Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#32150Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли целые числа $m$ и $n,$ удовлетворяющие уравнению $m2 +1954= n2?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте как-то использовать четность.

Подсказка 2

Ого! То есть либо m и n нечетные, либо m и n четные, что тогда можно сказать про разность их квадратов?

Показать ответ и решение

Пусть существуют. Заметим, что $1954≡ 2, 4$ то есть $m$ и $n$ одной чётности. Если $m,n$ кратны $2,$ то оба квадрата кратны $4,$ тогда $1954$ кратно $4,$ что неверно. Тогда $m, n$ нечётны, но при $k≡2 1$ выполнено $2 k ≡4 1,$ то есть разность $2 2 n − m$ снова кратна $4,$ противоречие.

Ответ:

нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#32153Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что сумма квадратов трех последовательных чисел не может быть кубом целого числа.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте обозначить за n второе число(так будет намного удобнее).

Подсказка 2

Получили, что 3n^2+2 это наша сумма. При этом, это выражение равно некоторому кубу. Когда у нас есть куб, то по какому модулю можно(и нужно) посмотреть на выражение?

Подсказка 3

Да! Либо 7 либо 9. При этом, у нас есть равенство 3n^2+2=k^3. Стоит посмотреть какие остатки может давать выражение справа и слева по этим модулям и сделать вывод.

Показать доказательство

Предположим, что это не так, то есть найдутся $n ∈ℕ,n >1$ и $k ∈ℕ,$ такие что

2 2 2 3 (n − 1) + n +(n+ 1) =k

2 3 3n = k − 2

По модулю $3$ квадраты дают остатки только $0$ или $1$ , поэтому левая часть уравнения по модулю $9$ даёт остатки $0$ или $3.$

По модулю $9$ кубы дают остатки только $0,1$ или $8,$ поэтому правая часть уравнения по модулю $9$ даёт остатки $6,7,8.$

Поэтому уравнение не имеет решений в целых неотрицательных числах.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#32936Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах

2 2 2x − 5y =7.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

 Мы с вами знаем, как бывает полезно смотреть на уравнения в целых числах, по какому-то модулю особенно, если присутствуют и числовые коэффициенты —> попробуйте выбрать правильный модуль!

Подсказка 2 

Когда не видно явных намёков на конкретный модуль, то можно просто перебрать модуль среди коэффициентов, что нам встречаются – 2, 5 и 7. Двойка нам, например, явно ничего хорошего не даст (y^2=1 по модулю 2 имеет решения), а что насчёт других? Выписывайте таблицы остатков и пробуйте!

Подсказка 3

 mod 7 – наш друг тут! Какие остатки дают квадраты по модулю 7? Тогда что можем сказать о числах x и y? Осталось вернутся к исходному уравнению, и противоречие у вас в кармане (напоминание: x^2 кратен 7 —> x^2 кратен 49)

Показать ответ и решение

По модулю $7$ равенство можно переписать в виде

2 2 2 2 2 2 2x − 5y ≡7 2x + 2y ≡7 2(x + y)≡7 0

то есть $2 2 x + y$ кратно 7. Рассмотрим остатки квадратов по модулю $7$ , достаточно взять только остатки от $0$ до $3$ , поскольку остальные им противоположны (а при возведении в квадрат равны):


$t$	$t2$

0	0
1	1
2	4
3	2

Сумма квадратов даёт $0$ только в случае, когда оба числа кратны $7$ , то есть их квадраты кратны $49$ . Но тогда левая часть делится на $49$ , а в правой стоит $7$ . Решений нет.

Ответ:

таких $(x,y)$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#32937Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах

3 2 19x − 84y = 1984.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами снова дилемма о выборе правильного модуля и пару жирных намёков: куб и число 84 —> на какой модуль они намекают?

