Тема АЛГЕБРА

Задачи с параметром

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Задачи с параметром

Алгебра (+ логика). Связь между множествами решений

Алгебра. Теорема Виета

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Алгебра. Исследование замены

Алгебра (+ логика). Несколько неизвестных или несколько параметров

Алгебра. Задачи без идеи, решающиеся аналитически

Алгебра в xOa (решение относительно параметра)

Графика. Прямые, пучки прямых, движение

Графика. Гипербола

Графика. Окружности: касание, пересечение, связь с другими объектами

Графика. Функции с модулем: галочка, корыто и другие

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Графика. Множество касательных, арктрига и прочее

Графика в xOa (параметр как вторая неизвестная)

Симметрия (и чётность) в параметрах

Монотонность и производная в параметрах, уравнения вида f(t) = f(z) или f(f(x)) = x

Метод главного модуля/слагаемого в параметрах

Непрерывность в параметрах

Исследование области значений функции (в том числе a = f(x))

Метод оценки (метод мажорант) в параметрах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31812

Найдите все значения параметра $a ∈[0;2π]$ , при каждом из которых система

(| 2 2 |{x + y +2z(x+y +z)− sina= 0 ||((x+1)sin2 a + y2√x-+a2√z +sin 3a= 0 2 2

имеет хотя бы одно решение $(x;y;z)$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение. Его можно переписать в виде

2 2 (x+ z) + (y +z) = sina

Так как сумма квадратов – величина неотрицательная, то необходимое условие существования хотя бы одного решения у первого уравнения: $sina ≥0$ . Заметим, что из равенства вида $A2+ A2+ ⋅⋅⋅+A2 = B2 1 2 n$ следует, что $|A |≤ |B| i$ , тогда из первого уравнения следует, что $|x +z|≤√sina≤ 1$ , $|y +z|≤ √sina≤ 1$ , то есть $− 1≤ x+z ≤1$ и $− 1≤ y+ z ≤ 1$ .

Из второго уравнения находим, что $x≥ 0$ , $z ≥ 0$ как подкоренные выражения.

Учитывая найденное, мы можем утверждать, что если у системы есть решение $(x;y;z)$ , то оно должно удовлетворять следующим условиям:

0≤ x≤ 1 − 2≤ y ≤ 1 0≤ z ≤ 1

Определим, какие ограничения на параметр $a$ накладывают найденные ограничения на неизвестные $x,y,z$ .

Из первого уравнения, как было сказано выше, следует, что $sin a≥0$ .

Так как $m2 ≥0$ , $∀m$ , и $√-- m ≥ 0$ , $m ≥0$ , то из второго уравнения получаем:

0= (x +1)sin2 a +y2√x +a2√z+ sin3a ≥sin2 a+ sin3a 2 2 2 2

Таким образом, значения параметра $a$ должны удовлетворять системе:

(|0 ≤a ≤2π ||||{ sina≥ 0 ||||| 3a a (sin2-+ sin22 ≤0

Так как $sin 3t= 3sin t− 4sin3t$ , то получим:

( ||||0≤ a≤ 2π |||||sina ≥0 |{ |||⌊ − 3 ≤ sina ≤0 ↔ a∈ {0;π;2π} ||||||| 4 2 ||(⌈sina= 1 2

Заметим, что при этих значениях параметра $sina= 0$ , следовательно, $x +z = y+ z = 0$ , следовательно, $x =y =z =0$ , и это решение удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, при $a ∈{0;π;2π}$ система имеет единственное решение $(0;0;0)$ , а при других $a$ решений нет.

Ответ:

$a ∈{0;π;2π}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#56543

Найдите все значения параметров $a$ и $b$ , при которых система

( ||{arctg-y⋅ xy-− 1 = a x2+ 1 xy +1 ||((y2− 1)2 +b =x

имеет ровно 5 различных решений.

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрична относительно замены $y$ на $− y.$ Действительно, во втором уравнении $2 2 (− y) = y.$ Левая часть первого уравнения при подстановке вместо $y$ выражения $− y$ не меняется:

arctg(−y) x− y − 1 − arctgy 1− xy arctgy xy − 1 -x2-+1--⋅x−-y +-1 =-x2+-1-⋅ 1+-xy = x2-+1-⋅xy +-1.

