Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 141#96523Максимум баллов за задание: 7

Зная, что $2021 =43⋅47$ , решите в целых числах уравнение с двумя неизвестными

40(x+ y)+xy =421.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем преобразовать левую часть уравнения. У нас имеется xy, 40x и 40y, тогда подумаем, какие скобки нужно раскрыть, чтобы появились эти три слагаемых.

Подсказка 2

Обратите внимание на то, чем отличается правая часть от числа, данного в условии.

Подсказка 3

Левая часть уравнения равна (40+x)(40+y) - 1600. Тогда теперь нам нужно решать уравнение на разложение числа 2021 ;)

Подсказка 4

Разберите случаи, когда среди этих скобок есть равная единице, равная -1 и случай, когда таких нет!

Показать ответ и решение

Переменные входят в уравнение симметрично, поэтому если есть решение $(x,y)$ , то $(y,x)$ тоже является решением. Далее,

2 (40+ x)(40+y)= 40 +40(x+ y)+ xy = 1600 +421= 2021.

Введём переменные $a= 40+x,b= 40+y ∈ℤ$ и рассмотрим уравнение

ab= 2021= 43 ⋅47.

Если есть решение $(a,b)$ , то есть и решение $(b,a)$ .

1. Пусть один из множителей равен $1,$ например, $a= 40+x =1.$ Тогда $b= 40+ y = 2021,$ и есть решения

(x,y)= (−39;1981),(1981;−39).

2. Пусть один из множителей равен $− 1,$ например, $a= 40+x =− 1$ . Тогда $b=40+ y = −2021,$ и есть решения

(x,y)= (− 41;−2061),(−2061;− 41).

3. Пусть нет множителей $± 1.$ Тогда $(a,b)=(43;47),(−43;− 47),(47;43),(−47;−43)$ откуда получаем решения

(x,y)= (3;7),(−83;− 87),(7;3),(−87;−83).

Ответ:

8 пар: $(3;7),(7;3),(−39;1981),(1981;− 39),(−41;−2061),(−2061;−41),(−83;−87),(−87,− 83).$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 142#125885Максимум баллов за задание: 7

Найдите все трехзначные числа $abc,$ такие, что остаток от деления, как числа $abc,$ так и числа $cba,$ на сумму своих цифр, увеличенную на 1, равен 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

По условию числа 100a+10b+c-1 и 100c+10b+a-1 кратны a+b+c+1. Самый естественный ход в данном случае — рассмотреть их разность.

Подсказка 2:

Она равна 99(a-c). Сразу бросается в глаза, что a-c по модулю меньше a+b+c+1. Значит, было бы здорово сначала рассмотреть случаи, когда a+b+c+1 имеют с 99 НОД больше 1.

Подсказка 3:

Давайте заметим, что a+b+c сравнимо с -1 по модулю a+b+c+1. Значит, 100a+10b+c-1 сравнимо с 99a+9b-2 по модулю a+b+c+1. Так что там по итогу можно сказать про делимость a+b+c+1 на 9?

Подсказка 4:

Кажется, выражение 99a+9b-2 и делимость на 11 поможет опровергнуть.

Подсказка 5:

Итак, вы пришли к тому, что a-c кратно a+b+c+1. Это возможно только при a = c. Кстати, почему? Осталось сделать небольшой перебор, чтобы получить ответ.

Показать ответ и решение

Пусть $p =a+ b+ c+1.$ Итак, $100a +10b+ c− 1$ кратно $p.$ Также $100c+ 10b +a− 1$ кратно $p.$ Значит,

(100a+ 10b+ c− 1)− (100c+ 10b+a− 1)= 99(a− c)

также кратно $p.$ Учитывая, что

a +b+ c≡ −1 (mod p),

получаем, что

100a+ 10b +c− 1≡ 99a +9b− 2 (mod p).

Из этого следует, что $9$ и $p$ взаимно просты, иначе $99a +9b− 2$ не будет делиться на $p.$ Значит, делимость $99(a− c)$ на $p$ равносильна делимости $11(a− c)$ на $p.$

Рассмотрим случаи, когда $p$ кратно $11$ и когда не кратно. Если кратно, то тогда и $99a+ 9b− 2$ делится на $11.$ Значит, $9b− 2≡ 0 (mod 11).$ Осталось заметить, что тогда и

−(9b− 2− 11b)= 2b+2

также делится на $11.$ Значит, $b+ 1$ кратно $11,$ а этого не может быть, потому что $b$ — цифра.

Значит, $a− c$ кратно $p.$ Ясно, что $|a− c|< p.$ Таким образом, $a− c= 0.$ Следовательно, $101a+ 10b− 1$ делится на $2a+ b+1.$ Отсюда получаем делимость

101a+10b− 1− 10(2a+b+ 1)= 81a − 11

на $2a+b+ 1.$ Разберем несколько случаев.

Если $a= 1,$ то $70$ кратно $b+3,$ откуда $b= 2,4,7.$

Если $a= 2,$ то $151$ кратно $b +5,$ это невозможно.

Если $a= 3,$ то $232$ кратно $b +7,$ откуда $b=1.$

Если $a= 4,$ то $313$ кратно $b +9$ , это невозможно.

Если $a= 5,$ то $394$ кратно $b +11,$ это невозможно.

Если $a= 6,$ то $475$ кратно $b +13,$ откуда $b =6.$

Если $a= 7,$ то $556$ кратно $b +15,$ это невозможно.

