Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#92978Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение $x2 =y2+ 4y+ 11.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте вспомним стандартные методы решения таких уравнений. Можно как-нибудь разложить выражение на скобочки, получить произведение, равное числу, и перебрать. Можно зажать что-то между квадратами.

Подсказка 2

Давайте запишем левую часть в виде (y+2)²+7. Кажется, теперь понятно, как реализовать оба способа из первой подсказки.

Показать ответ и решение

Перепишем равенство в следующем виде:

2 2 x = (y+ 2) + 7

Таким образом, мы получаем два квадрата, отличающихся на $7.$ Давайте заметим, что между $52$ и $42$ разница уже больше $7.$ Значит, между большими квадратами разница будет также больше $7,$ так как разность между соседними квадратами — возрастающая функция, а разница между несоседними квадратами включает в себя разницы между некоторыми соседними.

Значит, $x2$ и $(y+ 2)2$ могут принимать значения $0,1,4,9,16.$ С помощью перебора понимаем, что $x2 =16,(y +2)2 = 9,$ откуда $x =±4,y = −2 ±3.$

Ответ:

$x =±4,y = −2 ±3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#92980Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

2 2 2 13x + y + z − 4xy− 6xz+y =5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что выражение слева чаще всего принимает довольно большие значения, то есть оно может равняться 5 при очень ограниченном количестве значений, если вообще может.

Подсказка 2

Выражение слева выглядит довольно сложным. Чтобы реализовать догадки из подсказки 1, его нужно преобразовать к более простому виду.

Подсказка 3

Попробуйте поискать полные квадраты и выделить их в левой части, это поможет реализовать подсказки.

Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты:

2 2 (2x − y) + (3x− z) +y = 5

Получаем, что сумма двух квадратов и натурального числа равна $5.$ Значит, квадраты могут принимать лишь значения $0,1,4.$ Возможны случаи, когда квадраты равны $1$ и $1,1$ и $0,0$ и $1,0$ и $4,4$ и $0,0$ и $0.$ Осталось перебрать их и написать ответ.

Ответ:

$(2,4,5),(2,4,7),(2,3,5),(1,3,2),(2,3,7),(1,3,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#92981Максимум баллов за задание: 7

Пусть $p,q$ — различные простые числа. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $1 + 1= 1-? x y pq$

Подсказки к задаче

Подсказка

В этой задаче нужно просто преобразовать уравнение, избавиться от дробей и вы получите стандартное уравнение в целых числах, в котором p и q - некоторые константы.

Показать ответ и решение

Запишем равенство в виде

2 2 (pq− x)(pq− y)= pq

Заметим, что обе скобки меньше $pq,$ а значит, если они больше $0,$ то их произведение меньше $p2q2.$ То есть обе скобки отрицательны. Заметим, что в качестве решения подойд̈eт любой вариант вида $(d,p2q2∕d),$ где $d$ — делитель $p2q2.$ Таких вариантов ровно $9.$

Ответ:

$9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#93142Максимум баллов за задание: 7

Решите в простых числах уравнение

xyz =7(x+ y+z).

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правая часть делится на 7. Можно ли сразу узнать одно из чисел?

Подсказка 2

Верно! В силу простоты получаем, что одно из чисел равно 7. Можно считать, что это z, а в конце учесть перестановки. Тогда уравнение будет иметь вид x + y + 7 = xy. Попробуем применить разложение на множители!

Подсказка 3

Верно! Уравнение можно привести к виду (x-1)(y-1) = 8. Осталось просто перебрать все возможные варианты!