Таким образом, если система имеет решение $(x;y),$ то она также имеет и решение $(x;−y).$ Эти решения совпадают, если $y = − y,$ то есть при $y = 0.$ Следовательно, все решения, которые могут быть у системы, кроме решения $(x;0),$ разбиваются на пары: $(x;y)$ и $(x;−y).$ Таким образом, у системы может быть нечетное число решений только в том случае, если у нее нечетное число решений вида $(x;0).$ Следовательно, как минимум, система должна иметь решение, где $y =0.$

Найдем те $a$ и $b,$ при которых у системы есть нечетное число решений вида $(x;0).$ Пусть $y = 0 :$

(| (| ||{ 0= a ||{ a= 0 | 1+ b= x ⇔ | x= b+ 1 ||( x> 0 ||( x> 0

Следовательно, данная система будет иметь единственное решение $x> 0,$ если $b+ 1 >0,$ откуда $b> −1.$ Значит, при $a = 0,$ $b> −1$ исходная система имеет нечетное число решений (среди которых ровно одно решение с $y = 0$ ). Отберем такие пары $a$ и $b,$ при которых решений у системы не просто нечетно, а именно пять.

Пусть $a = 0,$ $b> −1.$ Тогда исходная система примет вид

⌊( ⌊ (| ||||{ y = 0 ( | ||{arctgy = 0 || x= b+ 1 ||{ arctgy⋅ xy-− 1 = 0 ||| |x >0 ||||||( x2+ 1 xy +1 ⇔ || ||((y2− 1)2+ b= x ⇔ ||( x> 0 ||((y2− 1)2 +b =x || ( ||||| x= 1 |⌈ {xy = 1 ||{ ((y2− 1)2+ b= x |⌈||| y ∈ ℝ ( (y2 − 1)2 = 1− b

Первая система имеет одно решение $(b+ 1;0).$ Определим, при каких значениях параметров вторая система имеет четыре решения. Значит, она должна иметь четыре решения относительно переменной $y.$ Следовательно, уравнение $(y2− 1)2 = 1− b$ должно иметь четыре решения. Это уравнение в принципе будет иметь решения, если $1− b≥ 0,$ то есть если $b ≤1.$ Тогда уравнение преобразуется в совокупность из двух уравнений

⌊ y2 = 1+ √1−-b ⌈ 2 √---- y = 1− 1− b

Значит, $b$ должно быть таким, чтобы каждое из этих двух уравнений имело два решения, причем решения одного уравнения не совпадают с решениями второго. Значит, нужно:

(| 1+ √1−-b⁄= 1− √1-−-b ||{ √---- | 1+ 1− b> 0 ⇔ 0< b< 1. ||( 1− √1−-b> 0

Таким образом, при $a= 0$ и $b ∈(0;1)$ исходная система имеет 5 решений.

Ответ:

$a ∈{0};b∈ (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103847

Для данного треугольника $ABC$ с соответствующими сторонами $a,b,c$ рассматривают уравнение $ax4+ bx= c$ . Докажите, что у этого уравнения ровно два корня, они разных знаков, причём отрицательный корень по модулю больше положительного.

Показать доказательство

Так как $a,b,c$ являются сторонами треугольника, то они положительны. Поэтому $y = ax4$ это парабола 4 степени ветвями вверх, а $y =c− bx$ это прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая проходит через точки $(0;c)$ и $c (b;0).$ Нарисуем графики:

$PIC$

Очевидно, что две данные функции имеют две точки пересечения. Обозначим их абсциссы за $x1 < 0< x2$ (уже очевидно из графика, что корни разных знаков), а ординаты за $y1$ и $y2.$ Из подобных прямоугольных треугольников видно, что $y1 > y2,$ поэтому

1√ -- 1√-- |x1|= a 4y1 < a 4y2 = |x2|

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#103998

При каких значениях параметра $a$ три различных параболы с уравнениями $y = ax2+ x+ 1; y = x2+ax+ 1; y = x2+ x+ a$ имеют общую касательную? (Точки касания не обязаны совпадать)

Показать ответ и решение

Пусть $y =kx+ b$ — касательная из условия. Выразим условия пересечения прямой $y$ с каждой из парабол:

2 2 2 ax + x+ 1= kx+b, x +ax+ 1= kx+ b, x +x +a= kx+ b

Так как прямая является касательной к каждой из них, значит, у каждого уравнения должно быть единственное решение, получаем систему, приравнивая дискриминант каждого уравнения к нулю:

(| (1− k)2 − 4a(1− b)= 0 { (a− k)2− 4(1− b)= 0 |( (1− k)2 − 4(a− b)= 0

(|{ (1− k)2 = 4a(1− b) (a− k)2 = 4(1− b) |( (1− k)2 = 4(a− b)

Из первого и третьего уравнений:

4a(1− b)= 4(a− b)⇒ a − ab= a− b⇒ ab= b

Отсюда возможно два случая:

[ b =0, для лю бого a a =1, для любого b

Значение $a= 1$ не подходит, так как тогда первая и третья параболы совпадают, что противоречит условию об их различии.

