Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#74244Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары целых чисел $x$ и $y$ , для которых выполнено

5 5 5 5 x +y + 1= (x+2) + (y− 3)

Показать ответ и решение

По МТФ $t5 ≡ t (mod 5).$ Следовательно, левая часть равенства сравнима с $x+ y+1,$ а левая — с $x +2+ y− 3= x+ y− 1.$ Если эти выражения сравнимы по модулю $5,$ то $1≡ −1 (mod 5),$ а это неверно.

Ответ:

нет решений

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#74245Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x$ и $y$ таких, что

2 4 3 2 x + x= y + y +y + y

Показать ответ и решение

Попробуем собрать слева и справа полные квадраты. Домножим на $4$ и прибавим $1,$ чтобы было удобнее это делать. Получим равенство

2 2 2 2 (2x +1) = (2y + y)+ 3y +4y +1

Заметим, что при натуральных $y$ выражение $3y2 +4y+ 1$ положительно. Значит, $(2x+1)2 > (2y2+ y)2,$ откуда получаем неравенство

2 2 2 2 2 2 3y +4y+ 1≥ (2y + y+ 1) − (2y + y) =4y + 2y+1

Его решения: $y ∈ [0;2].$ Осталось сделать перебор и выписать ответ.

Ответ:

$(5,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#74246Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в простых числах

2 3 p − pq− q = 1

Источники: Туймаада

Показать ответ и решение

Если записать равенство в виде $p(p− q)= q3+ 1,$ станет понятно, что $p> q.$ Теперь запишем равенство так: $(p− 1)(p+ 1)= q(q2+p).$ Возникает желание разобрать два случая.

Первый случай, $p− 1$ кратно $q,$ то есть $p =kq+ 1,k ≥1.$ Подставим это в уравнение и получим: $2 2 q + (k− k )q− 2k+ 1= 0.$ Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $q.$ Дискриминант равен $2 2 (k − k) + 8k − 4.$ Он должен быть точным квадратом. Следовательно, $2 2 2 (k − k) + 8k− 4= m .$ Ясно, что $8k − 4> 0,$ значит

8k− 4= m2− (k2− k)2 ≥ 2k2 − 2k+ 1

Получаем, что $k∈ [1,4].$ Делаем перебор, находим ответы.

Второй случай, $p +1$ кратно $q,$ то есть $p= kq− 1.$ Аналогичными рассуждениями получим уравнение $2 2 q + (k − k )q +2k− 1= 0.$ Далее требуем, чтобы дискриминант был квадратом: $2 2 2 (k − k)− 8k+ 4= m .$ Получаем ограничения на $k:$

2 2 2 2 2 2 2 2 8k− 4= (k − k) − m ≥ (k − k) − (k − k− 1) = 2k − 2k− 1

откуда $k∈ [1,4].$ Перебираем и выписываем ответ.

Ответ:

$p =7,q = 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#75876Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение $x2 +3x+ 7= y2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти решения при фиксированном y².

Подсказка 2

Получается, что при фиксированной правой части у нас есть два решения, сумма которых равна -3. Также стоит учесть, что правая часть это y². Тогда мы можем вписать решения, которые следуют из нахождения одного решения (x, y).

Подсказка 3

Очень часто, когда мы хотим доказать, что что-то не является квадратом, то мы пробуем зажимать его между двумя. Быть может, такое можно сделать и тут? При каких x такое можно провернуть?

Подсказка 4

Из наших наблюдений о решениях достаточно рассматривать x > -3/2, y > 0. При каких из них можно зажать левую часть между квадратами?

Подсказка 5

Рассмотрите отдельно случаи x > 3, x = 2, ..., -1.

Показать ответ и решение

Заметим, что если $(x ,y ) 0 0$ — решение, то $(−3− x ,y ),(x ,− y),(− 3− x ,−y ) 0 0 0 0 0 0$ тоже решения. Тогда достаточно найти все решения вида $(x,y),x≥ −3∕2,y ≥ 0,$ остальные будут производными от этих.