Показать ответ и решение

Так как правая часть делится на $7,$ то одно из чисел равно $7.$ С точностью до перестановки можно считать, что это $z.$ Задача свелась к решению уравнения

x +y+ 7= xy

которое можно записать в виде

(x− 1)(y− 1)= 8

Поскольку ни один из множителей не может равняться $8$ (тогда соответствующее простое число равнялось бы $9$ ), то

x − 1= 2, y − 1= 4 (или наоборот)

Ответ:

$(3;5;7)$ с точностью до перестановки

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#94430Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число $n ≥2024$ имеет простой делитель $p >3$ и другой делитель $q,$ связанный с $p$ соотношением

(p− 1)(q+ 3)= n− 3

Найти наименьшее возможное при эти этих условиях число $n.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По сути, данное выражение позволяет нам выразить n как сумму, в которой каждое слагаемое зависит от p и/или q. Как можно это использовать, зная про делимость из условия?

Подсказка 2

В нашем выражении два из трёх слагаемых делятся на p, результат (n) — тоже делится на p, тогда что можно сказать о связи p и последнего слагаемого? Проделайте аналогичные рассуждения относительно делимости на q. Какой вывод можно сделать о связи p и q?

Подсказка 3

Подстановка полученного соотношения в равенство из условия поможет нам выразить n через простое число p. Осталось лишь при помощи неравенств понять, какое p нам подойдёт, чтобы все условия выполнились!

Показать ответ и решение

Раскроем скобки:

pq− q+3p= n

(1)

По условию, $p$ — делитель числа $n,$ поэтому из $(1)$ следует, что $q$ делится на $p.$ Следовательно, $q = kp,$ $q$ — делитель $n,$ поэтому из $(1)$ следует, что $3p$ делится на $q.$ Следовательно, $k =3⇒ q = 3p$ (случай не $k= 1$ подходит, так как $p ⁄=q).$ Тогда, следуя $(1),$ получаем, что $n =3p2.$ Теперь следует выбрать минимальное простое число $p,$ для которого $3p2 ≥ 2024.$ Таким простым числом является $p =29⇒ n = 2523.$

Ответ:

$2523$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#95968Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом. Напомним, что натуральное число называется простым, если у него ровно $2$ делителя: $1$ и само это число. Начало ряда простых чисел: $2,$ $3,$ $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ …

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Представим, что такая пара существует. Пусть это пара p, q. Тогда по условию p² - q² — простое число. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 2

p² - q² = (p - q) * (p + q) и по условию такое число простое. В таком случае, что можно сказать про p - q?

Подсказка 3

p - q должно быть равно 1. Ведь иначе, p² - q² не будет простым по определению. Остаётся найти такие простые числа, разность между которыми равна 1!

Показать ответ и решение

Пусть $p$ и $q$ — простые числа и $p2− q2 = (p − q)(p+ q)$ — простое число. Тогда $p− q = 1.$ Следовательно, одно из наших чисел чётно, то есть $q = 2,$ $p= 3.$

Ответ: (2; 3)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#96951Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

3 2 3 3x +5x y− 7y =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, что будет, если у этого уравнения есть решение? Может из одного решения мы можем сделать ещё какое-то?

Подсказка 2

Да, если мы найдём хотя бы одно решение данного уравнения, поделив x и y на их НОД, мы получим ещё одно решение! Но как же тогда найти хотя бы 1 решение?

Подсказка 3

Так как мы разделили числа на их НОД, получим x₀, y₀ такие, что их НОД = 1, то есть числа взаимно простые. Но разве тогда существует решение?

Подсказка 4

Нет. Осталось понять, почему.

Показать ответ и решение

Пусть имеется некоторое решение уравнения, разделив $x$ и $y$ на их наибольший общий делитель получим пару, являющуюся решением. То есть наличие решений гарантирует наличие решения с взаимно простыми $x0,y0.$ Тогда $3 2 3 3x0+ 5x0y0− 7y0 = 0,$ то есть $2 3 x0(3x0+ 5y0) =7y0,$ а значит, $3 7y0$ делится на $2 x0.$ Тогда $2 x0$ — делитель $7,$ следовательно $x0 = 1.$ Получаем $3 3+ 5y0 = 7y0.$ Тогда $y0 = 1$ не является решением, а при $y0 ≥2$ правая часть больше.