Так как $b= 0,$ верно:

{ (1− k)2 = 4a (a− k)2 = 4

{ (1− k)2 = 4a k =a∓ 2

Получаем 2 случая:

[ (3− a)2 = 4a, если k= a− 2 (1+ a)2 = 4a, если k= a+ 2

Решения: $a= 1$ при $k= 3,$ $a= 1$ при $k =− 1,$ $a= 9$ при $k =7.$

Из всех решений подходит только одно: $a= 9$ при $k= 7.$ Получаем единственное значение параметра: $a= 9.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#104254

При каких значениях $a$ уравнение

( 2) log5x +4 1− a log25x5− 2= 0

имеет два корня, расстояние между которыми больше $24 5$ ?

Показать доказательство

Допустимые значения $x$ определяются условиями

1 x> 0, x⁄= 25

Предполагая, что эти условия выполнены, и переходя к логарифмам по основанию 5, преобразуем уравнение к виду

( 2) log5x+ 4-1−-a--− 2 =0 2+ log5x

log2x− 4a2 =0 5

log5x= ±2a

x1 =52a, x2 = 5−2a

Если $a= 0$ , то $x1 = x2 = 1$ , а если $|a|=1$ , то одно из чисел $x1,x2$ равно $125$ . Поэтому значения $a= 0,a =− 1,a =1$ не удовлетворяют условиям задачи.

Пусть $a⁄= 0,|a|⁄= 1$ , тогда уравнение имеет два различных корня.

По условию $|x1− x2|> 254$ , т. е.

| | |52a− 5−2a|> 24 5

Если $a≥ 0$ , то $52a ≥ 5−2a$ и неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:

52a− 5−2a > 245 , (52a)2− 245 ⋅52a − 1 >0 (52a − 5)(52a+ 15)> 0, 52a > 5, откуда a> 12

Если же $a <0$ , то неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:

( ) ( ) 5(−2a− 52)a( > 245 ,) 52a2+ 254 52a− 1< 0 52a +5 52a− 15 < 0, 52a < 15, откуда a <− 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#104258

Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ x2 +(2a− 2)x+ a2− 2a− 3= 0 ∘ -2-------2 ∘ -----2-------2 x + (y − a) + (x+ 4) + (y − a) = 4

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Левая часть второго уравнения есть расстояние между точками $A(0;a)$ и $B(−4;a)$ .

Поскольку расстояние между точками $A$ и $B$ равно 4, второе уравнение системы задает отрезок $AB$ , т. е. множество точек вида $(t;a)$ , где $− 4≤t ≤0$ .

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно $x$ , находим, что $x1 = −a− 1,x2 =− a+3$ . Таким образом, первое уравнение задает две вертикальных прямых на плоскости. Для того чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ровно одна из этих двух вертикальных прямых пересекала отрезок $AB$ .

Первая прямая пересекает $AB$ при $− 4≤ x1 ≤ 0$ , т. е. при $− 1 ≤a≤ 3$ ; вторая прямая - при $− 4≤ x2 ≤0$ , т. е. при $3≤ a≤ 7$ . Следовательно, система имеет ровно одно решение при $a∈ [− 1;3)∪(3,7]$ .

Ответ:

$[−1;3)∪ (3;7]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#104697

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2x x x 4 +5 ⋅4 =a ⋅4 + 6

имеет хотя бы один корень на отрезке $[1;1] 2$ .

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=4x$ и будем искать решения при $2≤ t≤4.$ Тогда уравнение принимает следующий вид:

2 t + (5− a)t− 6= 0

2 at= t+ 5t− 6

Так как $t⁄= 0,$ то

a= t+ 5− 6= f(t) t

Возьмем производную $f(t)$ и покажем, что функция возрастает

′ -6 f(t)=1 +t2 > 0

Так как $f(t)$ непрерывна и монотонно возрастает при $t∈ [2;4],$ то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения от $f(2)$ до $f(4).$

f(2)= 2+ 5− 6= 4 2

f(4)= 4+5− 6 = 7,5 4

Следовательно, нам подходят $a ∈[4;7,5].$

Ответ:

