $(π) Dh 8 > 0$ , то при $π t≤ 8$ уравнение $h(z)= 0$ имеет корень $z =z0 ∈ (0;1]$ .

Рассмотрим первое уравнение системы:

( ) a =8cos2 3y+ 2tg23y +2cos22x ⇔ a= 2cos22x + 4 2cos2 3 y+--1---- −2≥ 7 8 8 ∈[1◟;2]п◝◜ри|x◞|≤ π8 ◟-----8-◝◜-2cos2 38y-◞ ∈[8;+∞)

Следовательно, наименьшее $a= 7$ . Тогда при нем должно быть выполнено

( |||{ |x|≤ π8 ({ π cos22x= 12 ⇔ x= ± 8 |||( 2cos2 3y = 1 (y = ± 2π3-+ 163 πn,n∈ ℤ 8

Ответ:

$a ∈{7};(±π ;2π-+ 16πn);(± π;− 2π+ 16πn) 8 3 3 8 3 3$ , $n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#77847

При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x3+ax2+ 56x− 64 =0$ составляют геометрическую прогрессию?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать — это записать наши корни в нужном нам виде геометрической прогрессии. Один из коэффициентов многочлена это a. Какую теорему тогда можно записать?

Подсказка 2

Верно, воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения. У нас получилось три уравнения. Какие теперь выводы из них можно сделать?

Подсказка 3

Ага, можем сказать, что bq=4 (из стандартных обозначений геометрической прогрессии). А ещё можем выразить a как раз через bq. Получается, мы нашли в теории подходящее a. Осталось только сделать проверку, что оно действительно подходит, и победа!

Показать ответ и решение

Если корни $b,bq,bq2,$ то по теореме Виета

( b(1+ q+ q2)= −a |{ 2 2 |( bq(313+ q+q )= 56 −b q =− 64 ⇒ bq =4

Из первых двух уравнений получаем $bq =− 56, a$ но

56 bq =4 ⇒ −a = 4⇒ a =− 14

Осталось проверить значение параметра $a =− 14 :$

x3− 14x2+ 56x− 64 =0 ⇐⇒ (x− 2)(x− 4)(x− 8)= 0

Т.е. корни уравнения это $x= 2, x= 4, x= 8,$ которые, действительно, образуют геометрическую прогрессию.

Ответ:

$− 14$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#79187

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 sin x+ asinx =a − 1

имеет решения.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Здесь просится очевидная замена t = sinx. Тогда, у нас получается квадратное уравнение на t, которое должно иметь решение на отрезке [-1; 1]. Это значит, что нам надо рассмотреть два случая в соответствии картинкам, которые будут получаться. То есть либо у нас отрезок, который создается корнями, лежит внутри отрезка [-1, 1], либо не лежит, но при этом не содержит. Осталось задать условия на оба наших случая.

Подсказка 2

Самый сложный случай - первый. Потому как много условий. Во-первых, значения на концах отрезка больше нуля, чтобы задать этим возможность наличия двух корней, во-вторых, вершина должна лежать на отрезке (чтобы не было ситуации, когда у нас вершина уехала в какую-то из сторон, а тот факт, что на концах больше давал лишь то, что эта ветка параболы на всем отрезке больше 0), а в-третьих, D ≥ 0, чтобы были корни (или корень)

Подсказка 3

А второй случай прост - надо лишь задать, что на концах отрезка парабола принимает разные по знаку значения (нужно еще разобраться с нулем). Тогда остаётся решить две этих системы, объединить, а потом пересечь с [-1; 1] и записать ответ.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $sinx =t, −1 ≤t≤ 1:$

2 2 t + at− a + 1= 0

Нужно, чтобы это квадратное относительно $t$ уравнение имело хотя бы один корень из отрезка $[−1;1].$

Ровно один корень на этом отрезке уравнение имеет в случае, когда значения функции $f(t)=t2+ at− a2+ 1= 0$ на концах отрезка имеют разные знаки (допускается при этом, чтобы одно или оба значения были равны нулю, тогда корни уравнения будут в точках -1 или 1):

f(− 1)⋅f(1)≤0

(1− a− a2+ 1)(1+a − a2+ 1)≤0

(a+ 2)(a− 1)(a− 2)(a+1)≤ 0

(a2− 1)(a2− 4)≤ 0

1≤ a2 ≤4

А также один корень (в случае нулевого дискриминанта, когда вершина касается оси и лежит на отрезке) или два корня на отрезке будет при условиях

( ||||{ y(− 1) >0 y(1)> 0 ||||( tверш ∈ [−1;1] D ≥0

(| 1− a − a2+ 1> 0 |||{ 2 | 1+a − aa + 1> 0 |||( −21≤ −22 ≤1 a +4a − 4≥ 0

( ||| −2< a< 1 |{ −1< a< 2 ||| −2≤(a≤ 2 √ ] [ √- ) |( a∈ −∞;− 255 ∪ 255;+∞

( ∘ -] [∘ --) a ∈ − 1;− 4 ∪ 4;1 5 5

Итого решения из $[−1;1]$ есть при

[ ∘ -] [∘ --] a∈ − 2;− 4 ∪ 4;2 5 5

Ответ:

$[ ∘4] [∘ 4- ] − 2;− 5 ∪ 5;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#79610

Для всех действительных параметров $a∈ [0;1]$ определите число корней уравнения

|| 11π || ||sin 24 x||= a

на полуинтервале $[0,24).$

Источники: БИБН - 2024, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сразу избавимся от модуля и получим 2 простых тригонометрических уравнения, которые мы очень хорошо знаем со школы. Как будут выглядеть решения на тригонометрической окружности при разных a?