Ответ:

Нет решений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#97420Максимум баллов за задание: 7

Решить в целых числах ( $n$ — фиксированное натуральное число):

n 77 x+ 133y = 210.

Показать ответ и решение

Заметим, что $210 =77+ 133.$ Тогда уравнение можно записать в виде

n−1 77(77 x− 1)=133(1 − y)

n−1 11(77 x − 1)= 19(1− y)

Таким образом, $1− y = 11k$ и $77n−1x− 1 =19k.$ Для $n = 1$ задача решена. Пусть $n≥ 2.$ Тогда $77n−1x= 19k+ 1$ и теперь нужно найти такие $k,$ при которых $19k +1$ делится на $77n−1.$ Это эквивалентно сравнению

n−1 19k ≡− 1 (mod 77 )

Легко видеть, что $φ (77n−1)=60⋅77n−2.$ Тогда по теореме Эйлера имеем

k ≡−1960⋅77n−2−1 (mod 77n−1)

Таким образом, $k= 77n−1t− 1960⋅77n−2−1,t∈ℤ.$ Окончательно получаем

n−2 x= 19(77n−1t− 1960⋅77--−1)+1 77n−1

n−1 60⋅77n−2−1 y =1 − 11⋅(77 t− 19 )

Ответ:

При $n= 1:$ $x =19k+ 1,y =1 − 11k;$ при $n≥ 2:$

$19(77n−1k−1960⋅77n−2−1)+1 x= 77n−1$

$n−1 60⋅77n−2− 1 y = 1− 11⋅(77 k− 19 ),$ где $k∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#97683Максимум баллов за задание: 7

Найдите все простые числа $p$ и $q$ такие, что $p3 − q2 = (p− q)2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрытие скобок не приносит хороших результатов, но мы знаем, что спрашивают именно про простые решения, поэтому можно попробовать сказать что-нибудь про делимость. По какому модулю полезно рассмотреть это уравнение?

Подсказка 2

Конечно, по простому модулю из нашего уравнения. Возьмём, например, р. Тогда -q²≡ q² (mod p). Какие выводы из этого можно сделать?

Показать ответ и решение

Рассмотрим это уравнение по модулю $p.$ Тогда получается сравнение $− q2 ≡ q2. p$ Тогда $2q2$ делится на $p,$ поэтому $2$ или $q2$ делится на $p.$ Так как $q$ и $p$ простые, то это означает, что либо $p =2,$ либо $q = p.$ Для случая $q = p$ получаем, что $3 2 p = p ,$ то есть $p =1,$ что невозможно. Если же $p= 2,$ то после подстановки и преобразований получаем уравнение $2 (q− 1) =3,$ неразрешимое в целых числах.

Ответ:

таких $p$ и $q$ не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#97684Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$ таких, что $(2p− q)2 = 6p− q.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раскрытие скобок не приносит хороших результатов, но мы знаем, что спрашивают именно про простые решения, поэтому можно попробовать сказать что-нибудь про делимость. По каким модулям полезно рассмотреть это уравнение?

Подсказка 2

Конечно, по простым модулям из нашего уравнения! Но условия от одного модуля p или q может и не хватить, так что полезно рассмотреть оба модуля. Тогда выразив p и q через друг друга, мы можем попробовать получить какое-то выражение на одно из них.

Показать ответ и решение

Сначала рассмотрим тривиальный случай $q =p.$ Тогда $p2 = 5p,$ то есть $p =5 =q.$ Пусть теперь $p ⁄=q.$

Рассмотрим уравнение по модулю $p.$ Тогда $2 q ≡p −q.$ Так как $q$ и $p$ различные простые, имеем $q ≡p −1.$ Таким образом, $q = cp− 1,c≥ 0.$ Подставляем в уравнение!

