Проведение параллельных прямых

Достроим треугольник до прямоугольника и выберем на его стороне точку так, что параллельно Тогда и прямоугольные треугольники и равны, причём Поэтому и то есть — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, и, в силу параллельности прямых и острый угол между прямыми и тоже составляет градусов.

Проведём через точку прямую, параллельную Отметим на ней точку так, что Заметим, что — параллелограмм. Значит, достаточно доказать, что

Углы и равны (по ) как противолежащие. Значит, треугольник равносторонний. Таким образом, Также нетрудно видеть, что Значит, треугольники и равны по первому признаку ( — общая сторона). Отсюда вытекает равенство и

Отложим на луче отрезок Тогда четырёхугольник — параллелограмм, поэтому . Используя условие, получаем

значит, треугольник — равнобедренный, Далее, поскольку получаем

Так как прямая является биссектрисой угла и, тем самым, серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника Поэтому точка K равноудалена от концов отрезка что и требовалось доказать

Пусть — трапеция с основанием на котором выбрали точку Тогда достаточно доказать, что и — параллелограммы. Достроим треугольник до параллелограмма

Тогда периметры треугольников и равны, поэтому равны периметры треугольников и Следовательно, так как иначе один из треугольников и лежит внутри другого и их периметры не могут быть равны. Поэтому — параллелограмм. Аналогично доказывается, что — параллелограмм. Тогда и будет серединой основания и к тому же

Через точку параллельно стороне проведём прямую до пересечения со стороной в точке Тогда треугольник — также равносторонний, поэтому и то есть — середина отрезка Продолжим катет до пересечения с прямой в точке Тогда треугольники и равны по стороне и двум углам поэтому а середина отрезка Треугольник — равнобедренный, так как его высота является медианой. Следовательно,

Давайте достроим треугольник до параллелограмма .

Тогда , поэтому четырёхугольник вписанный, следовательно,

Теперь давайте посмотрим на треугольники и . Ясно, что второй является образом первого при параллельном переносе на вектор . Значит, . А из этого равенства следует требуемое в условии добавлением к обеим частям равенства.

Пусть пересекается с в точке .

Первое решение.

Прямая, проходящая через середину отрезка параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . То есть

Прямая, проходящая через точку отрезка параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . То есть

В итоге

__________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Мы видим медиану и хочется немедленно её удвоить.

Тогда мы получаем параллелограмм и за счёт равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых с коэффициентом подобия

Из подобия мы выяснили, что

Прямая, проходящая через точку параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . В итоге

__________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

По теореме Менелая для треугольника и прямой

По теореме Менелая для треугольника и прямой

Прямая, проходящая через точку параллельно , это средняя линия треугольника , она равна половине . В итоге

Отложим от точки отрезок , равный и параллельный . Рассмотрим треугольники и . В них и как противоположные стороны параллелограмма, и , по построению. Поэтому , и по двум сторонам и углу между ними.

Аналогично . Теперь в треугольнике стороны , и равны соответственно отрезкам , и , значит, из последних можно составить треугольник.

Пусть — биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника .

Через точку проведём прямую, параллельную основанию Пусть — точка пересечения этой прямой с боковой стороной Тогда Поэтому треугольник — равнобедренный. Следовательно, а так как и то треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, треугольник также равнобедренный, то есть

Проведем через точку прямую параллельную Достаточно показать, что является биссектрисой угла Поскольку верно, что Таким образом, достаточно показать, что является биссектрисой внешнего угла

Последнее эквивалентно условию принадлежности точки симметричной относительно прямой

Пусть — окружность описанная около пятиугольника Заметим, что прямые и симметричны относительно прямой поскольку т.к. данные углы опираются на равные дуги в окружности Таким образом, лежит на прямой то есть

Кроме этого в силу симметрии и равенства дуг в окружности следовательно

Заключаем, что точка — параллелограмм, откуда — медиана в треугольнике.

Пусть — точка, симметричная относительно Осталось показать, что Докажем. что является точкой пересечения касательных в точках и к окружности как следствие является симедианой треугольника

Действительно ведь каждый из углов равен сумме двух половин дуг, равных дуге в окружности

Пусть прямая, проходящая через точку параллельно пересекает прямые и в точках и соответственно. Из подобия треугольников и имеем

откуда В силу параллельности прямых и имеем

откуда Кроме того, из равенства следует, что откуда Таким образом, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, и

откуда и получаем ответ.

Первое решение. Идея — спрямление суммы отрезков в один отрезок с той же длиной.

На прямой за точку отметим такую точку , что , тогда , а значит — параллелограмм. . Треугольник — равнобедренный, откуда . Также из прямоугольного имеем , . То есть — равнобедренный, значит , из чего следует .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Идея — разбить трапецию на параллелограмм и треугольник (одно из стандартных построений для убийства трапеции).

Отметим на такую точку , что , тогда — параллелограмм и . По условию . , а значит, , откуда — серединный перпендикуляр к (потому что — р/б). Из этого следует, что - равнобедренный, . , , , значит, — равнобедренный, то есть . Таким образом, .

Проведём через точку прямую , параллельную .

Получили параллелограмм , а значит,

Заметим, что , то есть — равнобедренный, откуда

Продлим биссектрису до пересечения с в точке .

в силу вертикальности и параллельности соответственно, значит и подобны, притом с коэффициентом 1, откуда . Осталось заметить, что — равнобедренный, то есть

Пусть — середина , тогда нетрудно понять, что — ромб, значит, . Также по условию , откуда .

Таким образом, — прямоугольный, так как его медиана равна половине стороны, к которой она проведена.

Рассмотрим , откуда — параллелограмм. Заметим, что

• В , откуда он равносторонний и (в силу симметрии).
• Треугольник правильный, откуда для его центра : .
• Аналогично предыдущему .

Отсюда по двум сторонам и углу между ними , тогда . Поскольку является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, то и является медианой равнобедренного . Отсюда и

снова пользуясь правильностью . В итоге получаем .

Отметим на прямой такую точку , что . Тогда — параллелограмм, а значит, и .

Отсюда получаем подобие треугольников и по двум углам, а значит,

Таким образом, .

Пусть — заданный острый угол, — заданная точка внутри него. Проведем . Через т. проведем .

Bсе треугольники и равны, откуда .

Покажем, что отсекает треугольник наименьшей площади. Для этого проведем другую произвольную прямую (точки и лежат на сторонах заданного угла). Построим также .

Треугольники и равны по стороне и двум углам. Следовательно, площадь меньше, чем площадь , откуда получается, что площадь меньше, чем площадь , что и требовалось.

Таким образом, отсекает треугольник наименьшей площади, и, как показано выше, она делится точкой пополам.

Первое решение.

Пусть Тогда

Тогда в

Следовательно,

Теперь легко посчитать площадь параллелограмма:

Второе решение.

Опустим перпендикуляр на , отметим середину отрезка и обозначим — точку пересечения и . Тогда , так как и — середина . Тогда треугольник прямоугольный и . Значит и . Так же из параллельности и поэтому биссектриса угла Четырехугольник является параллелограммом и при этом биссектриса угла . Значит ромб и , но . Значит,

Тогда и . Значит, треугольник равносторонний со стороной . Тогда , и

Отметим на отрезке такую точку что

Тогда треугольники и подобны и Кроме того, и поэтому треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Далее, = = = = = и поэтому треугольники и подобны по двум углам, откуда = Значит, треугольники и подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (, поскольку ), но так как то