Если $a= 8,$ то $637$ кратно $b +17,$ это невозможно.

Если $a= 9,$ то $718$ кратно $b +19,$ это невозможно.

Ответ:

$121,141,171,313,666$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 143#44067Максимум баллов за задание: 7

Найдите целые числа $x$ и $y$ , для которых

( x- y) -x y log2 17 + 5 = log217 +log2 5

Источники: Росатом-20, 11.1 (см. mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Учитывая ОДЗ, преобразуем логарифм суммы и напишем уравнение на x и y без логарифмов. Как решить получившееся уравнение и как оно выглядит?

Подсказка 2

5x + 17y = xy. Запишем как x(5-y) + 17y = 0 и попробуем разложить на множители для дальнейшего удобства)

Подсказка 3

(x-17)(y-5) = 17*5. Числа целые, поэтому можно делать выводы о значении скобок. У 85 маленькое количество делителей, поэтому остается лишь перебрать значения x-17 и y - 5!

Показать ответ и решение

Для того, чтобы правая часть была определена, получаем, что $x> 0,y >0.$ Тогда на ОДЗ уравнение эквивалентно

(-x y) xy log2 17 + 5 =log285 ⇐⇒ 5x+ 17y =xy

Попробуем разложить на множители: $x(5− y)+17y = 0 ⇐⇒ x(5− y)− 17(5− y)+ 17⋅5= 0 ⇐⇒ (x − 17)(y− 5)=17⋅5.$

С учётом того, что $y − 5> −5$ и $x − 17> −17,$ по основной теореме арифметики возможны только такие пары: $(y− 5,x − 17)∈{(1,85),(5,17),(17,5),(85,1)}.$ Соответственно $(x,y)∈ {(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)}.$

Ответ:

$(102,6),(34,10),(22,22),(18,90)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 144#46232Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $2x+ 2y = 24t$ в целых числах.

Источники: Межвед - 2020 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

При каких x и y сразу можно сделать какие-то выводы про t? А во всех остальных случаях давайте выразим y через x и подставим.

Подсказка 2

При y = x левая часть полностью становится степенью двойки! Тогда можно понять, каким должно быть t. А если y > x,то запишем y = v + x. Как преобразуется наше уравнение?

Подсказка 3

Разберите случаи t < 0 и t ≥ 0. Какие выводы модно сделать о делимости обеих частей уравнения?

Подсказка 4

Верно, t может быть только ≥ 0! А как можно аналогичным образом оценить x?

Подсказка 5

x, v натуральные! Тогда по сути мы решаем уравнение на натуральные числа, то есть можем рассуждать о простых делителях ;)

Подсказка 6

Запишите уравнения на степени вхождений 3 и 2.

Подсказка 7

x = 3t, 1 + 2^v = t. "Маленькие" решения ещё можно угадать, а вот о существовании больших нужно порассуждать ;)

Показать ответ и решение

Если $x =y,$ то

x+1 t 2 = 24

Если $t>0,$ то правая часть кратна трём, а левая — нет. Значит, $t≤ 0.$ Если $t< 0,$ то вновь придём к противоречию $3−t = 23t−(x+1)$ : кратное трём число не может быть никакой степенью двойки, в том числе нулевой. Остаётся только вариант $t= 0,$ в котором есть решение $x =− 1= y.$

Рассмотрим теперь случай $x⁄= y.$ Не умаляя общности, будем считать $x< y.$ Тогда можно записать $y = x+ v,v >0.$ Исходное уравнение запишется в виде

2x⋅(1 +2v)= 24t

Если $t<0,$ то в равенстве $3−t⋅(1+ 2v)= 23t−x$ левая часть делится на $3,$ а правая нет. Поэтому может быть только $t≥ 0.$ Но тогда $x >0,$ ведь иначе в равенстве $2x ⋅(1+ 2v)=24t$ справа стоит натуральное число, а слева деление нечётного натурального числа на степень двойки (то есть в итоге получается дробь, а не натуральное число).

В итоге обе части равенства

2x⋅(1 +2v)= 24t

являются натуральными числами, поэтому по основной теореме арифметики должны быть равными степени вхождения простых множителей, откуда

v t x =3t и 1+2 =3

Очевидные решения $(v,t)∈ {(1,1),(3,2)}$ . Получаем тройки $(3,4,1),(6,9,2)$ , которые дают $4$ решения в силу симметрии $x,y$ . Пусть теперь $v,t> 2$ , тогда $2v ≡ 0 4$ , то есть $3t− 1≡ 0 4$ . Отсюда $t$ чётно. Но если $t$ кратно двум, то $t= 2k,k∈ℕ$ и $3t− 1= (3k − 1)(3k+ 1)$ . Если $k ≥2$ , то хотя бы одно из этих чисел не является степенью двойки, что невозможно. Тогда $k≤ 1 ⇐⇒ t≤2$ , откуда в этом случае решений нет.

Ответ:

$(−1,−1,0),(3,4,1),(4,3,1),(6,9,2),(9,6,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 145#68248Максимум баллов за задание: 7

При каких натуральных $n$ существуют натуральные $a$ и $b$ такие, что

a b n!=2 + 2?