2 (p(2− c)+1) = p(6− c)+1

2 2 p (2− c) +2p(2 − c)+ 1= p(6− c)+ 1

2 p(2− c)+ 2(2 − c)= 6− c

p(2− c)2 = 2+ c

Рассмотрим вырожденный случай $c=2.$ Тогда $q = 2p− 1.$ Получается, что $2p≡q 1.$ Рассматривая исходное уравнение по модулю $q,$ получаем $(2p)2 ≡q 6p,$ то есть $1≡q 3.$ Тогда $2 ≡q 0,$ что означает, что $2$ делится на $q$ и, следовательно, $q = 2.$ При этом $2p= q+ 1= 3,$ что невозможно. Тогда $c⁄=2$ и поэтому верно равенство

p= -2+-c2 (2− c)

Для $c= 1$ получаем $p= 3$ и $q = 2.$ Подстановка в уравнение показывает, что это действительно решение.

Для $c= 3$ имеем $p =5$ и $q =14$ — не простое число.

Для $c= 4$ получаем $p= 6 4$ — нецелое. Для $c≥ 5$ имеем $(c− 2)2 > c+2,$ поэтому $p< 1,$ что невозможно.

Ответ:

$(3,2);(5,5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#97685Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение $a!2− b= b!.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Факториал числа х точно делится на все числа, не превосходящие х. Какой модуль можно рассмотреть в этой задаче?

Подсказка 2

Удобно рассмотреть как модуль меньшее из чисел a, b. Тогда возникнут два случая, которые нужно аккуратно разобрать.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая. Первый случай: $a≥ b.$ Тогда рассмотрим уравнение по модулю $b!.$ Очевидно, что $a!≡ 0. b!$ Тогда $b ≡ 0. b!$ Поскольку $b!≥ b,$ то это возможно только в случае, когда $b= b!,$ то есть $b=1$ и $b= 2.$ При $b=1$ имеем $2 a!− 1= 1,$ то есть $2 a! = 2,$ что невозможно. При $b= 2$ имеем $2 a! =4,$ откуда $a!=2$ и $a =2.$

Рассмотрим теперь $a ≤b.$ Тогда $a!≤b!.$ Предположим, что $b≥ a!.$ Если $a ≥3,$ то $2 (a!)!> a! .$ Но тогда $2 b!≥(a!)!>a!,$ что невозможно, поскольку $2 2 b!= a! − b<a! .$ Тогда $a= 1$ или $a =2.$ При $a= 1$ решений нет. При $a= 2$ получаем $4− b=b!.$ Тогда перебором находим $b= 2$ (ясно, что $b ≤3$ ).

Теперь $a!> b.$ Рассмотрим исходное уравнение по модулю $a!.$ Тогда $− b≡a! 0.$ Поскольку $b$ — натуральное число, меньшее $a!,$ решений нет.

Ответ:

$(2,2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#97690Максимум баллов за задание: 7

Существует ли натуральное число $n,$ которое можно представить как в виде $n= a2− b,$ так и в виде $n =b2− c,$ где $a,$ $b$ и $c$ — три различных натуральных делителя числа $n?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Делитель числа n точно не больше, чем n, поэтому a² и b² должны быть достаточно близки к n. Какую оценку на a позволяет сделать такое соображение?

Подсказка 2

Ага, а²>n, ведь n=а²-b, поэтому а>√n. Если а²>(√n+1)², то b>2√n. Найдётся ли в таком случае c, подходящее под условие?

Подсказка 3

Верно, не найдётся, потому что c будет больше n, но это противоречие с делимостью. Какой вывод тогда отсюда остаётся сделать? Разберите другой случай, противоречие будет уже с другим требованием задачи для a, b, c.