$[4;7,5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31912

Найдите наименьшее значение параметра $a$ , при котором система

(| 2 3y 23y 2 {a− 8cos 8 − 2tg 8 = 2cos2x |(2π|1+|x||cos3y+ |x|⋅(πsin23y− 16− 2π)= 0

имеет хотя бы одно решение. Найдите решения системы при данном $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Сделаем замену $|x|= t$ , $cos3y = z$ , тогда уравнение примет вид

2 h(z)= πtz − 2π(1+ t)z+ t(π+ 16)= 0

Это уравнение при $t≥ 0$ должно иметь хотя бы одно решение $z ∈ [− 1;1]$ , причем эти значения $t$ и $z$ должны удовлетворять первому уравнению. Дискриминант уравнения $h(z)= 0$ :

2 Dh =− 4π(16t− 2πt− π)

Рассмотрим $Dh =0$ :

D = 4π(π +16)> 0 Dh

Следовательно, $Dh = 0$ имеет два нуля, причем, так как $Dh(0)< 0$ , то условию $t≥ 0$ удовлетворяет только один корень, назовем его $t0$ . Тогда при $t∈[0;t0]$ имеем $Dh ≥ 0$ , при $t∈ (t0;+ ∞)$ имеем $Dh < 0$ , значит, рассматриваем только $t∈[0;t0].$ Тогда $h(z) =0$ имеет один или два корня.

Обратим внимание, что абсцисса вершины параболы $z(верш) = |1+t|= |1+ 1|> 1 t t$ (так как $t≥ 0$ ), $h(0) >0$ , следовательно, чтобы хотя бы один корень удовлетворял условию $z ∈ [−1;1]$ , парабола $h= h(z)$ должна выглядеть следующим образом:

$PIC$

Поэтому только левый корень может удовлеторять условию $z ∈[−1;1]$ и для этого нужно, чтобы $h(1)≤ 0$ , откуда $π t≤ 8$ .

Так как $(π) Dh 8 > 0$ , то при $π t≤ 8$ уравнение $h(z)= 0$ имеет корень $z =z0 ∈ (0;1]$ .

Рассмотрим первое уравнение системы:

( ) a =8cos2 3y+ 2tg23y +2cos22x ⇔ a= 2cos22x + 4 2cos2 3 y+--1---- −2≥ 7 8 8 ∈[1◟;2]п◝◜ри|x◞|≤ π8 ◟-----8-◝◜-2cos2 38y-◞ ∈[8;+∞)

Следовательно, наименьшее $a= 7$ . Тогда при нем должно быть выполнено

( |||{ |x|≤ π8 ({ π cos22x= 12 ⇔ x= ± 8 |||( 2cos2 3y = 1 (y = ± 2π3-+ 163 πn,n∈ ℤ 8

Ответ:

$a ∈{7};(±π ;2π-+ 16πn);(± π;− 2π+ 16πn) 8 3 3 8 3 3$ , $n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#77847

При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x3+ax2+ 56x− 64 =0$ составляют геометрическую прогрессию?

Показать ответ и решение

Если корни $b,bq,bq2,$ то по теореме Виета

( b(1+ q+ q2)= −a |{ 2 2 |( bq(313+ q+q )= 56 −b q =− 64 ⇒ bq =4

Из первых двух уравнений получаем $bq =− 56, a$ но

56 bq =4 ⇒ −a = 4⇒ a =− 14

Осталось проверить значение параметра $a =− 14 :$

x3− 14x2+ 56x− 64 =0 ⇐⇒ (x− 2)(x− 4)(x− 8)= 0

Т.е. корни уравнения это $x= 2, x= 4, x= 8,$ которые, действительно, образуют геометрическую прогрессию.

Ответ:

$− 14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79187

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 sin x+ asinx =a − 1

имеет решения.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $sinx =t, −1 ≤t≤ 1:$

2 2 t + at− a + 1= 0

Нужно, чтобы это квадратное относительно $t$ уравнение имело хотя бы один корень из отрезка $[−1;1].$

Ровно один корень на этом отрезке уравнение имеет в случае, когда значения функции $f(t)=t2+ at− a2+ 1= 0$ на концах отрезка имеют разные знаки (допускается при этом, чтобы одно или оба значения были равны нулю, тогда корни уравнения будут в точках -1 или 1):

f(− 1)⋅f(1)≤0

(1− a− a2+ 1)(1+a − a2+ 1)≤0

(a+ 2)(a− 1)(a− 2)(a+1)≤ 0

(a2− 1)(a2− 4)≤ 0

1≤ a2 ≤4

А также один корень (в случае нулевого дискриминанта, когда вершина касается оси и лежит на отрезке) или два корня на отрезке будет при условиях