1) Если $x> 3,$ то $2 2 2 (x +2) > x +3x+ 7> (x+ 1) .$ Значит, $2 x + 3x+7$ не может быть квадратом целого числа при таких ограничениях.

2) $x= 3;$

$2 2 x + 3x+ 7= 25= y;$

${(3,±5),(− 6,±5)}$ — решения

3) $x= 2;$ $2 x + 3x+ 7= 17$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

4) $x= 1;$ $2 x + 3x+ 7= 11$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

5) $x= 0;$ $x2+ 3x+ 7= 7$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

6) $x= −1;$ $x2 +3x+ 7= 5$ — не квадрат, решений в целых числах нет;

Ответ:

${(3,±5),(− 6,±5)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#75877Максимум баллов за задание: 7

Существует ли натуральное число, являющееся точным квадратом, которое можно представить в виде суммы $4$ квадратов последовательных натуральных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Существует ряд модулей, по которым квадраты натуральных чисел дают "приятные остатки". К их числу относиться, например, модуль 5, квадрат натурального числа может давать только остатки 0, 1,-1. А по какому модулю можно рассмотреть данное уравнение?

Показать ответ и решение

Пусть такое число $A$ существует. И пусть оно представляется как $A =(x− 1)2+ x2+ (x +1)2+(x+ 2)2 =4x2+ 4x+ 6(x≥ 2).$ Но если $x$ — натуральное, то:

8x +4 >4x+ 6> 4x+ 1

4x2+8x+ 4> 4x2+4x +6> 4x2+ 4x +1

(2x+2)2 > A >(2x+ 1)2

Т.е. мы зажали наше $A$ между двумя последовательными квадратами натуральных чисел. Следовательно $A$ не может являться квадратом натурального числа.

Ответ:

Не существует

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#75879Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение: $2n+ 15n = x2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Степени данных чисел находятся все дальше от друга при увеличении чисел. Как можно воспользоваться этим в данном задании?

Подсказка 2

Было бы приятнее работать в случае, если n было бы четным, тогда мы могли бы рассматривать все слагаемые уравнения как квадраты. Докажите, что случай нечетного n невозможен по модулю 3.

Подсказка 3

Иногда в задачах на проверку существования какой-либо степени числа полезно зажимать данное число между двумя соседними числам, которые являются теми же степенями. Используйте, что 15^n больше 2^n, следовательно, квадрат их суммы должен быть не сильно больше, чем 15^n, которое само по себе является квадратом.

Подсказка 4

Докажите, что 2^n + 15^n < (15^(n/2)+1)^2.

Показать ответ и решение

Рассмотрим остатки по модулю 3: $2n ≡ (−1)n,15n ≡0,x2 ≡ 0,1$ $(mod 3).$ Из этого следует, что $n$ — четное (иначе $n n 2 + 15 ≡ −1 (mod 3)).$ Тогда $n 15$ — квадрат натурального числа. Рассмотрим квадрат следующего натурального числа:

n 2 n n (152 + 1) =15 + 2⋅152 + 1=

n √--n n n n n 2 n =15 + 2⋅ 15 + 1> 15 + 2⋅2 +1 >15 + 2 = x > 15

Получается, что мы $x2$ зажали между двумя квадратами последовательных натуральных чисел. Значит, что тогда $x$ не будет целым. Т.е. решений в натуральных числах нет.

Ответ:

Нет решений

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#75881Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $m$ и $n$ такие, что числа $m2 +5n$ и $n2+ 4m$ являются точными квадратами.

Показать ответ и решение

Разберем два случая. Сначала предположим, что $m ≤n.$ Тогда $n2 < n2+ 4m≤ n2+ 4n< (n +2)2.$ Следовательно, $n2+4m = (n+1)2,$ откуда $4m =2n+ 1,$ что невозможно из соображений четности.