Подсказка 2

84=12 * 7, а кубы – намёки на модули 7 и 9. Посмотрев на это уравнение по модулю 7, вы получите уже милое сравнение, для решения которого останется лишь записать таблицу остатков кубов по mod 7

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что число $84$ делится на $7$ , поэтому из уравнения следует, что $19x3− 1984= 14x3 +5x3− 283⋅7− 3$ должно делиться на $7$ . Значит, число $3 5x$ должно давать остаток $3$ при делении на $7$ . Но куб целого числа может давать остатки только $0,1,6$ при делении на $7$ (доказать можно просто перебором остатков для $x$ от $0$ до $6$ ), поэтому число $3 5x$ может давать остатки только $0,5,2$ и не может давать остаток $3$ . Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Второе решение. Рассмотрим какие остатки дают числа вида $2 84t$ при делении на $19$ . Заметим, что $84= 19⋅4+ 8$ (отсюда легко найти и остаток от деления $1984$ на $19$ ), поэтому достаточно взять только остатки от $0$ до $9$ , поскольку остальные им противоположны (а при возведении в квадрат минус исчезает и получаются те же остатки):


$t$	$t2$	$84t2$

0	0	0
1	1	8
2	4	13
3	9	15
4	16	14
5	6	10
6	17	3
7	11	12
8	7	18
9	5	2

Из условия $2 3 84y = 19x − 1984 ≡1911$ , а такого в таблице нет.

Ответ:

таких $(x,y)$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#32938Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах

4 2 m − 2n = 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут и без подсказки ясно, что разность квадратов может помочь! Но не спешите: действительно ли вы хотите работать с корнем из 2? Может, расписать разность других квадратов?

Подсказка 2

Теперь у нас произведение двух множителей равно какому-то чётному числу – поиграйтесь с делимостью и подумайте, как можно использовать такой вид множителей (чему равна их разность?)

Подсказка 3

Запишите теперь наши множители иначе и подумайте о том, какие квадраты могут отличаться на 1? Забавный факт: разности между членами в последоватетельности квадратов образуют последовательность нечётных чисел

Показать ответ и решение

4 2 2 2 m − 1 =(m − 1)(m + 1)= 2n

Заметим, что у $m2 − 1$ и $m2 + 1$ общий делитель является делителем двойки (разности). Так как их произведение четное, то $НОД(m2− 1,m2+ 1)=2.$ При этом их произведение удвоенный квадрат. Значит, одно из этих чисел $x2,$ а второе $2y2.$ Тогда $|x2− m2 |=1$ и значит, что $m = 0$ или $±1,$ поскольку мы имеем два последовательных квадрата. Если $m = ±1,$ то $n= 0.$ Если $m = 0,$ то решений нет.

Ответ:

$m = ±1$ , $n= 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#32939Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в натуральных числах

6 3 4 x + 3x + 1= y .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

 Эх, ну вот почти полный квадрат перед нами – всё портит эта тройка! Стояли бы там 2 или 4 всё бы было получше, не правда ли? Кстати, заметьте, что теперь мы решаем уравнение не в целых, а в натуральных числах – как это может помочь?

Подсказка 2 

y^4 = (y^2)^2 – фактически нас просят доказать, что выражение слева является квадратом квадрата, но раз так, то оно и просто квадрат, не правда ли?

Подсказка 3 

Вспомните интересный способ доказательства того, что число не квадрат – можно зажать его между двумя соседними квадратами! Если вы всё ещё в недоумении, просто прочтите все 3 подсказки в связке и внимательно!

Показать ответ и решение

Поскольку $x> 0$ , то

3 2 6 3 6 3 6 3 3 2 (x +1) = x +2x + 1< x +3x + 1< x + 4x + 4= (x +2) .

Мы показали, что $x6+ 3x3+ 1$ находится между двумя соседними квадратами, откуда это выражение не может быть квадратом, то есть не может быть равно $y4$ .

Ответ:

таких $(x,y)$ нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#32940Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в натуральных числах

2 2 2 2 x + xy+y = x y .