( ||||{ y(− 1) >0 y(1)> 0 ||||( tверш ∈ [−1;1] D ≥0

(| 1− a − a2+ 1> 0 |||{ 2 | 1+a − aa + 1> 0 |||( −21≤ −22 ≤1 a +4a − 4≥ 0

( ||| −2< a< 1 |{ −1< a< 2 ||| −2≤(a≤ 2 √ ] [ √- ) |( a∈ −∞;− 255 ∪ 255;+∞

( ∘ -] [∘ --) a ∈ − 1;− 4 ∪ 4;1 5 5

Итого решения из $[−1;1]$ есть при

[ ∘ -] [∘ --] a∈ − 2;− 4 ∪ 4;2 5 5

Ответ:

$[ ∘4] [∘ 4- ] − 2;− 5 ∪ 5;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#79610

Для всех действительных параметров $a∈ [0;1]$ определите число корней уравнения

|| 11π || ||sin 24 x||= a

на полуинтервале $[0,24).$

Источники: БИБН - 2024, 11.2 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Линейное по $x$ выражение $11πx∈ [0,11π) 24$ при $x∈ [0,24)$ . Рассмотрим тригонометрическую окружность. Если $a∈ (0,1)$ , то решению $|| 11π-|| sin 24 x = a$ соответствует $4$ точки на окружности, по $2$ на каждой полуокружности, которых всего $11$ , так как аргумент принимает значения из $[0,11π)$ . Итого $11⋅2= 22$ решений.

Если $a= 0$ , то подходят точки вида $πk, k∈ ℤ$ . То есть $11$ решений в этом случае.

Если $a= 1$ , то на каждой полуокружности подходит по одной точке вида $π 2 + 2πk$ . То есть $11$ решений всего.

Ответ:

$11$ решений при $a∈{0;1}$

$22$ решения при $a∈ (0;1)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#79611

(a) Изобразите на координатной плоскости множество $A$ , заданное неравенством

2 2 x y < 2− xy

(b) Докажите, что любые две точки множества $A$ можно соединить внутри $A$ либо отрезком, либо ломаной из двух звеньев.

Источники: БИБН - 2024, 11.3 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

(a) Решим неравенство относительно замены $t= xy$

2 t + t− 2 <0 ⇐ ⇒ t∈ (− 2,1)

То есть $xy ∈(−2,1)$

В случаях $x,y > 0$ и $x,y < 0$ в первой четверти получаем часть плоскости под графиком $y = 1 x$ , а в третьей четверти часть плоскости над этим графиком.

В случае $x<,y > 0$ во второй четверти неравенству удовлетворяет часть плоскости под графиком $2 y = −x$ , а в четвертой — часть плоскости над этим графиком.

$PIC$

(b) Приведем явный алгоритм соединения двух точек получившегося множества $A$ . Будем соединять любые две точки $B$ и $D$ через точку $(0,0)$ . Для этого надо показать, что любая прямая, соединяющая точку множества и $(0,0)$ , лежит в множестве. Заметим, что при приближении из $B = (x0,y0)$ в $(0,0)$ по прямой произведение $xy$ по модулю уменьшается, а значит, если точка $B$ из множества, то и прямая из нее в $(0,0)$ тоже. Тем самым показали, что соединять $B$ и $D$ можно соединением $B$ с $(0,0)$ и $D$ c $(0,0).$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80765

Найдите все значения параметра $p$ , при которых уравнение

pcos3x+ 3(p +4)cosx =6cos2x+ 10

имеет хотя бы одно решение. Решите это уравнение при всех таких $p.$

Источники: Физтех - 2024, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

3 2 p(4cos x− 3cosx)+ 3pcosx+ 12cosx − 6(2cos x− 1)− 10= 0

3 2 4pcos x− 12cos x+ 12cosx − 4= 0

pcos3x − 3cos2x+ 3cosx− 1= 0

(p− 1)cos3x+ (cos3x − 3cos2+3cosx − 1)= 0

---- (1 − cosx)3 = (3∘ p− 1cosx)3

∘ ---- 1− cosx= 3p− 1cosx

Заметим, что $cosx⁄= 0,$ тогда из последнего уравнения получаем, что

1 cosx= 1+-3√p-− 1

Решением является

x= ±arccos---√1----+2πk, k ∈ℤ 1+ 3 p− 1

при

----1--- −1≤ 1+ 3√p-− 1 ≤1

[ 3√---- 1+ 3√p−-1≥ 1 1+ p− 1≤ −1

[ p ≥1 p ≤− 7

Ответ:

Если $p ≥1$ или $p≤ −7,$ то $x =± arccos --1√---+2πk, k ∈ℤ, 1+ 3p− 1$

при других $p$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#81380

При каких значениях параметра $b$ существует прямая, касающаяся графика функции $f(x)=x4+ bx2+x$ в двух точках? Для каждого такого значения параметра $b$ найдите уравнение соответствующей прямой.