Источники: Муницип - 2020, Москва, 11.5

Показать ответ и решение

Рассмотрим остатки от деления степеней двойки на 7: 1, 2 и 4. Значит, сумма двух степеней двойки не может давать остаток 0 при делении на 7 , поэтому левая часть равенства не делится на 7 . Следовательно, $n$ ! не делится на 7 , то есть $n< 7$ .

Далее осуществляем перебор для значений $n$ от 1 до 6 . Очевидно, что $n ⁄= 1$ и $n⁄= 2$ . Для $n =3a= 2;b= 1$ . Для $n =4a =4;b= 3$ . Для $n =5$ или $n= 6$ одна из степеней двойки должна быть хотя бы половиной от общей суммы, но в этом случае подходящих вариантов не будет. Действительно, $7 6 6 6 5 2 = 2+ 2 > 120 =5!> 2 +2$ и $10 9 9 9 8 2 = 2 +2 > 2 + 2$ $8 8 >720= 6!>2 + 2$ .

Ответ:

${3;4}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 146#70328Максимум баллов за задание: 7

Выражение $n$ ! означает произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$ включительно, т. е. $n!= 1⋅2⋅...⋅n$ . Решите в натуральных числах уравнение

2 2 n!− 4n +18= m +4nm − 20m

Показать ответ и решение

Воспользуемся делимостью на 4, чтобы получить ограничение на значение $n$ . При $n ≥ 4$ имеем

n!− 4n2+ 18≡ 2 ⇒ m2+ 4nm − 20≡ 2⇔ m2 ≡ 2 4 4 4 что невозможно, так как квадраты даю т остатки 0,1,3 по модулю 4.

Следовательно, $n≤ 3.$ Переберем возможные варианты $n$ и выберем те, при которых $m ∈ℕ.$

⌊ | n= 1 и m(m − 16)= 15 ⇒ m ∕∈ℕ ⌈ n= 2 и m(2m − 12)= 4⇒ m ∕∈ℕ n= 3 и m − 8m +12= 0⇒ m = 2;6

Ответ:

$(2,3),(6,3)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 147#105231Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $n,$ для которых число $210+ 213 +214+3 ⋅2n$ является квадратом натурального числа.

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В точный квадрат все простые множители входят в чётных степенях. В нашей задачей рассматривают сумму, которая содержит степени двойки, так что можно рассмотреть именно степень вхождения двойки.

Подсказка 2

Попробуем провести разумный перебор. Допустим, самая маленькая степень вхождения двойки в слагаемые будет в 3*2ⁿ. Тогда она должна быть чётной, мы можем явно проверить эти случаи.

Подсказка 3

Пусть теперь n достаточно большое. Тогда можно вынести 2¹⁰, останется какая-то нечётная сумма, которая должна быть равна (2k+1)² для какого-то k.

Подсказка 4

После раскрытия скобок можно будет сократить на 4, а после разложить на множители. Остаётся заметить, что скобки, связанные с k, имеют разную чётность, а значит, одна из них гарантированно маленькая.

Показать ответ и решение

Рассмотрим несколько случаев

1) Пусть $n< 10,$ тогда $10 13 14 n n( 10−n 13−n 14−n ) N = 2 + 2 + 2 +3 ⋅2 =2 2 +2 + 2 + 3 ,$ второй сомножитель — нечетное число, $n ( k)2 2 = 2 ,n =2k.$

Если $n = 2,$ то $2( 8 11 12 ) 2 N =2 2 +2 + 2 + 3 = 2 ⋅6403$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 4,$ то $( ) N =24 26+29+ 210+3 = 24⋅1603$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 6,$ то $( ) N =26 24+27+ 28+ 3 =26⋅403$ не является квадратом натурального числа.
Если $n = 8,$ то $( ) N =28 22+25+ 26+ 3 =28⋅103$ не является квадратом натурального числа.

Пусть $n =10,$ тогда $10 13 14 10 12 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 (1+2+ 4)$ не является квадратом натурального числа.
Пусть $n =11,$ тогда $10 13 14 11 10 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 ⋅31$ не является квадратом натурального числа.
Пусть $n =12,$ тогда $10 13 14 12 10 N =2 + 2 + 2 +3⋅2 = 2 ⋅37$ не является квадратом натурального числа.

3) Пусть $n> 12,$ тогда $N = 210(1+ 23 +24+ 3⋅2n− 10)= 210 ⋅(2k+ 1)2,$ и

25+ 3⋅2n−10 = 4k2+4k +1

n−10 2 3 ⋅2 = 4k +4k− 24

3⋅2n−12 = k2+ k− 6

3 ⋅2n−12 = (k +3)(k − 2)

Числа $k+3$ и $k − 2$ разной четности, следовательно, одно из них является делителем 3. Поскольку $k> 0$ , то либо $k− 2= 1$ , $k= 3,$ $3⋅2n−12 = 6,$ $n= 13,$ либо $k − 2= 3,k= 5,$ $3⋅2n−12 = 24,$ $n= 15.$

Ответ:

13, 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 148#108449Максимум баллов за задание: 7

Приведите пример различных натуральных чисел $a< b< c< d$ таких, что $c2 =$ $ab+ ad+ bd.$

Источники: Изумруд - 2020, 11.1 (см. izumrud.urfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем подставить какое-то значение вместо, например, а. При этом нам выгодно, чтобы выражение справа разбивалось на произведение каких-то множителей. Какое а берём?