Показать ответ и решение

Предположим, что такие $n,$ $a,$ $b,$ $c$ существуют. Понятно, что $a≥ √n.$ Пусть $a≥ √n +1.$ Тогда $a2 > n+ 2√n.$ Значит, $√- b> 2 n.$ Тогда $2 b > 4n,c >3n.$ Противоречие, так как $c≤ n.$ Значит, $√- a= ⌈ n⌉.$ Тогда получаем, что $a$ — делитель $n,$ и отсюда

2 2 a ≥ n> (a− 1) > a(a − 2)

Значит, $n= a(a − 1),$ ведь $a$ — делитель $n.$ Тогда $b= a.$ Противоречие с тем, что $a$ и $b$ различны.

Ответ:

Не существуют

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#97691Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $(n,p),$ где $p$ простое и

2 2 2 1+ 2+ ...+ n= 3⋅(1 + 2 + ...+p )

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С суммой большого числа слагаемых в рамках равенства или делимости работать неудобно. Как её можно свернуть?

Подсказка 2

Верно, 1+2+...+n=n(n+1)/2, a 1²+2²+...+p²=p(p+1)(2p+1)/6. Раскрытие скобок даст равенство двух почти произвольных многочленов, но ведь р - простое! Полезно будет рассмотреть уравнение по модулю р.

Подсказка 3

Одно из чисел n, n+1 делится на р, можно рассмотреть два случая: n=pk и n+1=pk. Тогда уравнение можно сократить на p, но дальше возникнет другое уравнение, в котором опять не получается просто раскрыть скобки. Но мы ведь всё ещё знаем остаток по модулю р для k из выражения!

Показать ответ и решение

Свернём суммы и домножим на $2.$ Решить нужно $n(n +1)= p(p +1)(2p+ 1).$ Одна из скобок слева делится на $p,$ а вторая взаимно проста с $p.$ Все сравнения по модулю $p.$ Рассмотрим $2$ случая:

1.: Пусть $n = pk.$ Тогда сократим на $p$ и подставим: $k(pk+ 1)= (p+ 1)(2p+ 1).$ Рассмотрим получившееся выражение по модулю $p$ — $k ≡ 1.$ Тогда $k= ap+ 1.$ Получаем, что $a= 0$ не подходит, пусть $a≥ 1.$ Тогда $k≥p +1,$ а $pk+ 1> 2p+1,$ поэтому равенство невозможно.
2.: Пусть $n +1= pk.$ Тогда сократим на $p$ и подставим: $(pk− 1)k = (p+ 1)(2p+ 1).$ Рассмотрим получившееся выражение по модулю $p$ — $k≡ p− 1.$ Тогда $k= ap − 1.$ Снова получаем, что $a= 0$ не подходит, пусть $a= 1.$
Тогда $2 (p − p − 1)(p− 1)= (p +1)(2p+ 1).$ Это уравнение не имеет натуральных корней.
Пусть $a =2.$ Тогда $2 (2p − p− 1)(2p− 1) =(p+ 1)(2p+1).$ Это уравнение имеет корень $p= 2.$ Тогда $n =5.$
Пусть $a ≥3.$ Тогда $k≥ 3p− 1≥ 2p +1,$ и $pk − 1> p+ 1.$ Значит, в этом случае решений нет.

Таким образом, получили единственную пару $(5,2).$

Ответ:

$(5;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#99355Максимум баллов за задание: 7

Наверное, всем известна Великая теорема Ферма. Её мы оставим на последнюю пробную, а пока предлагаем Вам доказать, что $k(m2−n2)k(m2+n2) (x,y,z)= (mnk, 2 , 2 ),$ где $m,n$ — взаимно простые нечётные натуральные числа, $m > n,k$ — произвольное натуральное число, — в точности решения следующего уравнения в натуральных числах:

2 2 2 x +y = z .

Примечание: То, что такие тройки — в точности решения данного уравнения, означает, что подходят такие и только такие тройки $(x,y,z)$ .

