Уравнения в целых числах

Перепишем уравнение в следующем виде: что равносильно Пусть Тогда наше уравнение равносильно Но так как и целые, то такое может быть только в случае Но Значит, решений нет.

Лемма. Пусть для простых и существуют единственные разложения в сумму двух квадратов Тогда для числа есть только два разложения на квадраты:

Доказательство. Действительно, раскрывая скобки в произведении получим выражение:

Теперь видно, что возможны только два варианта, как собрать полные квадраты.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перейдем к решению задачи. Так как квадраты нечётных чисел дают остаток при делении на то . Пусть , , . Тогда , , . Из леммы следует, что разложение

совпадает или с разложением

или с разложением

Так как числа и отличаются на то в первом случае получаем, что или или что невозможно из простоты и Во втором случае решением получаем, что или или или Подходит только откуда

Предположим, что такая тройка нашлась. Заметим, что среди чисел могут быть отрицательные. Если их 1 или 2, то среди трёх выражений одна примет целое значений (либо два), тогда как другие (-ое) не будут превосходить по модулю , то есть равенства быть точно не может. Тогда все три числа имеют один знак (с учётом нуля):

1.

Все они неотрицательны, тогда .

2.

Все они неположительны, перейдём к , получим:

Однако снова .

В обоих случаях мы пользовались тем, что для любого неотрицательного целого , таким образом, всё доказано.

Понятно, что в противном случае правая часть нецелая, а левая — целая. Если то

Если же то откуда Также по МТФ Следовательно, Заметим, что а значит Пришли к противоречию, то есть при положительных решений быть не может.

Заметим, что при левая часть уравнения отрицательна, а правая положительна, а при – наоборот. Следовательно, равенство возможно только при Далее перебором определяем подходящие варианты.

Преобразуем исходное уравнение

откуда вытекает

Поскольку 2017 — простое число, а и натуральные числа, то последнее уравнение равносильно объединению систем уравнений

Каждая система уравнений имеет четыре различных решения не совпадающих с решениями других систем. Следовательно, искомое количество точек равно

Пусть (никаких других простых множителей числа , содержать не могут - иначе нарушается второе условие системы). Отсюда

Учитывая данную в условии систему, получаем соотношения

Рассмотрим первую систему . Возможны следующие наборы чисел :

набора (за счёт различных перестановок этих чисел);

— также три набора;

, где есть различных значений и для каждого из них перестановок — всего вариантов.

Итак, есть способа выбрать тройку чисел . Аналогично устанавливаем, что для выбора есть ( — значений) способов. И поскольку один выбор осуществляется независимо от другого, то общее количество способов равно .

Найдено количество троек для степеней одного из простых чисел только в одном случае – 2 балла.

Получено одно или оба соотношения вида {︃ max (𝛼1; 𝛽1; 𝛾1) = 𝑘, min (𝛼1; 𝛽1; 𝛾1) = 1 и {︃ max (𝛼2; 𝛽2; 𝛾2) = 𝑚, min (𝛼2; 𝛽2; 𝛾2) = 1. и других продвижений нет – 1 балл за задачу (этот балл не суммируется с указанным выше).

Неарифметическая (комбинаторная) ошибка (вместо правила произведения применено правило суммы, некоторые случаи посчитаны дважды или пропущены и т.п.) – не более 1 балла за задачу.

Неверно решена «числовая часть» (из условия сделаны неверные выводы, например, утверждается, что одно из чисел должно равняться произведению 𝑝^𝑚𝑎𝑥 𝑞^𝑚𝑎𝑥 или 𝑝𝑞; используются неверные утверждения, например, НОД(𝑎, 𝑏, 𝑐) НОК(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝑏𝑐) – 0 баллов за задачу.

Преобразуем левую часть уравнения

Произведение целых чисел слева является кубом , значит, каждое из этих чисел является кубом, или одно из них равно 0. В первом случае получаем, что два последовательных натуральных числа, и , являются кубами. Но два последовательных числа являются кубами только в том случае, если это 0 и 1 или и Получаем варианты или , проверяем подстановкой, вычисляем и составляем ответ. Во втором случае, когда один из множителей слева 0, снова возвращаемся к ответу . Приведем доказательство, что два последовательных куба - это только числа 0 и 1 или и (Считается известным фактом, в работе можно не доказывать).

С учетом того, что целые числа, последнее произведение является произведением или , откуда получаем или

Если есть целый корень , то . Пусть , тогда

Если , то . Если , то . Следовательно, целых корней нет.