Подсказки к задаче

Подсказка 1 

Кажется, что перед нами совсем какая-то бяка: никаких намекающих коэффициентов и даже никаких ФСУ не поиспользуешь сходу. Но чисто интуитивно кажется, что выражение справа обычно довольно гигантское при больших x и y и не так уж и часто может равняться выражению слева

Подсказка 2 

Значит, нам могут помочь оценки! А для них можно ещё одну полезную вещь заметить: симметрию (x,y) <—> (y,x) – она нам позволит не умаляя общности упорядочить переменные: x>=y. Попробуйте 3 слагаемых слева оценить чем-то одинаковым, чтобы они схлопнулись в одно слагаемое!

Подсказка 3

 Теперь можно легко получить ограничение на одну из переменных, перебрать натуральные значения, и задача убита!

Показать ответ и решение

Уравнение не поменяется от перестановки $x$ и $y$ местами, поэтому без ограничения общности можем считать $x≥ y > 0$ . Тогда $2 2 2 2 2 x y = x +xy +y ≤ 3x$ , тогда $2 y ≤ 3$ и $y = 1$ . Подставляя в уравнение, имеем $2 2 x + x+ 1= x,x =−1$ , решений нет.

Ответ:

таких $(x,y)$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#32941Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

2 2 2(n +1)− n= m .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

 Сходу можно раскрыть скобочки и получить квадратный трёхчлен слева – конечно, тут же хочется и полный квадрат выделить, но слагаемое посерединке нам явно неудобно воспринимать, как удвоенное произведение (тем более, что двоек в других слагаемых многовато!) поэтому попробуйте домножить левую и правую части на удобное чётное число!

Подсказка 2 

Домножаем на 8, выделяем полный квадрат и думаем над подходящим модулем (оценки же явно тут нам не смогут сильно помочь) – лучше выбирать его с оглядкой на число, которое стоит особняком от переменных

Подсказка 3 

Осталось лишь сделать вывод о делимости квадратов. Напоминаю, что если n^2 кратно 3, то n^2 кратно 9, но вот 15 кратно 3 и не кратно 9

Показать ответ и решение

2 2 2n − n+ 2= m

Домножим всё на $8$ .

16n2− 8n +16 =(4n− 1)2+ 15= 8m2

$(4n− 1)2 +15$ может давать остатки $0$ и $1$ при делении на $3$ , а $8m2$ — остатки $0$ и $2$ . Значит, $4n+1$ и $m$ делятся на $3$ , то есть их квадраты кратны $9$ . Но тогда $15= 8m2− (4n− 1)2...9$ , противоречие.

Замечание. Решение полностью аналогично и в целых числах.

Ответ:

таких $(m,n)$ нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#33908Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x$ и $y$ таких, что $x3+ 8x2− 6x+ 8= y3.$

Показать ответ и решение

Выражение из левой части должно равняться кубу натурального числа из правой части. Но оценим с обеих частей кубами натуральных чисел левую часть:

3 3 2 3 2 3 (x+ 3) = x + 9x + 27x+ 27 >x + 8x − 6x +8 >x

Последнее неравенство верно в силу $D{8x2− 6x+6} =6⋅6− 6⋅32< 0$ .

Итак, возможны два случая, когда левая часть равняется кубу:

$x3+ 8x2− 6x +8= (x+ 1)3 = x3+ 3x2 +3x+ 1 ⇐⇒ 5x2− 9x+ 7= 0$ . В этом случае натуральных корней нет.
$x3+ 8x2− 6x +8= (x+ 2)3 = x3+ 6x2 +12x+ 8 ⇐⇒ 2x2 − 18x= 0$ . Здесь единственным натуральным решением будет $x =9$ , откуда $y = 11$ .

Ответ:

$(9;11)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#34035Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $n$ , для которых число $1!+ 2!+...+n!$ является квадратом натурального числа.