Показать доказательство

Если $(x,y,z)= k,$ то уравнение $x2+ y2 =z2$ можно разделить на $k2,$ и числа $x,y,z$ останутся целыми. Тогда теперь можно полагать, что $x,y,z$ взаимно просты в совокупности. Утверждение о взаимной простоте $x,y,z$ в совокупности, очевидно, эквивалентно утверждению о взаимной простоте $x$ и $y$ (следует из равенства $2 2 2 x + y = z$ ). Итак, тогда числа $x,y$ взаимно просты. Ясно, что они оба не могут быть четными и не могут быть оба нечетными (тогда $2 2 2 x + y ≡4 2≡4 z ,$ что невозможно). Можно считать, что $x$ нечетно, а $y$ четно. Тогда $z$ нечетно.

Уравнение можно записать так: $2 x = (z − y)(z+ y).$ Заметим, что числа $a= z− y$ и $b=z +y$ нечетны и взаимно просты (легко проверить с помощью свойства $НОД (m, n) =Н ОД(n,m − n)$ ). Так как $a,b$ взаимно просты, то являются полными квадратами, поскольку $2 ab= x .$ Тогда $2 a= m$ и $2 b= n ,$ где $m$ и $n$ — нечетные взаимно простые числа. Таким образом, $x= mn,$ $1 2 2 y =2(n − m )$ и $1 2 2 z = 2(n +m ).$ Ясно, что $x$ и $y$ можно переставить местами, а также умножить все эти числа на некоторый коэффициент.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#102333Максимум баллов за задание: 7

При каких натуральных $a$ и $b$ числа $a2b+3$ и $b2a+ 3$ являются точными кубами?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из выражений в условии выделить полный куб не получается. Что будет, если перемножить эти выражения?

Подсказка 2

Тогда получится что-то близкое к (ab+1)³, причём другие кубы точно не подойдут(почему?). Осталось разобрать только этот случай.

Показать ответ и решение

Давайте перемножим эти два числа. Тогда $(a2b+ 3)(ab2 +3)= n3$ для некоторого натурального $n.$ Левая часть прошлого равенства на самом деле точно больше $33 ab$ и точно меньше, чем $3 33 22 (ab+ 2) = a b+ 6a b+ 12ab+8$ в силу того, что

22 2 2 6a b≥ 3(ab+ ab)

12ab +8> 9

Следовательно,

a3b3+ 3(a2b+ ab2)+ 9=(ab+ 1)3 ⇐⇒ 3(a2b+ab2− ab− a2b2)= −8

Последнее равенство не может быть верно в силу того, что левая часть делится на $3,$ а правая нет. Следовательно, таких натуральных $a$ и $b$ не существует.

Ответ:

Ни при каких

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#102754Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнения

(a) $x2 = 26+ y2;$

(b) $4xy = 2x+ 2y− 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт а

Слева и справа есть по одному квадрату, что так и хочется с ними сделать?

Подсказка 2, пункт а

Перенесите x и y в одну сторону и разложите по формуле разности квадратов! Тогда нам нужно понять, а какие целые значения могут принимать скобки слева?

Подсказка 3, пункт а

Одна из скобок обязательно чётная. Поэтому мы можем сделать некоторые выводы о чётности x и y.

Подсказка 4, пункт а

Итак, x и y нечётные. А давайте вспомним, что по модулю 4 у нечётных квадратов не так уж и много вариантов остатков ;) Тогда имеет смысл рассмотреть обе части уравнения из условия по модулю 4.

Подсказка 1, пункт б

В уравнениях и x с коэффициентом, и y, и xy... Это наталкивает на мысль о разложении на множители!

Подсказка 2, пункт б

(2y-1)(2x-1) = -4. Осталось лишь понять, какие же значения могут принимать скобочки ;)

Показать ответ и решение

(a) Преобразуем исходное уравнение к виду

(x− y)(x +y)= 26

Тогда либо разность, либо сумма $x$ и $y$ чётная, поэтому числа $x$ и $y$ имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая:

1) $x$ и $y$ — чётные. Тогда $x2$ и $y2$ делятся на 4. Но тогда 26 тоже должно делится на 4, что не верно.