Теперь предположим, что $n < m.$ Тогда $2 2 2 2 m <m + 5n < m + 6m< (m +3),$ откуда либо $5n= 2m +1,$ либо $5n= 4m+ 4.$ Изучим каждый из этих подслучаев отдельно.

Если $5n = 2m + 1,$ то $4m =10n− 2$ и число $2 n + 10n− 2$ является квадратом. Это квадрат числа, большего $n$ и меньшего $n+ 5,$ той же четности, что и $n.$ Следовательно, либо $2 2 n + 10n − 2= n + 4n+ 4,$ либо $2 2 n +10n− 2= n +8n +16.$ В итоге или $n =1$ и $m = 2,$ или $n = 9$ и $m = 22.$

Если же $5n= 4m +4,$ то $4m = 5n− 4$ и число $2 n + 5n− 4$ является квадратом. Это квадрат числа, большего $n$ и меньшего $n+ 3.$ Значит, либо $2 2 n + 5n− 4= n + 2n +1,$ либо $2 2 n + 5n− 4= n +4n +4.$ Первое уравнение имеет нецелый корень, а второе дает $n= 8,$ откуда $m =9.$

Ответ:

$(m,n)= (2,1),(22,9),(9,8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#75882Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $x$ такие, что $4x5− 7$ и $4x13− 7$ — точные квадраты.

Показать ответ и решение

$1)$ Перемножим наши $2$ точных квадрата, получив тоже точный квадрат

5 13 18 13 5 2 (4x − 7)(4x − 7)= 16x − 28x − 28x +49= A

$2)$ Т.к. при нечетном $x$ $4x5− 7≡ 4− 7 ≡5$ (mod 8), а квадраты по модулю 8 сравнимы только с $± 1,$ делаем вывод, что $x$ четное.

$3)(4x9− 7x4)2 = 16x18− 28x13+ 49x8 >16x18 − 28x13 >16x18− 28x13− 28x5+ 49= A2 2 4$ при $x ≥2.$

$4)$ При $x ≥3$ верно, что $49+ 7-− 48+ 28< 5+ 1+1 +1= 8. 4x x5 x9 x4$ Домножив на $x9,$ получим

49 8 4 5 9 4 x +7x − 48+28x < 8x

49 4-x8− 8x9+ 7x4+1 <− 28x5+ 49

16x18 − 28x13 + 49x8− 8x9+7x4+ 1< 16x18− 28x13− 28x5 +49 4

(4x9− 7x4− 1)2 < A2 2

Получаем, что при $x≥ 3$ $A2$ лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел. Значит, единственное возможное значение $x$ — $2.$ При проверке получаем, что $4x5− 7 =112,4x13− 7= 1812.$

Ответ:

$x =2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#76175Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки натуральных чисел $(x,y,z),$ для которых выполняется

3 3 3 x + y +z − 3xyz =p

где $p$ — простое число, большее $3.$

Показать ответ и решение

Заметим, что $x3+y3+ z3− 3xyz = (x+ y+ z)(x2+y2+ z2− xy − yz− zx).$ Первая скобка в силу натуральности $x,y,z$ хотя бы $3.$ Вторая скобка всегда неотрицательна ( $2 2 2 2 2 2 x + y + z − xy− yz− zx = ((x− y)+ (y− z) + (z− x))∕2$ ), а значит, она может принимать значения либо $0,$ либо $1,$ либо большие $1.$ Первый и последний случаи нам не подходят, т.к. произведение первой и второй скобки будет либо $0,$ либо составное число. Значит, вторая скобка может принимать только значение $1.$ Тогда $2 2 2 (x− y)+ (y− z) + (z − x) = 2.$ Но когда сумма квадратов двух целых чисел равна $2?$ Только когда один из квадратов равен $0,$ а остальные равны $1.$ Тогда тройка $x,y,z$ содержит числа $a,a,a± 1$ в каком-то порядке для какого-то $a∈ ℕ.$ Значит, наше изначальное уравнение сводится к нахождению таких $a,$ что $a+ a+ a± 1= p.$ Т.к. любое простое число, большее $3$ представляется в виде $3n ±1,$ то наше уравнение всегда имеет решение, причем единственное.