Подсказка 2

Верно, при a ∈ (0,1) каждое из уравнений даёт нам по 2 точки, при a ∈ {0,1} по одной. Теперь же нам важно, сколько полукругов мы успеем "навернуть" при x ∈ [0;24), давайте оценим это выражение.

Подсказка 3

Верно, мы успеем пройти 11 полуокружностей, сколько в каждом случае тогда мы получим решений?

Показать ответ и решение

Линейное по $x$ выражение $11πx∈ [0,11π) 24$ при $x∈ [0,24)$ . Рассмотрим тригонометрическую окружность. Если $a∈ (0,1)$ , то решению $|| 11π-|| sin 24 x = a$ соответствует $4$ точки на окружности, по $2$ на каждой полуокружности, которых всего $11$ , так как аргумент принимает значения из $[0,11π)$ . Итого $11⋅2= 22$ решений.

Если $a= 0$ , то подходят точки вида $πk, k∈ ℤ$ . То есть $11$ решений в этом случае.

Если $a= 1$ , то на каждой полуокружности подходит по одной точке вида $π 2 + 2πk$ . То есть $11$ решений всего.

Ответ:

$11$ решений при $a∈{0;1}$

$22$ решения при $a∈ (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#79611

(a) Изобразите на координатной плоскости множество $A$ , заданное неравенством

2 2 x y < 2− xy

(b) Докажите, что любые две точки множества $A$ можно соединить внутри $A$ либо отрезком, либо ломаной из двух звеньев.

Источники: БИБН - 2024, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Мы имеем что-то похожее на квадратное неравенство. Без зазрения совести обозначим xy за t. Надо решить неравенство t²+t-2<0. Какое неравенство для xy это даст?

Пункт а, подсказка 2

Верно, -2<xy<1. Рассмотрите отдельно случаи xy>0 и xy<0 и постройте нужное множество.

Пункт б, подсказка 1

Будем надеется, что эти гиперболы мы не просто так рисовали. С точками, которые можно соединить отрезком все как-то мутно, а вот с ломанными все гораздо веселее. Хочется упростить себе задачу и не думать о совсем произвольной ломанной, а, например, с фиксированной точкой...

Пункт б, подсказка 2

Предлагаю доказать, что мы можем просто соединить любую точку с точкой (0,0), откуда все и будет следовать. Но доказать это вам придется самостоятельно...

Пункт б, подсказка 3

Ладно уж, застыдили! Посмотрите, что происходит с модулем значения xy, при приближении к точке (0,0), и с помощью этого докажите, что если X лежит в нашем множестве, то и отрезок XO тоже.

Показать ответ и решение

(a) Решим неравенство относительно замены $t= xy$

2 t + t− 2 <0 ⇐ ⇒ t∈ (− 2,1)

То есть $xy ∈(−2,1)$

В случаях $x,y > 0$ и $x,y < 0$ в первой четверти получаем часть плоскости под графиком $y = 1 x$ , а в третьей четверти часть плоскости над этим графиком.

В случае $x<,y > 0$ во второй четверти неравенству удовлетворяет часть плоскости под графиком $2 y = −x$ , а в четвертой — часть плоскости над этим графиком.

$PIC$

(b) Приведем явный алгоритм соединения двух точек получившегося множества $A$ . Будем соединять любые две точки $B$ и $D$ через точку $(0,0)$ . Для этого надо показать, что любая прямая, соединяющая точку множества и $(0,0)$ , лежит в множестве. Заметим, что при приближении из $B = (x0,y0)$ в $(0,0)$ по прямой произведение $xy$ по модулю уменьшается, а значит, если точка $B$ из множества, то и прямая из нее в $(0,0)$ тоже. Тем самым показали, что соединять $B$ и $D$ можно соединением $B$ с $(0,0)$ и $D$ c $(0,0).$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#80765

Найдите все значения параметра $p$ , при которых уравнение

pcos3x+ 3(p +4)cosx =6cos2x+ 10

имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких $p.$

Источники: Физтех - 2024, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы видим, что все каждый множитель переменный, выражается через cosx. Давайте сделаем замену и попробуем как-то преобразовать полученное кубическое уравнение. На что оно похоже? А если посмотреть на утроенный коэффициенты перед квадратом и иксом?

Подсказка 2

Верно, это похоже на куб разности. Тогда можно преобразовать как (1 - cosx)^3 = (cosx*(p - 1)^1/3)^3. Значит, получаем уравнение на cosx, линейное. Остается понять, делали ли мы равносильные переходы и когда существует решение такого уравнения на х и записать ответ.

Показать ответ и решение