2) $x$ и $y$ — нечётные. Рассмотрим таблицу остатков при делении квадратов на 4:


$x$	$x2$

$0$	$0$

$1$	$1$

$2$	$0$

$3$	$1$

Из нечётности $x$ и $y$ следует, что $2 x$ и $2 y$ дают остаток 1 при делении на 4. Но тогда левая часть уравнения $2 2 x = 26 +y$ даёт остаток 1 при делении на 4, а правая даёт остаток 3 при делении на 4, отсюда решений в целых числах нет.

Итак, в итоге уравнение не имеет решений в целых числах.

(b) Перенесём всё в левую часть и преобразуем выражение:

4xy − 2x− 2y+ 5= 0

2x(2y − 1)− (2y− 1)+4 =0

(2y− 1)(2x− 1)=− 4

Заметим, что в обеих скобочках нечётные числа, а, значит, их произведение тоже нечётно, что неверно, так как оно равно $− 4.$ Таким образом, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ:

(a) Решений нет; (b) Решений нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#102755Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение:

(a) $4x+ 5y = 1;$

(b) $5x− 9y = 24.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт а

Перед нами диофантово уравнение, поэтому мы можем найти лишь одно решение, а остальные записать через него. Давайте подставим какие-то маленькие значения x и y.

Подсказка 2, пункт а

x = -1, y = 1 является решением! Осталось вспомнить, как же выражаются другие решения через него ;)

Подсказка 3, пункт а

x = -1 - 5t, y = 1 + 4t, где t -- целое.

Подсказка 1, пункт б

Давайте подбирать y небольшим, прибавлять к 9y 24 и смотреть, не делится ли число на 5.

Подсказка 2, пункт б

x = 12, y = 4 является решением! Тогда, аналогично пункту a, можно остальные решения выразить через текущее!

Показать ответ и решение

(a) Найдём частное решение уравнения. Пусть $(x;y)= (−1;1).$ Проверим, подставив в уравнение:

4⋅(−1)+ 5⋅1= 1 =⇒ 1 =1 =⇒ (− 1;1)— является реш ением.

Тогда общим решением уравнения будет:

{ x= −1− 5t y =1 +4t , t∈ ℤ

(b) Найдём частное решение уравнения. Пусть $(x;y)= (12;4).$ Проверим, подставив в уравнение:

5 ⋅12− 9⋅4= 24 =⇒ 24= 24 =⇒ (12;4)— является реш ением.

Тогда общим решением уравнения будет:

{ x= 12+ 9t y =4 +5t , t∈ℤ

Ответ:

(a) $(−1 − 5t;1+ 2t),t∈ℤ;$

(b) $(12+ 9t;4+ 5t),t∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#102756Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение

x +y =xy.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как мы работаем в целых числах, а уравнение незамысловатое, то имеет смысл как-то связать y и x. Давайте внимательно посмотрим, на что делятся обе части равенства.

Подсказка 2

Обе части равенства делятся и на y, и на x. Что это говорит о делимостях y и x?

Подсказка 3

x делится на y, а y делится на x. В каком случае такое возможно?

Подсказка 4

Либо x = y, либо x = -y! Осталось аккуратно рассмотреть два случая ;)

Показать ответ и решение

Заметим, что правая часть уравнения делится на $x,$ а, значит, левая часть уравнения тоже должна делиться на $x.$ То есть $x+ y$ делится на $x,$ откуда $y$ делится на $x.$ Аналогично, левая часть уравнения делится на $y,$ а значит, $x$ делится на $y.$ Отсюда,

|x|= |y|

Раскроем модуль и рассмотрим два случая:

1) $x= y.$ Тогда

x+ x= x⋅x

2x = x2

x(x− 2) =0

Отсюда, $y =x =0$ или $y = x= 2$

2) $x= −y.$ Тогда

x − x =− x⋅x

0=− x2

Отсюда, $x =y =0$

Итак, получили два решения: $(0;0)$ и $(2;2).$

Ответ:

$(0;0),(2;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#102757Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах:

(a) $x2+ 4x− 8y =11;$

(b) $2x2− 5y2 = 7.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт а

Почти все коэффициенты делятся на 4, а квадрат у нас даёт интересные остатки по этому же модулю.