Ответ:

( $(p− 1)∕3,(p− 1)∕3,(p+ 2)∕3$ ) и все перестановки этого решения при $p= 3k+ 1,k ∈ℤ$ или ( $(p +1)∕3,(p+1)∕3,(p− 2)∕3$ ) и все перестановки этого решения при $p= 3k− 1, k∈ℤ$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#76176Максимум баллов за задание: 7

Пусть $p,q$ — различные простые числа. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $p + q= 1? x y$

Показать ответ и решение

py+ qx= xy ⇒ xy− py− qx +pq = pq ⇒ (x− p)(y− q)= pq

Т.к. $p$ и $q$ простые числа, а $x$ и $y$ натуральны, возможны только эти $8$ случаев.

$1)x− p= q,y − q = p$

$x= y = p+ q$ — решение $1;$

$2)x− p= p,y − q = q$

$x= 2p,y =2q$ — решение $2;$

$3)x− p= −q,y− q =− p$

$x= p− q,y =q − p$ — не решение, поскольку либо $x< 0,$ либо $y < 0;$

$4)x− p= −p,y− q =− q$

$x= y = 0$ — не решение, т.к. $x,y$ не натуральны;

$5)x− p= pq,y− q = 1$

$x= pq+ p,y = 1+ q$ — решение $3;$

$6)x− p= 1,y − q = pq$

$y = pq+ q,x= 1+ p$ — решение $4;$

$7)x− p= −pq,y − q = −1$

$x= p− pq < 0$ — не решение;

$8)x− p= −1,y− q =− pq$

$y = q− pq < 0$ — не решение;

Итого у нас всего $4$ решения. Все они различные, т.к. отношение $x :y$ во всех случаях различные ( $1,p:q,p :1,1:q$ соответственно в каждом случае).

Ответ:

4 решения — ${(p+ q, p+ q), (2p, 2q), (pq+ p, 1 +q) (1+ p, pq+ q)}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#76177Максимум баллов за задание: 7

Найдите все простые $p,$ для которых уравнение $x4+ 4= py4$ разрешимо в целых числах.

Показать ответ и решение

4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 x +4 =x + 4x + 4− (2x) =(x + 2) − (2x) = (x − 2x+ 2)(x +2x +2)= py

$1)$ Пусть $y$ четное. Тогда $x4$ четное; тогда $x$ четное; тогда $x4$ делится на $16;$ тогда $x4+ 4$ делится на $4,$ но не на $8;$ тогда $py4$ делится на $4,$ но не на $8,$ что невозможно. Значит $x,y$ — нечетные.

$2)Н ОД(x2+2x+ 2, x2− 2x +2)= НОД(x2+ 2x+ 2, 4x)= НОД (x2+ 2x+ 2, x)= НО Д(2,x)= 1.$ Второй переход верен в силу того, что $x2+ 2x+ 2$ нечетное. Тогда

a) $x2 +2x+ 2= u4$ и $x2 − 2x+ 2= pv4$ ( $НОД (u,v)= 1$ ). Но тогда $(x+ 1)2+ 1= (u2)2,$ что возможно только при $x =− 1.$ Отсюда $p =5,y = 1.$

б) $2 4 x +2x+ 2= pu$ и $2 4 x − 2x+ 2= v$ ( $НОД (u,v)= 1$ ). Но тогда $2 2 2 (x− 1)+ 1= (v) ,$ что возможно только при $x =1.$ Отсюда $p =5,y = 1.$

Ответ:

Только при $p =5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#76178Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение $(xy− 7)2 =x2+ y2.$

