Четырёхугольники

Отметим центр параллелограмма Он лежит на средней линии трапеции, поскольку Продлим до пересечения с и в точках и соответственно. Заметим, что и а значит потому что Также отметим, что Теперь видно, что по первому признаку, а значит у них равные высоты и проведённые к и В силу равнобедренности трапеции Но тогда а вместе с этим Следовательно, что и требовалось.

Продлим прямую до пересечения с прямой Пусть они пересекутся в точке

Прямые и параллельны, так как — параллелограмм. Отсюда и — накрестлежащие при и секущих и соответственно. Получается, как вертикальные, по условию, то есть треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда следует, что При этом по определению параллелограмма, то есть откуда

Заметим, что треугольник — прямоугольный треугольник с углом так как по условию и По свойству прямоугольного треугольника с углом катет, лежащий напротив угла в в два раза меньше гипотенузы, то есть Итак, перпендикуляр равен стороне параллелограмма

Пусть основание равно тогда из условия получаем, что

Зная оба основания, можем посчитать среднюю линию трапеции:

Пусть тогда по условию Проведём биссектрису угла которая пересекает в точке Тогда

По параллельности оснований трапеции Так как то а значит, четырёхугольник — параллелограмм.

Тогда:

Осталось заметить, что треугольник равнобедренный, поэтому Значит,

Во-первых, заметим, что и точки и точки лежат по одну сторону от прямой так как в противном случае а по условию

По обратной теореме Фалеса параллельна

Возможны две конфигурации:

1) Точки расположены последовательно.

Если обозначить расстояние от точки до прямой через то из подобия треугольников и вытекает:

Отсюда Далее из подобия треугольников и :

Отсюда Тогда площадь трапеции равна

2) Точка расположена между точками и

Аналогично:

Отсюда И из подобия треугольников и

Отсюда Площадь трапеции равна

а) Докажем, что в общем случае это неверно. В условии не указаны стороны, на которые опускаются высоты и а значит, возможны два варианта: либо точки и лежат соответственно на сторонах и либо соответственно на сторонах и Приведём пример параллелограмма для второго случая, в котором утверждение задачи неверно — пусть Тогда вершина совпадает с точками и а точка является серединой Очевидно, что тогда угол между и равен и они не перпендикулярны.

Замечание. В случае, когда высоты и опущены на стороны и действительно, всегда будет перпендикулярность между прямыми и

б) Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Подставляя известные значения и получаем:

Заменяя и подставляя все в выражение тригонометрического тождества, получаем уравнение:

Полученное квадратное уравнение на не имеет решений, так как его дискриминант меньше нуля. Значит, этот случай невозможен.

Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Таким образом,

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Подставляя находим:

Пусть и — основания трапеции причем

Через вершину проведем прямую, параллельную боковой стороне Пусть эта прямая пересекает основание в точке

Тогда — параллелограмм. Поэтому получаем следующие равенства отрезков:

Из равенства соответственных углов получаем:

В прямоугольном треугольнике катет лежит против угла в следовательно,

Через вершину меньшего основания трапеции ( проведём прямую, параллельную диагонали Пусть –– точка пересечения этой прямой с прямой

Образовался параллелограмм откуда понятно, что Проведём высоту треугольника Тогда

Известны стороны (из параллелограмма) и высота Из прямоугольных треугольников и находим, что

Если точка лежит между точками и то

Если же точка лежит между точками и то

Пусть — большая боковая сторона трапеции — меньшее основание, — большая диагональ. Опустим перпендикуляр на большее основание

Поскольку то а так как то Значит,

Следовательно,

По условию и , поэтому — основания трапеции. Пусть и — середины и так что — средняя линия трапеции

При этом параллельна основаниям, поэтому и значит, — серединный перпендикуляр к Значит, центр окружности лежит на прямой

Положим

Из параллельности следует, что , поэтому .

Видим, что треугольник — прямоугольный (), а значит, — центр окружности

Далее, в прямоугольном треугольнике имеем поэтому , а из равенства углов следует поэтому лежит на прямой

Итак, — общая точка окружностей и лежащая на их линии центров Значит, эти окружности касаются (в точке ).