Подсказка 1, пункт б

На какое деление намекают коэффициенты 2, 5 и 7?

Подсказка 2, пункт б

Рассмотрим у обеих частей равенства остатки при делении на 7. Какой остаток при делении на 7 может давать 2x²? А 5x²?

Подсказка 3, пункт б

2x² должно давать такой же остаток при делении на 7, как и 5x². Давайте тогда запишем таблицу остатков и проверим, бывает ли такое?

Показать доказательство

(a) Перепишем уравнение в виде:

2 x + 1= −4x+ 8y +12

Заметим, что правая часть уравнения делится на 4, а, значит, левая тоже должна делиться на 4, то есть $x2+ 1$ кратно 4. Рассмотрим таблицу остатков $x2+1$ по модулю 4:


$x$	$x2$	$x2+ 1$

$0$	$0$	$1$

$1$	$1$	$2$

$2$	$0$	$1$

$3$	$1$	$2$

Таким образом, $2 x + 1$ в любом случае не может делится на 4, а, значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

(b) Заметим, что числа $2 2x$ и $2 5y$ имеют одинаковый осток по модулю 7, так как их разность делится на 7. Рассмотрим возможные остатки этих чисел по модулю 7:


$x$	$x2$	$2x2$

$0$	$0$	$0$

$1$	$1$	$2$

$2$	$4$	$1$

$3$	$2$	$4$

$4$	$2$	$4$

$5$	$4$	$1$

$1$	$1$	$2$


$y$	$y2$	$5y2$

$0$	$0$	$0$

$1$	$1$	$5$

$2$	$4$	$6$

$3$	$2$	$3$

$4$	$2$	$3$

$5$	$4$	$6$

$1$	$1$	$5$

Из таблиц мы видим, что числа $2 2x$ и $2 5y$ могут давать одинаковый остаток при делении на 7, только если они оба делятся на 7. Но если $2 2x$ делится на 7, то $2 x$ делится на 7, а, значит, $x$ делится на 7, откуда $2 2x$ делится на 49. Аналогично, $2 5y$ должно делиться на 49. Отсюда разность $2 2 2x − 5y = 7$ кратна 49, что неверно. Получается, решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#104604Максимум баллов за задание: 7

Найти все пары целых чисел $m$ и $n,$ удовлетворяющие уравнению

2 2 6m − 2n + mn= 3

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение

2 2 2n − mn − 6m + 3= 0

как квадратное относительно $n.$ Тогда $Dn =49m2 − 24.$ Ясно, что необходимо условие $Dn =b2.$ Тогда имеем $(b− 7m)(b+7m) =24.$

Можно считать, что $m,b ≥1.$ Тогда возможны случаи

b− 7m =3 и b+7m = 8

b− 7m = 2 и b+ 7m =12

b− 7m = 1 и b+ 7m =24

поскольку $b+7m ≥ 8.$ Заметим, что $b− 7m$ и $b+7m$ имеют одинаковую четность. Остается случай $b− 7m =2$ и $b+ 7m= 12.$ Тогда $m = 1$ (но можно $− 1$ в силу симметрии) Следовательно, $Dn = 25$ и, так как $m-±√Dn- n= 4 .$ Подставляя $Dn = 5$ и $m =±1$ и выбирая целые значения $n,$ получаем решения $m =1,n= −1$ и $m = −1,n= 1.$

Ответ:

$(1,− 1);(− 1,1)$

Следующая подтема