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.7 (см. www.fa.ru)

Показать ответ и решение

Условие, что прямая вида $y =kx+ m$ касается графика $y = f(x)$ означает равенство функций и равенство производных в точке касания:

({ 4 2 x + bx +x =kx+ m (4x3+ 2bx+ 1= k

Нас интересует, когда эта система имеет ровно $2$ корня. Заметим, что система эквивалентна

( { x4 +bx2 = (k − 1)x+ m ( 4x3+ 2bx= k− 1

То есть должна существовать прямая $y =(k− 1)x +m$ , которая касается графика $y = x4+ bx2$ .

При $b≥ 0$ ее производная $4x3+ 2bx$ монотонная функция, а значит, $4x3+ 2bx= k− 1$ имеет не более одного решения, тогда и вся система имеет не более одного решения.

При $b< 0$ можно заметить, что касательные в точках локального минимума $∘--- x1,2 =± −-b 2$ (нашли их как корни производной $3 4x + 2bx =0$ ) имеют одинаковый коэффициент наклона $0$ , а также в этих точках значение функции совпадает в силу чётности. Тогда прямая $b2 b2 b2 y =x41+ bx21 = 4-− 2-= −4$ будет касательной сразу к двум точкам (только к двум точкам, потому что в точке $x= 0$ касательная $y = 0$ ; в других же точках коэффициент наклона касательной не $0$ ).

Возвращаясь к изначальным обозначениям, получаем $2 k − 1 =0;m =− b 4$ . То есть искомая касательная это $2 y = x− b 4$ .

Ответ:

при $b <0$ , прямая $y =x− b2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#83309

Область $G$ на плоскости, ограниченная двумя параболами $y =− 2x2 +3x$ и $y = x2+ px +q,$ имеет площадь 32. Вертикальная прямая $x =1$ разбивает её на две равновеликие части. Найти $p$ и $q$ .

Источники: Росатом - 2024, региональный вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим данные параболы $y(x)= −2x2+3x 1$ и $y (x)= x2+ px+ q, 2$ пусть они пересекаются в точках с абсциссами $x1 < x2.$

Ограниченная ими площадь (над одним графиком и под другим) равна модулю разности площадей под графиками на отрезке $[x1,x2].$ А это по формуле Ньютона-Лейбница считается как

||∫ x2 ∫ x2 || ||∫ x2( 2 ) || || x1 y1(x)dx− x1 y2(x)dx||= ||x1 3x + (p − 3)x+ qdx||

Заметим, что полученный интеграл равен площади под графиком параболы $3x2+(p− 3)x+ q$ на отрезке $[x1,x2]$ . По условию прямая $x =1$ делит эту площадь на две равновеликие. Значит, $x= 1$ — абсцисса вершины этой параболы. С одной стороны, она равна $3−6p,$ а с другой стороны, $x1+2x2= 1.$ Тогда находим

3−-p =1 =⇒ p= −3 6

Теперь запишем данное в условии значение площади и получим уравнение на оставшийся параметр:

| | 32= ||∫ x2(3x2− 6x+ q)dx||=||(x3− x3− 3(x2 − x2)+q(x − x))||= |x1 | 2 1 2 1 2 1

| | | | = |(x2− x1)(x21 +x22+ x1x2 − 3x1− 3x2 +q)|=|(x2 − x1)((x1+x2)2− x1x2− 3(x1+ x2)+q)|=

|| 2q|| |||∘---4q 2q||| (∘ ---q)3 = ||(x2− x1)(−2+ 3-)||= || 4− -3 (2− 3-)||= 4 1− 3

(∘---q)3 8= 1 −3

q 4= 1− 3

q = −9

Ответ:

$p =−3,q = −9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#84104

Даны высказывания:

A := число x является реш ением неравенства x− 1< 0, 2 B := число x является реш ением неравенства x − 1< 0.

Являются ли эти высказывания эквивалентными? Какое из них является необходимым условием для другого (а какое — достаточным)? Какое из этих неравенств естественно считать следствием другого неравенства?

