Тема Системы уравнений и неравенств

Оценки в системах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений и неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80763

Решите систему уравнений

{ √x+-3− √4−-x−-z+5 =2∘y-+-x−-x2-+z; |y+ 1|+ 3|y − 12|=√169-− z2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое уравнение выглядит не очень приятным, так что попробуем разобраться со вторым уравнением. Тут у нас ограниченный корень и сумма модулей. Чем можно воспользоваться?

Подсказка 2

Правильно, оценкой. Аккуратно оценим обе части уравнения и подумаем при каких условиях достигается равенство.

Подсказка 3

Отлично, у нас получилась единственная пара (y,z), которую можно подставить в первое уравнение и найти x.

Подсказка 4

Чтобы не возводить в много раз в квадрат уравнение, сделаем замену корней на a и b. Тогда можно записать систему и найти x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

∘------2 √--- 169− z ≤ 169=13

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим $|y+ 1|+ |y − 12|,$ которое не меньше $13,$ так как $|a|+|b|≥ a+ b,$ где $a =y+ 1, b= 12− y.$ В итоге имеем

|y+ 1|+|y− 12|≥ 13

Прибавим к последнему неравенству $2|y− 12|,$ тогда получим

|y+1|+ 3|y− 12|≥ 13+ 2|y− 12|

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше $13.$ В итоге, получили, что левая часть не меньше $13,$ а правая часть не больше $13.$ Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы $y = 12, z = 0.$ Подставим полученные значения $y$ и $z$ в первое уравнения системы для нахождения $x.$

√x+-3− √4−-x−-0+ 5= 2∘12-+-x−-x2+0

---------- √x-+-3− √4-−-x+5 − 2∘ (x +3)(4− x)= 0

Сделаем замену

{ √ ---- a =√-x+-3, a≥ 0, b= 4 − x, b ≥0

Заметим, что $2 2 a + b =7.$ Запишем систему

{ a−2 b+25− 2ab= 0 a + b =7

(| b−-5- ||{ a= 1− 2b || ( )2 |( 1b−− 52b + b2 =74x4− 4x3− 26x2+18x+ 18

4 3 2 4b-− 4b-−-26b-+2-18b-+18= 0 (1 − 2b)

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

4b4− 4b3− 26b2+18b+ 18 =0 ⇐ ⇒ 2(b2+b− 3)(2b2− 4b− 3)=0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

√-- ⌊ b= −1±--13- || 2 |⌈ 2± √10 b= --2---

С учетом ограничений получаем следующие $b$

⌊ √-- b= −1+--13- ||| 2 ⌈ 2+-√10 b= 2

Тогда сделаем обратную замену

⌊ √-- √4-− x-=-13−-1 ||| 2 ⌈ √ ---- 2+√10- 4− x = 2

⌊ √-- √-- | x= 4− 7−2-13= 1+-213 ||⌈ √-- √-- x= 4− 7+-2-10= 1−-2-10 2 2

Ответ:

$(1+ √13 ) (1− 2√10 ) ---2--;12;0 , ---2---;12;0$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63741

Решите систему уравнений

{ x10+ x10+ ...+ x10=310 x133+ x233+ ...+ x9323=333 1 2 92

Источники: ОММО-2023, номер 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу понимаем, что, скорее всего, эта система "нормально" не решается. У нас два уравнения с кучей неизвестных. Но одно из решений мы сразу угадываем — это один из x равен 3, а остальные 0. Давайте поделим обе части первого уравнения на 3¹⁰. Как тогда можно оценить каждое из слагаемых?

Подсказка 2

Ага, тогда понятно, что каждое из слагаемых не превосходит единицы, так как степень у них чётная. Значит, для любого 1≤k≤92 получаем, что |x_k/3|≤1. Не забываем про модуль, так как извлекаем корень из чётной степени. Но раз у нас число меньше 1 то, что можно сказать о нём при возведении в степень?

Подсказка 3

Верно, тогда это число в 33 степени меньше, чем в 10. Теперь, учитывая это, попробуйте записать неравенство для второго и первого уравнения, используя неравенство с модулем. Выходит, что возможен только случай равенства |x_k/3|³³ = |x_k/3|¹⁰ для данных k.