Рассмотрим четырехугольник так как — параллелограмм, то и

По условию, и следовательно, тогда — параллелограмм, и Аналогично для

Пусть и — середины сторон и соответственно.

Заметим, что — средняя линия треугольника значит,

Аналогично — средняя линия треугольника значит,

Получаем Так как и — средние линии треугольников и получаем

Так как по условию то соответственно, — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно,

Пусть — середина основания Опустим высоты и

Так как треугольник равнобедренный с основанием высота является так же медианой и биссектрисой, то есть

Так как и — прямоугольники, С одной стороны

С другой стороны

Тогда

Учитывая что получаем и — высоты трапеции, так что они равны. Тогда по двум сторонам и прямому углу между ними. Получается, что то есть трапеция равнобокая.

Пусть точка — середина боковой стороны трапеции По условию, Продлим отрезок на его длину за точку получим отрезок Так как то — параллелограмм. следовательно, точка лежит на прямой В треугольнике другими словами, медиана равна половине стороны, к которой проведена, следовательно, треугольник является прямоугольным, тогда

Проведем По построению, Заметим, что трапеции и — равнобедренные. Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны, — искомый.

Поскольку и получаем, что Проведем высоту Она будет равна так как тогда Кроме того, По условию, так как четырехугольник является вписанным. как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и Углы и равны как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей Аналогично равны углы и следовательно, треугольники и подобны по двум углам, кроме этого их соответственные стороны и равны, а значит и сами треугольники равны, то есть равны отрезки и что влечет равенство отрезков и

Наконец, в прямоугольном треугольнике отрезок является медианой, проведенной из прямого угла, а значит равен отрезку Аналогично что завершает доказательство.

Второе решение. Пусть и — середины отрезков и соответственно. Тогда — средняя линия треугольника Значит, и

Получаем, что и — параллелограммы, а, следовательно, и треугольники и равны по сторонам. Т.к. и — медианы в прямоугольных треугольниках и то и

(треугольник — р/б) (треугольник — р/б, ) Получаем, что по признаку что и доказывает утверждение задачи.

Проведём диагональ и отметим её середину

и — середины и соответственно, следовательно, и — средние линии треугольников и соответственно, тогда

Т.к. и и — внешний угол треугольника поэтому

Получаем

Следовательно, треугольник равносторонний, тогда

Обозначим точки пересечения и с диагональю как и соответственно, тогда Рассмотрим треугольник заметим, что — средняя линия, т.к. и Следовательно Аналогично получаем, что Значит, является параллелограммом.

Проведём диагональ — точка пересечения и т.к. — параллелограмм, то делит и пополам.

Но следовательно делит и пополам. — точка пересечения диагоналей четырехугольника делящая их пополам, значит, — параллелограмм.

Удвоим получим точку

Рассмотрим треугольник В нем — высота и медиана одновременно, а значит, по признаку этот треугольник равнобедренный. Тогда по определению.

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, так как по условию, по построению, как вертикальные. Тогда как соответственные.

как противоположные стороны параллелограмма.

Обозначим через середину отрезка Поскольку треугольник равнобедренный, Так как и то

Таким образом, — точка пересечения высот треугольника Значит, Так как — параллелограмм, откуда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим середину отрезка точкой Продлим и до их пересечения. Пусть это будет точка

— серединный перпендикуляр в треугольнике значит серединный перпендикуляр в треугольнике — середина , это следует из подобия треугольников и Тогда, — середенный перпендикуляр, следовательно точка — точка пересечения серединных перпендикуляров. Так как — середина и то — средняя линия треугольника , следовательно — середина Значит, это серединный перпендикуляр, и искомый угол равен

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Обозначим середину отрезка точкой Проведем и

Тогда, треугольники и равны по двум сторонам и углу. Следовательно, — вписанный, тогда из-за вписанности. Треугольник равнобедренный, тогда Итого, получили, что следовательно, — вписанный, тогда