Показать ответ и решение

2 2 2 (xy− 7)= x + y

2 2 2 2 x y − 14xy+ 49− x − y = 0

x2y2− 12xy+ 36− x2− 2xy− y2 +13= 0

(xy − 6)2− (x+ y)2 =− 13

(xy− x− y− 6)(xy +x +y− 6)= −13

Т.к. $x$ и $y$ — натуральные, то каждая из скобок представляет собой целое число. Произведение двух целочисленных скобок равно $− 13$ (а $13$ число простое) только в этих случаях:

$1)xy− x− y− 6 =13,xy+y − 6 =− 1$

$x+ y = −7,xy = 12$

$x= −3, y = −4$ или $x= −4, y =−3$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

$2)xy− x− y− 6 =− 13,xy+ x+ y− 6 =1$

$x+ y = 7,xy =0$

$x= 0, y = 7$ или $x= 7, y =0$ — $x$ или $y$ не натуральное. Не решение;

$3)xy− x− y− 6 =− 1,xy+ x+ y− 6= 13$

$x+ y = 7,xy =12$

$x= 3, y = 4$ или $x= 4, y =3$ — Решения $1$ и $2;$

$4)xy− x− y− 6 =1,xy+ x+ y− 6 =− 13$

$x+ y = −7,xy = 0$

$x= 0, y = −7$ или $x= −7, y = 0$ — $x$ и $y$ не натуральны. Не решение;

Итого у нас всего $2$ решения в натуральных числах.

Ответ:

$(3, 4), (4, 3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#76179Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение $x2 +6xy+ 8y2+ 3x+ 6y = 2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слева есть произведение xy и квадраты x² и y². Это намекает, что можно попытаться разложить выражение в левой части на целые скобки.

Подсказка 2

Понятно, что для разложения на множители, надо будет перегруппировать слагаемые, причем в одной скобке будем выносить x с каким-то коэффициентом, а в другой — y тоже с каким-то коэффициентом. Мы хотим, чтобы после этих вынесений получились два слагаемых с одинаковыми скобками. Тогда перед вынесением надо перегруппировать так, чтобы получились две скобки, в каждой из которых есть xy с коэффициентом. Можно ли получить сумму таких скобок?

Подсказка 3

Подумаем, с каким коэффициентом можно было бы вынести y из одной из скобок. У нас есть 8y² и 6y. Их общую часть будем выносить, то есть 2y. С каким коэффициентом хочется выделить xy для скобки, из которой будем выносить 2y?

Подсказка 4

Конечно, этот коэффициент должен быть четным, так как выносим 2y. Так что глобально в первую очередь хочется попробовать два варианта: 2xy и 4xy. Получится ли тогда разложить?

Подсказка 5

Да, получится! Сгруппируем так: (x² + 4xy + 3x) + (8y² + 2xy + 6y). Тогда получится следующее разложение: (x + 2y)(x + 4y + 3). Тогда у нас получилось, что произведение двух целых скобок равно 2. При каких условиях это могло произойти?

Показать ответ и решение

Левую часть разложим на целые скобки

2 2 x + 6xy+8y + 3x+ 6y =(x+ 2y)(x+ 4y+3)

Целые делители двойки (правая часть) это $±1,±2.$

$1)x+ 2y = 2,x+ 4y+ 3= 1 ⇐⇒ x= 6,y =− 2$

$2)x+ 2y = 1,x+ 4y+ 3= 2 ⇐⇒ x= 3,y =− 1$

$3)x+ 2y = −2,x +4y+ 3= −1 ⇐⇒ x =0,y = −1$

$4)x+ 2y = −1,x +4y+ 3= −2 ⇐⇒ x =3,y = −2$

Ответ:

$(6, −2), (3, −1), (0, − 1), (3, −2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#76180Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $m$ и $n$ такие, что выполнено

4 2 4 2 4 2 4 2 2 (1 + 1 +1)⋅(2 + 2 + 1)⋅(3 +3 + 1)⋅...⋅(n + n + 1)=m

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит рассмотреть выражение x⁴+x²+1 и как-нибудь его преобразовать.

Подсказка 2

Давайте заметим, что x⁴+x²+1=(x²+1)²-x²= (x²-x+1)(x²+x+1). Как это применить к задаче?