Показать ответ и решение

Заметим, что при $n≥ 4$ наша сумма будет давать остаток 3 при делении на 5, а следовательно не будет являться точным квадратом. Тогда легко видеть, что нам подходят только $n =1$ и $n =3$ .

Ответ: 1 и 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#35442Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в натуральных числах: $(x− 2)(y− 10)= 19$ .

Показать ответ и решение

Заметим, что 19 можно получить в виде произведения натуральных множителей лишь одним способом: 1 на 19. Получаем два случая:

({ x− 2= 1 (y− 10= 19

( { x− 2 =19 ( y− 10= 1

({ x =3 (y =29

( {x =21 (y = 11

Ответ: (3; 29), (21; 11)

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#39058Максимум баллов за задание: 7

Дана операция $⋆$ , действующая по следующему правилу: $a ⋆b= a2+ab− 3a b$ . Найдите сумму всех натуральных $x$ , которые удовлетворяют равенству $3⋆x =15$ .

Показать ответ и решение

Распишем равенство $3⋆x = 15$ :

9 9 3 9+ 3x− x =15⇔ 3x −x = 6⇔ x− x =2.

Перебирая значения $x$ от 1 до 4 получаем, что подходит только 3. При $x> 3$ равенство не достигается, ведь $3 3 x> 3,x < 1⇒ x− x >2.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#70478Максимум баллов за задание: 7

Натуральное число $x$ в системе счисления с основанием $r(r≤ 36)$ имеет вид $ppqq,$ причем $2q =5p.$ Оказалось, что $r$ -ичная запись числа $2 x$ представляет собой семизначный палиндром с нулевой средней цифрой. (Палиндромом называется число, которое читается одинаково слева направо и справа налево). Найдите сумму $r$ -ичных цифр числа $2 x.$

Источники: СПБГУ-22, 11.4 (см. olympiada.spbu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте потихоньку "причёсывать" задачу. Что даёт равенство из условия на числа p и q? Это значит, что мы можем записать p = 2s, а q = 5s, где s какое-то целое число. Попробуйте теперь записать x и x² в явном виде, учитывая условие с палиндромом. Получается ли там что-то относительно хорошее? Удобно ещё палиндром как-то обозначить.

Подсказка 2

Ага, получается, что после всех преобразований x= s (2r² + 5) (r + 1). Давайте обозначим палиндром abc0cba, где a, b, c соответственно какие-то цифры r - ичной системы. Тогда сгруппировав слагаемые в x² получится a(1 + r⁶) + b(r + r⁵) + c(r² + r⁴). Выходит нам нужно узнать сумму цифр, то есть 2(a+b+c). Давайте теперь приравняем два представления числа x². Учитывая, что у нас r - ичная система счисления, делимость на какое выражение тогда можно рассмотреть? Можете рассмотреть разные варианты и со временем придёте к нужному.

Подсказка 3

Верно, давайте рассмотрим делимость на (r + 1)², так как x² будет делиться на него, но нам интересна другая часть неравенства. Но появляется вопрос, как же находить остаток при делении степеней r на (r + 1)²? Попробуйте это понять, записав r^n = (1 + r -1)^n и раскрыв по биному Ньютона.

Подсказка 4

Ага, аккуратными вычислениями понимаем, что степень числа r даёт остаток (-1)^n (1-n (r+1)). Ничего страшного, если не получилось вывести, можете просто проверить по индукции, что это правда. Теперь попробуйте применить это к нашему выражению. Какой факт тогда можно понять про числа a, b, c?

Подсказка 5

Ага, из-за ограничения на a, b, c(они в r - ичной системе счисления) можно понять, что b = a + c. И раз мы узнали факт про b, то хорошо было бы тогда оценить именно его, чтобы потом сумму цифр легко найти. Поэтому попробуйте по аналогии посмотреть остаток при делении x² на 1 + r², а точнее сравнение. Там будет хорошо пописать неравенства для r и s, учитывая все ограничения, связанные с делимостью, системой счисления и количеством цифр.