Подсказка 2

Пусть а = 1. Теперь рассмотрим левую и правую часть по каким-то модулям, чтобв отбросить точно не подходящие варианты. Каких модулей нам хватит, чтобы легко подобрать подходящие значения?

Подсказка 3

Смотрим остатки по модулям 3, 4 и 5. Отсюда берем какие-то подходящие b, c и d, получаются несколько наборов, можем выбрать любой.

Показать ответ и решение

Рассмотрим числа 1, 4, 8, 12. Так как

2 8 = 4+ 12+ 4⋅12,

то этот набор чисел удовлетворяет условию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

В задаче требуется только пример, попробуем прийти к нему. $a$ — наименьшее из используемых натуральных чисел, пусть $a= 1.$ Добавим к каждой части по единице, тогда уравнение выглядит как

2 c +1= b+ d+ bd+ 1= (b+1)⋅(d+1).

Теперь рассмотрим делимость на $3.$ $c2+1 ≡±1 (mod 3),$ тогда

({b⁄≡ 2 (mod 3) ( , d⁄≡ 2 (mod 3)

иначе правая часть будет делиться на $3.$

Рассмотрим аналогично делимость на $4.$

[ c2+ 1≡ 1 (mod 4) c2+ 1≡ 2 (mod 4)

Тогда

( { b⁄≡ 3 (mod 4) ( d⁄≡ 3 (mod 4)

иначе правая часть будет делиться на $4.$

Получим минимально возможное $b= 4,$ то есть $c2+ 1= 4+ d+ 4d +1= 5⋅(d+ 1)$ и $c2+ 1≡0 (mod 5).$

Тогда $c ≡2 (mod 5)$ или $c ≡3 (mod 5)$ . В первом случае получаем $c= 7$ и $49= 4+d+ 4d,$ $d= 9.$

Во втором случае: $c= 8$ и $64= 4+ d+ 4d,$ $d =12.$

Оба примера подходят, могут быть и другие подходящие под условие наборы.

Ответ:

Например, подходят числа $a= 1b= 4c =8 d= 12. , , ,$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 149#123666Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $p,p,p,p 1 2 3$ — различные простые числа, и $p3− 2p2− 16p =p ⋅p ⋅p − 32. 1 2 3$ Найдите все такие числа $p,p,p ,p . 1 2 3$ Ответ обоснуйте.

Источники: Верченко - 2020, 11.1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать равенство так, чтобы оно (возможно, не полностью) красиво разложилось на скобки и мы могли сделать выводы о p.

Подсказка 2

Отлично, теперь мы знаем, чему равно (p-2)(p-4)(p+4). Что так и хочется сделать с p₁, p₂ и p₃, чтобы порассуждать об их значениях?

Подсказка 3

Как воспользоваться простотой чисел?

Подсказка 4

Упорядочим p₁, p₂ и p₃ и каждой скобке присвоим значение!

Подсказка 5

Осталось лишь разобрать случаи, каким же простым может быть p. В этом нам может помочь известная идея из теории чисел, которая помогает решать уравнения в целых числах.

Подсказка 6

Рассмотрите равенство по некоторому модулю!

Показать ответ и решение

Так как условие симметрично относительно $p,p ,p, 1 2 3$ тогда, не умаляя общности, считаем, что $p <p < p . 1 2 3$ По условию $3 2 p − 2p − 16p+ 32 =p1⋅p2⋅p3.$ Разложим левую часть на множители:

(p− 2)(p− 4)(p+ 4) =p1⋅p2⋅p3

Непосредственной проверкой убеждаемся, что $p⁄= 2,3,5.$ Значит, $p> 5.$ Следовательно, числа в левой части равенства различны и отличны от $1.$ Поэтому $p− 4= p,p− 2= p ,p+ 4= p . 1 2 3$ Поскольку $p$ на $3$ не делится, возможны случаи:

1.: Число $p$ при делении на $3$ даёт остаток $1.$ Тогда на $3$ делится число $p − 4.$ Такое возможно только, когда $p− 4 =3,$ так как число $p− 4= p1$ — простое. Отсюда $p= 7,p1 =3,p2 = 5,p3 = 11.$
2.: Число p при делении на $3$ дает остаток $2.$ Тогда на $3$ делится $p+ 4.$ Значит $p+4 =3,$ что невозможно.

Ответ:

$p =7,p = 3,p = 5,p = 11, 1 2 3$ при условии $p <p < p 1 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 150#67143Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки натуральных чисел $(m,n,k)$ такие, что

3 3 m +n = k!+32

Источники: ПВГ-2019, 11.4 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда в задаче на натуральные числа внезапно начинают фигурировать кубы, то пусть у вас всегда возникает мысль, что надо работать по модулю 7 или 9. Это потому, что там очень мало остатков получается. Поработаем, к примеру, с 7. Что мы можем сказать про правую часть при k > 6?

Подсказка 2

Верно, справа по модулю 7 будет 4, так как k! делится на 7, а остаток 32 по модулю 7 это 4. А слева какие вообще выражения могут быть по модулю 7? Какие вообще значения может принимать куб числа по модулю 7?

Подсказка 3

Верно, левая часть по модулю 7 никогда не сравняется с правой, а значит, мы ограничили k сверху шестёркой. Остается перебрать все возможные k и попытаться найти для них подходящие натуральные m и n. Задача решена!