Показать ответ и решение

4 2 2 2 2 2 a + a +1 =(a − a+1)(a + a+ 1),(a+ 1) − (a +1)+ 1= a +a+ 1

Тогда

∏n n∏ n−∏1 i4 +i2+ 1= (i2+ i+1)(i2− i+1)= (14− 12+ 1)⋅ (i2+ i+1)2⋅(n2 +n +1) i=1 i=1 i=1

Получается, что нам достаточно найти такие $n,$ что последний множитель квадрат, т.к. остальная часть уже квадрат. Но $n2+ n+1$ не является квадратом при натуральном $n.$ Получается, что решений в натуральных числах нет.

Ответ:

Решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#76182Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целые тройки $(x,y,z),$ для которых верно $x3+y3+ z3 = x+ y+z =3.$

Показать ответ и решение

3 =x3+ y3+ z3− 3xyz+ 3xyz =(x+ y+ z)(x2+y2+ z2− xy − yz− zx)+3xyz = 3(x2+ y2+ z2 − xy− yz− zx +xyz)

x2+y2+ z2− xy− yz− zx+ xyz =1

x2+y2+ (3− x − y)2− xy− y(3− x− y)− x(3− x − y)+ xy(3− x− y)=1

x2 +y2+ 9+ x2+y2− 6x− 6y +2yx− xy− 3y +xy+ y2− 3x +x2+ xy+ 3xy − x2y− y2x= 1

−x2y− y2x +3x2+ 3y2 +6xy− 9x− 9y +8= 0

(x +y)(− xy +3x+ 3y− 9) =−8

(x+ y)(3− x)(3− y)= 8

(3− x)(3− y)(3− z)= 8

$1)3− x= 8,3 − y = 1,3− z =1$

$(x, y, z)= (−5,2,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$2)3− x= −8,3− y =− 1,3− z = 1$

$(x, y, z)= (5,4,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$3)3− x= 8,3 − y = −1,3− z = −1$

$(x, y, z)= (−5,4,4)$ — сумма $3$

$4)3− x= 4,3 − y = 2,3− z =1$

$(x, y, z)= (−1,1,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$5)3− x= −4,3− y =− 2,3− z = 1$

$(x, y, z)= (7,5,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$6)3− x= −4,3− y =2,3− z = −1$

$(x, y, z)= (7,1,2)$ — сумма не $3,$ не решение

$7)3− x= 4,3 − y = −2,3− z = −1$

$(x, y, z)= (−1,5,4)$ — сумма не $3,$ не решение

$8)3− x= 2,3 − y = 2,3− z =2$

$(x, y, z)= (1,1,1)$ — сумма $3$

$9)3− x= −2,3− y =− 2,3− z = 2$

$(x, y, z)= (5,5,1)$ — сумма не $3,$ не решение

Итого у нас $3$ принципиально разных решения. Остальные получаются перестановками переменных.

Ответ:

$(1,1,1), (− 5,4,4), (4,− 5,4), (4,4,−5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#76183Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение $x2(y− 1)+ y2(x − 1)= 1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть какие-то конкретные случаи и отбросить их. Например, что будет, если x и y не меньше 2?

Подсказка 2

Попробуйте зацепиться за делимость. Запишите равенство в таком виде, что слева и справа произведение скобочек. Посмотрите на нод этих скобочек.

Показать ответ и решение

$1)x< 0,y <0$

$2 2 x (y − 1)+ y(x− 1)≤0.$ Решений нет.