Подсказка 6

Ага, для начала получаем, что r⩾6, и из сравнения, записав двойное неравенство для (9s² − b), будет следовать, что b = 9s². Далее останется только получить из верхнего ограничения для r, что s=1, а значит, b=9. Теперь осталось только посчитать правильно сумму цифр, и победа!

Показать ответ и решение

Договоримся писать $u≡ v (modw ),$ если $.. (u− v) . w.$ Пусть $p= 2s,q = 5s.$ Тогда

( ) ( ) x= ppqqr = pr2+ q (r+ 1)= s2r2+ 5 (r+ 1)

Из условия на $2 x$ вытекает равенство

( )( ) ( ) ( ) ( ) s22r2+ 52 r2+ 2r+1 = a 1+ r6 + b r+r5 + cr2+ r4 ,

(1)

где $a,b,c$ — некоторые $r$ -ичные цифры. Сделаем два наблюдения.

1) При любом натуральном $n$

rn =(1+ r− 1)n ≡ (−1)n(1− n(1 +r)) (mod(1+ r)2)

Левая часть $(1)$ кратна $(1+ r)2,$ откуда

0≡a(2− 6(1+ r))− b(2− 6(1+r))+c(2− 6(1+ r))=

= 2(1− 3(1 +r))(a− b+c) (mod (1+ r)2)

Поскольку $1− 3(1+ r)$ взаимно просто с $(1+ r)2,$ на $(1+ r)2$ делится $2(a− b+ c).$ Но это число лежит в интервале $( ) (−2r,4r)⊂ − (1 +r)2,(1+r)2 ,$ откуда $b =a+ c.$

2) Приравняем остатки левой и правой частей $(1)$ от деления на $1+ r2 :$

18s2r≡ br(1+ r4)≡2br (mod (1+r2))

Поскольку $r$ взаимно просто с $1+ r2,$ на $1+r2$ делится $( ) 2 9s2− b .$ Заметим, что $4s2 ≤ r− 1$ , иначе число $x2$ будет восьмизначным. Кроме того, $r ≥5s+ 1≥ 6$ . Поэтому

2(9s2− b)< 18s2 ≤ 9(r− 1)< 6r< 1+ r2 2

2(9s2− b)≥− 2b >− 2r >− 1− r2

Таким образом, $b= 9s2.$

Поскольку $b$ — $r$ -ичная цифра, из 2) вытекает, что $9s2 < r≤ 36$ , откуда $s2 < 4.$ Так как $s> 0,$ мы получаем $s= 1$ и $b= 9.$ В силу 1) сумма цифр $x2$ равна $2(a +b+ c)=4b= 36.$

Замечание.

Прямым вычислением проверяется, что $2255221 = 495059421$ . Таким образом, описанная в условии ситуация реализуется.

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#72246Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых натуральных $x$ и $y$ число $2022x2+ 349x +72xy+ 12y+ 2$ является составным.

Источники: Муницип - 2022, Ленинградская область, 8.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, число точно будет не простым, если мы разложим наше число на несколько скобок так, что хотя бы 2 из них будут больше единицы! Попробуем сделать это.

Подсказка 2

Заметим, что 2022=6*337; 349=337+12; 72=6*12. Тогда остается вынести общий множитель нескольких слагаемых за скобки.

Подсказка 3

Да, мы получили две скобки: (6x+1)(337x+12y+2). При подстановке любых натуральных x и y каждая из скобок больше единицы, поэтому мы победили!

Показать доказательство

Попробуем разложить наше выражение на скобочки. Если каждая из них будет больше $1,$ то мы победили!