Показать ответ и решение

Посмотрим по модулю $7.$ Нетрудно проверить, что кубы натуральных могут давать только остатки $0,1,−1$ (можно для удобства заменить остаток $6$ на $− 1,$ очевидно, что разница кратна $7$ ). Поэтому если $k≥ 7,$ то правая часть даёт остаток $4$ по модулю $7$ (такой же, как $32$ ). При этом остатки левой части могут быть только ${−2,−1,0,1,2}.$ Все они отличаются от $4$ по модулю $7,$ поэтому равенство невозможно. Значит, $k ≤6.$ Остаётся перебрать случаи

$3 3 k =1.m + n = 33,$ решений нет.
$3 3 k =2.m + n = 34,$ решений нет.
$3 3 k =3.m + n = 38,$ решений нет.
$k =4.m3+ n3 = 56,$ решений нет.
$k =5.m3+ n3 = 152,$ решения $(3,5),(5,3).$
$k =6.m3+ n3 = 752,$ решений нет.

Все проверки осуществляются простым перебором (достаточно взять $n,m ≤9,$ поскольку $93 = 729$ для последнего случая, а для других намного меньше).

Замечание. Аналогичные рассуждения можно было провести для модуля $9,$ тогда не потребовалось бы рассматривать $k =6.$

Ответ:

$(5,3,5),(3,5,5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 151#72734Максимум баллов за задание: 7

Найти все пары натуральных чисел $x$ и $y$ таких, что их наименьшее общее кратное равно $1+ 2x+3y.$

В качестве ответа введите все возможные значения $x$ через пробел в порядке возрастания.

Источники: Всесиб-2019, отбор

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия следует, что 1+3y делится на x, а 1+2x делится на y. Кажется, что это может дать нам неплохие оценки на x и y...

Подсказка 2

Пускай для начала 1<x≤y. Из делимости 1+3y на x следует, что 1+2x=ky. Если k>2, то x>y. Тогда k=1 или k=2. Какой из случаев не реализуется?

Подсказка 3

При k=2, 1+2x должно делится на 2, что неверно. Тогда 1+2x=y ⇒ 4+6x делится на x. Следовательно, x надо искать среди делителей 4. Пускай теперь x>y>1. Что мы можем сказать про k, где 1+3y=kx?

Подсказка 4

Верно, k<4! При этом k не может равняться 3. Если k=2, то 1+3y=2x ⇒ y=2t+1, x=3t+2. При этом 1+2x=6t+5 должно делится на 2t+1. Посмотрите на НОД(6t+5, 2t+1) и разберитесь со случаем k=1!

Показать ответ и решение

Пусть сначала $x≤ y$ Заметим, что $y$ не может делиться на $x,$ иначе наименьшее общее кратное $x$ и $y$ равно $y,$ а это меньше $1+ 2x+ 3y.$ В частности, $x> 1.$

Далее, наименьшее общее кратное $x$ и $y$ делится на $x$ и $y,$ поэтому $1+ 2x +3y$ делится на $x$ и $y,$ а значит $1+2x$ делится на $y$ и $1+3y$ делится на $x.$ Из делимости $1+ 2x$ на $y$ следует $1 +2x= ky ≥ y,$ что вместе с предположением $x≤ y$ влечёт $k =1,y = 2x+ 1.$ Тогда из делимости $1+ 3y =6x+ 4$ на $x$ и $x> 1$ следуют делимость 4 на $x$ и возможности $x= 2,4.$ Проверка показывает, что решением в этом случае является $x =4,y = 9.$

Теперь рассмотрим случай $x≥ y > 1,$ из делимости $1 +3y ≤ 1+ 3(x− 1)= 3x − 2$ на $x$ следует $1+3y =x$ или $1+ 3y = 2x.$ Если $1+ 3y = x,$ то $1+ 2x= 6y +3$ делится на $y,$ тогда $3$ делится на $y$ и $x= 10,y =3$ является решением задачи.

Если $1+3y =2x,$ то $y$ нечётно, $y =2k +1,k> 0,x =3k+ 2.$ Тогда $1+ 2x =6k +5$ должно делиться на $y = 2k+ 1,$ значит $6k+ 5− 3(2k+ 1)=2$ делится на $y =2k +1≥ 3,$ что невозможно.

Ответ: 4 10

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 152#79772Максимум баллов за задание: 7

Найти все натуральные числа $n$ , которые можно представить в виде суммы

n = x+ y+(x,y)+ [x,y]

для некоторых натуральных чисел $x$ и $y.$

Здесь $(x,y)$ и $[x,y]$ обозначают наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$ соответственно.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам хочется что-то понять про число n, поэтому разумно будет попытаться разложить правую часть на множители. С изначальным условием не очень удобно совершать тождественные преобразования. Давайте обозначим НОД(x, y)=d, тогда x=ad, y=bd и как раскладывается правая часть?

Подсказка 2

Верно, n=d(a+1)(b+1)! Как мы понимаем, нам подходят любые d, a и b, удовлетворяющие условию НОД(a, b)=1. При каком b это условие всегда выполнено?

Подсказка 3

Верно, при b=1! Это означает, что любое n вида 2d(a+1) нам подходит. Поэтому появляется предположение о том, что любое четное число, большое 2, нам подойдет. Осталось доказать, что если n раскладывается, то оно обязательно должно быть четным...

