Четырёхугольники

Отметим центр параллелограмма Он лежит на средней линии трапеции, поскольку Продлим до пересечения с и в точках и соответственно. Заметим, что и а значит потому что Также отметим, что Теперь видно, что по первому признаку, а значит у них равные высоты и проведённые к и В силу равнобедренности трапеции Но тогда а вместе с этим Следовательно, что и требовалось.

Продлим прямую до пересечения с прямой Пусть они пересекутся в точке

Прямые и параллельны, так как — параллелограмм. Отсюда и — накрестлежащие при и секущих и соответственно. Получается, как вертикальные, по условию, то есть треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда следует, что При этом по определению параллелограмма, то есть откуда

Заметим, что треугольник — прямоугольный треугольник с углом так как по условию и По свойству прямоугольного треугольника с углом катет, лежащий напротив угла в в два раза меньше гипотенузы, то есть Итак, перпендикуляр равен стороне параллелограмма

Пусть основание равно тогда из условия получаем, что

Зная оба основания, можем посчитать среднюю линию трапеции:

Пусть тогда по условию Проведём биссектрису угла которая пересекает в точке Тогда

По параллельности оснований трапеции Так как то а значит, четырёхугольник — параллелограмм.

Тогда:

Осталось заметить, что треугольник равнобедренный, поэтому Значит,

Во-первых, заметим, что и точки и точки лежат по одну сторону от прямой так как в противном случае а по условию

По обратной теореме Фалеса параллельна

Возможны две конфигурации:

1) Точки расположены последовательно.

Если обозначить расстояние от точки до прямой через то из подобия треугольников и вытекает:

Отсюда Далее из подобия треугольников и :

Отсюда Тогда площадь трапеции равна

2) Точка расположена между точками и

Аналогично:

Отсюда И из подобия треугольников и

Отсюда Площадь трапеции равна

а) Докажем, что в общем случае это неверно. В условии не указаны стороны, на которые опускаются высоты и а значит, возможны два варианта: либо точки и лежат соответственно на сторонах и либо соответственно на сторонах и Приведём пример параллелограмма для второго случая, в котором утверждение задачи неверно — пусть Тогда вершина совпадает с точками и а точка является серединой Очевидно, что тогда угол между и равен и они не перпендикулярны.

Замечание. В случае, когда высоты и опущены на стороны и действительно, всегда будет перпендикулярность между прямыми и

б) Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Подставляя известные значения и получаем:

Заменяя и подставляя все в выражение тригонометрического тождества, получаем уравнение:

Полученное квадратное уравнение на не имеет решений, так как его дискриминант меньше нуля. Значит, этот случай невозможен.

Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Таким образом,

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Подставляя находим:

Пусть и — основания трапеции причем

Через вершину проведем прямую, параллельную боковой стороне Пусть эта прямая пересекает основание в точке

Тогда — параллелограмм. Поэтому получаем следующие равенства отрезков:

Из равенства соответственных углов получаем:

В прямоугольном треугольнике катет лежит против угла в следовательно,

Пусть — большая боковая сторона трапеции — меньшее основание, — большая диагональ. Опустим перпендикуляр на большее основание

Поскольку то а так как то Значит,

Следовательно,

По условию и , поэтому — основания трапеции. Пусть и — середины и так что — средняя линия трапеции

При этом параллельна основаниям, поэтому и значит, — серединный перпендикуляр к Значит, центр окружности лежит на прямой

Положим

Из параллельности следует, что , поэтому .

Видим, что треугольник — прямоугольный (), а значит, — центр окружности

Далее, в прямоугольном треугольнике имеем поэтому , а из равенства углов следует поэтому лежит на прямой

Итак, — общая точка окружностей и лежащая на их линии центров Значит, эти окружности касаются (в точке ).

Рассмотрим четырехугольник так как — параллелограмм, то и

По условию, и следовательно, тогда — параллелограмм, и Аналогично для

Пусть и — середины сторон и соответственно.