2 2 2022x + 349x+ 72xy+12y+ 2= 6⋅337x + 337x +12x+ 6⋅12xy +12y+ 2=

= 6x⋅(337x+ 12y+ 2)+ 337x+ 12y +2 =(6x+ 1)(337x+ 12y+2)

Так как $x$ и $y$ натуральные, то обе скобки больше $1.$ Следовательно, число — составное.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#72249Максимум баллов за задание: 7

Про различные положительные числа $a$ и $b$ известно, что

3 3 ( 2 2 3) a − b = 32a b− 3ab + b .

Во сколько раз большее число превосходит меньшее?

Источники: Муницип - 2022, Республика Башкортостан, 8.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если перефразировать условие, то нас просто просят найти отношение a к b. Подумайте, как можно свести данное нам уравнение к уравнение, в котором мы ищем a/b.

Подсказка 2

Давайте перенесем всё в одну сторону, приведем подобные и разделим на b³. Какое уравнение мы получим и как его проще всего решить?

Подсказка 3

Давайте сделаем замену a/b = x. Тогда мы получаем кубическое уравнение x³-6x²+9x-4=0. Внимательно посмотрите на коэффициенты в уравнении, на что они нам намекают?

Подсказка 4

Если сумма коэффициентов уравнения равна нулю, это значит, что единица является корнем данного уравнения. Но в условии сказано, что a не равно b, значит этот корень нам не подходит. Давайте вынесем из нашего уравнения множитель (x-1). Получили квадратное уравнение, решите его и найдите нужное нам отношение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим и преобразуем разность:

0= a3− b3− 3(2a2b− 3ab2+b3)= ( 2 2) ( 2 ) (a − b)(a +ab+ b − 3 2ab(a−) b)− b(a− b)= (a − b) a2+ab+ b2− 6ab+ 3b2 = (a− b)(a2− 5ab+ 4b2) =(a− b)(a− 4b)(a− b)

По условию $a⁄= b,$ тогда получаем $a= 4b,$ значит большое число в $4$ раза больше.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#76417Максимум баллов за задание: 7

Пусть $p$ — нечётное простое число. Найдите все целые $x$ и $y$ такие, что

3 3 3 2 2 x + y + p =x y+ xy

Источники: КФУ-2022, 11.1 (см. kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, нам говорят, что p простое. Это очень сильное условие, поэтому давайте попробуем перенести p в правую часть, а всё остальное в левую! И после этого попробуем левую часть разложить на множители.

Подсказка 2

Да, она раскладывается не так уж и легко. Так что, попробуйте вынести (x+y), а дальше подобрать не так сложно)

Подсказка 3

В итоге, должно получиться равенство (x+y)(x-y) ² = -p³. А теперь нам сильно помогает условие на простоту p, ведь мы теперь точно понимаем, чему может равняться каждая из скобок! Всего два случая, в первом квадрат это ±p, а во втором ±1. Осталось решить каждый из случаев

Подсказка 4

Верно, для того, чтобы решить каждую систему, достаточно просто сложить или вычесть её уравнения!

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде $x3 +y3− x2y− xy2 = −p3$ и разложим левую часть на множители:

( 2 2) 3 (x +y) x − xy+ y − (x+ y)xy =− p

2 3 (x+ y)(x− y) = −p

Таким образом, числа $x+y$ и $(x− y)2$ являются степенями простого числа $p$ . Но $(x − y)2$ — чётная степень $p,$ значит, множитель $x +y$ — это нечётная степень $p,$ и так как $x+ y ≤ 0,$ то

{ x+ y = −p { x+ y = −p3 x− y = ±p или x− y = ±1

В первом случае имеем

x= 0,y =− p или x =−p,y = 0,

Во втором

− x= − 1 (p3− 1),y =− 1(p3+ 1) или x= − 1(p3+1),y = − 1 (p3− 1) 2 2 2 2

Так как $p$ — нечётное, то числа $x$ и $y$ в этих наборах — целые.

Ответ:

$(0;− p),(−p;0),(− 1 (p3− 1);− 1(p3+1)),(− 1(p3+1);− 1(p3− 1)) 2 2 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#80494Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли такие целые положительные $x$ и $y$ , что $x4− y4 = x3+y3$ ?