$2 2)x= 0⇒ − y =1.$ Решений нет

$2 3)y = 0⇒ − x =1.$ Решений нет

$4)x= 1⇒ y − 1= 1⇒ y = 2$

$5)y = 1⇒ x − 1= 1⇒ x= 2$

$6)x≥ 2,y ≥2$

$2 2 x (y − 1)+ y(x− 1)≥4+ 4= 8> 1.$ Решений нет

$7)x≤ 0,y ≥2$

Пусть $z = −x.$

z2y− z2− y2z− y2 =1

2 2 z (y− 2)= (1+ z)(y − z+ 1)

Т.к. $НО Д(z2,1+ z) =1,$ то $y − 2= k(1+z), k∈ ℤ . 0$

2 2 2 kz = k(1+ z)+ 4k(1+ z)+ 4− z+ 1

Если $k> 0,$ то решений нет, поскольку правая часть будет больше левой. Значит, $k= 0.$ Значит $y = 2,$ а $x= −5.$

$8)x≥ 2,y ≤0$

Аналогично получим решение $y = −5,x= 2.$

Ответ:

$(1, 2), (2, 1), (2, −5), (−5, 2)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#77207Максимум баллов за задание: 7

Имеет ли уравнение

p+1 2 2 − q =2023

решения при условии, что $p$ и $q$ — простые числа?

Показать ответ и решение

Заметим, что $p> 2$ (иначе слишком малая величина в левой части). Тогда $p$ можно представить как $p= 2k− 1,$ т.к. простые числа нечетные, корме $2$ , которая не подходит под ограничение. Тогда выражение преобразуется в:

2k−1+1 2 2k 2 2 − q = 2023⇒ 2 − q =2023.

В последнем уравнении распишем разность квадратов:

2k 2 k k 2 2 − q =2023⇒ (2 − q)(2 +q)= 7⋅17.

Чтобы не перебирать большое количество случаев, заметим что сумма множителей должна быть $2k+1,$ то есть степень $2.$ Тогда будем искать среди разложений $2023$ такое, что оно дает степень $2.$

2023= 1⋅2023= 7⋅289= 17 ⋅119

Среди этих разложений нет ни одного, в котором сумма множителей это степень $2.$ Следовательно, решений нет.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#89080Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $n$ и $k$ такие, что $n!+n =nk.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сократим каждую из частей на n. Имеем (n-1)!+1=n^{k-1}. Могут ли числа (n-1)! и n^{k-1} иметь общие делители, отличные от 1?

Подсказка 2

Нет. Предположим, что каждое из чисел (n-1)! и n^{k-1} делится на число d>1, тогда 1=n^{k-1}-(n-1)! делится на d, тем самым получено противоречие. Таким образом, числа (n-1)! и n^{k-1} взаимнопросты. Что в этом случае можно сказать про число n?

Подсказка 3

Оно является простым. Действительно, произведение 1*2*...*(n-1) взаимнопросто с n, следовательно, каждый из множителей 1, 2, ...,(n-1) взаимнопрост с n, но если n не является простым, то среди чисел из множества множителей найдется его делитель. Введем новое обозначение n=p и перепишем исходное уравнение в виде p^{k-1}-1=(p-1)!. Каким образом можно разложить левую часть на множители?

Подсказка 4

Имеем p^{k-1}-1=(p-1)(p^{k-2}+p^{k-1}+...+1). Сократив левую и правую часть на p-1, получим p^{k-2}+p^{k-1}+...+1=(p-2)!. До сих пор нам мало известно про число k. По какому модулю можно рассмотреть данное уравнение, чтобы найти естественное условие на k?

Подсказка 5

Рассмотрим полученное уравнение по модулю p-1. Каждое из слагаемых вида p^m сравнимо с 1 по модулю p-1. Таким образом, левая часть сравнима с k-1 по модулю p-1. Правая - с 0. Отсюда получим, что k-1 кратно p-1. Таким образом, k не меньше, чем p. Что данная оценка позволяет понять про исходное неравенство?

Подсказка 6

Наконец, мы получили, что p!+p=p^k⩾p^p, что неверно при достаточно больших p. Осталось найти p, при котором данное неравенство неверно, и разобрать все меньшие случаи.