Показать ответ и решение

Заметим, что

( x1)10 (x2)10 ( x92)10 3 + 3 +...+ 3 = 1

Тогда для каждого $1≤k ≤92$ имеем $|xk| |3-|≤1,$ откуда

|x |33 |x |10 ||k3|| ≤ ||k3||

Окончательно получим

|( ) ( ) ( ) | 1= ||| x1 33+ x2 33+ ...+ x92-33|||≤ 3 3 3

≤ |||x1|||33+ |||x2|||33+ ...+|||x92|||33 ≤ 3 3 3

| | | | | | ≤ ||x1||10+ ||x2||10+ ...+||x92||10 = 3 3 3

= (x1)10+ (x2)10+ ...+ (x92)10 =1. 3 3 3

Значит, для каждого $k$ выполнено

||xk||33 ||xk||10 |3| = |3|

откуда

xk ∈ {−3,0,3}

Отсюда несложно получаем, что тогда один из $x k$ равен $3,$ а все остальные равны $0.$

Ответ: одна из переменных равна 3, все остальные равны 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31281

Найдите действительные решения системы уравнений

{ x2− 4x +4y+ 27= 0; y2+ 2x +8y+ 10= 0.

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 2 2 x − 2x+ 1+y + 12y+36= 0⇐ ⇒ (x − 1) + (y+ 6) =0 ⇐⇒ x= 1,y = −6

Осталось проверить решения, подставив их в первое уравнение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(1,− 6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#34755

Найдите все действительные решения системы уравнений

{ x2+ 7x− y+ 11 =0; y2+ 3x− y+ 15 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Квадратные трёхчлены —> полезно будет выделить полные квадраты! Но выделять их, когда на месте удвоенного числа стоят 7 или 3 не супер приятно. Может вспомним, что перед нами система? Что в ней часто спасает?

Подсказка 2

Сложите уравнения! Тогда уже полные квадраты выделяются чётко, и мы вновь получаем стандартную для оценки конструкцию, из которой явно находим икс и игрек. Получается, задачка решена?

Подсказка 3

А вот и нет! Когда мы складываем уравнения системы, мы получаем лишь её следствие – не факт, что все решения действительно подходят, так что обязательно нужно сделать проверку!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения:

2 2 (2 ) ( 2 ) x +10x+ y − 2y +26= 0 ⇐⇒ x +10x+ 25+ y − 2y+ 1 = 0 ⇐⇒

2 2 ⇐⇒ (x +5) +(y− 1)= 0

Сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. Поэтому из последнего равенства $x =− 5$ и $y =1$ . Мы нашли решение следствия системы, но не факт, что оно является решением исходной системы. Но после подстановки найденных значений $x$ и $y$ убеждаемся, что они подходит, и пишем ответ.

Ответ:

$(−5;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#34756

Решите систему:

{ x2+ y2+ 2(x− y)+2 =0; z2+ xz+ yz− 4 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое уравнение в системе по-вашему приятнее выглядит? Конечно же, первое – там хотя бы переменных две! А ещё там квадратные трёхчлены относительно обеих переменных… Красивые трёхчлены!

Подсказка 2

Выделяем полные квадраты и получаем единственные подходящие x и y! А подставив их во второе уравнение системы, мы и z отыщем!

Показать ответ и решение

Выделим квадраты в первом уравнении

2 2 (x+1) + (y− 1) =0 ⇐ ⇒ x =− 1,y =1

Подставляя во второе уравнение, получаем $z2− 4= 0 ⇐⇒ z = ±2$ , откуда и получаем ответ

Ответ:

$(−1;1;2),(−1;1;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#45002

Решите систему уравнений

{ 4x2− 4x4+y =ey, 2arcsinx+ arccosy =0.