Показать ответ и решение

4 4 2 2 3 3 2 2 x − y =(x− y)(x+ y)(x + y)= x + y = (x +y)(x − xy+ y)

Так как числа положительные, то сократим на $x +y$ .

2 2 2 2 (x− y)(x + y)= (x − xy +y )

Правая часть меньше $x2+ y2$ , но больше 0. Значит $x− y > 0$ , то есть $x− y ≥ 1$ , так как числа целые. Отсюда левая часть хотя бы $x2+ y2$ .

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#80600Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные $n$ и $k,$ удовлетворяюшне равенству

5 4 k + 5n =81k

Показать ответ и решение

4 2 5n = k(9+ k )(3+ k)(3− k)

Левая часть этого равенства положительна при любом натуральном значении $n$ , значит, положительной должна быть и правая часть. Следовательно, достаточно проверить два натуральных значения $k$ : $k= 1$ и $k= 2$ .

1) Если $k= 1$ , то $5n4 =80$ , то есть $n= 2$ .

2) Если $k= 2$ , то $5n4 =130$ . Таких натуральных $n$ не существует.

Ответ:

$n =2$ , $k =1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#80967Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие натуральные $m$ и $n,$ для которых число $3m+ 7n$ является точным квадратом.

Показать ответ и решение

Пусть $3m +7n =t2.$ Оба основания сравнимы с $− 1$ по модулю $4.$ Если показатели одной чётности, то сумма степеней даст остаток $2$ при делении на $4,$ т.е. не будет точным квадратом. Значит, $m$ и $n$ разной чётности. Пусть $m = 2a+1,n= 2b,$ где $a$ — целое неотрицательное, а $b$ — натуральное. Тогда $m b b 3 = (t− 7 )(t+ 7).$ Делителями числа $m 3$ являются только степени тройки, поэтому $b p b q t− 7 = 3,t+7 = 3 ,$ откуда $b q p 2 ⋅7 = 3 − 3.$ Правая часть этого выражения при $p ⁄=0$ кратна $3,$ а левая нет, значит, $p =0,$ т.е. $b t= 7 + 1$ и $m b 3 = 2⋅7 +1.$ Остатки при делении $m a 3 = 3⋅9$ на $7$ могут быть равны $3,6,5,$ а правая часть даёт остаток $1.$ Противоречие.

Пусть $m= 2a,n = 2b+ 1,$ где $a$ — натуральное, а $b$ — целое неотрицательное. Аналогичными рассуждениями приходим к уравнению $n a 7 = 2⋅3 + 1.$ При $a =1$ получаем ответ. При $a> 1$ правая часть сравнима с $1$ по модулю $9.$ Степени семёрки при делении на $9$ дают остатки $7,4,1,$ поэтому $n$ кратно $3.$ Полагая $n 3 7 = x ,$ где $x ≥7,$ получим $2 a (x− 1)(x +x +1)= 2⋅3 .$ Поскольку $x$ нечётно, то $x − 1= 2⋅3u$ для некоторого $u ≥1$ и $x2+ x+ 1= 3v$ для некоторого $v ≥ 2.$ Выразив из первого равенства $x$ и подставив во второе, после преобразований получим $4⋅32u−1 +2⋅3u+ 1= 3v− 1.$ Правая часть этого равенства делится на $3,$ а левая — нет. Противоречие.

Ответ:

$m = 2,n = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 120#81759Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что уравнение

3 3 ( 2 2 ) x +y = 4 x y+xy + 1

не имеет решений в целых числах.

Показать доказательство

Перепишем уравнение в виде $(x+ y)3 =7 (x2y+ xy2)+ 4.$ Так как куб целого числа не может давать остаток $4$ при делении на $7,$ то уравнение не имеет решений в целых числах.

Следующая подтема