Показать ответ и решение

Так как неравенство из утверждения $A$ имеет множество решений $(−∞; 1),$ а неравенство из утверждения $B$ имеет множество решений $(−1;1),$ и эти множества не совпадают, то неравенства не эквивалентны.

Так как $(−1;1)⊂ (−∞;1),$ то из $B$ следует $A$ (то есть для любого $x,$ удовлетворяющего $B,$ верно $A;$ заметим, что наоборот это неверно).

Ответ:

неэквивалентны, из $B$ следует $A.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#84105

Даны три утверждения:

(a) уравнение $x +x1= a$ не имеет корней;

(b) справедливо равенство $√--------- a2− 4a+ 4= 2− a;$

При каких $a$ два из утверждений (a)–(c) истинны, а одно ложно?

Показать ответ и решение

Найдём сначала подходящие значения $a$ для каждого утверждения по отдельности.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(a) Пусть $x ⁄=0,$ тогда

x2− ax +1 =0

Заметим, что $x= 0$ точно не является корнем данного уравнения, поэтому проверка после нахождения корней не нужна. Квадратное уравнение не имеет корней, когда дискриминант отрицателен, тогда

D = a2 − 4< 0

a∈(−2;2)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(b) Выделим полный квадрат в подкоренной выражении

∘ ------ (a− 2)2 =2 − a

|a− 2|= 2− a

Значит, нужно, чтобы модуль либо был равен 0, либо раскрылся со знаком минус. Это происходит в случае

a− 2≤ 0

a ∈(−∞;2]

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(c) Заметим, что $(−y)2 = y2$ и $sin2(−y)= sin2(y).$ Значит, если $(x0,y0)$ является решением данной системы, тогда $(x0,−y0)$ тоже является решением. Следовательно, чтобы решение было единственно, то данные решения должны совпадать, а это возможно только, когда $y0 = 0.$ Подставим это значение в исходную систему

{ x= a =⇒ a= −3 x= −3

Теперь мы поняли, что все $a,$ кроме $a= −3,$ нам не подходят. Осталось сделать проверку для $a= −3.$

{ x+y2 = −3 x− sin2y =− 3

{ 2 x+ 3= −y2 x+ 3= sin y

Из первого уравнения видно, что $x+ 3≤ 0,$ а из второго видно, что $x +3 ≥0.$ Следовательно, $x =−3.$ Подставив $x$ в систему, получим $y = 0.$ Значит, $(3,0)$ будет единственным решением, т.е. $a= −3$ подходит.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Теперь отметим на числовой прямой, когда верно каждое из утверждений.

$PIC$

Видно, что под условия задачи подходят $a∈ {− 3} ∪(−2;2).$

Ответ:

${−3}∪ (− 2;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#84106

Найдите все пары $(a,b)$ такие, что любая пара $(x,y)$ , удовлетворяющая уравнению

x y = a,

удовлетворяет уравнению

(x+y)2 = b.

Показать ответ и решение

Исходя из условий, нам нужно подобрать такие $(a,b),$ чтобы

x 2 y = a =⇒ (x +y) = b

Значит, при подходящих $(a,b)$ второе равенство в частности должно быть верно для точек $(a,1)$ и $(2a,2),$ т.к. они удовлетворяют первому равенству, подставив их, получим систему

{ (a+ 1)2 = b (2a+ 2)2 = b

{ 2 (a+ 1)=2 b 4(a+ 1) = b

Следовательно,

4b= b ⇐ ⇒ b =0

Подставив значение $b$ в первое уравнение системы, получим

(a+ 1)2 = 0

a= −1

Мы показали, что если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для $a= −1,b= 0.$ Проверим

x 2 y =− 1 =⇒ (x+ y) =0

Подходит. Значит, $(− 1,0)$ — ответ.

Ответ:

$(−1,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#84107

Найдите все значения $a$ , при которых истинно утверждение:

(a) для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 7x+ 6< 0$ , необходимо, чтобы выполнялось неравенство $|x− 3|<a$ ;

(b) для того, чтобы выполнялось неравенство $x2− 4x≤ 0$ , достаточно, чтобы выполнялось неравенство $x2− (2a +1)x+ a2 +a <0$ .