Показать ответ и решение

Система определена при $x,y ∈ [−1;1].$

При замене $2 t=x$ первое уравнение системы равносильно

2 y 4t− 4t= e − y

Вычитая единичку из обеих частей, получаем

2 y −(2t− 1) = e − y− 1

Левая часть неположительна. Докажем, что правая часть неотрицательна, то есть

f(y)= ey− y− 1 ≥0

По знакам производной $f′(y)= ey − 1$ понимаем, что функция $f(y)$ принимает наименьшее значение при $y = 0$ , так что $f(y)≥f(0)= 0.$

Получили

0≥ −(2t− 1)2 =ey− y− 1≥ 0,

так что должно достигаться равенство, откуда $2t= 1 ⇐⇒ |x|= 1√2$ и $y = 0$ . При этом условии выполняется первое уравнение системы.

Подстановкой во второе уравнение системы при $x= √12,y = 0$ получаем неверное равенство

2 ⋅ π+ π =0, 4 2

поэтому эта пара не подходит. А вот пара $(x= − 1√2;y =0)$ подходит, так как равенство

2 (− π)+ π = 0 4 2

верно.

Ответ:

$(−√1-;0) 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77812

Найдите для всех натуральных $n >1$ положительные решения системы

{ x +2x + ⋅⋅⋅+ nx = 3 11+ -21-+⋅⋅⋅+-1n =3 x1 2x2 nxn

Источники: Бельчонок - 2022, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слишком много переменных, и еще они умножаются на коэффициенты какие-то. Попробуем вместо переменных x_i ввести y_i таким образом, чтобы нам стало приятнее жить. И для y_i уже можно что-то заметить.

Подсказка 2

Думаю, Вы догадались, что замена нужна такая: i*x_i = y_i. Тогда обращаем внимания, что во втором уравнении слагаемые - обратные величины к слагаемым первого. Что мы знаем про сумму положительного числа и его обратной величины?

Подсказка 3

Как с помощью этого неравенства мы можем отбросить из рассмотрения много случаев?

Подсказка 4

На этом этапе вам остается рассмотреть отдельно n = 2 и n = 3 и решить задачу для них. Здесь уже нет ничего сложного!!

Показать ответ и решение

Обозначим $y = kx k k$ и сложим уравнения системы:

( 1-) ( 1-) ( 1-) y1+ y1 + y2+ y2 + ...+ yn+ yn =6

Для положительных чисел справедливо неравенство об обратных: $a + 1a ≥ 2.$ Поэтому левая часть не меньше $2n,$ отсюда $n ≤3.$ При $n= 3$ каждое из слагаемых равно $2,$ отсюда $y1 =y2 = y3 = 1,$ и $x1 = 1,x2 = 12,x3 = 13.$ При $n =2$ получается система:

{ { x1+2x2 = 3, ⇒ 2x2 = 3− x1, 1x1-+ 12x2-=3. 1x1-+ 3−1x1-=3.

Решая последнее уравнение, получаем, что $3±√5 3∓√5 x1 =--2-,x2 =-4--.$

Ответ:

$x = 3±√5,x = 3∓√5 1 2 2 4$ при $n= 2;$

$1 1 x1 =1,x2 = 2,x3 = 3$ при $n= 3;$

при других $n$ решений не существует.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31169

Решите систему уравнений

{ xy − z2 = 9, x2 +y2+ z2 = 18.

Источники: по мотивам ОММО - 2020

Подсказки к задаче

Подсказка

Три неизвестные в двух уравнениях - плохо. Или наоборот хорошо? Можно не решать алгебраически, а смухлевать заменой: используйте первое уравнение и оценку на сумму квадратов во втором неравенством о средних

Показать ответ и решение

Система равносильна

{ 2xy = 18+ 2z2, x2 +y2 = 18− z2.

Так как $x2+ y2 ≥ 2xy$ , то

18− z2 ≥18+ 2z2 =⇒ z2 ≤ 0=⇒ z = 0

В итоге получим систему

( |{ z = 0; | x2+ y2 =2xy; ( xy = 9.

То есть $x= y = ±3,z =0,$ откуда и получаем ответ.

Ответ:

$(−3,−3,0),(3,3,0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49484

Решите систему уравнений

(| √x = y+z; { √y = z+2x-; |( √- x+2y- z = 2 .