Показать ответ и решение

Сначала разберем случаи $n≤ 5.$ Непосредственной проверкой убеждаемся, что решениями будут пары $(n,k)= (2,2),(3,2),(5,3).$

Далее считаем, что $n ≥6.$ Сократив равенство на $n,$ получим $k−1 (n− 1)!+1 =n .$ Заметим, что $k,n> 1.$ Тогда $(n− 1)!$ взаимно просто с $n,$ что возможно только если $n$ — простое. Для удобства переобозначим $p= n.$ Тогда $k−1 p − 1= (p− 1)!.$ Сократив на $p− 1,$ получим $k−2 k−3 p + p + ...+ p+ 1= (p− 2)!.$ Посмотрим на это равенство по модулю $p − 1.$ Заметим, что $(p− 2)!≡ 0 (mod p− 1),$ и $p ≡1 (mod p− 1),$ откуда

pk−2+ pk−3 +...+ p+ 1≡ k− 1 (mod p − 1)

следовательно, $k− 1≡ 0 (mod p− 1).$ То есть $k ≥p.$ Тогда $n!+n = nk ≥nn,$ что неверно при $n ≥6.$

Ответ:

$(2,2),(3,2),(5,3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#91013Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2xy+ x+ 4y = 3,$ где $x,y$ — целые.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть одно уравнение в целых числах с двумя переменными, и чтобы его решить, хочется первым делом разложить часть с х и у на скобки. Явным образом левая часть на множители не разложима, поэтому попробуем вынести какую-то переменную за скобку и прибавить к обеим частям уравнения число, чтобы левую часть стало можно разложить.

Подсказка 2

Теперь видно, что слева произведение двух скобок, а справа — число 5. Тогда остаётся разобрать всего 4 варианта возможных целочисленных значений этих скобок!

Показать ответ и решение

Запишем равенство в следующем виде: $2y(x +2)+ x= 3.$ Добавим слева и справа $2$ и разложим левую часть на множители: $(x+ 2)(2y+1)= 5.$ Теперь ясно, что скобочки могут принимать лишь следующие значения: $1$ и $5,5$ и $1,−1$ и $− 5,−5$ и $− 1.$ Этим случаям соответствуют значения $x =− 1$ и $y = 2,x =3$ и $y = 0,x= −3$ и $y = −3,x= −7$ и $y = −1.$

Ответ:

$x =− 1,y = 2;x= 3,y =0;x= −3,y = −3;x = −7,y =− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#31358Максимум баллов за задание: 7

Про натуральные числа $m$ и $n$ известно, что

3 2 3n =5m

Найдите наименьшее возможное значение $m + n.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Ага, видим какое-то уравнение в натуральных чисел. Надо как-то использовать делимость, чтобы понять, какие условия тут есть на n и m, как бы это сделать?

Подсказка 2

Правильно, правая часть делится на 5, тогда и левая делится! Но там кстати у нас n в кубе, то есть левая часть должна делиться уже на 5 в кубе. Но тогда правая сторона тоже должна иметь еще две пятёрки в множителях!

Подсказка 3

Теперь попробуйте провести аналогичные рассуждения с тройкой и получить минимальные значения для n и m. Не забудьте привести пример, когда достигается наименьшее значение суммы!

Показать ответ и решение

Если правая часть делится на $5$ , то и $n$ должно делиться на $5$ , но тогда левая часть делится уже на $53$ , соответственно $m$ тоже должно делиться на $5$ . Аналогично: так как левая часть делится на $3$ , то $m$ делится на $3$ , но тогда правая часть делится на $9$ , и соответственно $n$ должно делиться на $3$ . Тогда левая часть делится уже на четвёртую степень тройки, так что в правой части $m$ должно делиться хотя бы на вторую степень тройки. Таким образом, мы доказали, что $n ≥3 ⋅5 =15$ , $m ≥ 9⋅5= 45$ . Тогда $m + n≥ 15+45= 60$ . Легко видеть, что такая сумма достигается, поскольку $3 2 3⋅15 = 5⋅45$ .

Ответ:

$60$

Следующая подтема