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что $x2 − 7x+ 6= (x − 1)(x − 6),$ поэтому решения неравенства $x2 − 7x+ 6< 0$ — это $x∈ (1;6).$ Тогда $|x− 3|< a$ является необходимым условием, если его множество решений содержит $(1;6)$ (иначе найдутся такие $x,$ что неравенство $|x− 3|<a$ неверно, а условие $2 x − 7x+ 6< 0$ верно). Ясно, что $a> 0,$ иначе $|x− 3|< a$ не имеет решений. Возведем неравенство в квадрат:

(x − 3)2 < a2

Перенесем $a2$ влево и разложим по разности квадратов:

(x− 3− a)(x− 3+a)< 0

Тогда решения этого неравенства — это $x∈ (3− a;3+a),$ так как $a> 0.$ Так как это множество должно содержать $(1;6),$ то получаем систему неравенств:

{ 3 − a≤ 13+ a≥ 6

Решаем оба неравенства

{ a≥ 2a≥ 3

Решения этой системы: $a ∈[3;+ ∞)$

(b) Так как $2 x − 4x= x(x − 4),$ то неравенство $2 x − 4x≤ 0$ имеет множество решений $[0;4].$

Условие $2 2 x − (2a+ 1)x+a + a< 0$ является достаточным для $2 x − 4x≤ 0,$ если его множество решений содержится в множестве $[0;4].$

Заметим, что

x2− (2a +1)x+ a2 +a =x2− (a+(a+ 1))x+ a(a +1)

Тогда по теореме Виета корни этого квадратного трехчлена $x1 = a$ и $x2 =a +1.$ Тогда решения неравенства $2 2 x − (2a+ 1)x+a + a< 0$ — это $x∈ (a;a+ 1).$ Так как это множество должно содержаться в $[0;4]$ имеем систему

{ a≥ 0a+1 ≤4

Тогда получаем $0≤ a≤ 3,$ то есть $a ∈[0;3].$

Ответ:

(a) $a∈ [3;+∞ );$

(b) $a∈[0;3].$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#84109

При каких $a$ уравнение

7 2 2sin x= (1 +sinπa)sinx +asinx

равносильно уравнению

( 2 ) 6 2 3 (a− 1) 1+ cos x + 2sin x= 2sin x+ 2(a− 1)?

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 0$ является корнем первого уравнения, следовательно, при нужных значениях $a$ он будет корнем и второго уравнения. Подставив $x= 0$ во второе уравнение, получим

3 (a− 1)(1+ 1)+0= 0+ 2(a − 1)

3 (a− 1)= (a− 1)

⌊ a= 1 |⌈ a= 0 a= 2

Значит, если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для данных значений $a.$ Сделаем проверку, подставив их.

Пусть $a= 1,$ тогда первое уравнение примет вид

2sin7x = sinx+ sin2x

А второе —

2sin6x = 2sin2x

Заметим, что $π x= − 2$ удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

2⋅(−1)7 = −1+ (−1)2

−2= 0

$x= − π 2$ не является корнем первого, поэтому данное $a$ нам не подходит.

Пусть $a= 0,$ тогда первое уравнение примет вид

2sin7x =sinx

А второе —

2 6 2 −1− cos x+ 2sin x =2sin x − 2

2sin6x= 1+ sin2x− 2+1

2sin6x= sin2x

Заметим, что $4∘-1 sinx = 2$ удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому

( ∘--)7 ∘ -- 2 4 1 = 4 1 2 2

(∘ -)3 ∘ -- 4 1 = 41 2 2

$∘41- sinx= 2$ не является решением первого, поэтому данное $a$ нам не подходит.

Пусть $a= 2,$ тогда первое уравнение примет вид

7 2 2sin x= sinx +2sin x

А второе —

1+cos2 x+2sin6 x= 2sin2x+ 2

2sin6x= 2sin2x +1− cos2x

2sin6x = 3sin2x

При $sin x⁄= 0$ во втором уравнении можно поделить левую и правую часть на $sin2x,$ получим

4 2 sin x= 3

Но $sin x∈ [−1;1],$ поэтому левая часть не более 2, значит, она никак не может быть равна 3. Из этого понимаем, что решений, кроме $sinx= 0,$ быть не может.

Теперь рассмотрим первое уравнение. Докажем, что у него есть решение, отличное от $sinx= 0.$ При $sinx⁄= 0$ поделим левую и правую часть на $sin x$

2sin6x = 1+2sinx

Сделаем замену $sin x= t,$ где $t∈ [−1;1],$

2t6− 2t− 1 =0

Рассмотрим правую часть как функцию

f(t)= 2t6− 2t− 1

Она непрерывна, при этом $f(− 1) =2+ 2− 1= 3> 0$ и $f(0)= −1< 0,$ значит, на интервале $(−1,0)$ есть корень данной функции. Что и требовалось доказать.

Ответ: ни при каких

Следующая подтема