Заметим, что — средняя линия треугольника значит,

Аналогично — средняя линия треугольника значит,

Получаем Так как и — средние линии треугольников и получаем

Так как по условию то соответственно, — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно,

Пусть — середина основания трапеции

Треугольник — равнобедренный, следовательно . Основания трапеции параллельны, поэтому и

Значит по двум сторонам и углу между ними. Поэтому то есть трапеция равнобокая.

Пусть точка — середина боковой стороны трапеции По условию, Продлим отрезок на его длину за точку получим отрезок

Так как то — параллелограмм. следовательно, точка лежит на прямой В треугольнике другими словами, медиана равна половине стороны, к которой проведена, следовательно, треугольник является прямоугольным, тогда

Проведем

По построению, Заметим, что трапеции и — равнобедренные. Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны, — искомый.

Поскольку и получаем, что Проведем высоту Она будет равна так как тогда Кроме того, По условию, так как четырехугольник является вписанным. как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Отметим середину стороны точку Продлим луч до пересечения с прямой в точке и луч до пересечения с прямой в точке

Из равенства треугольников и получаем, что

Откуда — равнобедренный треугольник. Аналогично равны треугольники и откуда равнобедренным является треугольник Получаем, что четырёхугольник является ромбом.

Отразим точку относительно диагонали получим точку Так как

То и Получаем, что в равнобедренном треугольнике угол равен значит, треугольник равносторонний.

Треугольник равнобедренный, поэтому то есть трапеция равнобедренная. Из этого получаем, что

То есть

В силу симметрии в ромбе

Пусть Тогда Так как — параллелограмм, то Проведем высоту Получим, что

По условию, площадь параллелограмма равна площади трапеции Поскольку является для них высотой, верно, что

Тогда

Продлим боковые стороны трапеции до пересечения. Пусть пересекает в точке По условию откуда

Пусть а точки и — середины сторон и соответственно. Отсюда — медиана прямоугольного треугольника По свойству прямоугольного треугольника Получается, треугольник — равнобедренный, то есть Аналогично, — медиана прямоугольного треугольника откуда то есть треугольник — равнобедренный и Заметим, что как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей Отсюда

Так как то точки лежат на одной прямой, откуда

Получается, искомый отрезок, соединяющий середины оснований нашей трапеции, равен полуразности оснований. С другой стороны, мы знаем, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, так же равна полуразности оснований. По условию длина этого отрезка равна отсюда искомая длина так же равна

Пусть — прямая, параллельная и проходящая через Обозначим за вторую точку пересечения и

Заметим, что

так как — середина Проецируя эту четвёрку на окружность из точки получаем

Но тогда четырёхугольник — гармонический, а значит, касательная в точке к проходит через пересечение и касательной в к то есть через

Но теперь видим, что четырёхугольник — гармонический, так как касательные в и к пересекают в одной и той же точке. Значит,

Проецируя эту четвёрку на прямую из точки получаем, что

а отсюда и следует, что — середина

Лемма. Пусть — точки на окружности. Тогда

Доказательство. Выберем на окружности точку и перепишем определение двойного отношение через синусы углов:

Из теоремы синусов известно, что

где — радиус описанной окружности. Тогда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть тогда в силу леммы

следовательно,

то есть четырёхугольник гармонический.

В обратную сторону, если

то

Предположим, что Для точки на окружности верно, что

но если двойное отношение четверки прямых равно то две из них совпадают, что неверно, поскольку точки различны, следовательно,

Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и Углы и равны как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей Аналогично равны углы и следовательно, треугольники и подобны по двум углам, кроме этого их соответственные стороны и равны, а значит и сами треугольники равны, то есть равны отрезки и что влечет равенство отрезков и

Наконец, в прямоугольном треугольнике отрезок является медианой, проведенной из прямого угла, а значит равен отрезку Аналогично что завершает доказательство.

Второе решение. Пусть и — середины отрезков и соответственно. Тогда — средняя линия треугольника Значит, и

Получаем, что и — параллелограммы, а, следовательно, и треугольники и равны по сторонам. Т.к. и — медианы в прямоугольных треугольниках и то и

(треугольник — р/б) (треугольник — р/б, ) Получаем, что по признаку что и доказывает утверждение задачи.