Подсказка 4

Так как НОД(a, b)=1, то одновременно a и b делится на 2 не могут. Используйте это и завершите решение!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если оба числа $x$ и $y$ одной четности, то все четыре слагаемых $x, y, (x, y)$ и $[x, y]$ имеют ту же четность и их сумма четна. Если они имеют разную четность, то $(x, y)$ нечетно, а $[x, y]$ четно, потому в сумме будет два четных и два нечетных числа и она снова будет четна. Каждое ее слагаемое не меньше одного, поэтому вся сумма не меньше $4.$ Следовательно, ответом задачи может быть только четное число больше двух.

С другой стороны, для произвольного четного $n> 2$ положив $n x= 1, y = 2 − 1,$ получим $(x,y)= x= 1$ и $n [x, y]= y = 2 − 1,$ откуда $x +y+ (x, y)+[x, y]=n$ — представляется в требуемом в условии виде.

Второе решение.

Если обозначить $(x, y)= d,$ то

x =x1d, y =y1d, [x, y]= x1y1d,

где $x1, y1$ взаимно просты, значит, одно из них обязательно нечетно. Тогда

n= x+ y+(x, y)+ [x, y]= d(1+ x1)(1+ y1),

где обе скобки не меньше $2$ и одна из них обязательно четна. Следовательно, ответом задачи может быть только четное число, большее двух. Далее все как в первом решении.

Ответ: Все чётные числа, большие двух

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 153#86091Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах:

2 3xy− x− y = 2019− 3x

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как было бы удобнее работать с данным уравнением?

Подсказка 2

Перенесите все неизвестные в левую часть и разложите на множители.

Подсказка 3

Посмотрите на остатки.

Показать ответ и решение

Перенесём все неизвестные в одну сторону и разложим на множители:

2 3x + 3xy− x − y =2019

3x(x +y)− (x +y)= 2019

(3x− 1)(x+ y)=2019

Заметим, что $2019 =3⋅673,$ где каждый сомножитель простой, и что выражение в первой скобке даёт остаток 2 по модулю 3, значит, оно должно быть равно числу с остатком 2 по модулю 3. Посмотрим остатки всех целых делителей числа 2019 по модулю 3: у 2019 остаток 0, у 673 остаток 1, у 3 остаток 0, у 1 остаток 1, у $− 1$ остаток 2, у $− 3$ остаток 0, у $− 673$ остаток 2, у $− 2019$ остаток 0.

Следовательно, возможно только два случая

{ { 3x − 1 =− 1 3x− 1= −673 x+y =− 2019 и x+ y = −3

{ { x= 0 и x = −224 y = −2019 y =221

Ответ:

$(0;− 2019),(−224;221)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 154#104431Максимум баллов за задание: 7

Про натуральное число $n$ известно, что число $√12n2+-1-$ — также натуральное. Докажите, что натуральным является и число

∘ √---2------ -12n-+-1+-1 2

Показать доказательство

Пусть $√12n2+-1= m.$ Тогда $m2 − 1= 12n2,$ откуда $m$ нечётно, следовательно, последнее равенство можно переписать в виде

(m − 1)( m+ 1) 2 --2-- -2--- =3n

Если $k= m+21-$ (это то самое число, корень из которого должен оказаться целым в нашей задаче), имеем $k(k− 1)= 3n2.$ Так как числа $k$ и $k− 1$ взаимно просты, одно из них квадрат, а другое – утроенный квадрат. Но квадрат не может быть на единицу меньше числа, кратного трём, поэтому квадрат — это число $k,$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 155#41756Максимум баллов за задание: 7

Найдите все целые решения уравнения

x 2 3 ⋅2 + 1= y

Источники: Муницип - 2018, Красноярский край, 11.2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что х >= 0. Какой четности может быть у? А что это нам дает? А как мы можем представить у, если он ,к примеру, нечетный?

Подсказка 2

Верно, если х = 0, то у равен +-2 а если х > 0, то у уже нечетный. Значит, y = 2k + 1. Подставим это значение и, после деления на 4(а если x <= 2 рассмотрим отдельно) получим уравнение 3 * 2^(x - 2)= k(k + 1). Что теперь можно сказать насчет k? А если посмотреть на то, как связаны k и k+1? Может ли k быть равно 3 * 2^c?

Подсказка 3

k и k + 1 - это взамнопростые числа, а значит, если их произведение равно 3 * 2 ^ (x - 2), то 3 * 2^(x - 2) должно разбиваться на 2 взаиинопростых делителя, которые в произведение дадут 3 * 2^(x - 2). Значит эти числа могут быть равны только 3 и 2^(x - 2). Осталось рассмотреть два случая и учесть что это соседние числа.

Показать ответ и решение

Заметим, что $x≥ 0$ (иначе $y$ не целое). Если $x =0$ , то $y =±2$ . Пусть $x$ — натуральное, тогда $y$ нечётное, обозначим $y =2k+ 1.$

Получаем

x 2 3⋅2 + 1= (2k+ 1)

x 2 3 ⋅2 =4k + 4k

3⋅2x−2 =k(k+ 1)

Поскольку $k$ и $k+ 1$ взаимно просты, возможны случаи $k= 3,k +1 =2x−2$ или $k+ 1= 3,k= 2x−2.$

Первый случай даёт ответ $x= 4,y =7$ , во втором случае $x= 3,y = 5.$

Ответ:

$(0,±2),(3,±5),(4,±7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 156#72731Максимум баллов за задание: 7

Найдите все такие натуральные числа $n$ , для которых выполнено условие:

( 3 ) ( 3 ) 3 Н ОД n − 2,n +2 + НО К n− 2,n + 2 = n +n

Введите все возможные варианты в порядке возрастания через пробел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним равенство НОД(a,b) * НОК(a,b) = ab, которое верно для любых целых чисел. Какие решения может иметь система НОД(a,b) + НОК(a,b) = a + b, НОД(a,b) * НОК(a,b) = ab?

Подсказка 2

Верно! НОД(a,b) = a и НОК(a,b) = b или НОД(a,b) = b и НОК(a,b) = a. Каким эквивалентным условием можно заменить эти условия?

Подсказка 3

НОД(a,b) = a, НОК(a,b) = b <=> b делится на a. Ясно, что может быть реализован только вариант b = n^3 + 2, a = n - 2. При каком условии b делится нацело на a?

Подсказка 4

Верно! Тогда и только тогда, когда неполное частное (n^3+2)/(n-2) является целым числом. Найдите все такие n!

Показать ответ и решение

Обозначим $a= n− 2;b =n3+ 2.$ Тогда уравнение запишется в виде НОД $(a,b)+$ НОК $(a,b)= a+ b.$ Напишем еще одно соотношение, верное для любых целых $\text{[math]}$ и $b.$ Получим систему

{ НОД (a,b)+НО К(a,b)= a+b НОД (a,b)⋅ НОК (a,b)= a⋅b

Очевидно, что решением этой системы может быть только

{ НОД (a,b)= a { НО Д (a,b)= b НОК (a,b)= b или НО К (a,b)= a

Поскольку НОК всегда не меньше НОДа, второй случай невозможен. Остается ${ НОД (a,b)= a НОК (a,b)= b$ , что равносильно тому, что $b$ делится на $a.$

n3+ 2 10 n-− 2-= n2+ 2n +4+ n-− 2

Из этого равенства видно, что $n3+ 2$ будет делиться на $n− 2$ тогда и только тогда, когда $n− 2$ является делителем $10.$

n− 2= 1⇒ n= 3;n− 2= 2⇒ n= 4;

n− 2= 5⇒ n =7;n− 2= 10⇒ n= 12.

Ответ: 3 4 7 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 157#76735Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение с тремя неизвестными

Y Z X + Y = XY Z

в натуральных числах.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что таковое равенство может редко когда достигаться, так как слева что-то почти всегда большее чем справа(степень растет быстрее произведения). Значит, нужно сделать какую-то понятную оценку, а все случаи, которые под нее не подходят, перебрать. Мы хотим какими-то неравенствами получить XYZ, как оценку снизу. Что мы знаем из неравенств? Как это неравенство нам поможет в оценке XYZ(желательно несколько симметрично относительно X и Z, так как очень похожее структурно)?

Подсказка 2

Да, хочется применить неравенство о средних для двух чисел, но как? Нам нужно как-то X^Y перейти к произведению XY*(что-то, не обязательно константное). Аналогично, со вторым слагаемым. Если X >= 2, то X^k >= 2^k, k - натуральное. При этом, 2^k >= 2k(доказывается по индукции), или 2^(k - 1) >= k. Как с этим знанием найти эту оценку?

Подсказка 3

Верно, можно сделать оценку, что X^Y >= X^2 * X^(Y - 2) >= X^2 * 2^(Y - 2) >= X^2*Y/2. При этом, если бы X >= 3, то мы могли бы сказать, что X^(Y - 1) >= 3^(Y - 1) > 2 ^ (Y - 1) > Z^2/2(при Z > 4, остальные Z перебираются). Значит, можно это неравенство применить на второе слагаемое в левой части уравнения.

Подсказка 4

Тогда, Y^Z = Y^(Z - 1) * Y >= 3^(Z - 1) * Y >= Z^2*Y/2. Почему это хорошие оценки? Потому что у нас получается идеальные слагаемые для оценки их как неравенства о средних(Z^2*Y/2 и X^2*Y/2), так как степень каждой переменной будет равна 2/2 = 1, а коэффициент будет равен 1(из за 1/2 перед каждым слагаемым). Значит, при Х >= 2, Y >= 3 у нас есть строгая оценка, что левая часть больше правой. Отсюда, осталось грамотно перебрать меньшие, но это уже задача вполне рабочая.

Показать ответ и решение

1) Рассмотрим случаи. При $Y = 1$ получаем уравнение:

X +1 =XZ

откуда $X (Z − 1)= 1$ , то есть $X =1$ , $Z = 2$ .

2) При $Y = 2$ получаем уравнение:

2 Z X + 2 = 2XZ

(X − Z)2+2Z − Z2 =0

При $Z =1$ решений нет. При подстановке $Z = 2,3,4$ получаем решения $(2;2;2)$ , $(2;2;3)$ , $(4;2;3)$ , $(4;2;4)$ . При $Z > 4$ будет выполнено, что $2Z >Z2$ и тогда решений не будет.

Доказать, что $2Z > Z2$ легко по индукции. База индукции проверяется подстановкой $Z =5$ .

Шаг индукции доказывается тем, что если $2Z >Z2,$ то

2Z+1 =2Z +2Z >2Z2 >Z2 +2Z +1,

так как $Z2− 2Z− 1> 0$ при $Z > 4$ .

3) При $Y ≥3$ сначала рассмотрим случай $X = 1$ . Тогда имеем уравнение

Z 1+Y = YZ

которое не имеет решений, так как

YZ ≥ YZ− 1Y ≥ 2Z−1Y ≥ YZ

(неравенство $2Z− 1 ≥Z$ легко доказать по индукции)

Иначе $Y ≥ 3,X ≥ 2$ . Тогда

XY = XY −2X2 ≥ 2Y−2X2 ≥ 1X2Y 2

(в последнем переходе снова используем неравенство $2Y−1 ≥ Y$ )

Y Z = YZ− 1Y ≥ 3Z−1Y > 1Z2Y 2

При $Z <5$ неравенство

3Z−1 > 1Z2 2

можно проверить вручную, а при $Z ≥5$ сослаться на доказанное нами неравенство

3Z−1 > 2Z−1 > 1Z2 2

В итоге, воспользовавшись доказанным и неравенством между средними, получаем:

Y Z 1 2 1 2 √-2-2- X +Y > 2X Y + 2YZ ≥Y X Z =XY Z

То есть при $Y ≥3,X ≥2$ решений нет, так как

Y Z X + Y > XY Z

Ответ:

$(1;1;2)$ , $(2;2;2)$ , $(2;2;3)$ , $(4;2;3)$ , $(4;2;4).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 158#89084Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что простое число $p$ можно представить в виде $n4− m4 n3+m3$ для некоторых натуральных чисел $m$ и $n$ тогда и только тогда, когда $p$ является суммой квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть p представимо в виде из условия. Выделите d - наибольший общий делитель m и n(m = dx, n=dy), затем преобразуйте как-нибудь дробь, чтобы остались приятные множители

Подсказка 2

Преобразованиями можно получить d(y-x)(y^2+x^2) = p(x^2-xy+y^2) Чему может быть равен НОД множителей с разных сторон?

Подсказка 3

На самом деле такое возможно только при y - x = 1 и p = x^2 + y^2

Подсказка 4

Для решения в другую сторону попытайтесь выразить d через x (полезно посмотреть на подсказки выше)

Подсказка 5

На самом деле d кратно x^2-xy+y^2, может это оно и есть?

Показать доказательство

Пусть $p$ представимо в таком виде. Выделим наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ — $d= (m,n),m = dx,n =dy,$ где $x$ и $y$ взаимно просты. Сокращая равенство $4 4 ( 3 3) n − m =p n + m$ на $3 d(x+ y),$ получаем $( 2 2) ( 2 2) d(y − x) y +x = p x − xy +y .$ Очевидно, число $2 2 x − xy+ y$ взаимно просто и с $2 2 y +x ,$ и с $y− x.$ Поэтому $p$ кратно $( 2 2) (y− x) y + x .$ Так как из двух сомножителей $y − x$ и $2 2 y + x$ второй, очевидно, больше $1,$ получаем $2 2 p =y + x$ и $y− x= 1,$ что и требовалось доказать.

Если, наоборот, $2 2 p= x +(x+ 1),$ то искомое представление доставляют $(2 ) ( 2 ) n = (x+ 1) x +x+ 1 ,m =x x + x+ 1 .$ Действительно,

( )( ) (x+ 1)4− x4 = (x+1)2+ x2 (x+ 1)2− x2 =p((x+1)+ x)

откуда

( )( ) ( ) x2+x +1 (x +1)4− x4= p((x +1)+ x) x2+ x+ 1 =

( 2 2) ( 3 3) = p((x+ 1)+x) (x +1) − x(x+ 1)+x = p (x +1) +x

то есть

(( 2 ) )4 (( 2 ) )4 (((2 ) )3 (( 2 ) )3) x +x +1 (x+ 1) − x + x+ 1x = p x +x +1 (x+1) + x + x+ 1x

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 159#95850Максимум баллов за задание: 7

Даны числа $x,y,z$ и четыре утверждения: “ $2x+y +z$ — простое число”, “ $x+ 2y +z$ — простое число”, “ $x+y +2z$ — простое число”, “ $x,y$ и $z$ — натуральные числа”. Могут ли все эти четыре утверждения быть верны?

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Предположим, что все эти утверждения верны. Тогда из трех натуральных чисел $x,y$ и $z$ получаются три простых числа $p =2x+ y+ z,q =x +2y+ z,r =x +y+ 2z.$ Заметим, что все числа $p,q,r$ не меньше $4,$ следовательно, нечетные. Так как $2x$ четно, отсюда следует, что $y+ z$ нечетно, т.е., числа $y$ и $z$ — разной четности. Аналогично, числа $x$ и $z$ разной четности. Тогда $x$ и $y$ одной четности, их сумма — четная, значит, число $r$ тоже четное. Поэтому оно не может быть простым.

Ответ:

Нет, не могут

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 160#95906Максимум баллов за задание: 7

Три наименьших делителя натурального числа $n$ — это $1< k< m.$ Известно, что $n =(3k+ m)2.$ Найдите все такие $n.$

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Пусть $n$ не делится на $2.$ Тогда $k$ и $m$ нечетны, меж тем $n =(3k+ m)2$ четно, значит, $k= 2,$ противоречие. Поэтому $n$ четно и $k =2.$ Так как $n$ является квадратом, то оно делится на $4.$ Значит, $m ≤ 4.$ Но $m = 3$ не подходит из-за той же четности. Итого $k =2,m =4,$ откуда $n= 100.$

Ответ:

$n =100$

Следующая подтема