В качестве примера подходит произведение После указанной операции получается

Как его можно придумать? Предположим, что два из сомножителей равнялись а третий — Их произведение было равно а после уменьшения превратилось в Значит, при условие соблюдается. Решая это уравнение, получаем

Как известно,

Для удобства введем обозначения:

Так как , то

Исходное уравнение примет вид:

следовательно, и, значит, Поскольку то это возможно лишь при

В таком случае,

Следовательно, Что означает, что числа взаимно простые и возможны две ситуации: или

Для подойдет Пусть Заметим, что  — куб натурального числа, а тогда и  — куб натурального числа. Но поэтому то есть;

Противоречие с

Пусть и Из условия следует, что Предположим, что Тогда В правую часть последнего равенства двойка входит в степени в точности Так как нечетно, то в левой части одна из скобок не делится на Разберем два случая.

Случай 1: не делится на 4. Тогда для некоторого натурального Равенство перепишется как

Следовательно, что невозможно, в силу

Случай 2: не делится Тогда то есть Следовательно, откуда

Проверим, что такие значения тоже не подходят. Мы знаем, что При слева а справа не При получаем При получаем что опять невозможно, так как делится на большую степень двойки.

Обозначим Тогда из натуральности и того, что следует, что тоже натуральное число.

Преобразуем равенство из условия:

Рассмотрим последнее равенство, как квадратное уравнение относительно с параметром Тогда дискриминант этого уравнения Чтобы уравнение имело решения в натуральных числах нам нужно потребовать, чтобы для какого-то Тогда понятно, что тоже должно быть точным квадратом какого-то числа

Имеем Тогда откуда в силу натуральности и факта, что сумма и разность двух целых чисел имеет одинаковую четность, получим следующие возможные решения:

Тогда рассмотрим случаи. При получим откуда — натуральное решение такого уравнения (второй корень не натуральный). Тогда что противоречит условию о натуральности

Если же то получим уравнение откуда натуральное решение такого уравнения (второй корень не натуральный). Тогда

В итоге, единственное возможное значение.

Рассмотрим как уравнение от с параметром с целыми коэффициентами. Чтобы у него были натуральные корни, дискриминант этого уравнения должен быть точным квадратом. При этом НОД Тогда число может быть точным квадратом, только если или — точный квадрат (а второе число становится квадратом при домножении на , т. е. содержит простой делитель в нечетной степени, остальные — в четной). При этом не может быть точным квадратом, иначе и тогда — квадрат, имеющий остаток при делении на противоречие.

Значит, для некоторого нечетного натурального Тогда Очевидно, что и два последовательных натуральных числа при нечетном Случай при котором нарушается натуральность числа можно рассмотреть отдельно. В этом случае — возможные значения, дающие такой но — должен быть натуральным по условию. Значит, и нечетное, а представимо в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Если нечётно, то и все его делители нечётны, поэтому правая часть равенства чётна — противоречие. Следовательно, чётно и его минимальный неединичный делитель равен а

По условию делит значит, делит и разность поэтому должно быть равно одному из чисел При этом равно соответственно. Первый случай не подходит ввиду нечётности, остальные два удовлетворяют условию задачи.

По формуле геометрической прогрессии

Заметим, что слева стоит произведение трех скобок, каждая из которых больше 1 при всех . Тогда каждая из скобок должна быть равна , но первая скобка больше второй - противоречие. Если же , то , но данное уравнение не имеет решений.

Если сложить равенства и к полученному прибавить то мы получим равенство Или же То есть сумма двух целых неотрицательных равна а значит либо одно второе либо оба равны Осталось перебрать и написать ответ.

Легко видеть, что Заметим, что правая часть равенства делится на , а значит, и левая часть должна делиться, откуда Разберём два случая, чему может равняться

тогда откуда

тогда

Тогда, аналогично, или или разберём эти два случая:

тогда откуда

тогда небольшим перебором убеждаемся, что тогда

Итого, получаем три возможные четвёрки решений:

Заметим, что делится на НОК , который равен НОК и в свою очередь делится на . Также делится на НОК , а последнее выражение делится на , поэтому делится на . Значит, либо , либо . В первом случае получаем

следовательно, делится на . Таким образом, есть делитель 6 , откуда — увы, эта пара чисел не удовлетворяет уравнению. Во втором случае, получаем

Если кратно 3 , то левая часть делится на большую степень тройки, чем правая. Если кратно 3, то правая часть делится на большую степень тройки, чем левая. Если же дает при делении на 3 остаток 1 , то обе части равны . Итак, требуется найти количество натуральных чисел , таких что . Их ровно 111111.