Источники: Высшая проба - 2023, 8.3 (см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1. давайте попробуем поиграться с оценками в этой задаче, так как уравнения как бы зациклены. давайте упорядочим числа, например х <= y <= z и попробуем тогда оценить корни x и z через соответсвующие переменные. то есть корень из х нам нужно оценить через х, используя уравнение из условия и наше упорядочивание. то есть два слагаемых из правой части оцениваем в соответсвии со знаками между x, y, z и получаем, что корень из х, например, больше х. тогда можно сделать вывод о том, какому промежутку х принадлежит - [0, 1] или [1, ∞].

Подсказка 2!

2. теперь попробуем это использовать - заметим, что z принадлежит [1, ∞], а х [0, 1]. тогда из первого уравнения (y+z)/2 это тоже число из [0, 1]. и аналогично рассмотрим третье уравнение, для него аналогично проводим оценку, но с числом из [1, ∞].

Подсказка 3!

3. осталось аккуратно вывести к тому, что и чисел должны быть определенные значения, чтобы все оценки сошлись!

Показать ответ и решение

Первое решение.

На ОДЗ все переменные неотрицательны. Если хотя бы одна равна нулю, то сумма остальных также нулевая и все переменные равны $0$ . Учтём это и далее будем считать, что все переменные больше нуля.

Не умаляя общности (в силу симметрии), пусть $x≤ y ≤ z$ , тогда посмотрим на первое уравнение

√- y+z x+ x x = -2--≥ -2--= x ⇐⇒ x∈ [0,1]

При этом для последнего уравнения

√ - z = x+2-y≤ z+2-z= z ⇐⇒ z ≥ 1

Итак, с одной стороны $- √x ∈[0,1]$ и $y+z2-∈[0,1] ⇐⇒ y+ z ∈[0,2] =⇒ y ∈[0,1]$ (поскольку $z ≥ 1$ ). С другой стороны, $- √z ≥ 1$ , откуда $x+2y≥ 1 =⇒ x= y = 1$ (поскольку только в этом случае возможно равенство). Отсюда сразу же получаем $z =1.$

Второе решение.

ОДЗ: $x≥ 0,y ≥0,z ≥ 0$ . Пусть, не умаляя общности, $x ≤y ≤z.$

К неотрицательным числам мы имеем право применить неравенство о средних для двух чисел:

(|{ √x= y+2z≥ √yz; √y = z+2x≥ √zx; |( √z = x+2y≥ √xy.

Перемножая неотрицательные части всех неравенств системы получаем следствие $√xyz ≥ xyz.$ Отсюда

xyz ≤ 1 (*)

Докажем, что для нетривиального ( $0,0,0)$ решения системы в этом неравенстве должно достигаться равенство.

Сложим три уравнения исходной системы:

√x+ √y +√z-= x+y +z

Нам подходит случай $x =y =z =0,$ эта тройка удовлетворяет исходной системе. Иначе из равенства выше делаем вывод, что все три числа меньше единицы быть не могут, ведь тогда левая часть равенства очевидно окажется больше правой (для $t= 0 √t =t,$ для $0 <t< 1 √t->t).$

Рассмотрим тогда случай, когда ровно два числа меньше единицы: $x ≤y <1 ≤z$ . Но тогда и третьей число оказывается меньше единицы: $√z = x+y< 1+1 =⇒ z < 1. 2 2$

Рассмотрим случай, когда ровно одно число меньше единицы: $x< 1≤ y ≤ z.$ Но это противоречие $1> √x= y+z≥ 1+1= 1. 2 2$

Остаётся случай, когда $1 ≤x ≤y ≤z.$ Но тогда $1 ≤xyz.$ Но из (*) $xyz ≤ 1$ (это было следствие системы после применения неравенства о средних). Остаётся только вариант, чтобы в неравенстве достигалось равенство, для (*) это, как известно, происходит при равенстве чисел. Из системы получаем $x= y = z = 1.$

Ответ:

$(0;0;0),(1;1;1)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел